材料力学第10章_梁的应力(2)
材料力学第10章_梁的应力(1)
max
2 300 kNm
max
WZ
B
Wz
M
max
cm
3
B 1875
选择确定I字钢型号:INO50a
1875 1860 1875 100 % 0 .8 %
例 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面 为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力 分别为[σ ]+＝40MPa， [σ ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。
Fa
Fb
C截面：
max
MC W zC
6
Fb
d 2
32
3
62 . 5 160 32
0 . 13
3
M
46 . 4 10 Pa 46 . 4 MPa
结论:轮轴安全
例 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截 面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩 最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
(1)
（二）物理关系：
y
......
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内
d
E
Ｏ Ｏ１
E
Ey
...... (2)
A１
y
Ｂ１ x
E
Ey
1
为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
梁的内力与应力(图片版)
σ=FbA，其中F为作用在梁上的力，b 为梁的宽度，A为梁的横截面积。
描述
正应力表示梁在承受拉伸或压缩时， 截面上产生的应力。
剪应力
剪应力
与截面相切的应力，主要由于剪 切而产生。
描述
剪应力表示梁在承受剪切时，截面 上产生的应力。
公式
τ=FsA，其中Fs为作用在梁上的剪 力，A为梁的横截面积。
弯曲应力
致梁发生断裂或严重变形。
强度失效的原因可能包括材料缺 陷、设计不当或制造工艺问题等。
弯曲失稳
弯曲失稳是指梁在受到垂直于 轴线的横向力作用时，发生弯 曲变形并最终失去稳定性。
弯曲失稳通常发生在梁的长度、 跨度较大或支撑不足时，导致 梁发生过大弯曲和扭曲。
弯曲失稳的原因可能包括梁的 刚度不足、支撑条件不当或外 力过大等。
。
混凝土
适用于桥梁、房屋和基础设施 等需要承受较大荷载且稳定性
要求较高的场合。
木料
适用于临时建筑、小型建筑和 家庭装修等需要较低承载能力
的场合。
其他材料
如铝合金、玻璃钢等，适用于 特殊场合和特定需求。
优化设计
截面优化
根据梁的跨度、承载能力和稳定性要求，选择合适的截面尺寸和 形状，以减小材料用量和提高承载能力。
梁的内力与应力(图片 版)
目录 CONTENT
• 梁的简介 • 梁的内力 • 梁的应力 • 梁的强度与稳定性 • 梁的设计与优化 • 梁的案例分析
01
梁的简介
梁的种类
01
02
03
简支梁
简支梁是两端支撑在支座 上的单跨梁，其载荷作用 在跨中位置。
连续梁
连续梁是多跨梁，载荷可 以作用在任意位置。
悬臂梁
工程力学下题库
工程力学题库一、填空题（每空1分，共57分）（难度A）第八章轴向拉伸和压缩1. "强度"是构件在外力作用下____________ 的能力。
2. 通常，各种工程材料的许用切应力[T不大于其____________ 切应力。
3. 在材料力学中，对可变形固体的性质所作的基本假设是假设、___________________ 设和 ______________ 假设。
4. 衡量材料强度的两个重要指标是_______________ 和_____________________ 。
5. 由于铸铁等脆性材料的很低，因此，不宜作为承拉零件的材料。
6. 在圆轴的台肩或切槽等部位，常增设_____________________ 结构，以减小应力集中。
7. 消除或改善是提高构件疲劳强度的主要措施。
第九章剪切与扭转1. 应用扭转强度条件，可以解决_______________________ 、 _____________________ 和_____________ _____ —等三类强度计算问题。
2. 在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸____________ 倍以上时，可将剪力略去不计。
3. 若两构件在弹性范围内切应变相同，则切变模量G值较大者的切应力较______________ 。
4. 衡量梁弯曲变形的基本参数是___________________ 和________________________ 。
5. 圆轴扭转变形时的大小是___________________________________ 用来度量的。
6. 受剪切构件的剪切面总是___________ 于外力作用线。
7. 提高圆轴扭转强度的主要措施：______________________ 和__________________ 。
8. 如图所示拉杆头为正方形，杆体是直径为d圆柱形。
