光在两种介质界面上传播特性分析
光的折射和反射定律
光的折射和反射定律光的折射和反射定律是光学研究中的基本原理，它们描述了光线在两种不同介质之间传播时的行为。
在本文中，我将详细介绍光的折射和反射定律的概念、原理和应用。
一、折射定律1. 概念光的折射是指光线从一种介质传播到另一种介质时，由于两种介质的光速不同，光线的传播方向会发生改变的现象。
2. 折射定律折射定律是描述光在界面上折射现象的基本规律，可以用下式表示：n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂其中，n₁和n₂分别表示两个介质的折射率，θ₁和θ₂分别表示入射角和折射角。
3. 原理折射定律的原理基于光的波动性和光速在介质中的差异。
当光从一种介质传播到另一种介质时，由于介质的不同，光在两种介质中传播的速度不同，导致光线传播方向发生改变。
4. 应用折射定律在科学研究和实际应用中有着广泛的应用。
例如，它可以解释为何水中的物体看起来会偏移、杆子在水中看起来弯曲等现象。
二、反射定律1. 概念光的反射是指光线遇到界面时，一部分光线从界面上反射回来的现象。
2. 反射定律反射定律是描述光在界面上反射现象的基本规律，可以用下式表示：θ₁ = θ₂其中，θ₁和θ₂分别表示入射角和反射角。
3. 原理反射定律的原理基于光的波动性和光在界面上的反射规律。
当光线遇到界面时，它会发生反射，反射角等于入射角。
4. 应用反射定律广泛应用于光学仪器、镜面反射、光线的偏转等领域。
例如，平面镜、凸透镜等光学仪器都是基于反射定律设计和工作的。
三、折射和反射的区别和联系1. 区别折射和反射的主要区别在于光线传播的方向和角度变化。
折射是光线从一种介质传播到另一种介质中，光线的传播方向发生改变；而反射是光线遇到界面时从界面上反射回来。
2. 联系折射和反射都是光传播过程中常见的现象，它们遵循一定的定律。
折射定律和反射定律在描述和解释折射和反射现象时提供了准确的数学关系。
结语光的折射和反射定律是光学研究中的重要基础，正确理解和应用这些定律对于解释和分析光的传播行为具有关键作用。
光的传播及光的直线传播实验
光的传播及光的直线传播实验光是一种电磁波，其传播具有一定的特性。
本文将探讨光的传播方式以及进行光的直线传播实验。
一、光的传播方式光的传播方式有两种：直线传播和弯曲传播。
1. 直线传播光在真空或同质介质中传播时呈直线传播。
光线传播的路径可以用直线来表示，遵循直线传播的规律。
这种传播方式适用于没有遇到阻挡物的情况。
2. 弯曲传播当光通过介质的界面，或者在存在折射率不一样的介质中传播时，光线会发生弯曲现象。
这是因为光在不同介质中传播时，折射率的不同导致光线的折射。
弯曲传播使得光线路径不再是直线。
二、光的直线传播实验为了验证光的直线传播特性，我们可以进行以下实验。
实验目的：观察光在无阻挡物情况下的直线传播特性。
实验材料：激光器、暗房、白纸、玻璃板或其他透明介质。
实验步骤：1. 准备实验室环境：在暗房中安装激光器，并确保光线可以直接照射到实验区域。
2. 设置实验区域：在白纸上固定一个玻璃板或其他透明介质，保证它是垂直于光线传播方向的。
3. 开启激光器：将激光器打开，并让其直接照射到玻璃板上。
4. 观察光的传播：在白纸的另一侧，观察被透过玻璃板传播的光线。
实验结果与讨论：在实验中，我们可以观察到透过玻璃板传播的光线呈直线传播，其路径与光线入射的方向一致。
这进一步验证了光的直线传播特性。
结论：通过以上实验，我们可以得出光在无阻挡物情况下的传播方式为直线传播。
这一特性对于光的传播和应用有着重要的意义。
总结：光的传播方式有直线传播和弯曲传播两种。
光在无阻挡物情况下呈直线传播，可以用直线来表示其路径。
进行光的直线传播实验，我们可以观察到光线在透明介质中的直线传播特性。
这一实验验证了光的直线传播特性，为光学的研究和应用提供了基础。
参考文献：[1] 王小明. 光学基础[M]. 机械工业出版社, 2010.[2] 李志远, 等. 光与光学[M]. 北京大学出版社, 2018.。
光的折射现象光线在不同介质中传播的规律
光的折射现象光线在不同介质中传播的规律光线是一种电磁波，它在空气以外的介质中传播时，会发生折射现象。
这一现象在日常生活中很常见，比如当我们把一根笔斜放入水中，它看起来似乎弯曲了。
光的折射是光线在两种介质之间传播时，由于两种介质的光速不同而导致的路径弯曲现象。
其背后的规律可以通过斯涅尔定律来描述。
