材料力学 梁的应力解读
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
材料力学梁的应力知识点总结
材料力学梁的应力知识点总结梁是一种常见的结构元件，在工程中广泛应用。
了解梁的应力知识点对于工程设计和分析非常重要，本文将对材料力学梁的应力知识点进行总结。
1. 弯曲应力在弯曲载荷下，梁会发生弯曲变形，产生弯曲应力。
弯曲应力分为正应力和剪应力两部分。
梁的顶端受拉产生正应力，底端受压产生正应力。
横截面上由于剪力的存在，产生剪应力。
弯曲应力与梁的几何形状、材料性质和载荷有关。
2. 矩形截面的弯曲应力分布对于矩形截面的梁，弯曲应力的分布是不均匀的。
顶部和底部的纤维受到最大应力，处于拉伸或压缩状态。
靠近中性轴的纤维受到较小的应力。
弯曲应力的分布可用弯矩与惯性矩的比值来表示。
3. 剪应力和剪力流在梁的截面上，由于剪力的存在，产生剪应力。
剪应力的分布是沿纵横两个方向呈对称分布的。
剪应力在截面上的变化呈线性分布，最大值出现在截面的边缘。
剪力流是指单位深度上的剪力大小，剪应力和剪力流之间存在直接的线性关系。
4. 应力分量的变换在梁的应力分析中，常常需要对应力分量进行变换。
常用的应力分量变换公式有平面应力变换公式和平面应变变换公式。
5. 横截面形状的影响梁的横截面形状对其应力分布和强度有显著影响。
常见的梁截面形状有矩形、圆形和I型等。
圆形截面具有均匀的应力分布特点，适用于承受压力的情况。
I型截面具有较高的抗弯强度，适用于悬挑梁和跨大距离的情况。
6. 梁的断裂当梁受力达到其强度极限时，可能会发生断裂。
断裂形式可以是横断面的剪断、疲劳断裂或脆性断裂等。
设计中需要考虑梁的强度和刚度，以避免出现断裂。
总结：材料力学梁的应力知识点对于工程领域非常重要。
弯曲应力、剪应力和剪力流是梁应力分析的关键内容；矩形截面的弯曲应力分布是不均匀的，可以用弯矩与惯性矩的比值表示；横截面形状对梁的应力分布和强度有重要影响。
通过深入理解和应用这些知识点，可以对梁的行为和性能进行合理评估和设计。
材料力学梁的应力
zM y zAσ x
（3）
Miz 0
y dA M 0
A
y
M
ydA
A
y
E
E ydA
A
A
y 2 dA
E
Iz
1 M
EI Z
——弯曲变形计算的基本公式
1 M
EI Z
EIz 梁的抗弯刚度。
将上式代入式 ( E Ey ) 得：
My
Iz
上式为弯曲正应力计算公式。
应力的分布图：
正应力和弯矩成正比，与惯性矩成反比，沿横截面高度呈线性分 布；梁弯曲时中性层两侧正应力一拉一压，总是同时存在，其分布见 图。
一般梁在横力作用下弯曲，横截面上不仅有弯矩，还有剪力。但 是，如梁的跨度远远大于其横截面的高度，则剪力的影响可略去不计， 仍可运用上式来计算正应力。此时梁内最大正应力发生在弯矩最大截 面距中性轴最远处。
中间层与横截面的交线 －－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动 了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
5、线应变的变化规律：
取dx长的微段梁进行研究 选中性层与横截面的交线为 z 轴，轴线方向为x 轴，与xz垂直 的为y 轴，取向下为正。
设中性层的曲率半径为 ， 微段左右两截面的相对转角为d ， 因中性层长度不变，故有 dx d
2）查型钢表：
空心圆截面
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3 32
(1
4)
矩形截面
bh3 IZ 12
WZ
bh2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
理论力学第七章梁的应力
梁的剖面受力分析
上弯梁
上弯梁指在负弯矩作用下， 梁截面顶部受到压应力，底 部受到拉应力。
下弯梁
下弯梁指在正弯矩作用下， 梁截面顶部受到拉应力，底 部受到压应力。
中性面
中性面是指梁截面上不受应 力的区域，一般位于梁截面 的中间位置。
梁的应力分布结果
最大正应力 最大剪应力
位于梁截面顶部或底部的最外纤维处 位于梁截面的中性面附近
梁的内力计算方法
1
截面剖面法
通过将梁截面分成若干个小部分，计算每个小部分的内力，最后积分得到整个梁 的内力。
2
力平衡法
根据力的平衡条件，利用支反力和约束等关系来计算梁的内力。
3
应变能法Biblioteka 利用应变能的原理，将梁内力计算转化为应变能的计算问题。
梁的弯曲应力
梁的弯曲应力是指梁在受到弯曲力作用下产生的应力。它是梁结构设计中需 要重点考虑的因素之一。
2 软件
通过使用结构力学理论，我们可以构建模型来分析梁的行为。
3 截面
梁的截面形状对其受力性能有着重要影响。
梁的受力分析
力的作用点
了解荷载作用在梁上的位置是 进行受力分析的首要步骤。
支反力
支反力是梁受力分析中非常重 要的概念，可以帮助我们解出 其他未知力。
内力
内力是梁结构中材料内部的力， 包括弯矩、剪力和轴力。
理论力学第七章梁的应力
