最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 平面向量的应用课件 文
【跟踪训练】
1．[2015·沈阳一模]在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，AB＝2，AC＝1，E，F 为 BC 的三等分点，
则A→E·A→F＝( )
8
10
A.9
B. 9
25
26
C. 9
D. 9
解析 由|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，化简得A→B·A→C＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可能为 0， 所以A→B与A→C垂直，所以△ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图 所示，则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由 E，F 为 BC 的三等分点知 E23，23，F31，34，所以A→E＝32，32，A→F＝13，43， 所以A→E·A→F＝23×13＋23×43＝190.
2．[2016·兰州诊断]已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )A．0B来自1C．2D. 5
解析 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝ 5，故选 D.
3．在△ABC 中，A→B＝(cos18°，cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则角 B 等于( )
考点多维探究
考点 1 向量在平面几何中的应用
典例1
(1)[2014·天津高考]已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则 λ＋μ＝(
)
1
2
A.2
B.3
5
7
C.6
D.12
(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数
A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12b
D.12a ＋14b
解析：∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，
∴―A→E ＝12―A→C .∵O 是边 BE 的中点，
∴―A→O ＝12(―A→B ＋―A→E )＝12―A→B ＋14―A→C ＝12a ＋14b .
答案：D
2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2
第二 节
平面向量的基本定理及坐标表示
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基 础知 识
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ， 有且只有 一对实数λ1，λ2，使 a ＝_λ_1e_1_＋__λ_2e_2_. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组 基底 ．
＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一 平面向量基本定理及其应用 [考什么·怎么考]
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表 示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现， 难度中等.
1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中点，若―A→B ＝a ，―A→C ＝b ，则―A→O ＝( )
2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_21＋__y_21__.
平面向量与复数的关系
平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。
通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。
本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。
比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。
它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。
3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。
5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。
6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。
二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。
复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。
即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。
3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。
如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。
高中数学讲义 第四章 平面向量与复数(超级详细)
高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。
所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。
从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课 向量的概念及基本运算【考点导读】1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c 。
其中，正确命题材的序号是②③2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r得03.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝2133+a b ，OQ u u u r ＝1233+a b (用a 、b 表示)【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例1例2.已知,OA OB u u u r u u u r不共线，OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ,求证：A,P ,B 三点共线的充要条件是1a b +=分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P ,B 三点共线，则存在实数λ，使得AP AB λ=u u u r u u u r ,即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,∴()1,OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ∵OP aOA bOB =+u u ur u u u r u u u r ,∴1,a b λλ=-=，∴ 1.a b +=再证充分性：若 1.a b +=则AP OP OA =-u u u r u u u r u u u r =()()1a OA bOB b OB OA -+=-u u u r u u u r u u u r u u u r=bAB u u u r ,∴AP u u u r 与AB u u u r共线，∴A,P,B 三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）A. |a |－|b |=|a －b |B. |a |－|b |=|a +b |C.|a |＋|b |=|a －b |D. |a |＋|b |=|a +b |2.设四边形ABCD 中，有1,2DC AB AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则这个四边形是（C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ， ②DB AC BD ++u u u r u u u r u u u r ， ③OA OC OB CO --+-u u u r u u u r u u u r u u u r 。
高中数学平面向量、复数(解析版)
热点04 平面向量、复数复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算。
一般出现在填空题的第二或者是第三题。
平面向量也是新高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。
本专题也是学生必会的知识点。
通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量。
【满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。
牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。
平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。
平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。
平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。
此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。
【考查题型】选择题，填空，解答题【常考知识】复数的概念和几何意义、复数的运算、向量的概念和意义、平面向量的线性运算、平面向量的数量积【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O是正三角形ABC内部的一点，230OA OB OC++=，则OAC∆的面积与OAB∆的面积之比是A．32B．23C．2D．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 2．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．3．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．【详解】充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 4．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ）A ．1 BC ．5D ．【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果【详解】|z |=5||2i -=5|2i|- 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题5．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z > B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z == 【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 6．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =， 解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.二、填空题7.（2020•上海卷）已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______8．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.9.（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3 【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．10．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.11．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.12．（2020·上海高三一模）已知向量12AB ⎛= ⎝⎭，3122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅ 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．13．