1. 作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：___________ 、2. 按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为三种形式：______3. 根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式：____4. ___________________________ 对梁的变形有两种假设：、______________________________________ 。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
材料力学第10章 组合变形
如，如图10.1（b）所示的传动轴，在将齿轮啮合力向轴心简化后发现齿轮
轴将同时产生扭转与斜弯曲变形。将这种由两种或两种以上的基本变形所组 成的变形称为组合变形。
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材料力学
出版社 理工分社
图10.1
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10.2 两个相互垂直平面内的弯曲 如图10.2（a）所示的具有双对称截面的悬臂梁为例，横向外力F1和F2分 别作用在梁的水平和垂直两纵向对称平面内。此时，梁在F1和F2作用下分别 在水平对称面（xz平面）和铅垂对称面（xy平面）内发生对称弯曲，距离自 由端为x的横截面m—m上，由F1和F2引起的弯矩依次为 （a） 因此，横截面m—m上任意点C(y，z)处由弯矩My和Mz引起的正应力分别为 （b） 于是，利用叠加原理，在F1和F2分别同时作用下，横截面m—m上C点处的正 应力为 （10.1）
可得中性轴方程为 （10.2）
可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的
夹角θ 为 （10.3）
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材料力学
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式中φ ——横截面上合成弯矩M=M2y+M2z矢量与y轴间的夹角。图10.2
图10.2
对于圆形、正方形等截面，惯性矩Iy=Iz，所以有φ =θ 。此时，正应力 也可用合成弯矩M= 进行计算。需要注意的是，由于梁各横截面上的
（1）如材料为钢材，许用应力［σ ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。
（2）如材料为铸铁，许用拉应力［σ t］=30 MPa，许用压应力［σ c］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm
第十章 材料力学压杆稳定
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
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Wz 178cm3 183.5cm3
此时梁内最大正应力为：
max
M max Wz
62.4 103 2 178 106
175MPa
超过容许正应力约3%，此差异在一般规定的5%范围内，故允许。
（三）梁的剪应力强度校核
最大剪力： FS max 138 kN
20号槽钢截面简化后（见图），中 性轴以下面积的静矩为：
b.工字形截面(No10)
9.72cm3 49cm3 NO10
W竖 49 5.04 W横 9.72
竖放比横放要好。
2）抗弯截面模量/截面面积
截面形状 圆形 矩形
槽钢
工字钢
Wz
0.125d 0.167h (0.27 ~ 0.31)h (0.27 ~ 0.31)h
A
3）根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形
FS (2r02 ) πr03 (2 )
FS 2 FS
πr0
A
例 FS = 15 kN，Iz = 8.8410-6 m4，b
= 120 mm， 20 mm， yC = 45 mm。试求 ：max ；腹板与翼缘交 接处切应力 a
解：
Sz ,max
(
b 2
yC )2
Fmax 38.3(k N)
2、确定σmax
M
x
max
M max Wz
38.3103 1103 1 1001502
102(MPa)
3、自由叠合时的σmax
6
max
M 0max W0 z
M max 3
1 6
bh02
38.3106
3
1 100 502
6
306.4(MPa)
9.03 105
m3
max
F S* S zmax I z
7.66 MPa
S
* za
b
b 2
yC
8.40
10 -5
m3
a
FSSz,a
I z
7.13 MPa
例 如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主 惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位
ab1 22a3b918100030.8112053-M45P81a003
0.85MPa
三、梁的切应力强度条件
一般max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压， 则max所在点处于纯剪切应力状态.。
q
E max
F max
E
F
l/2 l
ql/2
梁的切应力强度条件为
Fs
zh y
τ
y
b
在截面高度h大于宽度b的情况下，以上述假定为基础得到的解，
与精确解相比有足够的准确度。
2、公式推导
mn