斯涅尔定律是描述光线折射现象的基本规律，它说明了实际发生折射时入射角、折射角和介质折射率之间的关系。
斯涅尔定律的数学表达式为：n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂，其中，n₁和n₂分别是两种介质的折射率，θ₁是入射角，θ₂是折射角。
这个定律是基于光的波动理论和传播速度不同的假设。
根据斯涅尔定律，我们可以总结出光在不同介质中传播的规律：1. 光从光密介质向光疏介质传播时，入射角大于折射角。
光的传播速度在光密介质中较慢，而在光疏介质中较快。
因此，当光线从光密介质进入光疏介质时，会由于速度增加而发生向“法线”方向弯曲的折射现象。
2. 光从光疏介质向光密介质传播时，入射角小于折射角。
光的传播速度从光疏介质进入光密介质时会减慢，因此光线会向“法线”方向弯曲。
通过斯涅尔定律，我们还可以进一步解释为什么光从空气射向水中时看起来会弯曲。
对于空气和水两种介质，水的折射率大于空气。
因此，当光从空气射向水中时，入射角小于折射角，结果光线发生向“法线”方向折射。
这导致了我们看到的物体在折射界面上似乎弯曲、偏移的现象。
除了光的折射现象外，光在不同介质中传播时还会发生其他现象，比如光的反射与全反射。
光的反射是指光线从一个介质界面上发生反射并保持原来的入射角度的现象。
根据反射定律，入射角等于反射角，即入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角。
这个定律是光的波动性质的结果。
全反射是指当光线从光密介质向光疏介质传播时，入射角大于临界角时，光线不能从介质界面射向光疏介质，而全部发生反射的现象。
临界角是指入射角使得折射角为90°的角度。
一束光在空气和玻璃中的光程和路程
一束光在空气和玻璃中的光程和路程1.引言1.1 概述概述部分：光在空气和玻璃中的光程和路程是光学研究中的重要课题之一。
光的传播距离在不同介质中会有所变化，而这个变化对于光学应用和技术具有重要影响。
本文旨在探讨光在空气和玻璃中的光程和路程，并分析比较它们之间的差异与特点。
首先，我们将介绍光程和路程的定义及其在物理学和光学研究中的重要性。
随后，我们将分别讨论光在空气和玻璃中的传播速度的影响，以及光在这两种介质中路径和光程之间的关系。
在空气中，光的传播速度较快，而在玻璃中则较慢，这是由于介质对光的折射率不同所致。
我们将详细介绍空气和玻璃中光的传播速度的差异，并解释其中的物理原理。
此外，我们还会探讨光在空气和玻璃中的路径与光程之间的关系，通过理论分析和实例说明光在不同介质中的路径变化情况。
最后，我们将对空气和玻璃中光程和路程的差异进行比较，并总结其应用和意义。
通过对比分析，我们可以更好地理解光在不同介质中的传播特性，为光学应用和技术的发展提供理论基础和指导。
充分了解光在空气和玻璃中的光程和路程对于光学研究和技术应用来说具有重要的理论和实践价值。
随着光学科学的不断发展，对于空气和玻璃中光程和路程的研究将会越来越深入，并在实际应用中得到更广泛的应用。
通过本文的阐述，相信读者对于这一课题会有更清晰的认识和理解，为进一步探索和应用光学知识提供基础。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织方式和框架，它有助于读者更好地理解文章的内容和思路。
本文将按照以下结构展开：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
每个部分将有不同的重点和目标，以帮助读者全面理解光在空气和玻璃中的光程和路程。
引言部分将概述整篇文章的主题，并说明本文的目的。
它将介绍光程和路程的概念，以及为什么研究光在空气和玻璃中的传播方式很重要。
正文部分将分为两个子部分：空气中的光程和路程，以及玻璃中的光程和路程。
每个子部分将分别讨论光在空气和玻璃中的传播速度、路径以及光程与路径的关系。
光的折射与反射：光在介质中的传播与界面上的反射与折射
光的折射与反射：光在介质中的传播与界面上的反射与折射光是一种电磁波，它在不同介质中的传播具有一定的特性，其中包括反射和折射现象。
光的反射是指光线遇到界面时发生改变方向的现象，而光的折射是指光线由一种介质传播到另一种介质时发生偏折的现象。
光的反射是受到光线入射角度、界面的性质以及介质的折射率等因素的影响。
当光线从一个介质斜射到另一个介质时，其入射角度与反射角度相等，且这两个角度都位于垂直于界面的法线上。
这个基本定律被称为“反射定律”。
