1.二元一次方程组(初学篇)
简单的二元一次方程组
简单的二元一次方程组
二元一次方程组是初中数学中的一个重要内容，其解法主要是利用消元法和代入法两种方法。
二元一次方程组的题型主要有两种：一种是已知两个方程，求解两个未知数，另一种是已知一个方程，求解两个未知数。
以第一种类型为例，假设有以下二元一次方程组：
\begin{cases} 3某+2y=8 \\ 某+4y=5 \end{cases}
通过消元法求解：
1.将第二个方程中的某表示出来，即将某用y表示，得到方程
某=5-4y
2.将上述的结果带入到第一个方程中，即
3(5-4y)+2y=8
15-12y+2y=8
-10y=-7
y=7/10
3.将y代入到第二个方程中求出某：
某+4(7/10)=5
某=5-2.8
某=-1/2
所以，该方程组的解为某=-1/2，y=7/10。
另一种解法是代入法，即将一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的式子，然后代入到另一个方程中，得到一个只含一个未知数的一元一次方程，从而求解出这个未知数，最后带入原方程解出另一个未知数。
对于上述的方程组，用代入法也可以解决。
1.将第二个方程中的某用y表示，即得到方程
某=5-4y
2.将上述结果带入到第一个方程中，即
3(5-4y)+2y=8
解得y=7/10
3.将y代入到第二个方程中求出某：
某=-1/2
通过以上两种方法都可以求解出该二元一次方程组的解。
在日常生活中，二元一次方程组的应用非常广泛，例如求解两个价格和为一定值的商品的价格；求解两个角的度数和等于某个定值的三角形的另一个角的度数等等。
因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于我们的生活和学习都非常重要。
（完整版）解二元一次方程组基础练习
（完整版）解二元一次方程组基础练习4x y 5 3x 2y 1知识点 (1) 解二元一次方程组基础练习肖老师一：代入消元法解方程组： y 2x 3 7x 5y 3 ((23x 2y 1 2x y 4(3)x y 2 3 3x 4y 18 x 5y 6 3x 6y 4 0知识点 (1) 二：用加减法解方程组:x y 3x y 14x 3y 0 12x 3y 8(3)4x 3y 5 4x 6y 145x 4y 6 2x 3y 1 3x 2y 7 2x 3y 17拓展训练: 解下列方程:(1)(先化简) 3(y 2) x 12(x 1) 5y 8(2)(化简后整体法)3x 4y 18(3)(整体法) 4x 15y 17 06x 25y 23 0(4)(先化简)13-23一2y-y 1 x 2(5)(化简后整体法)"7 丁2x 3y 1 (6)(整体法)21x 23y 24323x 21y 241综合训练：一.填空题 1. 在方程y __________________ 3x 2中若x 2,则y ____ 若y 2,则x；2. 若方程2x y 3写成用含x 的式子表示y 的形式: _______________________ 写成用含y 的式子表示x 的形式: _____________________________ ;x 23. 已知是方程2x+ay=5的解，贝U a= ______ .y 1x 14. 二元一次方程3x my 4和mx ny 3有一个公共解，则y 1(7)(先化简)2x 1 3y 2 243x 1 3y 2 门 054(8)(可化简或整体法)3x 2y 2x 3y i73x 2y 2x 3y 567(9)(你懂的)3K - 2y 5K 4-/(10)(先化简)気 _ y+1L0?2 "O T S(11)(先化简)f 廿产50018O%x+eoay= 500X 74^(12))整体法)宣■上号丄二4 (i-l)3x-2 (2y+l) ~im= 5.已知 |a b 2| (b 3)2 0,那么 ab 6.方程 3x+y=7 的正整数解为、选择题 1.对于方程组 xy3 x10,(2) x5 ,(4)y y r 是二元次方程组的为 A.（1）和（2） )B.(3)和(4)C.(1)和⑶D.(2)和⑷22是方程 5kx 2y 2的一个解，则k 等于（ A .85 B .53C.6D.3.方程组 3x 1 x 2 4y 1 y 31的解为（ 8x A. y x B.yC.丄2 3 8D.4.已知a,b 满足方程组 a 2a 2bb ，则ab 的值为（A.-1B.0 5.如果方程组C.1 xD.2 y 1by 有唯一的一组解，那么 a , b , C 的值应当满足（） A . a=1, C =1 B . a M b C . a=b=1 , C M 1D x m 4 6.已知 x , y 满足方程组，则无论m 取何值， x , y y 5 mA . x+y=1B . x+y= — 1C . x+y=9D . x+y=9ax .a=1, C M 1 恒有关系式是（） C、解答题x 3m 11、若，是方程组4x 3y 10的一组解，求m的值y 2m 22X_3Xy_的值.2.已知y=3xy+x，求代数式x 2xy y3、已知等式(2A —7B)x+(3A —8B)=8x+10,对一切实数x都成立，求A、B的值。
(完整版)二元一次方程组知识点及典型例题
二元一次方程组小结与复习一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法二、典例剖析题型一1．二元一次方程及方程组的概念。
二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。
练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C yx B x z x A练习2、若方程的值。
的二元一次方程，求、是关于）（n n mm y x y xm 43195=+--练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。
（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1） （2） （3）⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝题型三：代数式的变形 1、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝ ，当＝3时，＝ 。
《二元一次方程组》知识讲解(1)
+1)
+
m
−
3
=
0
，解得
m
=
3
.
答：m 的值为 3.
例 3.写出二元一次方程 4x + y = 20 的所有正整数解.
【答案与解析】
由原方程得 y = 20 − 4x ，因为 x、y 都是正整数， 所以当 x =1， 2， 3， 4时， y =16，1 2， 8， 4 .
