二随机变量及其分布课件

2}
1
2
5 3
3 10
定义1 ：某些随机变量X的所有可能取值是有限多 个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机 变量 .
定义2 ：设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所 取的一切可能值，称
P{ X xk } pk , k 1, 2,
为离散型随机变量 X 的分布律.
下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法.
一、 连续型随机变量及其概率密度的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
F
x
x
f
t
dt
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法
P{ X xk } pk ,k 1, 2,
（2）列表法
X
x1 x2
xk
pk
p1 p2
pk
例: 设随机变量 X 具有分布律
P( X k) ak, k 1, 2, 3, 4, 5
第二节 离散型随机变量及其 分布律
一、离散型随机变量分布律的定义
看一个例子 从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量 .
(1) X 可能取的值是0,1,2 ;
(2) 取每个值的概率为:
P{ X
0}
3
3
5 3
1 10
3 2
P{ X
1}
2
1
5 3
6 10
3 2
P{ X
解 设 F(x) 为 X 的分布函数，
当 x < 0 时，F(x) = P(X x) = 0
当 x > a 时，F(x) =1
当 0 x a 时， P(0 X x) = kx
0
a
(k为常数 )
由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a
F(x) = P(X x) = P(X<0) + P(0 X x) =x / a
注意右连续
F (x)的分布函数图
y
1
1 2
12
16
O
13
O
O
x
0
1
2
0, x 0
F
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2
1, x 2
P(X
1 2)Biblioteka F(1 2
)
1 3
P(
1 2
X
3 2
)
F
(
3 2
)
F
(
1 2
)
1 2
1 3
1 6
P(1 X 2) F (2) F (1) P( X 1)
P(X
k)
k
e
,
k 0,1,2,,
k!
其中 λ>0 是常数,则称 X 服从参数为λ的
泊松分布,记作X~π( λ).
泊松分布在实际中具有十分广泛的应用, 例如下述随机变量均可用泊松分布来描述： 电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数； 某路段一个月内发生的交通事故的次数； 车站某时段等车人数； 医院每天的就诊人数； 在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数 器的粒子数等等……
k1,2,
三、三种常见分布
1、（0-1）分布：（也称两点分布） 随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：
PX k pk 1 p 1k , k 0,1 0 p 1
或
X
~
0 1 p
1 p
2.伯努利试验和二项分布 看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次.
令X 表示3次中出现“4”点的次数
例如，在考察产品检查结果时，记正品为 1，次品为0；
又如，在考察天气状况时，记晴天为1， 阴天为2；雨天为3.
例
将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三 次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的 顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次 数，那么，对样本空间S={e}中的每一个样本 点e，X都有一个值与之对应，即有
o Xx1 XXXx2
x
(2) F () lim F x 0 x F () lim F x 1 x
o X xx x
(3) F(x) 右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
第四节 连续型随机变量及其 概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一 个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值概 率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过 给出所谓“概率密度函数”的方式.
xX 0 xX1
2x
当 1 x < 2 时，
11 1
F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= 3+ 6 = 2
当 x 2 时，
F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
0
1
xX2 Xx
x
故
0,
F
(
x)
1
3 1
, ,
2
1,
x0 0 x1
1 x 2 x2
下面我们从图形上来看一下.
X 012
pk 1 3 1 6 1 2
求 X 的分布函数 F (x) 并求
P( X 1 ), P( 1 X 3 ), P(1 X 2).
2
2
2
解
F(x) = P(X x)
当 x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0
当 0 x < 1 时，
1
F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3
X的分布律是：
P{ X
k}
3
k
1 6
k
5 6
3k
,k
0,1, 2,3.
一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的
结果：A 或 A .
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
这样的试验E称为伯努利试验 .
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 , 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 .
泊松分布也是概率论中一种重要的理论分布.
第三节 随机变量的分布函数
一、分布函数的定义 设 X 是一个 r.v，称
F ( x) P( X x) ( x )
为 X 的分布函数 , 记作 F (x) .
o X Xx
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (, x] 内的 概率.
(2) 对连续型 r.v X , 有
P(a X b) P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) f ( x)dx a
例1 设随机变量X具有概率密度
kx,
f ( x) 2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4
其它
（1）确定常数k（; 2）求X的分布函数F ( x)；
二、概率密度的性质
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2 }
x2 f ( x)dx
x1
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
X~b(n,p)
例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是3重伯努利试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.
设X为所取的3个中的次品数， 则 X ~ b(3,0.05)，
于是，所求概率为：
P(X 2)C32(0.05)2 (0.95) 0.007125
请注意：
若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次 试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此 时, 只能用古典概型求解.
P(X 2)CC91513C0052 0.00618
3. 泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
例
将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三 次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的 顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次 数，那么，对样本空间S={e}中的每一个样本 点e，X都有一个值与之对应，即有
样本点 HHH THH HHT HTH HTT THT TTH TTT
X的值 3 2
2 2 1 1 10
1
1 2
1 6
2 3
一般地 设离散型 r .v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
则其分布函数
k =1,2,3,…
F(x) = P(X x) = pk
xk x
即F(x) 是 X 取 x的诸值 xk 的概率之和.
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
为计算 P{X =k }， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是 P{X=1}=P(A1)=p,
P(X 2)P( A1A2 )(1 p)p
P(
X
3)P(
A1
A2
A3)(1
p)2p
可见X的分布律为 P(X k)(1 p)k1p
“重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.
“独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，
则
P{ X
k}
n k
pk
1
p nk
k 0,1,
,n
易证：（1）P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
称 r.v. X 服从参数为n和p的二项分布，记作
样本点 HHH THH HHT HTH HTT THT TTH TTT
X的值 3 2
2 2 1 1 10
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值 单值函数.
e.
s
X(e) R
称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X= X(e) 为
简记为 r.v.
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示
1、有些试验结果本身具有某种数量特征. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；
每天进入一号楼的人数； 昆虫的产卵数；
七月份厦门的最高温度；
随机选一名班级同学，考察其数 学课成绩；
从一批产品中抽取10件，考察其 中的次品数；
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
（1）确定常数
a
,（2）计算
P(
1 2
X
5) 2
.
解（1）由分布律的性质,得
5
P(X k)
5 ak a 5 6 1
从而
a 1
.
k 1
k 1
2
15
(2) P( 1 X 5 ) P( X 1) P( X 2) 1 2 1
2
2
15 15 5
例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知 他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.
4 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) f ( x).
对 f(x)的进一步理解:
若 x 是 f(x) 的连续点，则
f x lim F x x F x
x0
x
P x X x x
lim
x0
x
于是若不计高阶无穷小，有
P{x X x x} f ( x)x
表示随机变量 X 取值于 ( x, x x] 的概率近似等
（3）求P
1 X
7 2
kx,
解
f
(x)
2
0, x 0
故
F
(
x)
x a
,
0 xa
1, x a
这就是在区间 [0，a]上服从均匀分布的 连续型随机变量的分布函数.
二、分布函数的性质
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 , 即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
F x2 F x1 P x1 X x2 0
对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为：
P{ x1<X x2} =P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
o x1 X x2
x
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
例1 设 随机变量 X 的分布律为
于 f ( x)x .
请注意:
(1) 连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
这是因为
PX a 0 .
0 PX a Pa x X a F a F a x
当 x 0 时, 得到
PX a 0 .
由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B=S
而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母 x, y, z, w, n 等.
随机变量的取值具有随机性。 随机变量的值 落在某一给定的范围，就构成了一个随机事件。
如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数 用X表示，它是一个随机变量.
{ X 1} {收到不少于1次呼叫}
{X= 0} {没有收到呼叫}