根据反射定律，光线在平滑的界面上的反射角度完全由入射角度决定。
同时，光的反射现象还受到界面的性质的影响，光线从亮的表面反射时以同样的角度反射出去，而在粗糙的表面上则会发生漫反射，使光线发生散射。
光的折射是光线由一个介质传播到另一个介质时发生的现象。
当光线从一种介质射入到另一种折射率不同的介质中时，它的传播速度发生变化，从而导致光线的传播方向改变。
折射的现象可以由斯涅尔定律来描述，该定律表明入射光线的折射角与入射角的正弦成正比。
即折射角的正弦是一个与光线在两种介质中的传播速度之比相关的值。
当光线从光密介质射入到光疏介质时，折射角会小于入射角，而当光线从光疏介质射入到光密介质时，折射角会大于入射角。
光的折射和反射现象在日常生活中有着广泛的应用。
例如，当光线从空气射入到水中时，由于水的折射率高于空气，光线会发生折射，并且在水中会呈现出不同的传播方向。
因此，当我们看向水中的物体时，由于光线的折射现象，我们会觉得物体的位置产生了一定的偏移。
这也是为什么在水中的东西看起来比实际的位置要高的原因。
另外，反射现象也被广泛应用在反光材料以及镜面的制作中。
由于反射光线的特性，我们可以利用反射现象制作出具有特定反射性能的材料。
例如，反光材料是一种特殊的材料，它可以将入射的光线以相同的角度反射出去，从而提高能见度和安全性。
而在镜子的制作过程中，利用玻璃表面涂上一层反射性能较好的金属薄膜，可以实现光的完全反射，从而形成镜面。
光的介质折射解析光在不同介质中折射角与折射率的变化
光的介质折射解析光在不同介质中折射角与折射率的变化光是一种电磁波，当它从一个介质进入另一个介质时，会发生折射现象。
折射是光线在两种介质之间传播速度不同而导致的偏折现象。
在不同介质中，光线的折射角与介质折射率有着密切的关系。
折射率是一个衡量光在介质中传播速度的物理量。
它定义为光在真空中的速度与光在介质中的速度之比。
折射率越大，表示光在介质中传播速度越慢。
根据斯涅尔定律，入射光线和折射光线在分界面上的入射角和折射角之间有一个关系，即折射角的正弦与入射角的正弦之比等于两个介质的折射率之比。
考虑到光线在两种介质之间传播时的特性，我们可以通过以下公式计算折射角：sin θ1 / sin θ2 = n2 / n1其中，θ1是光线与垂直于分界面的法线之间的入射角，θ2是光线与垂直于分界面的法线之间的折射角，n1是第一个介质的折射率，n2是第二个介质的折射率。
当光线从一个折射率较高的介质进入折射率较低的介质时，入射角增大，折射角减小。
这种情况下，光线向法线弯曲。
相反，当光线从一个折射率较低的介质进入折射率较高的介质时，入射角减小，折射角增大。
这种情况下，光线远离法线。
折射角的大小取决于两个介质的折射率以及入射角的大小。
对于光在空气和水之间的折射现象，我们可以使用空气的折射率近似为1和水的折射率约等于1.33来计算。
在这种情况下，一个典型的实际问题是计算从空气射向水中的光线的折射角。
假设入射角为60度，即θ1 = 60°，我们可以使用斯涅尔定律的公式来计算折射角：sin θ2 = (n1 / n2) * sin θ1= (1 / 1.33) * sin 60°≈ 0.7519通过反正弦函数，我们可以求得折射角θ2 ≈ 48.75°。
这表明，当光线从空气射入水中时，它会以约48.75度的角度向法线弯曲。
通过这个简单的例子，我们可以看到光的折射现象是由不同介质的折射率引起的。
折射率的大小决定了光线在介质中传播速度的快慢，从而导致了光线的偏折。
光的电磁波性质
光的电磁波性质光是我们日常生活中无法忽视的一种物质，无论是在自然界中的太阳光，还是在人造环境中的灯光，都是由光所构成。
光是一种电磁波，具有特定的性质和行为。
本文将探讨光的电磁波性质，并对其进行详细解析。
一、光的波动性光的波动性是指光的传播具有波动的特点。
光的波动性可以通过多种现象进行证明，其中一种不同的颜色光的折射现象序列中退相干、绕射、干涉等现象，这些现象可以用波动理论来解释。
1. 光的折射折射现象是指光在两种介质之间传播时，由于光速在介质中的不同而发生偏折的现象。
当光从一种介质（如空气）进入另一种介质（如水或玻璃）时，由于介质的光密度不同，光的传播速度也会发生改变，从而导致光线的偏折。
2. 光的绕射绕射现象是指光通过孔隙、缝隙等时，此时光线会以弯曲的形式传播，使光照射到非直线路径上。
这种现象可以在实验中观察到，比如在实验室中将光照射到一个很小的孔隙上，你会发现光会以波纹状传播。