所以方程
4x
+
y
=
20
的所有正整数解为：
要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元
法，简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未 知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形 比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的方程变形 比较简便．
，
又联立方程组
ax bx
− +
by ay
= =
−4 −8
，则有
2a + 2b = −4 −2a + 2b = −8
，
解得
a b
= =
1 −3
．
所以(2a+b)2011＝-1．
【变式】小明和小文解一个二元一次组
小明正确解得
小文因抄错了
c，解得
已知小文除抄错了 c 外没有发生其他错误，求 a+b+c 的值．
第1章二元一次方程组
第1章 二元一次方程组 1．1 建立二元一次方程组01课前预习要点感知1 含有___未知数，并且含未知数的项的次数都是___，称这样的方程为二元一次方程．两个 1 预习练习1－1 下列各方程是二元一次方程的是(D ) A ．2x －1＝1＋x B ．x ＋1＝2xyC ．2x ＝y 2＋1 D ．x ＋2y －1＝0要点感知2 把两个含有_____未知数的_____(或者一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来，组成的方程组，叫做二元一次方程组．相同 二元一次方程预习练习2－1 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1_____(填“是”或“不是”)二元一次方程组．是要点感知3 在一个二元一次方程组中，使每一个方程的左、右两边的值都______的一组_______的值，叫做这个方程组的一个解．求方程组的_______的过程叫做解方程组．相等 未知数 解 预习练习3－1 下列各组数是方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，x ＋y ＝4的解的是(A )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2 02当堂训练知识点1 二元一次方程及其解1．方程x －3y ＝1，xy ＝2，x －1y ＝1，x －2y ＋3z ＝0，x 2＋y ＝3中是二元一次方程的有(A ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列不是二元一次方程2x ＋y ＝7的解的是(C )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝9C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－0.5y ＝83．若x m －2y n －2＝1是关于x ，y 的二元一次方程，则m＝______，n ＝______．1 3知识点2 二元一次方程组及其解4．下列方程组是二元一次方程组的是(B )A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1xy ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－2y ＝2x －1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1＝0y ＝x －1D.⎩⎪⎨⎪⎧1x －y ＝32x ＋y ＝05．下列各组数是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2的解的是(D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1 6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是下列哪个方程组的解？ (1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－4，3x －2y ＝0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是方程组(2)的解． 知识点3 根据题意列二元一次方程(组) 7．(内江中考)植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是(D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝523x ＋2y ＝20B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝522x ＋3y ＝20 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝202x ＋3y ＝52D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝203x ＋2y ＝52 8．(1)根据题意列出关于x ，y 的二元一次方程或方程组：①长方形的长为x cm ，宽为y cm ，周长为20 cm ； ①2(x ＋y)＝20.②在为玉树地震捐款活动中，甲、乙两班共捐3 200元，已知甲班捐款数比乙班捐款数的2倍多50元．设甲班捐款x 元，乙班捐款y 元；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3 200，x ＝2y ＋50. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 150，y ＝1 050是(1)中列出的方程或方程组的解吗？ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 150，y ＝1 050不是①列出的方程的解，是②列出的方程组的解．03课后作业9．下列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，y ＝2z －1；⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y ＝2x ＋3；⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝3，x ＋y ＝1；⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1；⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2y ＝3，x －y ＝1是二元一次方程组的有(B ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10.解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3的方程组是(B )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝33x ＋2y ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝33x ＋2y ＝－6 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝37x －3y ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧5x －y ＝3x ＋y ＝111．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3是二元一次方程5x ＋ay ＝1的一个解，则a 的值是(A )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 12．(泰安中考)小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x 千克，乙种水果y 千克，则可列方程组为(A )A.⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝28x ＝y ＋2B.⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋6x ＝28x ＝y ＋2 C.⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝28x ＝y －2D.⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋6x ＝28x ＝y －2 13．若2x 2a －1＋3y 7－3b＝7是关于x ，y 的二元一次方程，则2a －b ＝_____．014．请写出一个以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1为解的二元一次方程组：____答案不唯一，如⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1x －y ＝－3.15．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ，2x －y ＝n的解，则m ＋n ＝________．616．请判断下列各组数是不是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝10，2x －3y ＝4的解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－5；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0. (1)把x ＝3，y ＝－5代入方程组，发现不满足2x －3y ＝4，所以不是原方程组的解．(2)把x ＝2，y ＝0代入方程组，发现适合每一个方程，所以是原方程组的解．17．已知二元一次方程5x ＋3y ＝22. (1)填表：(1)1734 73 23－1(2)求出方程的非负整数解．(2)方程的非负整数解只有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.18．明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？设0.8元的邮票买了x 枚，2元的邮票买了y 枚． (1)请你根据题意列出方程组；(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝13，0.8x ＋2y ＝20.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8是列出的二元一次方程组的解吗？ (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8是列出的二元一次方程组的解．挑战自我19．根据题意列二元一次方程组：(1)某校课外小组的学生准备外出活动．若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人．这个课外小组分成几组？共有多少人？设分成x 组，共有y 人．(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3＝y ，8（x －1）＋3＝y.(2)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放．问有多少只鸡，多少个笼？设有x 只鸡，y 个笼．(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝x ，5（y －1）＝x.1.2 二元一次方程组的解法1．2.1 代入消元法01课前预习要点感知1 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的________表示出来，然后把它代入到另一个方程中，得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做代入法．代数式预习练习1－1 在方程2x ＋y ＝5中，用含x 的代数式表示y 为________．y ＝5－2x要点感知2 用代入法解二元一次方程组的基本思路是____，是将“二元”转化为“一元”的化归思想．消元预习练习2－1 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，2x ＋y ＝5消去x 后所得的方程是(B )A ．2y ＋1＋y ＝5B ．