材料力学梁的应力
材料力学第10章_梁的应力(1)
max
2 300 kNm
max
WZ
B
Wz
M
max
cm
3
B 1875
选择确定I字钢型号:INO50a
1875 1860 1875 100 % 0 .8 %
例 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面 为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力 分别为[σ ]+＝40MPa， [σ ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。
Fa
Fb
C截面：
max
MC W zC
6
Fb
d 2
32
3
62 . 5 160 32
0 . 13
3
M
46 . 4 10 Pa 46 . 4 MPa
结论:轮轴安全
例 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截 面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩 最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
(1)
（二）物理关系：
y
......
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内
d
E
Ｏ Ｏ１
E
Ey
...... (2)
A１
y
Ｂ１ x
E
Ey
1
为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
材料力学 弯曲应力与强度条件
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A
0:
y
A
N dA E
A
dA
E
A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E
y 2 dA 令： y 2 dA I Z A
C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4
【哈工大 材料力学 精品讲义】9.梁的弯曲应力
πd 4 d
64
max
O
k
k'
O' y
4FS 4FS
O
2d /3
3 π d 2 3A
C
4
y
§4.7 梁横截面的切应力
2、工字形薄壁梁
腹板上的切应力仍按矩 形截面的公式计算。
假设 // 腹板侧边，
并沿其厚度均匀分布 FS
(y)
FS
S
* z
I z
S
* z
——下侧部分截面
对中性轴 z 的静矩
解：1. 求支反力
FAy 90kN FBy 90kN
M C 60kN m
x
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832 105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力
x
K
M C yK IZ
60103 (180 30) 103 2
5.832 105
61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）21
3、矩形截面切应力的分布：
Fs
S
z
I zb
横向切应力
纵向 切应力
max
Fs
沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
§4.7 梁横截面的切应力
弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
Fl bh2
( y) FS 8 I z
b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
§4.7 梁横截面的切应力
3、薄壁环形截面梁
材料力学梁的应力知识点总结
材料力学梁的应力知识点总结梁是一种常见的结构元件，在工程中广泛应用。
了解梁的应力知识点对于工程设计和分析非常重要，本文将对材料力学梁的应力知识点进行总结。
1. 弯曲应力在弯曲载荷下，梁会发生弯曲变形，产生弯曲应力。
弯曲应力分为正应力和剪应力两部分。
梁的顶端受拉产生正应力，底端受压产生正应力。
横截面上由于剪力的存在，产生剪应力。
弯曲应力与梁的几何形状、材料性质和载荷有关。
2. 矩形截面的弯曲应力分布对于矩形截面的梁，弯曲应力的分布是不均匀的。
顶部和底部的纤维受到最大应力，处于拉伸或压缩状态。
靠近中性轴的纤维受到较小的应力。
弯曲应力的分布可用弯矩与惯性矩的比值来表示。
3. 剪应力和剪力流在梁的截面上，由于剪力的存在，产生剪应力。
剪应力的分布是沿纵横两个方向呈对称分布的。
剪应力在截面上的变化呈线性分布，最大值出现在截面的边缘。
剪力流是指单位深度上的剪力大小，剪应力和剪力流之间存在直接的线性关系。
4. 应力分量的变换在梁的应力分析中，常常需要对应力分量进行变换。
常用的应力分量变换公式有平面应力变换公式和平面应变变换公式。
5. 横截面形状的影响梁的横截面形状对其应力分布和强度有显著影响。
常见的梁截面形状有矩形、圆形和I型等。
圆形截面具有均匀的应力分布特点，适用于承受压力的情况。
I型截面具有较高的抗弯强度，适用于悬挑梁和跨大距离的情况。
6. 梁的断裂当梁受力达到其强度极限时，可能会发生断裂。
断裂形式可以是横断面的剪断、疲劳断裂或脆性断裂等。
设计中需要考虑梁的强度和刚度，以避免出现断裂。
总结：材料力学梁的应力知识点对于工程领域非常重要。
弯曲应力、剪应力和剪力流是梁应力分析的关键内容；矩形截面的弯曲应力分布是不均匀的，可以用弯矩与惯性矩的比值表示；横截面形状对梁的应力分布和强度有重要影响。
通过深入理解和应用这些知识点，可以对梁的行为和性能进行合理评估和设计。
第五章梁的应力
y
ρ
σmin M
σmax
σmax
材料力学
3.静力关系 3.静力关系
M O dA y
z
第五章 梁的应力
FN = σdA = 0 ∫A M y = ∫AzσdA = 0 M z = ∫ yσdA = M A E ∫ σ dA = ∫ ydA = 0
A
z(中性轴 中性轴) 中性轴
x
