二次函数与几何图形复习教学设计方案
二次函数与几何图形复习教学设计方案
数学人教版
基础复习 （1）教师利用大屏幕出示：
已知二次函数
2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
1
-
0 1 2 3
4
10
5
2
1
2
5
1、你能从表中得到哪些信
息？（至少写出两条）
2、在下边左网格中画出该
二次函数的图像。
通过观察图像，你想
到了该函数的哪些性质？
3、求该二次函数的关系
式；
引导学生通过观察思
考，尽可能多发现图像所
可能隐含的信息，并说说
为什么。
同时根据学生所
描述的内容适当地进行总
结。
以使复习内容系统化。
4、若1()A m y ，，2(1)B m y +，两点都
在该函数的图象上，试比较1y 与2y 大小．
教师把学生的想法进行板书并适时追问：我们有没有别的办法解决？
学生观察图像并
独立思考后进行
讨论交流,举手
回答，同时，学
会倾听同伴、老
师的意见不断地
重组和优化自己
的知识结构。
独立思考，根据
已知的条件能提
出什么数学问
题，并思考能否
解决该问题。
此问通过学生独
立思考，提高学
生分类讨论的意
识及数形结合的
思想
由学生自己想到什么就可以自由发言，引导学生从解析式y=ax 2+bx+c 的系数、增减性、最值、顶点的性质等入手。
这样的开放问题和开放提问，从一开始就让学生从学习方式上感到放松，从而增进了学习的兴趣、树立了学好本节课的信心。
研究函数往往从图像和解析式入手，给出两个条件，让学生提出问题为学生的自主发挥提供了更大的空间，本环节的解决重点是求出该函数的解析式，落实用待定系数法求函数的解析式。
探究和灵活运用5、若将此抛物线向下平移
5个单位，向左平移1个
单位，求平移后新的抛物
线的解析式。
6、（填空）在5题条件下：
抛物线与x轴左交点的坐
标A（），与x轴的右
交点坐标B（）.与y
轴的交点坐标C（），
顶点D的坐标（），若
函数值y＞0，则自变量x
的取值范围是
若函数值y＜0，则自变量
x的取值范围是
7、求四边形ACDB的面积。
8、判断△BCD的形状。
（写
出过程）
9、判断△BCD与△AOC是
否相似，并说明理由。
学生观察,思考，
根据教师提供的
引导问题，明确
点A、B、C、D的
位置的特殊性并
求出AB、AC和BC
的长度，并探究
点的坐标，反思
完善自己的观
点。
探究求四边形
ACDB的面积。
判
断△BCD的形状。
判断△BCD与△
AOC是否相似，并
说明理由。
在教师的帮助下
进行讨论和交
流，培养和学生
综合解决问题的
能力
本环节的设计在内
容选取和知识点的
设计上具有一定的
创新，问题巧妙地
将图形的旋转和图
形的坐标变换融合
到函数图象中，要
求学生通过对图形
中的几何元素之间
的位置关系和数量
关系进行探究分
析，从静转化到动
的过程中对学生的
思维能力提出了较
高的要求。
这样的安排对提高
学生利用数形结合
思想以及转化策略
进行解题的能力起
到了很好的作用。
要直接写出点A、
B、C、D的坐标相
对容易，但是求y
＞0，y＜0，的x
的值范围是需要学
生有一定的属性结
合能力。
第二步探究使题目
更具综合性，培养
了学生的推理能
力，强化了数形结
合思想的重要性。
变式练习10、点P是y轴上一点，
且△PAC是等腰三角形，
求点P的坐标。
11、点P是x轴上一点，
且△PAC是等腰三角形，
直接写出点P的坐标
12、在抛物线上找一点E，
使△ABE和△ABC的面积
相等，并求出此时E点的
坐标。
13、在对称轴上找一点F，
使△ACF的周长最小，并
求出此时F点的坐标。
14、在对称轴上找一点M，
使MB—MC的绝对值最大，
并求出此时M点的坐标。
15、若G点为抛物线上x
轴下方一点，当四边形
ABGC的面积最大时，求出
G点坐标并求出面积的最
大值。
16、若K点为抛物线上一
点，当△KBC是以BC为直
角边的直角三角形时，求
点K的坐标。
17、连接AC、BC，Q点为
线段AB上一动点，过点Q
作QL∥BC交AC于点L，
设AQ长为m，连接CQ，△
CQL的面积为S，求S与m
的函数关系式，并求出m
的取值范围，判断m为何
值时△CQL的面积为S最
大，并求出面积的最大值。
18、若点R在x轴上,点T
在抛物线上，是否存在以
B、C、R、T为顶点的四边
形为平行四边形，若存在，
求出点T坐标，若不存在
说明理由。
19、将二次函数图像在X
轴下方部分沿X轴翻折，
图像其余部分不变，得到
一个新图像，结合图像回
答，当直线y=x+b（b＜1）
与图像有两个公共点时，
求b的取值范围
20、若P1(n,y
1
)Q1（4，y
2
)
是抛物线上两个点，且y
1
独立思考后表达
自己的观点,通
过讨论交流,达
成共识。
上课不能解决的
问题，课下思考，
自己独立完成。
通过这组练习培养
了学生的解题能
力，以及知识的概
括和运用能力，本
环节充满探索和挑
战的设计满足了学
生探究的欲望。
本
节习题涉及到分类
讨论的思想，方程，