3. 光的干涉干涉是指两束或多束光线相互叠加时，由于相位差的存在产生的明暗交替的现象。
光的干涉是光波的一种性质，可以分为干涉和衍射两种类型。
干涉现象是由于光的波动性质，当两束光线相交时，会出现相长和相消的现象。
二、光的粒子性光的粒子性是指光的传播和相互作用可以用粒子的概念来描述，这种粒子称为“光子”。
光子是一种光的微粒，它具有能量和动量，与粒子在某种程度上相似。
1. 光的能量光的能量与其频率有关，光的能量越大，也就意味着频率越高。
光的能量可以通过光的强度来表示，强度越高，光的能量就越大。
光的能量也可以通过光子的能量来衡量，光子的能量与其频率成正比。
2. 光的动量光的动量是指光的传输过程中所带有的物质的运动量。
根据光的粒子性理论，光传播时由于光子的运动导致了光的动量。
光的动量可以通过光的频率和光子的动量来计算。
光是以波动和粒子的形式存在的，这一点在物理学上被称为“波粒二象性”。
通过对光的电磁波性质的分析，我们可以更好地理解光的本质和特点。
光在不同介质中的传播特性
光在不同介质中的传播特性光是一种电磁波，它在不同介质中的传播特性是我们研究光学的重要内容。
不同介质对光的传播速度、折射和反射等产生不同的影响。
本文将从这些方面来讨论光在不同介质中的传播特性。
一、光在空气中的传播特性在空气中，光的传播速度非常快，约为每秒30万公里。
这是因为空气是一种低密度的介质，其中没有太多分子和原子来干扰光的传播。
所以在日常生活中，我们看到的光照明可以瞬间到达我们的眼睛，使我们能够清晰地看到周围的物体。
当光从一种介质射向另一种介质时，会发生折射现象。
在光从空气射入水中时，会发生折射现象。
这是因为光在不同介质中的传播速度不同。
当光从空气射入水中时，由于水的密度较大，光的传播速度变慢。
根据折射定律，光线在折射时会发生弯曲，即发生折射。
二、光在水中的传播特性光在水中的传播速度比在空气中要慢，约为每秒22万公里。
这是由于水的分子较空气的分子密集，导致光需要与更多的分子发生相互作用，从而减慢传播速度。
在水中，光线也可以发生折射和反射的现象。
折射是当光从一种介质射向另一种介质时，由于传播速度的不同而改变方向的现象。
在光从水射入空气时，由于水中的传播速度较慢，光线会朝着垂直于水面的方向弯曲，即向上倾斜。
这是因为光在射入空气时恢复了较快的传播速度。
反射是当光遇到界面时，一部分光线被反弹回原来的介质中的现象。
在光从水射入空气时，一部分光线会被反射回水中。
根据反射定律，入射角等于反射角。
入射角是光线与法线（垂直于界面的线）的夹角，反射角是光线与法线的夹角。
三、光在玻璃中的传播特性光在玻璃中的传播速度比在空气和水中都要慢，约为每秒20万公里。
这是因为玻璃是一种高密度的介质，其中的分子更加紧密，抵抗光的传播速度。
在玻璃中，光线也会发生折射和反射的现象。
折射定律适用于光从空气或水射入玻璃中。
光线在从空气或水射入玻璃中时，会向法线方向弯曲。
这是因为光的传播速度在玻璃中更加缓慢。
反射现象也适用于光从空气或水射入玻璃中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章引言1.1课题的目的和意义光入射到不同介质的表面时会发生反射与折射，反射与折射时振动相位的变化；入射光与折射光的振幅与光强的关系；倏逝波和全反射时的能量流动情况；以及界面反射与折射对光的偏振态的影响；还有光在正负折射率介质上的传播情况。
该课题的要求是分别对以上几个方面的问题进行探讨，并得出结论。
1.2目前的状况及前景首先从问题的本身来说，光在两种介质界面上传播机理，是光学里非常普遍的现象。
随着光学的反展，使得它由古典几何光学问题，发展成为现代光学问题。
由以往的以几何光学理论进行研究，发展到现在的以电磁波的理论去研究。
因研究方法的改变，研究的层次也在改变，由以往的简单的光路问题，延展到振幅与光强问题、振动相位问题、偏振态问题以及在新材料上的应用（出现了负折射率的材料）。
受传统教材的限制，这些问题常常没有得到全面的研究。
1.3课题研究的内容为了更好的学习和研究两种介质表面上光的传播特性。
总的来说，本文分别在五个大的部分进行深入的探讨：第一部分：利用费马原理从光程的角度来阐述光的传播规律，使得其更简明更具有普遍意义。
费马原理指出光线从A点到B点，是沿着光程为极值的路径传播的。
第二部分：利用菲涅耳公式对反射、折射时的振动相位变化关系进行了探讨，从菲涅耳公式出发，分两种情况进行了讨论。
第一种情况：光由光疏介质入射到光密介质时光振动矢量的相位变化；第二种情况：光由光密介质入射到光疏介质时光振动矢量的相位关系。
