高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题
高中数学基本功大赛试题
数学试题一．填空题（共14小题，每题2分，共28分） 1.《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过 程与方法、 。
2.数学教育要使学生掌握数学的基本知识、 、基本思想。
3.高中数学课程要求把数学探究、 的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。
4.数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题， 的过程。
5.《高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求 解、 这五个能力。
6.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导_ _、 实践、___________、阅读自学等学习数学的方式。
7.数学是研究_________和________的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
8.设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．9.函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。
10.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．11.已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段 PQ 长度的最小值为 。
12.若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],[b a ，且2=-a b ，则=k 13. 设2=+b a ，0>b ，则当a = 时 ，ba a ||||21+取得最小值。
14.函数122-+=x x x y 的值域是 二．解答题（共6题，每题10分，共60分）15.在等差数列{a n }中，已知,p q S q S p ==（p ≠q ），求p q S +的值．16.如图，正方形ABCD 的边长为4，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。
高中数学青年教师基本功考核笔试试题(含答案)
高中数学青年教师基本功考核笔试试题（含答案）考试时间：60分钟 满分：100分一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数，则函数的零点个数为1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2()sgn(ln )ln f x x x =- ( )（A ）． （B ）． （C ）． （D ）．43212. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （）⋅（A ） （B ） （C ） （D ）13-1312153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且，222b a ac c =-+，则90C A -=︒cos cos A C =（ ）（A ）（B（C ） （D ）4141-4. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( )⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f x (A).(B). (C). （D ）. 326+234+3246+2234+5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有（）（A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线的准线为，点在圆上，设抛物线上28y x =l Q 22:68210C x y x y ++++=任意一点到直线的距离为，则的最小值为．P l m ||m PQ +7. 已知，，，，，322322=+833833=+15441544=+t at a66=+（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则 .=+t a 8. 函数的定义域为 ，值域为()f x =+_________。
9. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足()x f R b a ∈,(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈ 下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列)1()0(f f =)(x f {}n a 为等差数列．其中正确的是．{}n b 10. 如下图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ．第10题图三、解答题：（本大题共40分）11．（本小题满分20分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.a 2（1）证明: PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小； （3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC？若存在，指明F 的位置并证明你的结论。
2023年2月高三教师基本功联考大赛数学试题
高三教师基本功联考大赛试题新高考(全国版)本卷共35题，满分255分一、选择题。
(本大题共11小题，每题5分，共55分，在每小题给出的四个选项种，只有一个选项符合要求)1. 已知复数z =a +bi a >0,b >0 满足z 2+z =z =3，则z 3+9z3的值为()(A).33(B).9(C).39(D).422.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1a >b >0 与圆M ：x 2+y -b 2=b 2，且直线l ：y =kx +m k ,m >0 与圆M 及椭圆C 均相切．若k ∈3,43 ，则椭圆C 离心率的取值范围为()(A).10515,63(B).10521,104(C).5618,34 (D).305,323.某同学进行一项投篮测试，若该同学出现连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则未通过测试．已知该同学每次投篮的成功率均为23，则该同学通过测试的概率为()(A).23(B).1627(C).2542(D).32514.已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，a +b =2，a -c =3，则b ⋅c 的取值范围为()(A).