相似、勾股定理、
四边形等各个知识
点，
又一次历练了学生
的思维，提高了解
决问题的能力。
新名词：
新观点：
新体验：
新感受：
我将改变我的：
学生自己记录填写相应的内容并相互交流。
课后反思：
本节课收获了什么？
你还有哪些疑问？。
(完整版)二次函数复习课教学设计
二次函数复习课教学设计和平中学任广香一、教材分析1．地位和作用：（1）二次函数是初中数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初中数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。
（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
（3）二次函数与一元二次方程知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。
2．课标要求：①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，平移，并能解决简单的实际问题。
④会利用二次函数的图象求与x、y轴的交点坐标。
3．学情分析（1）九年级学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。
（2）学生的分析、理解能力、学习新课时有明显提高。
（3）学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。
（4）学生能力差异较大，两极分化明显。
4．教学目标认知目标：(1)掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。
(2)通过复习,掌握各类形式的二次函数解析式求解方法和思路,能够一题多解,发散提高学生的创造思维能力.能力目标：提高学生对知识的整体合作能力和分析能力。
情感目标：制作动画增加直观效果,激发学生兴趣,感受数学之美.在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
5．教学重点与难点：重点：(!)掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。
(2) 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路.难点：(1)已知二次函数的解析式说出函数性质(2)运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决问题.二、教学方法：1.师生互动探究式教学，以课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
九年级数学：《二次函数复习》教学设计
《二次函数复习》教学设计教学目标：【知识与技能】复习二次函数中的定义、图象及性质、从图象判别a、b、c、 b2-4ac符号、二次函数图象的平移。
运用这些知识解决实际问题的能力。
【过程与方法】通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,转化化归思想的过程,加深对本章知识的理解，并提高同学们的中考解题能力，并培养同学们会做、会说的能力。
【情感态度】在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,激发学习兴趣.发展学生的数学思维,增强学好数学的愿望与信心.教学重点：二次函数各考点的复习。
教学难点：各考点知识的综合应用。
学情分析：二次函数的复习对象是九年级学生，学生已学习了正比例函数,一次函数，反比例函数和二次函数。
但学生对二次函数的研究与体会总感到有一定的难度。
因此复习好二次函数是为函数的思想奠定基础和积累经验。
为高中阶段继续学习函数做好铺垫。
基于前面学习的基础我所教的班学生对于二次函数的定义；图象与性质；从图像判别a、b、c、 b2-4ac符号及平移规律这一重点的掌握问题不大,但是要体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法及性质的灵活应用仍然是他们的难点。
教学过程：一、让学生了解二次函数中考考点考点1、二次函数的定义；考点2、二次函数的图象和性质考点3、从图像判别a、b、c、 b2-4ac符号考点4、二次函数解析式的求法；考点5、二次函数图象的平移二．新课学习（一）二次函数的定义活动一：提问式复习“二次函数的定义”。
提问：什么是二次函数？二次函数的三种基本形式是什么？活动二：针对训练（分组抢答比赛式学习）1、下列函数中，哪个可能是二次函数？y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，y=3 x²-2x³+5,2、函数222(2)my m m x-=--当m取何值时，它是二次函数？（二）二次函数的图象和性质活动三：提问式复习“二次函数的图象和性质”。