2y ＋2＋y ＝5C ．y ＋2＋y ＝5D ．y ＋1＋y ＝502当堂训练知识点1 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 1．方程2x －3y ＝7，用含x 的代数式表示y 为(B ) A ．y ＝7－2x3B ．y ＝2x －73C ．x ＝7＋3y 2D ．x ＝7－3y22．对于方程5m ＋6n ＝8，用含n 的代数式表示m ，结果为______．m ＝8－6n53．把下列方程改写为用含x 的代数式表示y 的形式． (1)3x ＋y ＝2；(1)y ＝2－3x. (2)2x －3y ＋1＝0.(2)y ＝23x ＋13.知识点2 用代入消元法解二元一次方程组4．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，①3x －2y ＝10.②将方程①代入②中，所得的正确方程是(C )A ．3x －4x －3＝10B ．3x －4x ＋3＝10C ．3x －4x ＋6＝10D ．3x －4x －6＝105．用代入法解二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5②组时，最好的变式是(D )A ．由①得x ＝2－4y3B ．由①得y ＝2－3x4C ．由②得x ＝y ＋52D ．由②得y ＝2x －56．用代入消元法解下列方程组：(1)(重庆中考)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，①3x ＋y ＝1；②（1)将①代入②，得3x ＋2x －4＝1.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.(2)(荆州中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，①3x ＋5y ＝14；②(2)由①，得x ＝y ＋2.③ 将③代入②，得3y ＋6＋5y ＝14.解得y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.(3)(厦门中考)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，①2y ＋1＝5x ；②(3)由①，得y ＝4－2x.③ 将③代入②，得2(4－2x)＋1＝5x.解得x ＝1.把x＝1代入③，得y ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，①2x －3y ＝1.②(4)由①，得x ＝3－y.③ 将③代入②，得2(3－y)－3y ＝1.解得y ＝1.将y ＝1代入③，得x ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.03课后作业7．把方程x 3－y2＝1写成用含x 的代数式表示y ，以下各式中正确的是(C )A ．y ＝2x －23B ．y ＝23x －13C ．y ＝23x －2D ．y ＝2－23x8．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －3x ＝1，x ＝y －1.下面的变形正确的是(A )A ．2y －3y ＋3＝1B ．2y －3y －3＝1C ．2y －3y ＋1＝1D ．2y －3y －1＝19．(雅安中考)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m ＝1，y －3＝m 可得出x 与y 的关系是( A )A ．2x ＋y ＝4B ．2x －y ＝4C ．2x ＋y ＝－4D ．2x －y ＝－410．四名学生解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝5，①x －2y ＝3，②提出四种不同的解法，其中解法不正确的是( C )A ．由①得x ＝5＋4y3，代入②B ．由①得y ＝3x －54，代入②C ．由②得y ＝－x －32，代入①D ．由②得x ＝3＋2y ，代入①11．(泉州中考)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，2x ＋y ＝－1的解是_⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－312．如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，2x －y ＝2的解是方程3x －4y ＋a ＝6的解，那么a 的值是_____．313．用代入消元法解下列方程组：(1)(淮安中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋y ＝2；②(1)由①，得x ＝3＋2y.③把③代入②，得3(3＋2y)＋y ＝2.解得y ＝－1.把y ＝－1代入③，得x ＝3－2＝1.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －2＝0，①4x ＋1＝9y ；②(2)由，①得x ＝2－3y2.③ 把③代入②，得4·2－3y 2＋1＝9y ，解得y ＝13.把y ＝13代入③，得x ＝12.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝13.(3)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2＝5y ，①2x －32＋y ＝172；②(3)由②，得x ＝10－y.③ 将③代入①，得3(10－y)＋2＝5y.解得y ＝4.将y ＝4代入③，得x ＝6.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.(4)(黄冈中考)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－x ＋y 4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.(4)原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧5y －x ＝3，①5x －11y ＝－1.②由①，得x ＝5y －3.③ 将③代入②，得25y －15－11y ＝－1.解得y ＝1.将y ＝1代入③，得x ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.挑战自我14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，①3（x ＋y ）＋y ＝14.②将①整体代入②，得3×4＋y ＝14，解得y ＝2.把y ＝2代入①，得x ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，①4（x －y ）－y ＝5.②由①，得x －y ＝1，③ 把③整体代入②，得4×1－y ＝5.解得y ＝－1.把y ＝－1代入③，得x －(－1)＝1.解得x ＝0.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. 1.2.2 加减消元法 第1课时 加减消元法要点感知1 两个二元一次方程中同一未知数的系数______或______时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．相同 相反预习练习1－1 用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，5x ＋2y ＝2时，可把两个方程_____．相加1－2 用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，2x ＋5y ＝2时，可把两个方程_____．相减要点感知2 用加减消元法解方程组时，将方程中某个未知数的系数变成它们的最小公倍数之后，再相加减．预习练习2－1 用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，①2x ＋3y ＝4②时，为消去未知数y ，可把①式两边同____．乘以302当堂训练知识点1 用加减消元法解某一未知数的系数的绝对值相等的方程组1．用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝－8，7x ＋5y ＝2，将两个方程相加，得( D )A ．3x ＝－8B ．7x ＝－6C ．10x ＝－10D ．10x ＝－62．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－5，①－2x －y ＝10，②由②－①，得正确的方程是( C ) 2. 3. 4.A ．3x ＝5B ．3x ＝15C ．－3x ＝15D ．－3x ＝53．用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7，①5x －y ＝9，②最合适的方法是( B )A ．①－②B ．②＋①C ．①×2＋②D ．②×3＋① 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，3x ＋5y ＝2时，消去x 得到的方程是( C ) A ．7y ＝7 B ．y ＝1C ．7y ＝－3D ．7y ＝3 5．用加减法解下列方程组：(1)(邵阳中考)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，①x －y ＝－1；②(1)①＋②，得3x ＝3.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ＝－19，①6x －5y ＝17.②(2)①－②，得12y ＝－36.解得y ＝－3.把y ＝－3代入①，得x ＝13.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－3.知识点2 用加减消元法解某一未知数的系数的绝对值有倍数关系的方程组6．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7，①4x －y ＝13，②下列变形正确的是(D )A ．①×2－②消去xB ．①－②×2消去yC ．①×2＋②消去xD ．①＋②×2消去y7．用加减法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝11，①2x ＋y ＝13；②（1)②×3，得6x ＋3y ＝39.③ ①＋③，得10x ＝50.解得x ＝5.将x ＝5代入②，得10＋y ＝13.解得y ＝3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝9，①x －y ＝7.②(2)②×2，得2x －2y ＝14.③ ①－③，得x ＝－5.把x ＝－5代入②，得－5－y ＝7.解得y＝－12.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－12.03课后作业8．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中( D ) A ．某个未知数的系数是1B ．同一个未知数的系数相等C ．同一个未知数的系数互为相反数D ．某一个未知数的系数的绝对值相等9．用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，3x －2y ＝8，消去y 后可以得到的方程是( D )A ．3x －4x －10＝0B ．3x －4x ＋5＝8C ．3x －2(5－2x)＝8D ．3x －4x ＝8－1010．用加减法解下列四个方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2.5x ＋3y ＝1，①－2.5x ＋2y ＝4；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝7，①4x －4y ＝8；② (3)⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋5y ＝32，①y ＝0.5x ＋11.5；②(4)⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝7，①3x －6y ＝8.②其中方法正确且最适宜的是( D ) A ．(1)①－② B ．(2)②－① C ．(3)①－② D ．(4)②－①11．(广州中考)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝12，3a －b ＝4.则a＋b 的值为( B )A ．