第三部分：对入射光与折射光的振幅、光强进行了分析。
利用菲涅耳公式和电磁场能量、能流理论，分析光在两种同性介质分界面上的入射、反射和折射时的现象，并得出了两个结论：（1）在一定条件下，折射光的振幅可大于入射光的振幅；（2）在一定条件下，折射光的光强可以大于入射光的光强。
第四部分：探讨全反射时出现的倏逝波，并应用Maxwell的电磁理论，对光的全反射现象进行了推导，并得到与全反射密切相关的倏逝波，并对倏逝波进行了详细的讨论。
第五部分：对在界面上反射与折射时光的偏振态的问题进行研究。
讨论了线偏振光经介质界面反射、折射后偏振态的变化；部分偏振光经介质面反射、折射后的偏振态；以及椭圆（圆）偏振光经介质界面反射、折射后的偏振态的变化。
第六部分：分析了光在正负折射率介质面上的折射与反射的情况。
当一束光入射到两种不同介质表面上时，它的路径将根据两种介质的折射率之差而改变的。
对于自然界中所有已知的介质来说，折射率均取正值，但事实上并不是这样的。
这里将详细的研究了光在正负折射率介质界面上的折射规律和反射规律。
并与经典的电磁学中已有的常规介质分界面上的折射与反射规律进行了比较，找出它们的不同之处。
总之，光在两种介质界面上传播是自然界中普遍发生的现象，而且还经过许多人的研究探讨，得出了不少重要的结论，形成了一套相当完整的理论体系。
为了适应信息社会的要求，古老的几何光学几经演变，如今已经形成了一门充满活力的现代光学，然而，传统的光学教材却面貌依旧，远远脱离了光学的发展现状。
传统教材没有去挖掘更深层次的内涵。
当我们自己探讨这些问题，我们将会发现不少新的问题。
就像本文所研究的几个问题：光在介质面上反射与折射时会产生振动矢量位相的变化，振幅和光强的变化关系，及半波损失产生条件的分析与讨论，甚至光在正负介质面上反射与折射的奇特现象。
随着科学技术的发展，光在两种介质表面上的反射折射现象大放异彩。
在许多领域都显示出了它特有的魅力，例如现今非常热门的两大技术：激光技术、光纤技术。
本文就是利用现有的理论基础，对光的反射与折射现象做些探讨，使自己所学知识得到巩固，同时激起大家对光反射折射现象更深厚的兴趣，也使大家对这个普遍的现象有了更深的了解。
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证2.1 反射定律和折射定律在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。
折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。
折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。
这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。
本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。
我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。
可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。
2.2费马原理费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为：QPnds =⎰极值（极小值、极大值或恒值） （2-1）费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。
几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。
2.3 折射定律的推导设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界面不垂直，yz 平面选取为唯一，否则yz 平面的选取不唯一，任选一个即可，如图2-1所示。
设光线交xy 平面于A 点，由于在均匀媒质中光线沿直线传播，任意可能的路径是光线沿着直线PA 传播到A 点，并沿着直线AQ 前进到Q 点。
设p 点坐标为()110,,y z ，Q 点坐标为()220,,y z ，A 点坐标为(,,0)x y ，P 和Q 分别在两种均匀媒介中，不在xy 平面上，即，10z ≠ ，20z ≠。
