证明毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯勾股定理证明
毕达哥拉斯勾股定理证明毕达哥拉斯勾股定理证明引言毕达哥拉斯勾股定理是数学史上一项重要的发现，它被广泛应用于几何学和物理学中。
本文将深入探讨毕达哥拉斯勾股定理的证明过程，并对其原理和应用进行全面评估。
让我们从简单的几何形状开始，逐步推导出这个定理的深刻意义。
1. 直角三角形的定义我们从直角三角形开始，这是研究毕达哥拉斯勾股定理的基础。
直角三角形是一种具有一个内角为90度的三角形。
我们将其三个边分别称为斜边、邻边和对边。
2. 毕达哥拉斯勾股定理的表述毕达哥拉斯勾股定理可以一句话概括为：直角三角形的斜边的平方等于邻边的平方与对边的平方之和。
用数学表达式来表示就是：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是直角三角形的斜边。
3. 毕达哥拉斯勾股定理的第一个证明：几何方法我们以一个简单的正方形开始推导。
正方形的对角线可以作为两个直角边，那么根据勾股定理，对角线的平方等于两条直角边的平方和。
我们将正方形划分为四个直角三角形，每个直角三角形的两条直角边与两个直角边合并时构成一个直角边。
我们可以得出结论：正方形的对角线的平方等于四个直角三角形的两条直角边的平方和。
进一步，我们可以推广到其他几何形状，如长方形和正三角形。
这个证明方法是以简单的形状为基础，逐步推导出毕达哥拉斯勾股定理的普遍性。
4. 毕达哥拉斯勾股定理的第二个证明：代数方法我们还可以使用代数方法证明毕达哥拉斯勾股定理。
我们令直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
接下来，我们将三条边的长度进行变换，假设每条边的长度为一个未知数x。
根据勾股定理，我们有x² + x² = c²，即2x² = c²。
我们可以将c²表示为2x²，并继续化简等式。
我们得到c² = 4(x²/2)，即c² = 4(x²/2)。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
毕达哥拉斯定理的证明
毕达哥拉斯定理的证明侯昕彤南京大学匡亚明学院摘要：欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。
包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。
关键词：毕达哥拉斯定理几何原本欧几里德毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。
欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理：●定义：【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。
【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。
【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。
【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。
●公设：【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线.【共设2】一条有限直线可以继续延长.【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。
【共设4】凡直角都彼此相等。
【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交●公理：【公理1】等于同量的量彼此相等。
【公理2】等量加等量，其和仍相等。
【公理3】等量碱等量，其差仍相等。
【公理4】彼此能重合的物体是全等的。
根据给出的上述定义，公设，公理，进行下列命题的证明。
证明段落中出现的【】表示该段证明所用的论据。
【命题1】命题：在一个已知有限直线上作一appear个等边三角形。
命题1设AB是已知有限直线。
那么，要求在线段AB上作一个等边三角形。
以A为中心，且以AB为距离画圆【共设3】再以B为心，且以BA为直为距离画圆ACE；【共设３】由两圆的交点C到A,B连线CA，CB .【共设１】因为，点A是圆CDB的圆心，AC等于BA。
【定义2】又点B是圆CAE的圆心，BC等于BA，【定义2】但是，已经证明CA等于AB;所以线段CA，CB都等于AB。
三角形的毕达哥拉斯定理
三角形的毕达哥拉斯定理三角形的毕达哥拉斯定理，是数学中一项重要的定理，它揭示了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨毕达哥拉斯定理的原理、应用和意义。
一、什么是毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个定理，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体而言，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据毕达哥拉斯定理，我们有以下关系式：c² = a² + b²这个定理在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
二、毕达哥拉斯定理的应用毕达哥拉斯定理在几何学中有着重要的应用。
我们可以通过该定理来判断一个三角形是否为直角三角形，或者计算一个三角形的边长。
1. 判断直角三角形通过观察三角形的边长关系，我们可以利用毕达哥拉斯定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²的关系，那么我们可以确定这个三角形是一个直角三角形。
2. 计算三角形的边长当我们已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，可以利用毕达哥拉斯定理来计算斜边的长度。
同样地，如果我们已知一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度，也可以通过毕达哥拉斯定理计算出另一条直角边的长度。
除了在几何学中的应用，毕达哥拉斯定理在物理学中也有广泛的应用。
在物理学中，毕达哥拉斯定理可以用来计算力的合成和分解、质心的定位等问题。
三、毕达哥拉斯定理的意义毕达哥拉斯定理不仅仅是一个数学定理，它还具有一定的意义和启示。
毕达哥拉斯定理为我们提供了解决几何问题的有力工具。
通过运用这个定理，我们可以更加准确和简便地解决涉及直角三角形的计算和判断问题。
毕达哥拉斯定理也强调了数学中重要的思维方式——从简到繁、由浅入深。
毕达哥拉斯定理的证明过程需要运用一些基本的几何推理和运算，这要求我们在学习数学时注重基础知识的掌握和技巧的运用。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理毕达哥拉斯证明方法
勾股定理毕达哥拉斯证明方法勾股定理，是数学领域中的一个基本定理，描述了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一命题在古代已被多个文明所发现和证明，其中最著名的证明方法之一归功于古希腊数学家毕达哥拉斯。
本文将详细介绍毕达哥拉斯的证明方法。
勾股定理的毕达哥拉斯证明，主要基于几何图形的面积关系。