-12,6(B).-12,4(C).-10,6(D).-10,45.已知函数f x =x +1e x -1-x -1,x ∈-1,1 f 12x-32 ,x >1，若对于任意的非零实数k ，方程f x =kx +b 恒有且只有一个实数解，则b 的取值范围为()(A).-∞,1-e 2 ∪1+e 2,+∞(B).-∞,2-2e 2 ∪8,+∞(C).-∞,-2e 2 ∪10,+∞ (D).-∞,-e -e 2 ∪2e +1,+∞6.已知点P ，Q 分别为曲线C ：x 2+y 2+xy =8与圆M ：x -2 2+y 2=r 2r >0 上的动点，若存在点P ，Q ，使得三角形POQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则r 的取值范围为()(A).783,42+2(B).46-63,42+2(C).46-63,38 (D).783,38 7.已知函数f x =2x ，g x=-x +m m <22 ，定点A 0,2 ，直线y =a 与函数f x 和g x 的图象分别交于B ，C 两点，若AB +BC ≥10对任意a >0恒成立，则实数m 的取值范围为()(A).-∞,0(B).-∞,-2(C).-∞,-4(D).-∞,-68.已知函数f x =ln x +12ex 2-ax 存在两个极值点．若对任意满足f x 1 =f x 2 =f x 3 的x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，均有f e x 1<f e x 2<f e x 3，则实数a 的取值范围为()(A).2e ,e(B).2e ,2+1e(C).2e,1+1e(D).2e,2+1e9.已知△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ，则1sin A +1sin B -1sin C的最小值为()(A).333(B).11(C).27(D).35210.量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置．我国中国科学技术大学研究团队构建的62比特超导处理器“祖冲之号”，是世界范围内公开发表的首个比特数超过60的超导量子计算机领域的成果，并入选2021年度中国科学十大进展．量子比特是量子信息的计量单位，如果用0，1表示二进制数各位上的数字，那么一个量子比特可同时表示0，1两个状态，而两个量子比特可同时表示00，01，10，11四个状态，三个量子比特可同时表示000，001，010，011，100，101，110，111八个状态．若用x 表示不小于x 的最小整数，若要同时表示n n ∈ℕ* 个状态，则需要的量子比特数至少为()(A).log 2n +1 (B).log 2n +1 +1(C).log 2n(D).log 2n +111.“康威生命游戏”是由普林斯顿大学的教授约翰⋅何顿⋅康威(John Horton Conway )设计的一款计算机程序．程序界面是一个无限大的网格，程序开始时，在每个方格中放置一个生命细胞，每个生命细胞只有“生”或“死”两种状态，用黑色方格表示该细胞为“生” ，白色方格(空格)表示该细胞为“死” ，初始状态每个细胞随机地设定为“生”或“死”，然后根据一定的规则计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，再计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，以此类推．每个细胞迭代后的状态由该细胞本身的状态及周围8个细胞的状态所决定，规则如下表所示：当代细胞状态生生生死死周围存活细胞数0 或 12 或 3>33≠3迭代后细胞状态死生死生死若某种初始状态迭代了若干代(包含一代)之后能够回到初始状态，则称该初始状态具有周期性，则下列四种初始状态中(图中末画出的网格外侧均视为空格)，具有周期性的初始状态的个数为()(A).1(B).2(C).3(D).4二、选择题。
高中数学教师资格证笔试真题
高中数学教师资格证笔试真题一、选择题1. 半径为5cm的扇形的弧长为10cm，则扇形的面积是（）A. 10cm²B. 20cm²C. 25π cm²D. 50π cm²2. 一组数据10，12，15，18，x，24的中位数是15，则x的值是（）A. 15B. 16C. 17D. 183. 直线y=2x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是（）A. （-3/2，0）B. （-3，0）C. （0，3/2）D. （0，3）4. 若a+b=0，则a²-3ab+b²=（）A. 0B. aC. 3abD. b²5. 三次函数y=ax³+bx²+cx+d（a≠0）在x=-1处的导数值为0，则a、b、c、d的关系是（）A. ab=3cdB. ac=3bdC. ad=3bcD. bc=3ad6. 将直径为10cm的圆铁片剪成12条宽为1cm的扇形，剩下的部分的面积是（）A. 5π cm²B. 10π cm²C. 15π cm²D. 20π cm²7. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）在x=1处的切线斜率为5，则a、b、c的关系是（）A. ac=5bB. ab=5cC. bc=5aD. abc=58. 一条火车每小时行驶120km，在5小时内行走的距离是（）A. 500kmB. 600kmC. 700kmD. 800km9. 若sinx=0.8，则tanx的值是（）A. 0.6B. 0.64C. 0.8D. 1.2510. 已知直角三角形斜边为10cm，其中一直角边为4cm，则另一直角边的长为（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm二、填空题11. 21的因数之和是____。
12. 36的真约数之和是____。
13. 若AB//CD，∠A=(2x)°，∠D=(3x-10)°，求x的值___。
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案
高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。
1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。
完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。
湖北省荆州中学高二数学青年教师基本功考核试卷