在第七章中，我们将探讨梁的应力。从定义应力开始，到了解梁的基本概念 和受力分析，再到计算梁的内力和弯曲应力，最后研究梁的剖面受力分析和 应力分布结果。
应力的定义
应力是指梁结构中单位面积上的受力情况。它是为了描述梁的内部力和力分 布情况而引入的一个重要概念。
材料力学梁的应力解读
材料力学梁的应力解读
梁是结构分析中最基本的问题之一，也是材料力学中一个重要的概念。
梁的应力解读，就是对梁结构中的应力的分析。
一般来说，在材料力学中，梁的应力解读可以从下面几个方面来进行：
（1）弯曲应力：弯曲应力是指当梁在受到外力的作用下发生偏移或
沿着其中一轴线变形时，梁中钢材筋的纵向应力称为弯曲应力。
根据梁的
预定约束方式，可以分为受自重弯曲的应力和受外力弯曲的应力。
受自重
弯曲的应力大小由梁的自重和梁的几何形态所决定，一般情况下，斜梁的
自重弯曲应力会比悬臂梁的自重弯曲应力大。
受外力弯曲的应力大小取决
于受力梁的拉张性和刚度，以及施加外力的位置，大小和作用方向等因素，其中最重要的是材料的弹性模量。
（2）剪切应力：梁结构的剪切应力，是指梁受到外力作用时，对面
两侧的钢材筋之间的剪切应力。
由于受力面两端受非对称分布的外力作用，使得受力面的梁结构受到剪切应力的作用，一般情况下，受力面梁结构分
布的剪切应力会在受力面的两端有最大值，随着回头距离变小而逐渐减小。
（3）压应力：梁受外力所产生的压应力，是指受力面角支撑点处承
受拉力的钢材筋之间的应力，称为压应力。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第4章 弯曲应力
§4–5 概述
§4–6 弯曲正应力
§4–7 弯曲切应力
§4–8 梁的强度计算 §4–9 提高梁强度的主要措施 §4–10 弯曲中心
§ 4 –5
一、平面弯曲 P1
概述
P2
纵向对称面
二、纯弯曲 图示梁 AB 段横截面上 C 只有弯矩，而无剪力，该段 梁的弯曲称为纯弯曲。 F C A与BD 段横截面上即 s
平衡条件： X 0;
dx
FN 1 FN 2 F 0
M * A* y1dA I z S z
FN 1
F ' ' bdx FN 2 FN 1 M M * dA * y1dA A A I Iz z
同理得 FN 2
M dM * Sz Iz * M dM * M * S z ' bdx S z S z dM Iz Iz Iz * Sz dM z ' I z b dx y1 y dM Fs ; ' 因 dA dx
解：
m
FA
FB
FA
B
0; FA 6kN
取AD，
m
D
0; M D 12kN.m
bh2
(上面受拉)
a
MD Wz
6 MD
2 2 b a 120 48 MPa 5 5
6 12103 120MPa (拉) 2 6 10
(拉 )
c 0
例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 30 P=50kN P=20kN
d1
h
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、 压应力的值max为 Mymax M M max Iz I z Wz ymax 式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数 3。 (section modulus in bending) ，其单位为 m b
由：M z
A
y dA M
A
z
A
y dA
E
y dA
2
E
Iz M
y
C
x dA
M EI z
于是得：
1
z y
其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。
M y y Iz
E
M y Iz
C
z
由该式可知横截面上各点正应
力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，离 y z
于是得
Fs S I zb
* z
N1
b y
‘
m 1 n 2
x
N2
dx
Fs S I zb
* z
* z
z
C*
max
式中 S 为截面求应力那点到截 面边缘所围面积对中性轴的静矩。
b
2 h 1 h b h * Sz A* y * b( y )[ y ( y)] ( y 2 ) 2 2 2 2 4 6 Fs h 2 3 ( y2 ) bh 4
变形后
变形前
⒋ 变形物理关系
E E
y
其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标， 为 中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 中性轴的位置和中性层的曲率半径。 ⒌ 静力关系 横截面正应力满足如下关系： z
FN dA 0
A
M y z dA 0
80
解： M C 2 2 1 4kN.m
Iz 8(123 43 ) Wz 184.9cm3 ymax 12 6
M C 4000 C max 21.63MPa Wz 184.9
40 40 40
§4–7 弯曲切应力
横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必
