2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考(二)数学文

2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）
数 学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！
第I 卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的。

1．设集合{}1,0,1,2M =-，4|
1,2N x x Z x ⎧⎫
=>∈⎨⎬+⎩⎭
，则M N ⋂=（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}1,,1- D ．{}0,1,2
2．设变量x , y 满足约束条件410,
4320,0,x y x y y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
则目标函数102z x y =+的最大值为（ ）
A ．25
B ．20
C ．
403 D ．452
3．设x R ∈，则“12x -<”是“(2)0x x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．阅读如图的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．5 B ．20 C ．60 D ．120
5．已知点(,9)m 在幂函数()(2)n
f x m x =-的图象上，设1
3
1(),(ln )3a f m b f -==
，c f = 则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
6．设双曲线22221(0,0x y a b a b -=>>）的左焦点为F ,
M 是双曲线渐近线上的点，
且OM MF ⊥(O 为原点)，若16OMF S ∆=，则双曲线的方程为（ ）
A ．221369x y -=
B ．22
14x y -= C ．221164x y -= D ．2
216416
x y -=
7．已知函数()()tan 0,02f x x π
ωϕϕω⎛
⎫
=+<<
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为2π，且()f x 的图象过
点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭所有解的和为（ ）
A ．
76
π
B ．
56
π
C ．2π
D ．
3
π 8．已知函数27
1,()=634,x x a
f x x x x a ⎧-->⎪⎨⎪++≤⎩
，()()g x f x ax =-，若函数()g x 恰有三个不同的零点，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．43,3⎛⎤
-- ⎥⎝
⎦
B ．47,36
⎡⎫
--⎪⎢⎣
⎭
C ．(),1-∞-
D ．()7+∞，
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．已知a R ∈，i 为虚数单位，复数1212,2z i z a i =-=+，若
2
1
z z 是纯虚数，则a 的值为 .
10．已知函数()(2ln )x f x e x =-，'()f x 为()f x 的导函数，则'(1)f 的值为 . 11．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积
为 .
12．已知圆C 的圆心在x 轴上，且圆C 与y 轴相切，过点(2,2)P 的直线与圆C 相切于点A
，
||PA =C 的方程为 .
13．若,a b R ∈,且221,a b -=- 则
||1
a b
+ 的最大值为 . 14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2,1AB BC CD ===，M 是线段BC 上的动点，
若3BD AM ⋅=-，则BA BC ⋅的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居
委会从中随机抽取了50名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，
并将数据进行整理，分为5组：[)10,12，[)1214，
，[)1416，，[)1618，，[]1820，，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）试估计该社区所有居民中，本月户外运动
时间不小于16小时的人数；
（Ⅱ）已知这50名居民中恰有2名女性的户外
运动时间在[]1820，
，现从户外运动时间 在[]1820，
的样本对应的居民中随机抽 取2人，求至少抽到1名女性的概率.
16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
已知2
sin sin cos 2,a A B b A a += （Ⅰ）求a b 的值； （Ⅱ
）若c =，求sin(2)3
C π
-的值．
17．(本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD
，CD =，
2,PA AC ==BD 是线段AC 的中垂线，BD AC O ⋂=，
G 为线段PC 上的点．
（Ⅰ）证明：平面BDG ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若G 为PC 的中点，求异面直线GD 与PA 所成角的正切值；
（Ⅲ）求直线PA 与平面BPD 所成角的大小．
P
B
D
A
G
O
18．(本小题满分13分）设{}n a 是等比数列，{}n b 是递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为
n S *)n N ∈（，12a =，11b =，413S a a =+，213a b b =+.
（Ⅰ）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设1
(1)
n n n a b c n n -=
+，数列{}n c 的前n 项和为n T *)n N ∈（，求满足322n n T -+> 成立的
n 的最大值.
19．（本小题满分14分）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，下顶点为A ，上顶点
为B ，FAB ∆是等边三角形. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线:l x a =-，过点A 且斜率为0)k k >（的直线与椭圆交于点C (C 异于点)A ，
线段AC 的垂直平分线与直线l 交于点P ，与直线AC 交于点Q ，若7
||||4
PQ AC =. (ⅰ)求k 的值； (ⅱ)已知点44
(,)55
M -
-，点N 在椭圆上，若四边形AMCN 为平行四边形，求椭圆的方程.