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. 【详解】()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()2221AB AC AB AC=⋅-⋅=211133cos sin cos sin 222624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34. 【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．15．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，以10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.16．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 17．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.19．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.20．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时13x =-±，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，154b =± 所以11544z =-±综上满足条件的所以复数的和为1151153144442⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32- 【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.21．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．22．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.23．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-. 【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.三、解答题24．（2018·上海市建平中学高三月考）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC 的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米（2）50万元试题分析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将AD 表示为2133AD AB AC =+，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=，1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅ 34x y =⋅⋅ 32x y =⋅ 23282x y +⎫≤⎪⎝⎭=28125032m 当且仅当2x y =，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC 的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441999AB AB AC AC =+⋅+224411750750150015009929⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000= 500AD ∴=，1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． 解法二：在ABC ∆中，cos120BC =1500cos120== 在ABD ∆中，222cos 2AB BC AC BAB AC+-=⋅2227501500+-=7=在ABD ∆中，AD=500 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()750,0B()1500cos120,1500sin120C ,即(C -，设()00,D x y由2CD DB =，求得00250{x y == 所以(D所以，AD =500=1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．25．（2020·上海高三一模）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．26．（2020·上海市建平中学高三月考）已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到(3,时，求12QP QP ⋅的值；（2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析； 【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q 到两条渐近线的距离，再计算1QP 与2QP 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SM MT λ=，SN NT μ=，将,λμ表示出来，代入1λμ+=化简即可证得T 为定点. 【详解】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-= ， 又1QP =|3223|3-32233-=，2QP =|3223|3--32233+=12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩，得11x m x λ=- ，同理，由22x SN NT m x μμ=⇒=-，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--， 得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.27．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--．（1）若//m n ，判断ABC 的形状；（2）若m p ⊥，边长2c =，60C ︒∠=，求ABC 的面积． 【答案】（1）等腰三角形；（2【分析】（1）根据//m n ，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状； （2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得ab a b =+，再根据余弦定理()22243a b ab a b ab =+-=+-，两式联立可直接求得ab ，并求得三角形的面积.【详解】 （1）若//m n ，则sin sin 0a A b B -=，即220a b -=， 解得：a b =，ABC ∆是等腰三角形.（2）若m p ⊥，则()()220a b b a -+-=， 解得：ab a b =+，根据余弦定理可得：2222cos60c a b ab =+-， 即()22243a b ab a b ab =+-=+-， 即()2340ab ab --=()()140ab ab +-=解得：1ab =-（舍）或4ab = ，113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯=， 所以ABC ∆的面积是3.【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.28．（2020·上海高三二模）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【分析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°；（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标；（3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得()2121212b kx x x x b-=+，直线BC的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论. 【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1）， 则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-， 而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1， 联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23； （3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 联立2222y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0， 由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+， 直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+， 而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13. 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目.29．（2020·上海杨浦区·高三二模）已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值； （2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析； 【分析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ； （2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412kk k-=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++ 122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解．30．（2020·上海高三二模）已知直线l ：y kx m =+和椭圆Γ：22142x y+=相交于点()11,A x y ，()22,B x y（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程 （2）点)2,1C在Γ上，若0m =，求ABC 面积的最大值：（3）如果原点O 到直线l 23AOB 为直角三角形. 【答案】（1） 2y x =+ （2）22（3）证明见解析 【分析】（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程可得,A B 的坐标，可得弦长||AB ，求出点C 到直线AB 的距离。
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.2平面向量的基本定理及坐标表示课件理
第十五页，共39页。
3
考点疑难突破
第十六页，共39页。
平面(píngmiàn)向量基本定理及其应用
[题 组 训 练] 1．(2017 年江苏卷)如图，在同一个平面内，向量O→A，O→B，O→C的模分别为 1,1， 2，O→A与O→C的夹角为 α，且 tanα＝7，O→B与O→C的夹角为 45°.若O→C＝mO→A＋nO→B(m， n∈R)，则 m＋n＝________.
考情分析
第三页，共39页。
考点分 布
考纲要求
平面向量的基本定理及坐标表
示
平面向 (1)了解平面向量的基本定理及
量的 其意义．
基本 定理 及坐
(2)掌握平面向量的正交分解及 其坐标表示．
标表 (3)会用坐标表示平面向量的加
示 法、减法与数乘运算．
(4)理解用坐标表示的第平四页，共面39页。 向量
考点频 率
第十页，共39页。
2．已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若A→B＝3a，则点 B 的坐标为( )
A．(7,4)
B．(7,14)
C．(5,4)
D．(5,14)
解析：设点 B 的坐标为(x，y)，则A→B＝(x＋1，y－5)．
由A→B＝3a，得xy＋ －15＝ ＝69， ， 解得xy＝ ＝514，. 故选 D. 答案：D
必修(bìxiū)部分
第四章 平面向量(xiàngliàng)、数系的扩充与复数 的引入
第二节 平面向量(xiàngliàng)的基本定理 及坐标表示
超实用高考数学专题复习(北师大版)：第四章平面向量与复数 第一节平面向量的概念及线性运算
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零．
④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点． ②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为 实数，故可以比较大小． ③错误．当 a＝0 时，不论 λ 为何值，λa＝0.
