材料力学第6章梁的应力

y1 0.072 m, y 2 0.038 m, I Z 0.573 10 m
5
4
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
因材料的抗拉与抗压性能不同，截面对中性轴又不对称， 所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。 （1）校核最大拉应力
由于截面对中性轴不对称。而正负弯矩都存在，因此，最 大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对 最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比 较。
截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：
bh3 0.12 m 0.183 m3 IZ 0.583 10 4 m 4 12 12
§6-1 梁的正应力
例6-1 长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F， 已知，h=0.18m，b=0.12上K点的正应力。
max
M max ymax M max IZ WZ
§6-1 梁的正应力
例6-1 长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F， 已知，h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m,a=2m， F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。
解：先算出C截面上的弯矩
M C F a 1.5 10 3 N 2m 3 10 3 N m
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
§6-1 梁的正应力
横力弯曲正应力公式
My IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－ －中性层
中性层与横截面的交线－ －中性轴
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
建立坐标
m a o b m
n a o by
dx
n
离中性层越远，线应变越大，曲率1/ρ（弯曲程度） 越大，同一位置线应变越大。 y 胡克定理 E E 二、物理方面
§6-3 变截面梁形状及变截面梁
换个角度思考： WZ值与截面高度和面积分布有关，截面高度越大、面 积分布离中性轴越远的话，WZ值就越大，这也是工字 型形梁更合理的主要原因之一。 从应力角度分析：
M
§6-3 变截面梁形状及变截面梁
二、变截面梁
A
q=2kN/m
B C
变截面梁——横截面沿梁轴 线变化的梁 Mx max WZ x
M max 38 10 3 N m WZ 0.223 10 3 m 3 223cm3 170 10 6 Pa
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
例题6-4 根据算得的WZ值，在 附录型钢表上查出与 该值相近的型号，就 是我们所需的型号。 附录A，附表4，P232页。 查出20a钢相近WZ值237cm3，故选择20a号工字钢。 注意：选择的工字钢型号WZ值一般要求≥计算值，才能满 足强度要求。 如选取的工字钢WZ值略小于计算值，则应再校核下强度， 当σmax不超过[σ]的5%时，还是满足工程需要的。
( // Fs )
§6-4 矩形截面梁的切应力
一、矩形截面梁
FSSZ （6-11） 切应力计算公式： IZb 式中，FS-横截面上的剪力；IZ-截面对中性轴的惯性矩； b-截面的宽度；SZ-为面积A*对中性轴的静矩。
A*是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。 FS、SZ均代绝对 值，切应力方向 依剪力方向确定。
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
M

x
§6-4 矩形截面梁的切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力
一、矩形截面梁切应力
b y A n x n1 dx P m m1
q(x)
m h
m
m1 O
Fs z q1 y
B x
p n dx p1 n1 y
x
关于切应力的分布作两点假设： 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2、切应力沿截面宽度均匀分布
第六章 梁的应力
§6-1 梁的正应力（纯弯曲） §6-2 梁的正应力强度条件及其应用 §6-3 梁的合理截面形状及变截面梁 （工程上提高弯曲强度的一些措施） §6-4 矩形截面梁的切应力
§6-6 梁的切应力强度条件
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP

§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
三、静力学方面
FN、My、Mz
M EI Z
EIZ ——弯曲刚度
1
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
变形几何关系 物理关系
E
1

y
E
y
M 静力学关系 EI Z

1 为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲
率 (6-6)
My 正应力公式 IZ
ql2 / 8 4kN m

x
FAy 4kN FBy 4kN ql2 4kN m 2. 求最大弯矩 M max 8 2 2 bh 0.14 m 0.21 m 2 WZ 0.103 10 2 m3 6 6
解：1. 求支反力
最大正应力为：
max
M max 4 10 3 N m 3.88MPa 10 MPa 2 3 WZ 0.103 10 m
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
例题6-5一⊥形截面的外伸梁如图所示，已知l=600mm， a=40mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN,F2=9kN,材料 的许用应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。试校 核梁的强度。
解：先画出弯矩图。需算出形心C的位置及截面对中性轴 的惯性矩，算得结果为：
max
M max WZ
2.选择截面
M max WZ
3.计算梁所能承载的最大荷载
M max W Z
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
q=2kN/m x l = 4m
FBY
例题6-2
140
210 B
A C
[σ]=10MPa，试校核该梁 的强度。
xm
FAY
M
§6-3 变截面梁形状及变截面梁
矩形截面
方形截面b=h=a
圆截面
1 2 W1 bh A bh 6
1 3 W2 a 6
A a2
（1）先比较矩形和正方形 2 1 2 1 hb bh a bh Ah h W1 6 6 1 3 1 a W2 W1 a Aa h a 1 矩形截面更合理 6 6 W
Mx WZ x
x l = 4m
xm
M
ql2 / 8 4kN m

x
等强度梁——梁强度沿轴线 均匀分布
Mx WZ x
§6-3 变截面梁形状及变截面梁
当荷载比较复杂时，等强度梁难以加工，增加了加工 制造成本，一般很少采用等强度梁。
§6-3 变截面梁形状及变截面梁
M
FS
? ?
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
一、几何方面
m a b n
d
m´ n´
a
b
a´
b´ m´ 平面假设：
m dx n
a´ b´
n´
横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
max MC y2 IZ
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
（2）校核最大压应力 与分析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上 最大压应力发生在上边缘。因MC、y1分别大于MB、y2，所 以最大压应力一定发生在C截面上。即 MC 2.7 10 3 N m 0.072 m c,max y1 33.9MPa c 5 4 IZ 0.573 10 m 满足强度要求。
K
§6-4 矩形截面梁的切应力
二、矩形截面梁切应力分布 公式中，对某一截面来说， FS、IZ、b均为常数，只有 静矩是变量。
SZ A y 0 h h b y y y / 2 2 2
FSSZ IZb
b h2 2 y 2 4
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
正应力分布
M
My IZ
正应力大小与其到 中性轴距离成正比； • 与中性轴距离相等 的点， 正应力相等； • 中性轴上,正应力等于零
•
max
M
Mymax IZ
M WZ
WZ
IZ ymax
max
min
M WZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边 缘，其值为 MC max y2 IZ 在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边 缘，其值为 MB max y1 IZ
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
C B
MB max y1 IZ 在上面两式中，MC>MB而y2<y1，应比较MCy2与MBy1： M C y 2 2.7 10 3 N m 0.038 m 103 N m 2 M B y1 1.8 10 3 N m 0.072 m 129 N m 2 因MCy2<MBy1，所以最大拉应力发生在B截面上，即 MB 129 N m 2 t ,max y1 22 .5 10 6 Pa 2.5MPa t IZ 0.573 10 5 m 4 满足强度要求。