－4B ．4C ．－2D ．212．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝－4，3x ＋y ＝5的解是___．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝213．用加减法解下列方程组：(1)(成都中考)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，①3x －2y ＝－1；②(1)①＋②，得4x ＝4.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11；②(2)①×5＋②，得13x ＝26.解得x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. (3)(宿迁中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.②(3)①×2，得2x －4y ＝6.③ ③＋②，得5x ＝5.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.14．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋5y ＝－17，4x －by ＝1时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得到解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.乙看错了方程组中的b 而得到解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.(1)求正确的a ，b 的值；(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16－3b ＝1，－3a －5＝－17.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5.(2)求原方程组的解．(2)原方程组是⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝－17，4x －5y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－95.挑战自我15．小红对小明说，有这样一个式子ax ＋by ，当x ＝5，y ＝2时，它的值是1；当x ＝7，y ＝3时，它的值是－5.你知道当x ＝7，y ＝－5时，它的值吗？小明想了想，很快就做出了正确答案．你知道聪明的小明是怎样做的吗？根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，①7a ＋3b ＝－5.②①×3－②×2，得a ＝13.将a ＝13代入①，得b ＝－32.所以这个式子为13x －32y.将x ＝7，y ＝－5代入上式，得13×7－32×(－5)＝251.第2课时 选择合适的方法解二元一次方程组01课前预习要点感知 ___和___是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过_____其中一个未知数(消元)，使二元一次方程组转化为_____，从而求解，只是消元的方法不同．可以根据方程组的具体情况灵活选择适合它的消元方法．加减消元法 代入消元法 消去 一元一次方程预习练习1－1 解以下两个方程组：①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，7x ＋5y ＝8；②⎩⎪⎨⎪⎧8s ＋6t ＝25，17s －6t ＝48，较为简便的方法是(C ) A ．①②均用代入法 B ．①②均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法1－2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－3，①5x －y ＝2.②(1)若用代入法解，可把②变形，得y ＝____，代入①，得______；(1)5x －2 3x －2(5x －2)＝－3(2)若用加减法解，可把②×2，把两个方程的两边分别___，得到的一元一次方程是___．(2)相减 7x ＝7或－7x ＝－702当堂训练知识点1 用适当的方法解二元一次方程组1．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，x －2y ＝4时，代入正确的是( C )A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝42．解方程组①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，3x －5y ＝9；②⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝7，3x ＋2y ＝10； ③⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，3x －4y ＝1；④⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝9，2x －3y ＝7.比较适宜的方法是( C )A ．①②用代入法，③④用加减法B ．②③用代入法，①④用加减法C ．①③用代入法，②④用加减法D ．②④用代入法，①③用加减法3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝6，①2x －5y ＝4，②将①×2－②×3得( C )A ．3y ＝2B ．4y ＋1＝0C ．11y ＝0D ．7y ＝104．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝7，①9x －10y ＋25＝0②最简便的解法是( C )A ．由①式得x ＝73＋43y ，再代入②式B ．由②式得y ＝25＋9x10，再代入①式C ．①×3得③式，再将③式与②式相减D ．由②式得9x ＝10y －25，再代入①式 5．用适当方法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－5，①y ＝2x ＋1；②(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. (2)(荆州中考)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7；②(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝3，①3x －5y ＝－5.②(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 知识点2 利用二元一次方程组求字母系数的值6．如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，3x －y ＝2的解也是3x ＋ky ＝10的解，那么k 的值是( A ) A ．1B ．2C ．4 D.127．(襄阳中考)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为( A ) A ．4，2 B ．2，4 C ．－4，－2 D ．－2，－48．如果二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝1，3ax ＋2by ＝23的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.那么a －b ＝________．003课后作业9．(河北中考)利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6.②下列解法正确的是( D ) A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2 B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5) C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3 D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×210．解方程组①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，2x －5y ＝2； ②⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，2x －5y ＝1； ③⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝8，3x －2y ＝－2； ④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，2x －7y ＝－3.方程组_____适宜用代入消元法，____适宜用加减消元法．①④ ②③11．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝13的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，则a ＝______，b ＝_____．－5 312．解方程组：(1)(聊城中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，①2x ＋y ＝4；②(1)①＋②，得3x ＝9.解得x ＝3.把x ＝3代入①，得y ＝－2.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2（y －1），①2（x －2）＋y －1＝5；②(2)把①代入②，得4(y －1)＋y －1＝5.解得y ＝2.把y ＝2代入①，得x －2＝2×(2－1)．解得x ＝4.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 3＝132，①x 3－y 4＝32.②(3)原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝39，③4x －3y ＝18.④③×3＋④×2，得17x ＝153.解得x ＝9.把x ＝9代入④，得36－3y ＝18.解得y ＝6.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.13．(日照中考)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，3x ＋5y ＝m ＋2的解满足x ＋y ＝0，求实数m 的值．解关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，3x ＋5y ＝m ＋2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －11，y ＝7－m.因为x ＋y ＝0，所以2m －11＋7－m ＝0.解得m ＝4.挑战自我14．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋18y ＝17，①17x ＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：①－②得，2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③ 将③×16，得16x ＋16y ＝16.④②－④，得x ＝－1，从而由③，得y ＝2. 所以方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.(1)请用上述的方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2 019x ＋2 018y ＝2 017，①2 017x ＋2 016y ＝2 015；②(1)①－②得，2x ＋2y ＝2，即x ＋y ＝1.③将③×2 016，得2 016x ＋2 016y ＝2 016.④②－④，得x ＝－1.把x ＝－1代入③，得y ＝2.所以方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.(2)猜想关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）x ＋（a ＋1）y ＝a ，ax ＋（a －1）y ＝a －2的解是什么？