现以矩形截面梁m-m 和n-n 两截面从梁中取出 dx微段如图b。
mn
x
dx
图a
由于两截面上分别有 弯矩M 和M+dM作用，因 而在两侧面有着不相等的 正应力如图c。
Fs M
dx
B
y
* c
z max
Fs
b
Fs
(y)
FS
S
* z
I z
S
* z
——下侧部分截面对中性轴
z
的静矩
Fs
( y) FS 8 I z
b(h02 h2 ) (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
2、盒形薄壁梁
(y)
FS
S
* z
类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若 抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴 靠近上端。如下图：
r0 O
y
max
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
r0 O
A 2πr0 y
O
2r0 /p
C
y
Ip
2
A
d
A
2πr0
r02
2πr03
Ip Iz I y 2Iz
Iz
1 2
Ip
πr03
S
* z
πr0
)
2r0 π
2r02
max
FS
S
* z
I z 2 )
M dM
Zh
x
Fs dFs
b
y
图b
x y
dx y
图c
Fs M
dx
M dM
Zh
x
Fs dFs
by
图b
x y
dx y
图c
'
y
FN1
FN 2
aa
12
b
dx
图d
由于正应力的分布已知，欲求离中性轴距离 为 y 处的切应力，把微段梁水平截开（见图d）。
脱离体图d两侧的面积记作A*，建立微段的轴
向平方程下：
Fix 0
dA bdx ( d )dA 0
A*
A*
My dA bdx (M dM ) y dA 0
A*
Iz
'
dM
A*
S
z
FsISz
z
dx bIz bI z
根据切应力互等原理，在纵向水平面上的切
应力 应等于横截面上离中性轴距离为 y 处的
2) 同一横截面上的最大切应力max在中性 h
轴处( y=0 )；
3) 上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
二、非矩形截面梁
1、工字形薄壁梁
腹板上的切应力（y 方向） 腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。
假设: t // 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布
(y)
FS
S
* z
I z
A* b( h y) 2
I z 2
FS 16I z
b(h02 h2 ) 2 (h2 4 y2 )
3、圆截面梁
切应力的分布特征：
边缘各点切应力的方向与圆周相
切；切应力分布与 y 轴对称；与 y轴
相交各点处的切应力其方向与y 轴一致。
关于其切应力分布的假设：
1）离中性轴为任意距离y的水平直线段 上各点处的切应力汇交于一点 ；
置；（2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是
一水平面）胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用
切应力值是多少？
80
F1
F2
q
300
解 最大拉应力发生在 B截面上
z
AB
C
3m 34 3m
6m
22 4
12
36
14 D 50 14
ab
148.5
16.5MPa
3FL bh2
L
b
3F bh
L
2
6
F
bh2
3L
2)两根梁用一个螺栓联成一整体时的[F]
两梁只有一个中性轴
max
M max Wz
3 2
FL bh2
FL
b2h)2
6
F 2bh2
3L
将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.
F
h
b
L
§6-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件
在横力弯曲的情况下，梁截面上的剪力Fs将在横截面上 产生切应力。
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
1、假设：
mn
在推导矩形截面梁的切应力
mn
公式时，作如下两点假设：
x dx
图a
⑴ 横截面上各点的切应力方向与 剪力的方向相同。
⑵ 切应力沿截面宽度均匀分布 （距中性轴等距离的各点切应 力大小相等）。
2d /3p
d
max
O
k
k'
O' y
O C
y
4、薄壁环形截面梁
薄壁环形截面梁弯曲切应力
的分布特征：
1) d <<r0→沿壁厚切应力的大
小不变； 2) 内、外壁上无切应力→切应
max
力的方向与圆周相切；
3) y 轴是对称轴 → 切应力分布
与 y 轴对称；与 y 轴相交的
各点处切应力为零。
最大切应力max 仍发生在中性轴 z 上。
200
最大压应力发生在Fs=0
3326.681的0130截33399面8381050上350005M0P111004a184448.5.)5)101033
ab线上最大切应力发生在BC段
32.68 30
SZ* 2S0Z*0152035114083.m5m325)
Sz*max
7.3 10
5
(10
1.1)
(7.3
0.7)
10
1.1 2
104cm3
查型钢表： Iz 1780cm4
max
FS max(SZ* max 2) 2IZ (b 2)