九年级数学上册《二次函数图象与性质复习》教学设计
九年级数学上册《二次函数图象与性质复习》教学设计教材分析函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具。
二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位，在内容上起着承上启下的作用，既与前面学习的整式乘法与因式分解、一元二次方程有着密切联系，又为今后高中阶段函数的学习打下基础，积累经验，提供可以借鉴的方法。
作为中考的必考内容和重点内容之一，二次函数的综合运用是培养学生数学思想的重要素材，是每年必考的压轴题。
本部分包括了初中代数的所有的数学思想和方法，复习时必须高度重视。
课标要求：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；能用描点画二函数图象并能根据图象认识二函数性质，确定二次函数图象的顶点坐标、开口方向、对称轴，理解和运用图象分析实际问题中的函数关系；结合对函数关系的分析，尝试对具体问题中的数量关系和变化规律进行探索和预测，并能解决简单实际问题。
利用二函数图象求一元二程的近似解，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系。
策略分析：基于本节课的特点是对旧知识的复习与总结，为了更有效地突出重点、突破难点，应着重采用任务驱动进行复习归纳。
所以，本节课采用以题代纲，梳理知识；查漏补缺，讲练结合；归纳总结，提升能力的方法，让学生在“自主梳理---讨论交流---展示归纳---巩固提升---回顾反思”的教学活动中再次回顾和理解二次函数的图像及性质。
教学目标1、理解二次函数的定义、图象，会求二次函数的解析式。
2、掌握二次函数图象平移的规律，理解二次函数的性质。
教学重点结合二次函数的图象，准确理解二次函数的性质。
教学难点二次函数图像及性质的灵活运用。
教学过程一、导入新课二次函数作为历年中考的必考内容之一，既是初中数学数与代数部分的重点，也是难点。
今天这节课我们就一起来复习二次函数的图像与性质。
二、自主梳理自学《面对面》37-38页内容，思考：1、一般的，我们把形如______________的函数叫做二次函数，它的一般式是______________，顶点式是______________，交点式是________________。
“二次函数”复习优秀教案
“二次函数”复习教学设计二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，题型涵盖选择题、填空题、解答题，难度也是梯度上升到综合性难题，但其中有相当一部分的题都跟二次函数的图像与性质有关，故我们今天主要通过对二次函数性质与图像的结合，使大家掌握解决一些问题的技巧。
一、引入新课引入：同学们，今天老师将和大家一起来回顾二次函数的知识．（板书课题：二次函数的复习）二、基础交流，初步感知1.小组交流，初步感知已知二次函数y ＝x 2－ x －2.1232（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标；（2）画出函数示意图；（3）x 为何值时，y 随x 的增大而减小，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求得到的新抛物线的函数表达式；（5）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标；（6）x 为何值时，y <0？x 为何值时，y >0？师：我们先交流一下前置任务单中的各小题，请交流各题的答案，用到的数学知识、方法及数学思想．学生活动、全班交流．师：我们在解决前置任务单中的小题时，不仅用到了二次函数的基本知识，还用到了“数形结合”的数学思想方法．（板书：数形结合）数形结合是一种非常重要的数学思想，接下来，我们将结合前置任务单中的题目谈谈它．2.师生互动，强化感知师：请一位同学说说第一题的解法． （展示答案）师：请一位同学说说你是怎么画这个图象的？（学生描述画图过程．）师：要画这个函数的图象，（点击进入函数图象）我们在平面直角坐标系中先画出这条对称轴，描出顶点．师：在对称轴的两边取两对对称点，用平滑的曲线将所描的点连起来，就得到了图象．师：从“形”上看，什么没有变？什么变了？ （学生叙述形的变与不变）师：根据这些“形”的变与不变，你能得出新的抛物线的解析式吗？（生叙述，教师展示新抛物线的解析式）师：你是怎么得到的？（学生叙述得到抛物线解析式的过程．）师：（过渡语）通过数形结合，我们解决了抛物线的变换问题．当然，由变换所带来的其它问题我们也可以借助数形结合来解决，来完成（一）自学检测．如图，一次函数y ＝－ x ＋2分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 12过A 、B 两点． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求抛物线与x 轴另一个交点的坐标；（2）交流（点击进入）师：请一位同学说说你的解题思路．学生交流解题思路和结果．（根据学生的交流，教师画图，写出结果）3.阶段小结，铺垫引入师：（小结）在前面的交流中，我们通过“形”的直觉发现了“数”的关系，再通过“数”的计算阐释了“形”的变换．这就是“数形结合”．数形结合思想，在确定二次函数视角下的平行四边形、三角形未知顶点时也有着广泛的应用．接下来的探究，将对此作出很好的诠释．（点击进入探究）三、问题深究，感悟提升1.形数互换，求取极值作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．请和你的同伴一起探究：师：从“形”上看，MN是直线x＝t的一部分，我们能用含有t的式子表示MN吗？师：（对照图形和解题过程）我们从形中得出了数，这叫“以形助数”（板书），再通过数的计算得出了形的极值，这叫“以数解形”（板书）．2.确定等腰三角形的第三个顶点师：AM为腰，在△ANM中，还有两条边AN和NM．这两条边中，哪条可以作为腰？学生作答师：显然，这里就涉及到初中数学中的一个重要的数学思想：分类讨论。
第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。
人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质复习课》教学设计
二次函数复习课教案复习目标:1.能根据图像确定a 、b 、c 的符号2.会用待定系数法求二次函数解析式3.理解二次函数与一元二次方程的关系。
体会类比方法和数形结合思想 一．自主学习 1、若y ＝(m ＋2)x－6m －5是二次函数，则m ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或2D ．以上都不对2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）二次函数解析为3、 二次函数y= - (x -2)+9图象开口向 ，顶点坐标为对称轴是 ，当x= 时 函数有最 值为 。
当x 时，y 随x 的增大而增大。
当x 时，y 随x 的增大而减小，,抛物线与x 轴交点坐标为 ，抛物线与y 轴的交点坐标为 。
4、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图 所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a<0,b>0,c>0 B 、a<0,b>0,c<0 C 、a<0,b<0,c>0 D 、a<0,b<0,c<0│m│2xy5、如果关于x 的一元二次方程2x+m=0 有两个相等的实数根,则m= , 此时抛物线 与x 轴有 个交点.6、抛物线y=-3(x - 5 向 平移 个单位，向 平移 个单位，所得解析式是 二．成果展示考点1 二次函数的概念定义：一般地，如果______________ (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 考点2 求抛物线的解析式1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________2、已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为______________3、已知抛物线与x 轴的两个交点、 通常设解析式为_____________考点3 二次函数的图象及性质考点4 a，b，c符号的确定21-1c C 决定与y 轴的交点： c ＞０时抛物线交于y 轴▁▁▁ c ＝０时抛物线过▁▁▁c ＜０时抛物线交于y 轴的▁▁▁△决定抛物线与x 轴的交点： △＞０时抛物线与x 轴有▁▁个交点 △＝０时抛物线与x 轴有▁▁个交点 △＜０时抛物线与x 轴▁▁▁交点二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的几个特例：1)当x=1 时，y=_________ ___(填〱,〉,= ) 0 2)当x=-1时，y=▁▁▁▁▁▁▁ ▁▁(填〱,〉,= ) 0 3)当x=2时,y=▁▁▁▁▁▁▁▁▁(填〱,〉,= ) 04)当x=-2时,y=▁▁▁▁▁▁▁ ▁▁(填〱,〉,= ) 0 5)b ²-4ac 0.(填〱,〉,= ) 6)2a+b 0.(填〱,〉,= )-2xy2 2222考点5 二次函数与一元二次方程的关系判别式： b -4ac二次函数 y=ax +bx+c （a ≠0）图像一元二次方程ax+bx+c=0 （a ≠0）的根考点6 抛物线的平移各种顶点式的二次函数的关系如下:2x yOxyOxyOy = a ( x – h )2 +法则:左加右减，上加下减三.