(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.1.3 二元一次方程组的应用 第1课时 用二元一次方程组解决较简单的实际问题01课前预习要点感知 建立二元一次方程组模型解应用题的步骤：(1)_审题；(2)_找等量关系；(3)_设未知数；(4)_列方程组；(5)_解方程组；(6)_检验作答． 预习练习 (吉林中考)为促进教育均衡发展，A 市实行“阳光分班”，某校七年级一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求该班男生、女生各有多少人．设男生有x 人，女生有y 人．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝45，x －y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝21.答：该班男生有24人，女生有21人． 02当堂训练知识点 列二元一次方程组解决较简单的实际问题1．买苹果和梨共50千克，其中苹果的质量是梨的2倍少8千克．若设买苹果x 千克，买梨y 千克，则列出的方程组应是( D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50y ＝2x ＋8B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50y ＝2x －8 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50x ＝2y ＋8 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50x ＝2y －82．某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%.这样会使在校学生共增加10%，这所学校初中现在的在校生人数是( A )A ．1 400人B ．1 900人C ．2 800人D ．2 300人 3．(丹东中考)小明和小丽到文化用品商店帮助同学们买文具．小明买了3支笔和2个圆规共花19元；小丽买了5支笔和4个圆规共花35元．设每支笔x 元，每个圆规y 元．请列出满足题意的方程组_．⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝195x ＋4y ＝354．(湘潭中考)湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4 000元．那么当日售出成人票____张．505．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为____只、树为______棵．20 56．(海南中考)小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A 型号计算器的单价比B 型号计算器的单价多10元，5台A 型号的计算器与7台B 型号的计算器的价钱相同，问A 、B 两种型号计算器的单价分别是多少？设A 型号计算器的单价为x 元，B 型号计算器的单价为y元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝10，5x ＝7y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝25.答：A 型号计算器的单价为35元，B 型号计算器的单价为25元．7．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价是y 元/斤．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝36，3（1＋50%）x ＋2（1＋20%）y ＝45. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝15.所以这天萝卜的单价是：(1＋50%)x ＝(1＋50%)×2＝3，这天排骨的单价是：(1＋20%)y ＝(1＋20%)×15＝18.答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．03课后作业8．(江西中考改编)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元，根据题意所列方程组正确的是( B )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋20y ＝562x ＋3y ＝28B.⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝562x ＋3y ＝28 C.⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝282x ＋3y ＝56D.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋20y ＝282x ＋3y ＝56 9. (淄博中考)把一根长100 cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5 cm ，则锯出的木棍的长不可能为( A )A ．70 cmB ．65 cmC ．35 cmD ．35 cm 或65 cm10．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克．则甲种药材买了____千克．511．(吉林中考)根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．设梅花鹿现在的高度为x m ，长颈鹿现在的高度为y m ．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝4，y －3x ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝5.5.答：梅花鹿现在的高度为 1.5 m ，长颈鹿现在的高度为5.5 m ．12．(福州中考)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球队、排球队各有多少支参赛？设有x 支篮球队和y 支排球队参赛．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝48，10x ＋12y ＝520.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28，y ＝20.答：篮球队、排球队各有28支与20支参赛．13．(雅安中考)某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务．问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？设要安置x 户居民，规定时间为y 个月．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12y ＝90%x ，16（y －1）＝x.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝6. 答：要安置80户居民，规定时间为6个月．挑战自我14．为满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7 200平方米．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除校舍则超过了10%，结果恰好完成了原计划的拆建的总面积．(1)原计划拆、建面积各是多少平方米？(1)设原计划拆、建面积各是x 平方米和y 平方米．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7 200，（1＋10%）x ＋80%y ＝7 200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 800，y ＝2 400.答：原计划拆、建面积分别是4 800平方米和2 400平方米．(2)如果绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化面积大约多少平方米？ (2)(1＋10%)×4 800＝5 280(平方米)，80%×2 400＝1 920(平方米)，[(4 800－5 280)×80＋(2 400－1 920)×700]÷200＝1 488(平方米)．答：在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化面积大约1 488平方米．第2课时 用二元一次方程组解决较复杂的实际问题01课前预习预习练习1－1 楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1 225元，设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是( B )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2035x ＋70y ＝1 225B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2070x ＋35y ＝1 225C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 22570x ＋35y ＝20D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 22535x ＋70y ＝201－2 用一根长为60 cm 的铁丝围成一个长方形，记长为x cm ，宽为y cm ，当长方形的长是宽的2倍时，可列方程组______．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y2（x ＋y ）＝6002当堂训练知识点 列二元一次方程组解决较复杂的实际问题1．(北京中考)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为____．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝82．为了合理使用电力资源，缓解用电紧张状况，我国电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(如下表)．已知王老师家4月份使用“峰谷电”95千瓦时，缴电费43.40元，问王老师家4月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时？设王老师家4月份“峰电”用了x 千瓦时，“谷电”用了y 千瓦时，根据题意可列方程组______．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝950.56x ＋0.28y ＝43.43.在《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子一部分在树上欢歌，一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子就是整群的13，若从树上飞下来一只到地上，则树上和地上的鸽子就一样多了”．则树上鸽子有____只，地上鸽子有______只．7 54．(黄冈中考)已知A 、B 两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A 、B 两件服装的成本各是多少元？设A 服装的成本为x 元，B 服装的成本为y元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝500，30%x ＋20%y ＝130.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝200.答：A 、B 两件服装的成本分别为300元、200元．5．某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？设应分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝56，36y ＝2×24x.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝32. 答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．6．A 、B 两地相距36千米．甲从A 地出发步行到B 地，乙从B 地出发步行到A 地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．