[四基自测]
1．(基础点：向量共线与三点共线)已知A→B＝(－m，－5n)，B→C＝(－2m，8n)，C→D＝
(3m，－3n)，则( )
A．A，B，D 三点共线
B．A，B，C 三点共线
C．B，C，D 三点共线 答案：A
D．A，C，D 三点不共线
2．(基础点：向量减法的坐标运算)已知向量 a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝( )
第四章 平面向量与复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考
，能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能 不能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是 本人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮 助大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
(1) _λ_(_μ_a_)_____＝(λμ)a；
实数 λ 与向量 a 的积 方向___相__同_____； 数乘
(2)(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a____；
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最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。
所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。
从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，
在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一
平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数
问题解决.
4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方
向量 向量的概念
向量的运算
向量的运用
向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件
数系的扩充与 复数的引入
复数的概念
复数的运算
数系的扩充
O
A
P
Q
B
a
b
第4题
法.
第1课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】
1.出下列命题：①若，则；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是
且；⑤若，，则。
其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简得
3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，
则四边形ABCD 为梯形
4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，
若＝a ，＝b ，则＝，
＝ (用a 、b 表示)
【范例导析】
例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：.
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，
由和可得， （1） 由和可得， （2） （1）+（2）得， （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴，，
=a b =a b DC AB =,==a b b c =a c =a b =a b //a b //a b //b c //a c AC -BD +CD -AB 0AB BC CD OA OB OP 21
33+a b OQ 12
33
+a b 2AB DC EF +=EA AB EB +=EF FB EB +=EA AB EF FB +=+ED DC EC +=EF FC EC +=ED DC EF FC +=+2EA ED AB DC EF FB FC +++=++0EA ED +=0FB FC += D
C E F
A
例1
代入（3）式得，
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例2.已知不共线，,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若A,P,B 三点共线，则存在实数
，使得,即
,∴∵,∴
，∴
再证充分性：若则==,∴
与共线，∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】
1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）
A. |a |－|b |=|a －b |
B. |a |－|b |=|a +b |
C.|a |＋|b |=|a －b |
D. |a |＋|b |=|a +b |
2.设四边形ABCD 中，有则这个四边形是（C ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：
①， ②， ③。
解析：①原式= ； ②原式= ；
③原式= 。
4.设为未知向量， 、为已知向量，满足方程2-(5+3-4)+
-3=0， 则=（用、表示） 2AB DC EF +=,OA OB OP aOA bOB =+1a b +=λAP AB λ=()
OP OA OB OA
λ-=-()1,OP OA OB λλ=-+OP aOA bOB
=+1,a b λλ=-= 1.a b +=1.a b +=AP OP OA =-()()
1a OA bOB b OB OA -+=-bAB AP AB 1
,2
DC AB AD BC =
=AB BC CD ++DB AC BD ++OA OC OB CO --+-()AB BC CD AC CD AD ++=+=()0DB BD AC AC AC ++=+=()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=x a b x x a x b 2
1
a b x 9
2
a b -
+a b
5.在四面体O -ABC 中，为BC 的中点，E 为AD 的中点，则=
（用a ，b ，c 表示） 6如图平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设
解：
.
第2课 向量的数量积
【考点导读】
1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.
2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.
3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.
4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，
，，则的可能值个数为2个
3. 若,，与的夹角为，若，则的值为
4.若，且，则向量与的夹角为 120° 【范例导析】
例1.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。
OA ,OB ,OC ,D a b c ===OE
111
244
a b c ++OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==试用表示()
()11111
BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666
a b ∴-15
OM=OB+BM 66
a b ∴=
+OD CD ON CD CN 3234,31==∴= ()
()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+11
MN=ON-OM 26
a b ∴=-,a b 0
603+=
a b 13xOy ,i j x y ABC 2=+AB i j 3=+AC i kj k 1=a 2=b a b 0
60(3+5)⊥a b ()-ma b m 238
||1,||2,===+a b c a b ⊥c a a b a b 0
1202,3=-=-c a b d b a c d 第6题。