合作研讨例1:如图所示，二次函数y=ax2+bx+c 的图像开口向上，图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.（1）问：给出五个结论：左右平移上下平移上下平移左右平移y = ax 2 + k y = ax 2y = a (x – h )2①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1; ④a+b+c<0; ⑤a -b+c>1；⑥当x>1时，y 随x 的增大而减小；其中正确的结论的序号是 （ ） （2）若与y 轴交于（0 ， -1），则函数解析式为_______ （3平移 个单位，再向 平移 . 例2:已知抛物线y=x -2x -8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。
《二次函数》复习课教案设计
《二次函数》复习课教案设计《二次函数》复习课教案设计知识目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法；2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。
4、利用二次函数解决实际问题技能目标：培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。
情感目标：1、通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣；2.让学生感受到数学与生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣。
复习重、难点：综合题型复习方法：自主探究、合作交流复习过程：一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改）1、二次函数解析式的三种表示方法：（1）顶点式：（2）交点式：（3）一般式：2、表格：抛物线对称轴：顶点坐标：开口方向：二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值自评分（每空4分，共100分）二、讨论、练习已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c2、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k(1) 求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足 x12+x22= -2k2+2k+1，求抛物线的解析式此抛物线上是否存在一点P，使PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
三小结：四、用二次函数解决实际问题一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，（1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。
二次函数复习教学设计--【教学参考】
二次函数复习教学目标1.复习二次函数的概念;图像和性质，不同类型的二次函数的特点，复习抛物线平移规律2.会根据不同条件求二次函数的解析式3.利用二次函数的图象，理解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值4.通过通过梳理本章知识，加深对本章知识的理解，提高学生的解题能力；通过对2014，2015，2016年牡丹江市中考真题的探究，让学生清晰了解二次函数的中考比重，同时针对今年的信息会，调整二次函数的复习方向教学重点：二次函数的概念、图像和性质；二次函数解析式的确定教学难点：二次函数的图像与系数的关系以及抛物线的平移规律教学用具：多媒体教学过程一：【课前预习】阅读二次函数的知识清单【知识梳理】教师展示问题，学生回答。
1．二次函数的定义：形如2=++（）的函数y ax bx c为二次函数．2．二次函数的图象及性质：（1）二次函数2=++的图象是一条．顶点为y ax bx c2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴2b x a =-；当a ＞0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且x ＞2b a -，y 随x 的增大而 ，x ＜2b a-，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，抛物线开口向 ，图象有 ，且x ＞2b a -，y 随x 的增大而 ，x ＜2b a-，y 随x 的增大而 ．（3）当a ＞0时，当x=2b a-时，函数 为244ac b a -；当a ＜0时，当x=2b a - 时，函数 为244ac b a - 3. 