设甲的速度是x 千米/时，乙的速度是y 千米/时．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋y ）＝36，36－6x ＝2（36－6y ）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5.答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时． 03课后作业7．(内江中考)成渝路内江至成都全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比小客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/小时和y 千米/小时，则下列方程组正确的是( D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2076x ＋76y ＝170B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2076x ＋76y ＝170 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2076x －76y ＝170D.⎩⎪⎨⎪⎧76x ＋76y ＝17076x －76y ＝208．如图，宽为50 cm 的长方形图案是由10个完全相同的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为__cm 2.4009．(潜江中考)清明节期间，七(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人．由此可知该班共有__名同学．5910．(张家界中考)小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m ，下坡路每分钟走80 m ，上坡路每分钟走40 m ，则他从家里到学校需10 min ，从学校到家里需15 min.问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设平路有x m ，下坡路有y m ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 60＋y80＝10，x 60＋y 40＝15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝400.答：小华家到学校的平路和下坡路各为300 m 、400 m ． 11．(佛山中考)某景点的门票价格如表：某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1 118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(1)若两班人数和少于100人，则两班单独购票共需花费的钱数少于50×12＋50×10＝1 100(元)，而实际共需花费的钱数为 1 118元，所以两班人数和一定多于100人．设七年级(1)班有x 人，七年级(2)班有y 人．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1 118，8（x ＋y ）＝816.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝49，x ＝53.答：七年级(1)班有49人，七年级(2)班有53人． (2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？(2)七年级(1)班节约的费用为：(12－8)×49＝196(元)，七年级(2)班节约的费用为：(10－8)×53＝106(元)．答：七年级(1)班节约196元，七年级(二)班节约106元． 挑战自我12．(龙岩中考)已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(1)设1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨、y 吨．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝10，x ＋2y ＝11.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.答：1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(2)根据题意可得3a ＋4b ＝31，b ＝31－3a4，使a ，b 都为整数的情况共有a ＝1，b ＝7或a ＝5，b ＝4或a ＝9，b ＝1三种，故租车方案分别为： ①A 型车1辆，B 型车7辆；②A 型车5辆，B 型车4辆；③A 型车9辆，B 型车1辆．(3)若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．(3)方案①花费为100×1＋120×7＝940(元)；方案②花费为100×5＋120×4＝980(元)；方案③花费为100×9＋120×1＝1 020(元)．答：方案①最省钱，即租用A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元． 1.4 三元一次方程组01课前预习要点感知 解三元一次方程组的基本想法是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为解____，进而再转化为解_____．消元的基本方法仍然是___法和______法．二元一次方程组 一元一次方程 代入 加减 预习练习1－1 如果x －y ＝－5，z －y ＝11，那么z －x ＝___．161－2 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＋z ＝1，y ＋2x ＝4的解为___．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2z ＝－102当堂训练知识点1 三元一次方程组的解法 1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3z ＝1，3x ＋y －7z ＝2，5x －y ＋3z ＝3.若要使运算简便，则消元的方法应选取( B )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对 2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋z ＝0，y ＋z ＝1的解是( D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0z ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1z ＝－1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0z ＝13．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝1，ax ＋（a －1）y ＝3的解x 与y 相等，则a的值等于( C )A ．4B ．10C ．11D ．124．当a 、b 、c 满足方程2(a －5)2＋|a －b ＋4|＋3(3c －b)2＝0时，则a ＝__，b ＝__，c ＝__．5 9 3 5．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝11，①y ＋z －x ＝5，②z ＋x －y ＝1；③(1)①＋②，得2y ＝16，即y ＝8.①＋③，得2x ＝12，即x ＝6.②＋③，得2z ＝6，即z ＝3.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y.③(2)把③代入①，得5y ＋z ＝12.④ 把③代入②，得6y＋5z ＝22.⑤ ④×5－⑤，得19y ＝38，解得y ＝2.把y ＝2代入④，得z ＝2.把y ＝2，z ＝2代入①，得x ＋2＋2＝12，解得x ＝8.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，z ＝2.6．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，①x ＋z ＝1，②y ＋z ＝1③的解使代数式x －3y ＋kz 的值为5，求k 的值．①－②，得y －z ＝－2.④ ④＋③，得y ＝－12.把y ＝－12代入③，得z ＝32.把y ＝－12代入②得x ＝－12.将方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，z ＝32代入x －3y ＋kz ＝5，解得k ＝83.知识点2 列三元一次方程组解应用题7．某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？设甲组植树x 株，乙组植树y 株，丙组植树z 株．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝50，y ＝14（x ＋z ），x ＝y ＋z.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝10，z ＝15.答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株． 课后作业03课后作业8．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，2y ＋z ＝4，2z ＋x ＝5可以得到x ＋y ＋z 的值等于(B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝k ＋2，2x ＋3y ＝k ，其中x 与y 的值之和等于2，则k 的值为____．410．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋z ，x ＋y ＋z ＝10，3x －y ＝9；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，z ＝－1. (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝10，x ＋2y －z ＝6，x ＋y ＋2z ＝17.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，z ＝5.11．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ＝4，5x －2y ＝m －1的解能使等式4x －3y ＝7成立．(1)求原方程组的解；(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ＝4，①4x －3y ＝7.② ①＋②，得11x ＝11.解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－1.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.(2)求代数式m 2－2m ＋1的值．(2)将x ＝1，y ＝－1代入5x －2y ＝m －1，得5×1－2×(－1)＝m －1.解得m ＝8.所以m 2－2m ＋1＝82－2×8＋1＝49.12．对于有理数x ，y ，定义新运算x*y ＝ax ＋by ＋c.其中a ，b ，c 是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1*2＝9，(－3)*3＝6，0*1＝2.(1)求a ，b ，c 的值；(1)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c ＝9，－3a ＋3b ＋c ＝6，b ＋c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝－3.(2)求(－1)*2的值．(2)此新运算为x*y ＝2x ＋5y －3，所以(－1)*2＝2×(－1)＋5×2－3＝5.13．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．设原来的三位数的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝17，x ＋y －z ＝3，（100z ＋10y ＋x ）－（100x ＋10y ＋z ）＝495.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，z ＝7.答：原来的三位数是287 14．有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，。
