概率论与数理统计第15讲
22
22
象这种现代商业社会中的服务流如电工服务 维修服务等等都是常见的。它们都是由 一个参数l代表一段时间里的平均服务数， 从而导致指数分布，爱尔朗分布和泊松 分布，都以这个l为参数，这样的服务过 程也是一个随机过程，被称为泊松流， 属于随机过程理论的研究分支，已经超 出了本书的范围。
23
23
当
6
6
指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近 似。如随机服务中的服务时间、某些消 耗性产品(电子元件等)的寿命等等。
7
7
例 5.8某元件寿命X服从参数为l(l-1=1000小 时)的指数分布。3个这样的元件使用 1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ (假设各元件的寿命相互独立) 解 一个元件使用1000小时后没有损坏的 概率为 x x
xf ( x)d x
l
r
x e
r
-l x
dx
18
18
E( X )
2
l
r
G(r ) G(r 2) (r 1)r 2 2 l G(r ) l
0
x
r 1
e
-l x
dx
因此
D( X ) E ( X ) - [ E ( X )]
2 2
(r 1)r
l
2
-
r
f Z ( z ) k1 x
-
r1 -1
e
-l x
in( x;0, ) in( z - x;0, )d x
26
k2 ( z - x)
r2 -1
e
-l ( z- x)
26
f Z ( z ) k1 x
-
r1 -1
e
-l x
in( x;0, ) in( z - x;0, )d x
2 2
l
r
l
2
19
19
伽玛分布在概率论、数理统计和随机过程中 都有不少应用。 当r=1时，f(x)=le-lxin(x;0,+∞)，这就是 前面讲过的指数分布。 当r为正整数时， r l r -1 - l x x e , x0 f ( x) (r - 1)! (5.29) 0, x„ 0
17
17
定理 5.3假设X~G(l,r), 则 r r E ( X ) , D( X ) 2 l l 证 根据式(5.27)有
(5.28)
E( X )
G(r ) 1 G(r 1) r r -t t e d t lG(r ) 0 lG ( r ) l
- 0
21
21
E( X ) 6
可反推出
r
l
10
l
10 l 1.667 6
而这时l也恰好就是他平均一个小时接待的病 人数，因此他一个小时接诊的病人数是另一 个离散型随机变量Y，Y恰好服从参数为l的泊 松分布。当然，他每处理一个病人所需要的 时间Z当然就是服从一阶爱尔朗分布，也就是 指数分布。
fZ ( z)
-
f X ( x) fY ( z - x)d x
(5.31)
25
25
fZ ( z)
-
f X ( x) fY ( z - x)d x
(5.31)
而从准概率密度函数的考虑，我们只需要证 r1 r2 -1 - l z f Z ( z ) kz e in( z;0, ) 明fZ(z)具有 的形式就已经证明了所要的结论，将 r1 -1 - l x f X ( x) k1 x e in( x;0, ) r2 -1 - l y fY ( y ) k2 y e in( y;0, ) 代入式(5.31)得：
1 -1000 -1 1000 P{ X 1000} e d x -e e 1000 1000 1000
因各元件寿命相互独立，因此三个元件 使用1000小时后都没有损坏的概率就是 三个e-1相乘即为e-3≈0.05。
8
8
5.5 伽玛分布
9
9
前面已经讲到，与概率密度函数成正比的函 数称之为准概率密度函数，而从函数曲 线的形状来说，准概率密度函数与概率 密度函数的是一样的，只不过差一个比 例常数。因此准概率密度函数已经完全 包含了分布的信息。 本节介绍伽玛分布，也叫G分布，希腊 大写字母G念伽玛，所以中文叫伽玛分 布。
15
f(x)=kxr-1e-lx (5.24) 因此我们现在可以得到式(5.24)中的常数 r l k为 k G(r ) 因此可以正式定义伽玛分布如量X具有概率密度 r l r -1 - l x x e , x0 f ( x) G(r ) (5.26) 0, x„ 0 其中l>0, r>0，则称X服从伽玛分布或G 分布，简记作X~G(l,r)。 上面的概率密度函数也可以用in函数表 示为 l r r -1 - l x f ( x) x e in( x;0, ) (5.27) G(r )
10
10
服从伽玛分布的随机变量是只取正值的，因 此在x 0时概率密度函数为0。而在x>0 的区间准概率密度的形式是xae-lx, 即当 看到概率密度的形式是x的某次方乘上e 的负指数函数的时候，相应的分布就叫 G分布或者伽玛分布了。但是对于概率 论经常把参数写成以后表示数字特征方 便的形式，因此通常将xa写成xr-1，其中 r=a+1，因此服从G分布的概率密度函数 具有形式 f(x)=kxr-1e-lx (5.24) 11
0 0
2
2
图5-3给出了当l=1时的指数分布的概率密度 形状。
f(x)
1
0.5
x O 5 图5-3
10
3
3
定理 5.2如果随机变量X服从参数为l的指数 分布，则有 1 1 1 E ( X ) , D( X ) 2 , X (5.22) l l l
4
4
证 在计算E(X)和E(X2)时要用到定积分的分部 积分公式 b b b (5.23) u d v uv a - v d u
0
x d e
2
-l x
2
-x e
2
- l x 0
e
2
-l x
2x d x
2
l
E( X )
2
l
2
1 1 D( X ) E ( X ) - [ E ( X )] 2 - 2 l l l 当然就有 1 X D( X ) l
2
所以
2
r -1
e
-(l x)
d(l x)
l
-r
0
t
r -1
e dt
-t
12
12
积分
e d t 中有一个参数为r，每给 0 定一个r值就可以计算出一个积分值，而 且这个积分值还不容易给出解析的表达 式，正因为如此，所以数学家们就将它 视为r的函数，称这个函数为G函数或者 伽玛函数，记为G(r)以后就用数值积分 的办法来计算这个函数值。即自变量为r 的伽玛函数定义为 r -1 - t G(r ) t e d t (5.25)
0
t
r -1
-t
13
13
大家应当习惯这一点，就是数学家发现某个 函数不好算就专门定义一个，例如各三 角函数也是需要数值算法的，但是现在 计算器都支持。在应用数学家园网站的 表达式计算，函数绘制曲线及积分中， 将伽玛函数表示为gam(x)。
14
14