20．（本小题满分14分）设函数32()(2)f x x bx a x =-+-(,,0)a b R b ∈≠，x R ∈，已知()
f x 有三个互不相等的零点12,0,x x ，且12x x <. （Ⅰ）若3()f b b =-.
(ⅰ)讨论()f x 的单调区间；
(ⅱ)对任意的[]
12,x x x ∈，都有()f x b ≤成立，求b 的取值范围；
（Ⅱ）若=3b 且121x x <<，设函数()f x 在0x =，1x x =处的切线分别为直线1l ，2l ，
00(,)P x y 是直线1l ，2l 的交点，求0x 的取值范围.
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二） 数学试卷（文科） 评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．4； 10．e ； 11.
3
； 12．22(1)1x y ++=； 13 14．[]1,10 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）
解：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率为：
(0.10.06)20.+⨯=，
0.32500=160⨯人，∴本月户外运动时间不小于16小时的人数为160人 . ……3分
(II) []18,20的样本内共有居民500.062=6⨯⨯人，2名女性，4名男性，
设四名男性分别表示为,,,A B C D ,两名女性分别表示为,E F ………………4分 则从6名居民中随机抽取2名的所有可能结果为：
{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F {}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F {}{}{},,,,,C D C E C F {}{},,,D E D F
{},E F 共15种. ………………9分
（ii ）设事件M 为“抽取的2名居民至少有一名女性”，则M 中所含的结果为：
{}{},,,A E A F {}{},,,B E B F ，{}{},,,,C E C F {}{},,,D E D F ，{},E F ，共9种
………………12分
∴事件M 发生的概率为93
()=155
P M =
. ………………13分
16.（本小题满分13分）
解：(I)由正弦定理得：2
sin sin sin sin cos 2sin A A B B A A +=， ………………1分
得：22sin (sin cos )2sin B A A A +=， ………………2分
sin 2sin 2B A b a =∴=即
1
2
a b =. ………………4分 (II) 222
2
2
2
2
1
()23
2cos 24
b b b a b
c C ab b +-+-===-, ………………5分
(0,)sin C C π∈∴==
, ………………7分
sin 22sin cos C C C ==
………………9分 21
cos 22cos 18
C C =-=
, ………………11分
sin(2)sin 2cos cos 2sin 333
C C C πππ
∴-=-=
………………13分
17.(本小题满分13分）
解: (I) PA ⊥面ABCD ,BD ⊂面ABCD BD PA ∴⊥又BD AC ⊥
PA AC A BD ⋂=∴⊥面PAC 又BD ⊂面BDG ∴面BDG ⊥面PAC ……………4分
(II) 连结GO ,
,O G 分别为边AC PC ，的中点，//GO PA ∴
∴OGD ∠为异面直线GD 与PA 所成角或其补角 ………………6分
在Rt GOD ∆
中，122
OG PA OD =
=
=tan OD OGD OG ∠==………8分 所以异面直线GD 与PA
所成角的正切值为 ………………9分 (III) 连结PO ，作AH PO ⊥交PO 于点H ,
由(I)可知BD ⊥面PAC BD ⊂面PBD ∴面PBD ⊥面PAC =PO AH ∴⊥面PBD ，PH 为斜线PA 在面PBD 内的射影,
APH ∴∠为线PA 与面PBD 所成角, ………………11分 在Rt PAO ∆中，1
sin sin 2
AO APH APO PO ∠=∠=
= ∴直线PA 与面PBD 所成角为30. ………………13分
18.(本小题满分13分）
解： (I)由已知得231
1
d q q d ⎧=-⎨=+⎩ ………………2分
解得10q d =⎧⎨=⎩
（舍）21q d =⎧⎨=⎩ ………………4分
2,n n n a b n ∴==. ………………6分 (II) 1112(1)22(1)1n n n
n n n n n a b n c b b n n n n
+---∴===-++ ………………9分
32
11222220=2
32
11
n n n n T n n n ++=+-+
+--++ ………………11分 1
32221
n n n T n +-+=>+解得1514n n N n *<∈∴= ………………12分
即满足条件的最大值为14 .
