中山大学研究生入学测验数学分析试题解答

中山大学研究生入学测验数学分析试题解答

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2011年中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.

科目代码：670

摘 要：本文给出了中山大学2011年研究生入学考试数学分析试题的一个参考答案. 关键词：中山大学；研究生 数学分析

白 建 超 2012年5月30日

1.(每小题15分，共60分)计算下列各题:

(1) 0()sin x

d x t tdt dx -⎰

(2) 20sin 1cos x x dx x

π+⎰.

(3) 23123

lim n n n a a a a →∞⎛⎫

+++

+ ⎪⎝

⎭

. (4) 22()S

x y dS +⎰⎰,其中S 为立体221x y z +≤≤的边界曲面.

解(1) ()

00sin sin x x d

x tdt t tdt dx =

-⎰⎰原式 0

sin sin sin (cos )1cos x

x tdt x x x x

t x

=+-=-=-⎰

(2)首先做一下说明：对积分0

()a

f x dx ⎰做变换t x a =-，则

00

()()()a

a

a

f x dx f a t dt f a t dt =--=-⎰

⎰⎰，

所以

()

1

()()()2

a

a

a

f x dx f x dx f a x dx =

+-⎰

⎰

⎰.

故

2

220

00sin 1sin ()sin()21cos 1cos 1cos ()x x

x x x x dx dx dx x x x π

πππππ⎛⎫--=+ ⎪+++-⎝⎭

⎰

⎰⎰ 22001sin ()sin 21cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭

⎰⎰ 0

2

sin arctan cos 221cos x dx x x

π

ππ

π=

=-+⎰

24

π=

(3)首先级数1

n

n n

x ∞

=∑

在1x >时收敛，因为由比值判别法的极限形式有 1111

lim lim 1n n n n

a n a n x x +→∞→∞+==<，即1x >，所以对1k k k a ∞

=∑，

当1a ≤时收敛，极限不存在，即发散；

当1a >时收敛，极限存在，记当1n

n k k k S a ==∑则1

21n n k k k

S a a

+==∑,两式相减解得

1111n n k n k a n S a a a +=⎛⎫=- ⎪-⎝⎭

∑. 又1111

lim

lim lim 0ln n x x n x x n x a a a a

+++→∞→∞→∞===,所以

2311123

1lim lim 1n n k n n n k n a n a a a a a a a +→∞→∞=⎛⎫

⎛⎫+++

+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

∑ 2

1

11(1)1a a a a a a

=

=--- (4)记上顶面为，221:1,1S z x y =+≤

锥面：22222:,1S z x y x y =++≤.

当1z =时，2211x

y z z ++=； 当22z x y =+，22

12x

y z z ++=.则 1

2

2

22222()()()S

S S x

y dS x y dS x y dS +=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

222222221

1

21

30

()2()(12)(12)

2

x y x y x y dxdy x y dxdy

d r dr

π

θπ+≤+≤=

++

+=+=

+⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

2.(15分)考察函数2222(,)0

x y f x y x y ⎧-⎪=+⎨⎪⎩

2

2

22

,0,0x y x y +≠+=在点(0,0)的可微性. 解 本人感觉此题有问题，应该是

3322(,)0

x y f x y x y ⎧-⎪=+⎨⎪⎩

2

2

22

,0,0x y x y +≠+= 若不是，显然(0,0)x f 和(0,0)y f 都不存在，0

(,)(0,0)(0,0)(0,0)

lim

x y f x y f xf yf p

ρ→∆∆--∆-∆也不存在，故不可微.

下面给出我的个人见解：

(,0)(0,0)(0,0)lim

lim 1

(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1

x x x y x x f x f x

f x x

f y f y

f y y ∆→∞∆→∞∆→∞∆→∞∆-∆===∆∆∆--∆===-∆∆

而

(,)(0,0)(0,0)(0,0)

lim

x y f x y f xf yf p

ρ→∆∆--∆-∆

33

22

2

2

(,)(0,0)

lim

x y x y x y

x y x y ∆∆→∆-∆-∆+∆∆+∆=

∆+∆

3(,)(0,0)

222

()lim ()

x y x y x y x y ∆∆→∆∆∆+∆=

∆+∆

2322

lim

(1)

y k x x k k k ∆=∆∆→-=+

与k 的取值有关，故此极限不存在，所以(,)f x y 在点(0,0)的不可微. 3.(15分)求空间一点000(,,)x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的最短距离. 解 设(,,)x y z 为平面0Ax By Cz D +++=上的任意一点，则目标函数为

222000()()()x x y y z z -+-+-.

可以转化为求函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件

0Ax By Cz D +++=的最小值问题.此题有两种解法

(方法1)利用拉格朗日乘数法求条件极值，设

222000(,,,)()()()()L x y z x x y y z z Ax By Cz D μμ=-+-+-++++，

对L 分别求偏导数，并令其为零，即