荆州中学数学学科青年教师基本功考核试题卷一、选择题：（每题5分，10小题，共50分）1．已知集合{}1916),(22=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是A ．M S ≠⊂ B ．S M ≠⊂ C ．Φ=M S D ．M M S =2．方程22520x x -+=的两个根可分别作为 Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率３．若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值A ．－2B ．4C ．－6D ．6４．若函数()f x 满足22()log ||f x x =+()f x 的解析式是 A ．2log x B ．2log x - C ．2x- D ．2x -５．已知不等式(x+y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为A ．2B ．4C ．6D ．8６．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，这个问题被解决的概率是p ，则乙解决这个问题的概率是 A ．111p p p -- B ．)1)(1(11p p --- C ．1p p - D ．)1)(1(1p p -- ７．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为A ．32B ．33C ．34D ．23８．一线段的分割法是：使小的一段与大的一段长度的比值等于大的一段与整个线段长度的比值，设x 是小的一段与大的一段的比值，那么2122--++-x xx x 的值为A ．3B ．3C ．5D ．x 2 ９．如右图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A ．15 B ．25 C ．14 D ．1310．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如右图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各 边的中点。
21南通市高中数学青年教师基本功大赛笔试(0)
南通市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）基础知识与解题能力测试卷（满分120分，考试时间90分钟）姓名单位得分第一部分基础知识（30分）一、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．将答案直接填在题后横线上．1．数学是中国古代科学中一门重要的学科．中国古代数学的发展取得了许多丰硕的成果．请写出我国古代数学著作（只要写出四本著作书名即可）：．2．我国古代，出现了许多著名的数学家，这些数学家为中国古代数学的发展做出了重要贡献．请写出四位古代数学家的名字：．3．数学思想是数学的灵魂．请写出一些常见的数学思想（只要写出四个）：．4．读书是学习方法中最基本的方法之一．科学的读书方法，有利学生掌握学习主动权，有利于学生获得终生受用的自学能力，养成认真读书和独立思考的习惯．指导学生阅读数学课本的至少有10种方法．请你写出其中的四种：．5．读书的操作技巧至少有15种，请你写出其中的四种：．6．根据心理学的理论和数学的特点，分析数学课堂学习，数学课堂学习应遵循以下原则（只要写出四条即可）：．二、简答题：共4小题，每小题3分，共12分．简要回答问题即可（特别要求的除外）．7．我们在数学教学中经常要涉及到勾股定理及其逆定理．请你写出：（1）勾股定理；（2）勾股定理的逆定理．8．教师在讲课前做短暂的讲话是必要的，它是组织教学的重要一环．它对于调动学生的学习动机，稳定学生的情绪，集中学生的注意力起着重要作用．它是使教学顺利进行的保证．教师在课前采用何种方式开头，才能达到组织教学的目的呢？请结合你的教学实践，写出几种方式（不少于3种）．9．数学归纳法是十分重要的数学方法．请你用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=1(1)2n n ．（要求写出具体的证明过程）10．“万事开头难”，解题也一样，面对一道数学题目，尤其是解那些变式或综合题，从何处入手找到解题思路的突破口，这是许多学生的一大苦衷．因此，教师要想学生所想，在解题教学中，突出解题思路入口寻找的指导，使学生在潜移默化中逐步学会寻找解题思路的一般方法，从而顺利地解题．请你结合教学实践，谈谈怎样寻找解题思路的入口？第二部分 解题能力（90分）三、教材基础：共2小题，每小题18分，共36分．解答应写出解题（证明）过程或演算步骤．11．按照苏教版高中数学课标教材的设计思路，用向量证明两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+。
高中数学教资试题及答案
高中数学教资试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = 2x + 3在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 5D. 33. 等差数列{an}的前三项为1, 2, 3，其通项公式为：A. an = nB. an = n + 1C. an = 2n - 1D. an = 2n4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}6. 若矩阵A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，则矩阵A的行列式值为：A. 2B. -2C. 5D. -57. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 等比数列{bn}的首项为2，公比为3，其第五项为：A. 162B. 486C. 729D. 2439. 直线y = 2x + 1与x轴的交点坐标是：A. (0, 1)B. (-1/2, 0)C. (1/2, 0)D. (0, -1)10. 函数y = ln(x)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值为______。
2. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是______。
3. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标为______。
4. 函数f(x) = 3x - 2的反函数为______。
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学校
姓名
2010年姜堰市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题
（考试时间120分钟 满分200分）
姜堰市教研室命制
一、 基础知识（30分）
1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。
2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 。
3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。
4、《江苏省2010年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 数据处理 这五个能力。