伽玛函数有许多性质，网上都可以搜得到， 但是有两个重要性质为(1)G(r+1)=rG(r), (2)对于正整数n，G(n+1)=n!。 r t r -t 证 G(r 1) t e dt - t d e
29
推论 如果随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立且都 服从参数l一样的伽玛分布，X1~G(l,r1), X2~G(l,r2), ⋯, Xn~G(l,rn)， 则 X1+X2+⋯+Xn~G(l,r1+r2+⋯+rn)。
0
0
-t e
r
- t 0
-t
rt
0
r -1
e d t rG(r )
-t
G(1) e d t 1,
0
G(2) 1 G(1) 1, G(3) 2 G(2) 2, G(n) ( n - 1)G( n - 1) ( n - 1)!
15
a a
将指数分布的概率密度代入到数学期望 的计算公式有
E( X ) -x e
0
xl e
-l x
d x -
-l x
0
x d e
-l x
-l x
- l x 0
e
0
dx
l
1
0
le
dx
1
l
5
5
而
E( X )
2
0
x le
2 0
-l x
d x -
这就是排队论中常用到的r阶爱尔朗分布。
20
20
r阶爱尔朗分布的一个例子：假设一个门诊医 生一天看10个病人就可以下班，当然， 处理每一个病人的时间有长有短，有的 病人可能五分钟就可以打发，而有的病 人可能需要仔细检查和处理两个小时， 因此他一天的工作时间X就是一个随机 变量，X服从10阶爱尔朗分布，如果他 平均一天要工作六个小时，即 r 10 E( X ) 6 l l
r1 -1
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象这种现代商业社会中的服务流如电工服务 维修服务等等都是常见的。它们都是由 一个参数l代表一段时间里的平均服务数， 从而导致指数分布，爱尔朗分布和泊松 分布，都以这个l为参数，这样的服务过 程也是一个随机过程，被称为泊松流， 属于随机过程理论的研究分支，已经超 出了本书的范围。
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当
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指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近 似。如随机服务中的服务时间、某些消 耗性产品(电子元件等)的寿命等等。
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例 5.8某元件寿命X服从参数为l(l-1=1000小 时)的指数分布。3个这样的元件使用 1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ (假设各元件的寿命相互独立) 解 一个元件使用1000小时后没有损坏的 概率为 x x
xf ( x)d x
l
r
x e
r
-l x
dx
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E( X )
2
l
r
G(r ) G(r 2) (r 1)r 2 2 l G(r ) l
0
x
r 1
e
-l x
dx
因此
D( X ) E ( X ) - [ E ( X )]
2 2
(r 1)r
l
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-
r
f Z ( z ) k1 x
-
r1 -1
e
-l x
in( x;0, ) in( z - x;0, )d x
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k2 ( z - x)
r2 -1
e
-l ( z- x)
26
f Z ( z ) k1 x
-
r1 -1
e
-l x
in( x;0, ) in( z - x;0, )d x
2 2
l
r
l
2
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伽玛分布在概率论、数理统计和随机过程中 都有不少应用。 当r=1时，f(x)=le-lxin(x;0,+∞)，这就是 前面讲过的指数分布。 当r为正整数时， r l r -1 - l x x e , x0 f ( x) (r - 1)! (5.29) 0, x„ 0
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定理 5.3假设X~G(l,r), 则 r r E ( X ) , D( X ) 2 l l 证 根据式(5.27)有
(5.28)
E( X )
G(r ) 1 G(r 1) r r -t t e d t lG(r ) 0 lG ( r ) l
- 0
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E( X ) 6
可反推出
r
l
10
l
10 l 1.667 6
而这时l也恰好就是他平均一个小时接待的病 人数，因此他一个小时接诊的病人数是另一 个离散型随机变量Y，Y恰好服从参数为l的泊 松分布。当然，他每处理一个病人所需要的 时间Z当然就是服从一阶爱尔朗分布，也就是 指数分布。
fZ ( z)
-
f X ( x) fY ( z - x)d x
(5.31)
25
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fZ ( z)
-
f X ( x) fY ( z - x)d x
(5.31)
而从准概率密度函数的考虑，我们只需要证 r1 r2 -1 - l z f Z ( z ) kz e in( z;0, ) 明fZ(z)具有 的形式就已经证明了所要的结论，将 r1 -1 - l x f X ( x) k1 x e in( x;0, ) r2 -1 - l y fY ( y ) k2 y e in( y;0, ) 代入式(5.31)得：
1 -1000 -1 1000 P{ X 1000} e d x -e e 1000 1000 1000
因各元件寿命相互独立，因此三个元件 使用1000小时后都没有损坏的概率就是 三个e-1相乘即为e-3≈0.05。
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5.5 伽玛分布