[σc ] = 60MPa ,试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
材料力学
52
第五章 梁的应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
A
a
C
B
l
1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 × 103 σ max = = = 126 × 106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141×10 −6
材料力学
第五章 梁的应力
例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,[σt ] = 30MPa 型截面铸铁梁，截面尺寸如图,
材料力学
第五章 梁的应力
所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 例5-3-5：图a所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁，该 ： 所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁， 截面对于中性轴z 的惯性矩I 已知图a中 截面对于中性轴 的惯性矩 z=5493×104 mm4。已知图 中， × b=2 m。铸铁的许用拉应力 σt]=30 MPa，许用压应力 σ c]=90 。铸铁的许用拉应力[σ ，许用压应力[ MPa 。试求梁的许可荷载 。 试求梁的许可荷载[F]。
材料力学梁的应力解读
材料力学梁的应力解读
梁是结构分析中最基本的问题之一，也是材料力学中一个重要的概念。
梁的应力解读，就是对梁结构中的应力的分析。
一般来说，在材料力学中，梁的应力解读可以从下面几个方面来进行：
（1）弯曲应力：弯曲应力是指当梁在受到外力的作用下发生偏移或
沿着其中一轴线变形时，梁中钢材筋的纵向应力称为弯曲应力。
根据梁的
预定约束方式，可以分为受自重弯曲的应力和受外力弯曲的应力。
受自重
弯曲的应力大小由梁的自重和梁的几何形态所决定，一般情况下，斜梁的
自重弯曲应力会比悬臂梁的自重弯曲应力大。
受外力弯曲的应力大小取决
于受力梁的拉张性和刚度，以及施加外力的位置，大小和作用方向等因素，其中最重要的是材料的弹性模量。
（2）剪切应力：梁结构的剪切应力，是指梁受到外力作用时，对面
两侧的钢材筋之间的剪切应力。
由于受力面两端受非对称分布的外力作用，使得受力面的梁结构受到剪切应力的作用，一般情况下，受力面梁结构分
布的剪切应力会在受力面的两端有最大值，随着回头距离变小而逐渐减小。
（3）压应力：梁受外力所产生的压应力，是指受力面角支撑点处承
受拉力的钢材筋之间的应力，称为压应力。
梁的弯曲(应力、变形)
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
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靠近下部的纤维伸长。
3、假设：
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平
面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转
动了一个角度。
第六章 弯曲应力
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知，梁弯曲时
第六章 弯曲应力
§6-1 梁的正应力
F
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
a
剪力“Fs”——切应力“τ”；
A
弯矩“M”——正应力“σ”
１.纯弯曲
Fs
F
梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲
（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲
M
Fa
（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。
例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力 ，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a 为多少？
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
解： 主梁AB的最大弯矩
M max AB
P (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
由 M maxAB M maxCD 得 a l
2
第六章 弯曲应力
Mmax 20 kN m
15
t
M max Wz
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
第六章 弯曲应力
该梁满足强度条件，安全
例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求 三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
2b A1 b
a A2
a
A3 d
解：由题意可知 Wz1 Wz2 Wz3
3.全梁上最大正应力
FBY
y
解： 1. 求支反力
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
FAy 90kN FBy 90kN
MC 901 6010.5 60kN m
x
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832105 m4
90kN 2. C 截面上K点正应力
2）查型钢表：
№10槽钢 b 4.8cm, Iz 25.6cm4, y1 1.52cm
y2 4.8 1.52 3.28cm
3）求应力：
y1 y2
y
z
