二元一次方程组的解法和应用一对一辅导讲义(可编辑修改word版)

教学目标
1、学会用方程描述问题中数量之间的相等关系；
2、通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型；
3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；
4、会解二元一次方程组。

重点、难点
理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程；列方程组。

考点及考试要求
考点 1：列方程
考点 2：解二元一次方程组
教 学 内 容
第一课时
二元一次方程组的解法和应用知识梳理
课前检测
1、若代数式 6x-5 的值与- 1
互为倒数,则 x 的值为(
) 4
A.
1 B.-
1 C.
7 D. 3
6
6
8
2
2、解下列方程 （1）3x+7=5x+11; （2）5(x-2)=4-(4-x)
3、若关于 x 的方程：3x 3n -2
+7=0 是一元一次方程,则 n= .
4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为 1.98％， 今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96 元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为 .
5、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20 元。

问这种商品的定价是多少？
知识梳理
1.二元一次方程组的有关概念
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2.二元一次方程组的解法
代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．
3.二元一次方程组的应用
对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：
（1）选定几个未知数；
（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；
（3）解方程组，得到方程组的解；
（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．
第二课时二元一次方程组的解法和应用典型例题
⎨
⎩ ⎩
⎩
例 1 若方程 x 2 m –1 + 5y 2–3n = 7 是二元一次方程.求 m 2＋n 的值。

分析：由二元一次方程的概念你可以知道什么？ 解：依题意，得
2 m –1＝1，2–3n ＝1. 由 2 m –1＝1，得 m ＝1 由 2–3n ＝1 得 n ＝1/
3 ∴m 2＋n ＝1＋1/3＝4/3.
变 1、代数式ax + by ,当 x = 5, y = 2 时，它的值是 7；当 x = 8, y = 5 时，它的值是 4，试求 x = 7, y = -5
时代数式ax - by 的值。

例 2 解方程组：
⎧x - y = 3 ⎩3x - 8 y = 14
分析：根据消元的思想，解方程组要把两个未知数转化为一个未知数，为此，需要用一个未知数表示另一个未知数。

怎样表示呢？转化成的一元一次方程是什么？
解：由①得 x=y+3③
把③代入②，得 3（y ＋3）-8y ＝14 解得 y=－1
把 y=－1 代人③得 x=2. ⎧x = 2 ∴ ⎨
y = -1
⎧2x - y = 5
变 2、（1） ⎨
x + y = 1 ⎧x - 2 y = 0
（2） ⎨
x = 3y + 1
典型例题一
⎩
⎩ ②
⎧x = 2 ⎧2x + (m -1) y = 2 例 3 已知⎨ y = 1 是方程组⎨nx + y = 1 的解，求（m+n ）的值． ⎩ ⎩ ⎧x = 2
⎧x = 2 【分析】由方程组的解的定义可知⎨ y = 1 ，同时满足方程组中的两个方程，将⎨ y = 1 代入两个方
⎩ ⎩ 程，分别解二元一次方程，即得 m 和 n 的值，从而求出代数式的值．
⎧2x + (m -1) y = 2
【解答】把 x=2，y=1 代入方程组⎨nx + y = 1
中，得
⎧2 ⨯ 2 + (m -1) ⨯1 = 2
⎨
2n +1 = 1 ①
由①得 m=－1，由②得 n=0．
所以当 m=－1，n=0 时，（m+n ）=（－1+0）=－1．
⎧2x - y - 4m = 0 变 3、求满足方程组⎨ 中的 y 值是 x 值的 3 倍的m 的值，并求 ⎩14x - 3y = 20
xy x + y 的值。

例 4 甲、乙两人同求方程 ax －by=7 的整数解，甲求出的一组解为 x=3 y=4,
而乙把方程中的 7 错看 成了 1，求得一组解为
x=1 试求 a 、b 的值。

y=2,
分析：由甲求出的一组解，我们可以知道什么？由乙求出的一组解我们可以知道什么？怎样
求 a 、b 的值呢？
解：把 x=3,y=4 代入 ax －by=7，得3a －4b=7①
把 x=1,y=2 代入 ax －by=1，得a －2b=1② 联立①②得方程组
3a －4b=7 a －
2b=1
⎩
解之，得
a =5
b =2,
故 a、b 的值分别是 5、2。

例5 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有 4 条成衣生产线和 5 条童装生产，工厂决定转产，计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾区．若启用 1 条成衣生产线和 2 条童装生产线，一天可以生产帐篷 105 顶；若启用2 条成衣生产线和 3 条童装生产线，一天可以生产帐篷 178 顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？
（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责
任感？
⎧x + 2 y = 105【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各 x，y 顶，则⎨
2x + 3y = 178解得：x=41；y=32
答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷 41 顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷 32 顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000 知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任
务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早
完成生产任务，为灾区人民多做贡献．
变4、陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105 本单价分别为8 元和12 元，买书前我领了1 500 元，现在还余418 元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
（1）王老师为什么说他搞错了?试用方程的知识给予解释；
（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10 元的整数，笔记本的单价可能
为多少元?
⎩ ⎩
师生小结
课堂检测
例 6 某商场正在热销 2008 年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息， 求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？
【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．
⎧x + 2 y = 145
【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 x 元和 y 元．依题意，得⎨2x + 3y = 280
⎧x = 125
解这个方程组，得⎨ y = 10
故一盒“福娃”玩具的价格为 125 元，一枚徽章的价格为 10 元．
1. 本节课我们学习了：
2. 你学到了什么？
第三课时
二元一次方程组的解法和应用课堂检测
1. 若 2x
m+n －1
－3y m －n －3+5=0 是关于 x ，y 的二元一次方程，则 m= ，n= ．
2. 在式子 3m+5n －k 中，当 m=－2，n=1 时，它的值为 1；当 m=2，n=－3 时，它的值是
．。