………………13分 19.（本小题满分14分） 解：(I) 由题意可知，
3
b c =
，222,a b c =+2
243a c ∴=. c e a ∴=
=
. ………………3分 （II ）(ⅰ)
22222234,a b c b b b =+=+=
设椭圆方程为22
2214x y b b
+=,
联立22
2214x y b b y kx b
⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得22
(41)80k x bkx +-=解得：2
80,41A C kb x x k ==+…………5分 22
441
C k b b y k -=+ ………………6分
Q 为AC 中点，22
4(
,)4141
kb b
Q k k -∴++ ………………7分 法1：过点Q 作1QQ 垂直于l ，过点A 与点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，其交点为2Q ,
由2CQ A ∆相似于1
PQQ ∆可得: 22
24287
84
Q C x b
PQ
kb b k b AC y b k b +++===+, 2032101b k k k ≠∴--=∴=或1
3
k =-(舍) ∴直线AC 的斜率为1.……10分
法2
：AC = …………8分
PQ 所在的直线方程为22
14()1414b kb
y x k k k
+=--++ 令2x b =- 解得2
322,
14b b P b k k ⎛
⎫
-+ ⎪+⎝⎭
PQ =(
2
42814kb b k b k k +++…………9分
7
||||4
PQ AC =
，23210k k ∴--=解得1k =或13k =-(舍)
∴直线AC 的斜率为1. …………10分
（ii ）
83441,,(0,),(,)5555b b k C A b M ⎛⎫
=∴--- ⎪⎝⎭
,
设00(,)
N x y 四边形AMCN 为平行四边形，
004483(,)(,)5555
b b
MA CN b x y ∴=∴-+=--, ……………11分
即008424
,5555
b b x y =
+=-+ , ……………12分 又
点00(,)N x y 在椭圆上，2220044x y b ∴+= ……………13分
解得2
42b b =∴=，该椭圆方程为：
22
1164
x y += ………………14分
20.（本小题满分14分）
解：(I) (ⅰ)333
()(2)f b b b a b b =-+-=-0b ≠，2(2)a b ∴-=- ………………1分
322()f x x bx b x ∴=--,
22'()32()(3)f x x bx b x b x b =--=-+, ………………2分
当0b >时，()f x 在(,)3b -∞-，(,)b +∞单调递增，在(,)3
b b -单调递减………………3分
当0b <时，()f x 在(,)b -∞，(,)3b -+∞单调递增，在(,)3b b -单调递减………………4分
(ⅱ)由(ⅰ)知当0b >时，()f x 在1(,)3b x -，2(,)b x 单调递增，在(,)3
b
b -单调递减
3232
max
5()()()3279327
b b b b b f x f b b b =-=----=≤
22705b b ∴≤
∴<≤ ………………6分 0b <时，()f x 在1(,)x b ，2(,)3b x -单调递增，在(,)3
b
b -单调递减
3max ()()f x f b b b ==-≤不成立 ………………7分
综上b ⎛∈ ⎝⎦
………………8分
（II ）令3
2
()3(2)=0f x x x a x =-+-则0x =或2
3(2)0x x a -+-=，
令2()3(2)g x x x a =-+-则()g x 有两个零点为12x x ，且121x x << 又
()g x 对称轴为32x =
13
12
x ∴<<，且2113(2)0x x a -+-= ………………9分 2'()36(2)f x x x a =-+-，设12,l l 的斜率分别为12,k k
2111'(0)23k f a x x ∴==-=-+ 2111:(3)l y x x x ∴=-+ ………………10分 22211111='()36(2)23k f x x x a x x =-+-=-22111:(23)()l y x x x x ∴=--…………11分
1l 与2l 的直线方程联立求得：211
012336
x x x x -=
- ………………12分 令223()36x x h x x -=- 26(1)(3)
'()(36)
x x h x x --
=
- '()0h x ∴<在3
(1,)2
恒成立，
()h x ∴在3
(1,)2上单调递减， ………………13分
而13(1),()032h h == 10()3h x ∴<<01
(0,)3
x ∴∈ ………………14分。