初中数学二元一次方程组知识点+习题
一、二元一次方程含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”．关于x 、y 的二元一次方程的一般形式：ax by c +=（0a ≠且0b ≠）． 二、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示．如：方程2x y +=的一组解为11x y =⎧⎨=⎩，表明只有当1x =和1y =同时成立时，才能满足方程．一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．【例1】 若211350a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b =______．【例2】 已知方程()21320m n m x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______，n =______． 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）A ．10x y +-=B ．54xy +=-C ．2389x y +=D ．12x y+= 【例4】 在方程325x y -=中，若2y =-，则x =________．【例5】 二元一次方程21x y -=有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩C ．10x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =-⎧⎨=-⎩【例6】 求二元一次方程25x y +=的所有非负整数解．例题解析知识精讲模块一：二元一次方程二元一次方程组的概念及解法【例7】 已知23x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程432x y a =+的一组解，求231a a -+的值．一、二元一次方程组由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 特别地，134x y x +=⎧⎨-=⎩和31x y =⎧⎨=-⎩也是二元一次方程组．二、二元一次方程组的解二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解． 注意：（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组2397x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是61x y =⎧⎨=⎩．（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如：因为12x y =⎧⎨=⎩能同时满足方程3x y +=、1y x -=，所以12x y =⎧⎨=⎩是方程组31x y y x +=⎧⎨-=⎩的解．【例8】 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．57x y =⎧⎨=⎩【例9】 下列各组数中，_________是方程32x y -=的解；_________是方程29x y -=的解；例题解析知识精讲模块二：二元一次方程组的概念________是方程组3229x y x y -=⎧⎨-=⎩的解．①．11x y =-⎧⎨=-⎩；②．51x y =⎧⎨=⎩；③．32x y =⎧⎨=⎩；④．25x y =⎧⎨=-⎩【例10】 下列方程中，与方程325x y +=所组成的方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩的是（）A ．34x y -=B ．434x y +=C ．1x y +=D ．432x y -=【例11】 请以122x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩为解，构造一个二元一次方程组__________________．【例12】 若x ay b =⎧⎨=⎩是方程31x y +=的一个解，则934_______a b ++=．【例13】 若关于x 、y 的二元一次方程组2x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m n -的值是（）A ．1B ．3C ．5D ．2【例14】 已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是_________．一、消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 二、代入消元法1、代入消元法的概念将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ），用另一个未知数（如x ）的代数式表示出来，即将方程写成y ax b =+的形式；知识精讲模块三：二元一次方程组的解法②代入消元：将y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．三、加减消元法1、加减消元法的概念当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．【例15】 把方程513yx y +=+写成用含x 的式子表示y 的形式，下列各式正确的是（ ） A ．352y x =+ B ．3102y x =-C ．31522y x =--D ．31522y x =-+【例16】 若222x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则x 与y 之间的关系式为_________．【例17】 已知代数式133m x y --与52n m n x y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．21m n =⎧⎨=-⎩B ．21m n =-⎧⎨=-⎩C ．21m n =⎧⎨=⎩D ．21m n =-⎧⎨=⎩【例18】 若()2523100x y x y +-+--=，则（ ）A ．32x y =⎧⎨=⎩B ．23x y =⎧⎨=⎩C ．50x y =⎧⎨=⎩D ．05x y =⎧⎨=⎩例题解析【例19】 用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）2342x y y +=⎧⎨=⎩（2）50180x y x y =-⎧⎨+=⎩（3）53210x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）34194x y x y +=⎧⎨-=⎩【例20】 解二元一次方程组345527x y x y +=⎧⎨-=⎩①②正确的消元方法是（） A ．53⨯+⨯①②，消去x B ．35⨯-⨯①②，消去x C ．2-⨯①②，消去yD ．2+⨯①②，消去y【例21】 用加减消元法解下列二元一次方程组：（1）37232x y x y +=⎧⎨-=⎩（2）3263524x y x y -=⎧⎨-=⎩（3）3210512x y x y +=⎧⎨+=⎩（4）324432x y y x -=⎧⎨-=-⎩【例22】已知x 、y 满足方程组2100721006x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则x y -的值为_________．【例23】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【例24】解下列二元一次方程组：（1）235455y xx y=⎧⎨+=⎩（2）2333215x yx y-=-⎧⎨+=⎩（3）()()()()31425125y xx y⎧-=-⎪⎨-=+⎪⎩（4）2153224111466x yx y⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩【例25】解二元一次方程组：（1）1243231y xx y++⎧=⎪⎨⎪-=⎩（2）2132245313245yxyx--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩（3）2320.40.7 2.8yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【例26】已知关于x、y的方程组227x y kx y k-=-⎧⎨+=⎩，则:________x y=．【习题1】下列各式是二元一次方程的是（）A ．30x y z -+=B ．30xy y x -+=C ．12023x y -=D ．210y x+-=【习题2】若2211a b a b x y -+--=是关于x 、y 的二元一次方程，那么a 、b 的值分别是（）A ．10a b =⎧⎨=⎩B ．01a b =⎧⎨=-⎩C ．21a b =⎧⎨=⎩D ．23a b =⎧⎨=-⎩【习题3】二元一次方程组224x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=-⎩D ．20x y =⎧⎨=⎩【习题4】由4360x y -+=，可以得到用y 表示x 的式子为________________.【习题5】解下列方程：（1）2328y xy x =⎧⎨+=⎩（2）1035x y x y +=⎧⎨-=⎩（3）233511x y x y +=⎧⎨-=⎩（4）1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩（5）372513x y x y -=⎧⎨+=⎩（6）347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩随堂练习【作业1】若24341358m n m n x y --+--=是关于x 、y 的二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为_________． 【作业2】若12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程31ax y -=的解，则a 的值为（ ）A ．5-B ．1-C ．2D ．7【作业3】下列方程组：①220x y x y -=⎧⎨+=⎩；②11x y y z -=⎧⎨-=⎩；③12xy x y =⎧⎨+=⎩；④120x y =⎧⎨-=⎩其中，是二元一次方程组的是_________．【作业4】已知12x y =-⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组12x ay bx y +=-⎧⎨-=⎩的解，则a b +=______．【作业5】若12x y =⎧⎨=-⎩是关于x 、y 的方程1ax by -=的一组解，且3a b +=-，求52a b -的值．【作业6】解下列二元一次方程组：（1）45805620x y y x -=⎧⎨+=⎩（2）23953x y x y +=-⎧⎨-=⎩（3）()39312x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩（4）1243231y x x y ++⎧=⎪⎨⎪-=⎩（5）734628x y x y +=⎧⎨+=⎩（6）134723m nm n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩课后作业。
七年级下册数学二元一次方程组知识点
七年级下册数学二元一次方程组知识点一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，例如：2x - 3 = 7。
而二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，例如：2x + 3y= 7。
在七年级下册的数学课程中，我们将学习关于二元一次方程组的知识。
方程组是一个由多个方程组成的集合，其中每个方程都有相同的未知数。
接下来，我们将学习以下知识点：1.二元一次方程组的概念：二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的集合。
一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c22.解二元一次方程组的方法：a.消元法：通过某种操作使得方程组中的一个未知数的系数相等，然后将方程相加或相减，从而消去该未知数。