Iz y2 d A
A
O
D d
z
y2 d A y2 d A
AD Ad
AD Ad
y2 d A
y
πD 4 πd 4 π 4 4 D d 64 64 64 πD 4 14 64 dD 。 式中，
而空心圆截面的弯曲截面系数为 Iz πD 3 4 Wz 1 D 32 2 根据对称性可知：
x dA
y
中性轴最远点正应力最大。
max
C
C
z
max
z
b o z
d2
yc,max
h
d
o
z
yt,max
O z y
y (a)
y (b)
b
(c)
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截 面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大 拉应力和最大压应力的值不相等。
⑴矩形截面 h/2 h/2
⑵圆形截面
⑶环形截面
C
z
C
z
C
z
b
d
d D
bh2 Wz 6
Wz
d
3
32
d4 Wz (1 4 ) 32 D
D3
5 2 3
例1 求图示矩形截面梁D 截面上a、b、c 三点的正应力。 a F=12kN b
A
2m
D
B
2m 2m
C
c
6 (cm)
z
A
D Fs
MD
由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的2次函数， 切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最 大，上下边缘切应力为零。
max
6 Fs h 2 3 Fs 3 bh 4 2 bh 3 Fs max 2 A
二、其它截面切应力
工字型截面腹板的切应力
翼板 b1 z 腹板 b
Iz bh2 Wz h 6 2
3 b h 2 2 I y z d A hz d z A b 2 12 2 Iy bh Wy b 6 2 b2
思考: 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于 bh3 形心轴 z 的惯性矩是否也是 I z ？
有切应力。
一、矩形截面切应力
基本假设： ⑴截面上各点切应力与剪力同向； ⑵距中性轴等距离各点的切应力相
M Fs m n Fs
1
2
M+dM
等。
在梁上截一微段dx ，再在微段上用 水平截面mn 截一微元。
1 dx
2
1
2
z
y1 y
‘
m 1 n 2
z
dA
FN1 b y
‘
m 1 n 2
x FN2
dx
A
y
x dA
z
y
M z y dA M
A
z
由：F N
A
dA
A
E
A
E
ydA 0
y
C
x dA
FN
E
ydA
E
Sz 0 E
z y
必有 Sz=0 ，z 轴过截面形心。 由： M y
A
z dA
A
yzdA
S yz 0
必有 Syz=0 ，z 轴为形心主轴。
max
Fs S I z b1
* z
式中b1为工字型腹板的厚度。
max
a A
P
P B
a D
⊕
－ ○
有弯矩，又有剪力，该两段 梁的弯曲称为横力弯曲。 ⊕ M
x
x
§4–6 弯曲正应力
一、纯弯曲时梁的正应力 ⒈ 实验观察
⑴纵向直线代表一 层纤维，变形后为平行 曲线。每层变成曲面， 同层纤维变形相同。 M 下层纤维受拉伸长， 上层纤维受压缩短；层
a
b
c
d
a
b
M
c d
间变形连续，中间必有
O
I y Iz ,
W y Wz
D d
z
y
思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆 对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩； 但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小 圆的弯曲截面系数之差，为什么？
型钢截面及其几何性质：参见型钢表
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我 们所标示的z轴。
A B D 0.3m 0.3m 0.2m 4kN.m
－ ○
C
C
z
110
⊕
5.5kN.m
解：画梁的弯矩图； 确定中性轴的位置。
110 30 15 30 80 70 y1 38.2mm 110 30 30 80 y2 110 y1 71.8mm
P=50kN
应力可能发生在D 截面的下边缘，也可能发生在B 截面的 上边缘。
P=50kN
A
P=20kN
C
30
B D 0.3m 0.3m 0.2m 4kN.m － ○
C
y1 38.2m m z y2 71.8m m
110
⊕
5.5kN.m
I z 5.73106 mm4
MD 5.5 103 3 6 y max y2 71 . 8 10 10 68.9MPa 6 12 Iz 5.7310 10 MD 5.5 103 3 6 lD y1 38 . 2 10 10 36.7MPa 6 12 Iz 5.7310 10 MB 4 103 3 6 lB y1 71 . 8 10 10 50.1MPa 6 12 Iz 5.7310 10