令：222111()l PA x y y z ==+-+222222()l PQ x y y z ==+-+光程 ：2222221122111222()()()PAQ n l n l n x y y z n x y y z =+=+-+++-+光程()PAQ 是x ， y 的二元函数，实际光线所走路径的光程为极值，则其对x ，y 的偏导数为零，这时的A 点设为0A ，即实际光线与媒质分界面得交点为0A ，图2-1光线在折射中任意可能路径示意图坐标标为(,,0)x y ，则00x =，即0A 点在yz 平面上，因此光线沿着yz 平面传播，111122(,)()0x f x y n l n l --=+=过0A 点作xy 平面得垂线OM 即为法线，其也在yz 平面上，由此得出折射光线，法线，入射光线在同一平面上，如图2-2所示。
图2-2中的1i 为入射角，2i 为折射角。
光程()PAQ 在0A 点对y 的偏导数也为0。
图2-2光线在两种媒质分界面的折射11111222(,)()()y f x y n l y y n l y y --=-+-(0,)0y f y =111102200102()()0y y y y n l n l ---+-= 则：111102200120()()y y y y n l n l ---=- （2-2） 由（2-2）式又得到：0120121020()()y y y y n n l l --= （2-3） 因此：210010202120()()()0n l y y y y y y n l --=-≤即：12012min(,)max(,)y y y y y ≤≤ （2-4）设:12y y ≤，则： 102y y y ≤≤ （2-5） 不失一般性，如果12y y <，由（2-2）式则01y y ≠，02y y ≠否则12y y =。
因此：102y y y << ()12y y < （2-6）由（2-6）式可知，如果P ，Q 两点的连线与分界面不垂直，折射光线和入射光线分居在法线的两侧。
如果12y y =，由（2-5）式可得012y y y ==因此：012y y y == （2-7）在图2-2中，分别过P ，Q 两点做垂直于OM 的垂线，垂足分别为B ，C ，由于P ，0A 点都在yz 平面上，并且法线OM 与z 轴平行，所以01y y PB -=，20y y CQ -= ，并且100l PA =，200l A Q =，把这些关系式代入（2-3）式 得到：1200PB CQ n n PA A Q= （2-8） 由于10sin PB i PA =，20sin CQ i A Q= ，可以得到下式： 1122sin sin n i n i = （2-9）综合了（2-6）式和(2-9)式得出斯涅耳定律：折射光线、法线和入射光线在同一个平面上，折射光线和入射光线分居在法线的两侧，并且入射角和折射角的正弦之比为常量[3]（入射角不为0时）。
如果P ，Q 两点的连线与分界面垂直，由（2-7）式及P ， 0A ，Q 三点都在yz 平面上，P ，0A ，Q 三点共线，则(2-9)式也满足，这时折射角和入射角都为0，入射光线和折射光线垂直于分界面，折射光线、入射光线和法线都在同一直线上。
为了证明光线遵循折射定律所走路径的光程为极值还需要证明：0),0(),0()],0([0020<⋅-y f y f y f xy xy xy 成立。
由于：111111221122()(,)xx n l n l f x y n ln l x x----∂+=++∂ ，111122()(,)xy n l n l f x y x y --∂+=∂ 因此：110110220(0,)0xx f y n l n l --=+> （2-10） 0(0,)0xy f y = （2-11）11331122111222(,)[()()]yy f x y n l n l n l y y n l y y ----=+--+- （2-12）根据前面1l ，2l 的定义，由于10z ≠，20z ≠，因此2211()y y l -<，2222()y y l -<，则：3232111112221122()()n l y y n l y y n l n l -----+-<+ 因此(,)0yy f x y >则：0(0,)0yy f y > （2-13）根据（2-10）～（2-13）式得到：0),0(),0()],0([0020<⋅-y f y f y f yy xx xy （2-14）根据0(0,)0xx f y >可知，遵循折射定律的路径的光程的确为极小值。