二次函数表达式的求法：（1）若已知抛物线上三点坐标，设一般式，利用待定系数法求得2y ax bx c =++；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()y a x h k =-+ 其中顶点为(h ，k)对称轴为直线x=h ；（3）若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）4，抛物线的平移规律：左加右减（h ）上加下减（k ）二．课堂练习：（多媒体展示）1（3分）（2014•牡丹江）将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7）2（3分）（2014•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=3（6分）（2014•牡丹江）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD 的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．小结：考察知识点有平移规律，轴对称性，解析式的确定，求顶点坐标和求线段的长下面是2015年的中考题：1．（3分）（2015•牡丹江）抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（）A．y=3x2+2x﹣5 B．y=3x2+2x﹣4 C．y=3x2+2x+3 D．y=3x2+2x+42．（3分）（2015•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a=．3（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．学生到黑板上扮演解题过程并小结2016年中考牡丹江数学真题1、（3分）．（2016年中考）将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A．4 B．6 C．8 D．102．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=______．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）第3题对于不会的学生，可以分组讨论其他省市中考压轴题1．已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．三．课堂总结本节课就是针对中考而进行的一节复习课，每年中考在二次函数这所占的分值就是12分，相对而言，这部分知识的解答难度不大，即便有调整也不会太大，希望同学在此部分的复习，不要丢分。
二次函数综合复习课教案
二次函数综合复习课一、教学目标：（1）使学生进一步理解二次函数解析式的求法，通过例题讲解，使学生了解二次函数与已学过有关知识之间的联系（2）全面回顾平行四边形，相似形的判定，一元二次方程的解法。
二、重点、难点：几何图形在二次函数中综合运用。
三、教学过程：1、复习（1）、二次函数解析式的三种求法；（2）、平行四边形的判定、矩形的判定；（3）、一元二次方程的解法。
2、例题分析与讲解：﹣，点P，对称轴为直线x=），B（是抛物，）A如图，已知二次函数的图象过点（0，﹣3PC=MPPMON上分别截取，⊥y轴于点N，在四边形PM线上的一动点，过点P分别作⊥x轴于点M，PN NF=NP．，OE=ON，MD=OM（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF 两1CDEF是平行四边形；组对边分别对应相等，所以四边PMO是正方形．这样∽MD，可以证明矩）根据已知条件，利用相似三角PC分别求的交点联立解析式解方程组与坐标象限角平分y=y就是抛物y=+的坐标．符合题意的有四个，在四个坐标象限内各一个P解答：2 +ky=a（x+），（1）解：设抛物线的解析式为：）在抛物线上，B（，∵点A（0，﹣3），，∴k=．解得：a=1，22 3．+xx+）=x﹣∴抛物线的解析式为：y=（FC．DE、EF、）证明：如右图，连接（2CD、，y轴于点N，∵PM⊥x轴于点MPN⊥∴四边形PMON为矩形，，PN=OM．∴PM=ON∵PC=MP，OE=ON，；∴PC=OE OMMD=，NF=NP，∵∴MD=NF，．∴PF=OD 中，PCF在△与△OED），SASOEDPCF∴△≌△（．∴CF=DE FEN≌△，CDM同理可证：△CD=EF∴．，CF=DE ∵CD=EF，∴四边形是平行四边形．CDEF2为矩形．，使四边形）解：假设存在这样的点PCDEF（3n，PF=n．，PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=mMD=设矩形△PCF，∽△MDC若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证22∴，即，化简得：m=n，为正方形．