该定理表述如下：在一个直角三角形中，设较短的两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a + b = c。
以下是毕达哥拉斯的证明步骤：1.假设我们有一个直角三角形ABC，其中角C是直角，AB是斜边，AC和BC是两条直角边。
2.我们构建四个与原直角三角形ABC相似的直角三角形，每个三角形的边长都是原三角形边长的一部分。
具体来说，我们在AB上取一点D，使得AD = b，在AC上取一点E，使得AE = a。
3.以AE和AD为直角边，构造一个矩形AFED，其面积是a*b。
然后，我们在矩形AFED的四个角上各取一个与原三角形相似的直角三角形，得到四个小三角形。
4.现在，将这四个小三角形分别移动并放置在原直角三角形ABC的四个顶点上，使得它们与原三角形的相应边对齐。
这样，在三角形ABC的内部和周边就形成了一个大正方形。
5.这个大正方形的边长是a+b（因为矩形AFED的边长分别是a和b，且四个小三角形在原三角形内部的边长总和正好补足了斜边AB的长度），所以大正方形的面积是(a+b)。
6.另一方面，我们可以直接计算原直角三角形ABC的面积。
由于三角形ABC与四个小三角形相似，它们的面积比是1:1，所以原三角形的面积是四个小三角形面积之和，即4*(1/2)*a*b。
7.同时，原直角三角形ABC的面积也可以通过斜边c和直角边a、b计算得出，即面积为(1/2)*a*c 和(1/2)*b*c 之和，即(1/2)*a*c + (1/2)*b*c。
8.比较两种计算方法得到的面积，即：(a+b) = 4*(1/2)*a*b(1/2)*a*c + (1/2)*b*c = 4*(1/2)*a*b简化后得到：a + 2ab + b = 2ab + 2aba +b = 2ab由于2ab在等式两边都存在且相等，我们可以得出：a +b = c这就完成了毕达哥拉斯的证明。
勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2 + b 2= c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
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证明毕达哥拉斯定理
制作：有丘直方
毕达哥拉斯定理
222BC AC AB =+
或者可以这么说：
直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？
中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。
这就简单多了：
直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。
甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。
这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。
222弦股勾=+
简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。
证明毕达哥拉斯定理
首先，我们画一幅图：
啊，真乱。
让我们先把重要的部分先择出来。
我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的HDEG JAHI ABCD □□□=+（因为ABCD □是2AD 、JAHI □是2AH 、HDEG □是2HD ）。
其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。
图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。
根据定理，我们只要证明XDEF ABCD □□=且HXFG JAHI □□=就能证明HDEG JAHI ABCD □□□=+，因为HDEG HXFG XDEF □□□=+（这是肯定的）。
我们先不看JH 、ID 、AG 和HF ，这些线段暂时用不到。
我们先证明XDEF ABCD □□=。
因为ABCD BCD □△21=且XDFE DEF □△2
1=，所以我们只要证明出BCD DEF △△=就可以推出XDEF ABCD □□=。
这又是因为等号两边同时缩小2
1倍，这个等式还是成立。
现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。
这两个角是：CDH ∠和ADE ∠。
先看CDH ∠，它被AD 分成了两个角：CDA ∠和ADH ∠；再看ADE ∠，它被HD 分成了两个角：HDE ∠和ADH ∠。
所以，︒+=90∠∠ADH CDH （CDA ∠是直角，所以用︒90代替）且︒+=90∠∠ADH ADE （HDE ∠是直角，所以用︒90代替）。
看看这两条等式，你会发现其实ADE CDH ∠∠=！这很重要！
让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。
这两个三角形是：CDH △和ADE △。
先看CDH △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （AD 其实是CD 的长度，因为他们标了全等标记，所以CD 可以用AD 表示）；再看ADE △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （HD 其实是DE 的长度，因为他们标了全等标记，所以HD 可以用DE 表示）。
比较一下CDH △和ADE △，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以ADE CDH ≌△△（因为它们之间的夹角ADE CDH ∠∠=）。
我们接下来先看看CDH △与BCD △之间的关系。
你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。
如果它们的底的长度都是CD ，那么高的长度就都是BC （因为平行线之间的线段长度相等且CD BH ∥，CD BH ∥又是因为BH 和CD 都垂直于BC ）。
再看看ADE △与DEF △之间的关系。
它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。
如果它们的底的长度都是DE ，那么高的长度就都是FE （因为平行线之间的线段长度相等且DE AF ∥，DE AF ∥又是因为AF 和DE 都垂直于FE ）。
那么现在……ADE CDH △△=且BCD CDH △△=且DEF ADE △△=。
通过这
三条等式我们就可以推出BCD DEF △△=！那么让它们都被2
1除，就能得到XDEF ABCD □□=了！
接下来我们不看BD 、CH 、AE 和DF ，看JH 、ID 、AG 和HF 。
现在我们就可以开始证明HXFG JAHI □□=了，其过程是完全一样的。
但是我们这次用简练的数学语言来表述：
定理成立□□△△△△△且△△△同底同高
≌△△且□可以推出□△△□且△□△∴=∴=∴===∴∴=∴︒
+=︒+===∴==HXFG
JAHI HGF
JIH AHG
IHD AHG
HGF IHD JIH AHG
IHD AHG
IHD AHD AHG AHD IHD HXFG
JAHI HGF JIH HXFG HGF JAHI JIH ΘΘΘΘ∠∠90∠∠90∠∠2
121
简单吗？
结论
这有什么好说的？搞了半天，结论很简单：
直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——这句话是真理。
简单吗？。