b.代入法：选取一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的式子，然后将其代入另一个方程，从而得到一个只含一个未知数的方程。
c.矩阵法：将方程组的系数分别放入矩阵中，计算矩阵的行列式，从而求得方程组的解。
3.解二元一次方程组的步骤：a.利用某种方法将方程组化简为易于求解的形式。
b.求解方程组中的一个未知数。
c.将求解得到的未知数代入另一个方程，求解另一个未知数。
d.检验所求解是否满足原方程组。
4.二元一次方程组的解的情况：a.唯一解：方程组有且仅有一个解。
b.无解：方程组没有解，即方程组的解不存在。
c.无穷多解：方程组有无数个解。
5.在解二元一次方程组时要注意的问题：a.方程组是否有解。
b.方程组是否有无穷多解。
c.是否可以进行消元操作。
d.是否正确地代入方程。
通过学习二元一次方程组的知识，我们可以解决一些实际问题，例如在解答题或应用题中，通过列方程组来求解问题。
希望以上简要介绍的二元一次方程组的知识点能对你的学习有所帮助！。
七年级数学二元一次方程组(学生讲义)
第一章 二元一次方程组【知识要点】1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。
①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；(不是整式的化成整式) ②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。
2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。
3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量； ③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程， 4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。
5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法 三、理解解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组四、解二元一次方程组的一般步骤（一）、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解 （二）、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解1.1 二元一次方程组的解法（1）用代入法解二元一次方程组例：解方程组 ⎩⎨⎧=+=+1523y x y x※解题方法：①编号：将方程组进行编号；②变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y=ax+b （或x=ay+b ）的形式；③代入：将y=ax+b （或x=ay+b ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；④求x （或y ）：解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；⑤求y （或x ）：把x （或y ）的值代入y=ax+b （或x=ay+b ）中，求出y （或x ）的值；⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。
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二元一次方程组
【知识要点】
1．二元一次方程的概念：
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程组的定义：
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
3．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值．
4．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解．
【经典练习】
1．下列方程：①2513x y -=②325x y +=③24m n -=④()()11123
x y x y -++= ⑤112x y
-=⑥45x xy -=,其中是二元一次方程的有 ． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A ．⎩⎨⎧=-=-124y x xy
B ．⎩⎨⎧=+=-943y x z y x
C ．⎩⎨⎧=-=+7234y x y x
D ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0
451y x y x 3．判断下列各对数值，哪一对是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-10
352y x y x 的解．（ ）
（1）⎩⎨⎧==77y x （2）⎩
⎨⎧==13y x 4．求72=+y x 的所有正整数解．
【解题方法】
1．代入消元法：（代入法）
1．120.20.31
x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 2．325y x y x =⎧⎨-=⎩
3．
53
329
x y
x y
-=-
⎧
⎨
+=-
⎩
4．
20
529
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
2、加减消元法：（加减法）
1．
3213
539
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
2．
1
34
1
23
s t
s t
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪-=-
⎪⎩
【典型例题】
例1 、
1
2
1
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
是方程组
35
21
ax y
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解，求a和b的值。
例2 、在y=kx+b中，当x=2时，y=3；当x=－2时，y=－1。
求k和b的值。
例3、已知方程组
352
33
x y m
x y m
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解适合方程x+y=8，求m的值。
例4、已知方程组
27
x y
ax y b
-=
⎧
⎨
+=
⎩
和
38
x by a
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
有相同的解，求3a－2b的值。
例5、已知：
4320
30
x y z
x y z
--=
⎧
⎨
-+=
⎩
且0
z≠，求
y
x
z z
和的值。
【经典练习】
1．用代入法解下列方程组
（1）
328
23
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
（2）
24
5310
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
（3）
27
4317
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
（4）
237
59
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
2．用加减消元法解下列方程组
（1）
8
2317
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
（2）
5
253
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
（3）
234
443
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
（4）
36
234
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
3．若
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程组
2
x ax y
bx y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解，则a= ，b =。
4．已知
5
2
ax by
bx ay
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则（）
A
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
B
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
C
2
1
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
D
2
1
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
5．若24x y =-⎧⎨=⎩和41
x y =⎧⎨=⎩都是y ax b =+的解，则（ ） A 125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ B 123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ C 121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ D 121
a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
6．若5312
b a x y +和2243a b x y --是同类项，则（ ） A 22a b =-⎧⎨=⎩ B 70a b =⎧⎨=⎩ C 035a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩
D 21a b =⎧⎨=-⎩ 7．已知方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和方程组62183418
x y ax by +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求a ,b 之值。
8．求方程组⎩
⎨
⎧-=+=-1872253a y x a y x 的解，当x 与y 的值互为相反数时a 的值和方程组的解。
9．已知关于x ,y 的方程组233411x y k x y k +=⎧⎨-=+⎩
的解x ，y 的和等于3，求k 和x ，y 之值。
10．已知x ，y ，z 满足方程组⎩⎨
⎧=-+=+-0
54702z y x z y x ，求x :y :z 。
11、一天，小芳和小刚同解一个二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)
2(1)1(16ay bx by ax ，小芳把（1）
抄错，求得的解为⎩⎨⎧=-=3
1y x ；小刚把方程（2）抄错，求得的解为⎩⎨⎧==23y x 。
问原方程组的解应该是多少？
【课后作业】
课题： 姓名： 家长签名：
1．在方程43121)4(,041)3(,21)2(,432)1(2=--+=-=+
=-y x x z y x y x 中，是二元一次方程的是 ．
2．方程10=+ny mx 的两个解是⎩
⎨⎧=-=21y x 和⎩⎨⎧==31y x ，则m = ，n = 。
3．若⎩⎨⎧-==11y x 和⎩⎨⎧==5
3y x 是关于x 、y 的方程b kx y +=的两个解，则k = ，
b = 。
4．已知⎩⎨⎧==21y x 是方程组⎩
⎨⎧=-=+072y bx ay x 的解，则a = ，b = 。
5．用代入法解下列方程组。
（1）⎩⎨⎧=+-=+732865y x y x
（2）⎩⎨
⎧=+=-12231234y x y x
6．用加减法解下列方程组。
（1）⎩⎨⎧=-=-1745173y x y x
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++82323
327332432y x y x y x y x
7．若243124953=+--++n m n m y x 是关于x 、y 的二元一次方程，则n
m 的值是多少？。