PMON ∴m=n，即矩形2 3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．﹣∴点P为抛物线y=x+x联立，，解得，（﹣；），﹣P∴（，P），21，联立，解得，1）．，P，P∴（﹣33），（﹣143为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐，使四边形CDEF∴抛物线上存在点P）．11（﹣，33（﹣，，﹣（﹣，，（标分别为：P）P）P，）P，4213相似三角形、全等三角形、待定系数法、考查了二次函数的图象与性质、点评：本题是二次函数综合题型，）问的要2解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（（第点是全等三角形的证明，PMON问的要点是判定四边形）3然后列方程组求解．必须是正方形，3：练习：课后作业：22+bx﹣，2），抛物线y=x，BAC=90°A（1，0），B（0如图，在坐标系xOy 中，△ABC是等腰直角三角形，∠C点．的图象过1）求抛物线的解析式；（的面积分为相等的两部分？．当ll移动到何处时，恰好将△ABC（2）平移该抛物线的对称轴所在直线点坐标；若不存P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出（3）点P 在，说明理由．二次函数综合题．如解答图所示：的坐标求出抛物线的解析，求出点C的坐标；然后利用点C△（1）首先构造全等三角形AOB≌△CDA 式；的表达式；根F，则可求出EF与BC、AC交于点E、AC（2）首先求出直线BC与的解析式，设直线l的解析式；=据SS，列出方程求出直线l ABC△△CEF P）首先作出?PACB，然后证明点在抛物线上即可．（3 ．ACD=90°DC作CD⊥x轴于点，则∠CAD+∠1解：（1）如答图所示，过点，CAD=90∠OAB=90°，∠OAB+∠°∵∠OBA+ ，∠ACDOBA=∠CAD．∴∠OAB=∠中，△CDAAOB∵在△与≌△CDA（．ASA）AOB∴△，，∴CD=OA=1AD=OB=2 ，∴OD=OA+AD=34）．（3，1∴C2﹣2上，3（，1）在抛物线y=x+bx∵点C．×9+3b﹣2，解得：b=﹣∴1=2．x﹣2∴抛物线的解析式为：y=x﹣，由勾股定理得：AB=．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=22 =．=∴SAB ABC△）（3，1，2BC设直线的解析式为y=kx+b，∵B（0，），C，∴k=﹣，b=2，解得．﹣x+2∴y=的解析式为：同理求得直线ACy=x﹣．如答图1所示，．）=﹣x）﹣（，则分别交于点与设直线lBC、ACE、FEF=（﹣x+2x﹣．x=3CE△CEF中，边上的高h=OD﹣﹣x=SS，由题意得：ABC△△CEF S，h=EF即：?ABC△（）﹣∴（x?3×）﹣x=，2）x=3，﹣3（整理得：x=3+﹣x=3解得或（不合题意，舍去），5 的面积分为相等的两部分．时，恰好将x=3﹣△ABC∴当直线l解析式为）存在．（3 如答图2所示，﹣OG=1．G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB⊥过点C作CGy轴于点PACB为平行四边形．BC，且AP=BC，连接BP，则四边形作过点AAP∥，，则易证△PAH≌△BCG⊥过点P作PHx轴于点H ，∴PH=BG=1，AH=CG=3 OH=AH﹣OA=2，∴1）．P∴（﹣2，2 P在抛物线上．y=1x=x 抛物线解析式为：y=x﹣﹣2，当﹣2时，，即点P，点的坐标为（﹣2，）．1P∴存在符合条件的点点评：是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．6。
二次函数复习教学设计
二次函数复习教学设计
一、课程内容
1.二次函数的定义及表达式形式
2.二次函数的性质
3.二次函数的图像及极值，包括函数图像的反比例性质
4.二次函数的导数，包括驻点求导法
5.实际求解问题，如平面上两圆的条件
二、授课目标
1、能够正确理解二次函数的概念，掌握相关定义；
2、掌握二次函数的性质及图像；
3、掌握二次函数的导数概念，能够求解实际问题中涉及的二次函数
的导数；
4、掌握平面上两圆的条件，并能够求解实际问题中涉及的复合的平
面两圆问题。
三、教学策略
1、理论讲授法：通过理论讲授，让学生了解二次函数的概念、表达式，了解二次函数的性质、图像及极值、导数概念及复合的平面两圆问题；
2、素材分析法：通过实际素材，让学生理解二次函数的性质、极值点、驻点求导法及实际求解问题；
3、课堂练习法：让学生在讲授完二次函数的相关知识后，布置课堂练习，帮助学生加深对二次函数的理解。
四、实施步骤
1、讲授二次函数的定义及表达式形式：
（1）首先介绍什么是二次函数，二次函数的定义；
（2）接着介绍二次函数的表达式形式，介绍二次函数的a、b、c系数，及其系数含义；。