5、《江苏省2010年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 掌握 三个层次（分别对应A 、B 、C ）
6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 情感态度与价值观 。
二、 解题能力（90分）
1、函数3213()2132
f x x x x =-+-的单调增区间为 （-。
，1），(2, +。
) 。
2、设复数()2
()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = 1 ． 3、已知y x ,满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是____[3, 9]___________．
4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 360 辆．
5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 5 ．
6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2
y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为
7、(本题满分15分)
试证明定理：
在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
0.04 0.02
0.01 0 40 50 60 70 80 时速 频率 组距 开始 1,2a b ←← c a b ←+ a b ← b c ← 5b < 输出c 结束 否 是 第4图
第5图
8、(本题满分15分)
△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；
②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；
（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．
9、(本题满分15分)
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =
处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值．
O x
y M N P
10、(本题满分15分) 将曲线x
y C 1:=
绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。
三、 教学设计 （80分） 将曲线x
y C 1:=
绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，求曲线C '的方程。
1、 评析上题并作拓展（至少阐述三点）（15分）
2、 评讲上题时需运用高中数学新课程改革的哪些基本理念？（至少阐述三点）（15分）
3、 针对上题设计一节（或片段）习题讲评课的教学设计（不等少于500字）（50分）
2010年姜堰市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题参考答案
一、 基础知识（30分）
1、笛卡尔
2、祖暅 、两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等
3、叠加
4、数据处理
5、掌握
6、情感、态度和价值观
二、 解题能力（90分）
1、(,1),(2,)-∞+∞
2、1
3、[3，9]
4、360
5、5
6、
)2ln 1(22+
7、已知：（略）
求证：（略）（5分）
证明：（略）（详见必修2 P 25 ）（10分）
8、（Ⅰ）4π
=A （5分） （Ⅱ）θπ
θθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 4
2),(=（5分） （Ⅲ）)12(25max +=S （5分）
9、（1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2
(1)2()y at at x t --=-- 令0,y =得2222
1121222at at at at x t at at at
--++=+== 2
1(,0)2at M at
+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+
MON ∴∆的面积222
211(1)()(1)224at at S t at at at
++=⋅+= （7分） (2) 2422222
321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'== 0,0a t >>,由()0S t '=,得21310,3at t a -==
得 当21310,3at t a
->>即时, ()0S t '> 当2
1310,03at t a -<<<即时, ()0S t '< 1,()3t S t a
∴=当时有最小值 已知在12t =
处, ()S t 取得最小值,故有114,233a a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432
S t S +⋅===⋅⋅ （8分）
10、 法一、根据矩阵知识，旋转变换⎥⎦
⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒=45cos 45sin 45sin 45cos M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x M y x y x 22222222， 代入x
y 1=可得222='-'x y 2:22=-'∴x y C （8分）
法二：根据极坐标知识
⎩⎨⎧︒
+='='45θθρρ，2:22=-'∴x y C （7分）
三、 教学设计（80分）
1、①该题源于4-2矩阵与变换，只要记住旋转矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ②该题本质：找出变换前后新、旧坐标关系，因而既可以用直角坐标(,)x y ，也可以用极坐标(,)ρθ
③一题多解、提高解题能力
④反思结论222=-x y 是双曲线标准方程，说明x y 1=
确实是双曲线 ⑤变式：（i ）求双曲线x y 1=
的焦点坐标。
（先求222y x -=的焦点坐标，再顺时针旋转45可得）
（ii ）能否用其他方法证明x
y 1=是双曲线。
（双曲线定义） （注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分）
2、（i ）提供多样课程、适应个性选择
（ii ）强调本质，注意适度形式化
（iii ）注意提高学生的思维能力
（iv ）倡导积极主动、勇于探索的学习方式
（v ）与时俱进地认识“双基”
（注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分）
3、教学设计评分见附件二 （50分）。