σtmax
tmax
M Iz
y1
30001.52 25.6106
178 MPa
b
σcmax
cmax
M Iz
MmmaaxxcymaxMWmzax
IZ
(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)
6-2
例
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M
ql2 / 8 67.5kN m
120
1.C 截面上K点正应力
B
x
180
K
30 2.C 截面上最大正应力
z
应力的分布图：
E Ey
σmax M
Z
σmax y
中性轴的位置？ 中性层的曲率1 ？
1
为梁弯曲变形后的曲率
第六章 弯曲应力
M Z
y A zσ
（三）、静力方面：
由横截面上的弯矩和正应
x
力的关系→正应力的计算公式。
(1)
FN
dA
A
E yydA E
A
A 1m
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与 横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正 应力公式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
My
IZ
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁
横力弯曲梁上的最大正应力
B 2m
截面关于中性轴对称 截面关于中性轴不对称
t max max
K
MC yK IZ
60103 (180 30) 103 2
5.832 105
x
Байду номын сангаас
61.7 106 Pa 61.7MPa（压应力）
q=60kN/
A
m
B
C
x
1m FAY
l= 3m
FBY
FS 90k
N
x
90k N
x
M ql2 / 8 67.5kN m
A
B
Mmax = FL / 8
P/L
第六章 弯曲应力
0.2L Mmax =FL / 40
0.2L
合理安排梁的受力，减小弯矩。
F
A L/2
L/2 B
F
Mmax=PL / 4 F/2 F/2
L/4 Mmax = FL / 8 L/4
第六章 弯曲应力
F a
B
F
x
x
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。
1、观察实验：
第六章 弯曲应力
2、变形规律： ⑴ 横向线：仍为直线，只
ac
是相对转动了一个角度且仍
与纵向线正交。
bd
⑵ 纵向线：由直线变为曲 M
ac
M
线，且靠近上部的纤维缩短，
如何求出弯曲应力？
第六章 弯曲应力
变形形式 拉（压）
构件
扭转
弯曲
第六章 弯曲应力
内力 应力
轴力N N
A
扭矩T T r
Ip
弯矩M 剪力Q
？
应力从内力出发，亦即 由 弯曲内力 求 弯曲应力
强度问题 弯曲问题的整个分析过程：
弯曲内力
第六章 弯曲应力
弯曲应力
弯曲变形 刚度问题
§6-1 梁的正应力 §6-2 梁的正应力强度条件及其应用 §6-3 梁的合理截面形状及变截面梁 §6-4 矩形截面梁的切应力 §6-5 工字型截面及其他形状截面梁的切应力 §6-6 梁的切应力强度条件 §6-7 考虑材料塑性时梁的强度计算
材料力学
第6章 弯曲内力
第六章 弯曲应力
上一章学习了弯曲内力 —— 弯矩、剪力 （计算内力、画内力图）
目的：为解决弯曲强度“铺路” 地球上的人造结构，弯曲现象最常见， 太重要了！
如何解决弯曲强度问题？
第六章 弯曲应力
为此，请回顾一下以往的强度问题
拉压、扭转 —— 由应力算强度（已清楚）
弯曲
—— 应力（不了解）
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4
64
d 3
WZ 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
矩形截面
IZ
bh3 12
WZ
bh2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h03 12
bh3 12
)
/(h0
/
2)
三、正应力公式的推广 工程中常见的平面弯曲是横力弯曲
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5 kN
10.5 kN
C截面： t
2.5 88 Iz
28.8 MPa
c
2.5 52 Iz
17.0 MPa
B截面： t
4 52 Iz
27.3MPa
c
4 88
Iz
46.1MPa
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片 ，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为 多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
CL8TU14
解： C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力
Pa M max CD 4
即 P (l a) P a
4
4
例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力 分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为 截面形心）
P
y1
y2
Cz
解：
t
M max y1 Iz
[ t ]
(1)
c
M max y2 Iz
180
3. C 截面最大正应力 12
0 K
30 z
C 截面弯矩
y
MC 60kN m
IZ 5.832105 m4
Cmax
M C ymax IZ
60 103 180 103
2 5.832 105
92.55106 Pa 92.55MPa
q=60kN/m
从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出 一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