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前面已经讲到，与概率密度函数成正比的函 数称之为准概率密度函数，而从函数曲 线的形状来说，准概率密度函数与概率 密度函数的是一样的，只不过差一个比 例常数。因此准概率密度函数已经完全 包含了分布的信息。 本节介绍伽玛分布，也叫G分布，希腊 大写字母G念伽玛，所以中文叫伽玛分 布。
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f(x)=kxr-1e-lx (5.24) 因此我们现在可以得到式(5.24)中的常数 r l k为 k G(r ) 因此可以正式定义伽玛分布如量X具有概率密度 r l r -1 - l x x e , x0 f ( x) G(r ) (5.26) 0, x„ 0 其中l>0, r>0，则称X服从伽玛分布或G 分布，简记作X~G(l,r)。 上面的概率密度函数也可以用in函数表 示为 l r r -1 - l x f ( x) x e in( x;0, ) (5.27) G(r )
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服从伽玛分布的随机变量是只取正值的，因 此在x 0时概率密度函数为0。而在x>0 的区间准概率密度的形式是xae-lx, 即当 看到概率密度的形式是x的某次方乘上e 的负指数函数的时候，相应的分布就叫 G分布或者伽玛分布了。但是对于概率 论经常把参数写成以后表示数字特征方 便的形式，因此通常将xa写成xr-1，其中 r=a+1，因此服从G分布的概率密度函数 具有形式 f(x)=kxr-1e-lx (5.24) 11
0 0
2
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图5-3给出了当l=1时的指数分布的概率密度 形状。
f(x)
1
0.5
x O 5 图5-3
10
3
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定理 5.2如果随机变量X服从参数为l的指数 分布，则有 1 1 1 E ( X ) , D( X ) 2 , X (5.22) l l l
4
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证 在计算E(X)和E(X2)时要用到定积分的分部 积分公式 b b b (5.23) u d v uv a - v d u
0
x d e
2
-l x
2
-x e
2
- l x 0
e
2
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2x d x
2
l
E( X )
2
l
2
1 1 D( X ) E ( X ) - [ E ( X )] 2 - 2 l l l 当然就有 1 X D( X ) l
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所以
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r -1
e
-(l x)
d(l x)
l
-r
0
t
r -1
e dt
-t
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积分
e d t 中有一个参数为r，每给 0 定一个r值就可以计算出一个积分值，而 且这个积分值还不容易给出解析的表达 式，正因为如此，所以数学家们就将它 视为r的函数，称这个函数为G函数或者 伽玛函数，记为G(r)以后就用数值积分 的办法来计算这个函数值。即自变量为r 的伽玛函数定义为 r -1 - t G(r ) t e d t (5.25)
0
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大家应当习惯这一点，就是数学家发现某个 函数不好算就专门定义一个，例如各三 角函数也是需要数值算法的，但是现在 计算器都支持。在应用数学家园网站的 表达式计算，函数绘制曲线及积分中， 将伽玛函数表示为gam(x)。
14
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伽玛函数有许多性质，网上都可以搜得到， 但是有两个重要性质为(1)G(r+1)=rG(r), (2)对于正整数n，G(n+1)=n!。 r t r -t 证 G(r 1) t e dt - t d e
29
推论 如果随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立且都 服从参数l一样的伽玛分布，X1~G(l,r1), X2~G(l,r2), ⋯, Xn~G(l,rn)， 则 X1+X2+⋯+Xn~G(l,r1+r2+⋯+rn)。
0
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-t e
r
- t 0
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r -1
e d t rG(r )
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G(1) e d t 1,
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G(2) 1 G(1) 1, G(3) 2 G(2) 2, G(n) ( n - 1)G( n - 1) ( n - 1)!
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a a
将指数分布的概率密度代入到数学期望 的计算公式有
E( X ) -x e
0
xl e
-l x
d x -
-l x
0
x d e
-l x
-l x
- l x 0
e
0
dx
l
1
0
le
dx
1
l
5
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而
E( X )
2
0
x le
2 0
-l x
d x -
这就是排队论中常用到的r阶爱尔朗分布。
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20
r阶爱尔朗分布的一个例子：假设一个门诊医 生一天看10个病人就可以下班，当然， 处理每一个病人的时间有长有短，有的 病人可能五分钟就可以打发，而有的病 人可能需要仔细检查和处理两个小时， 因此他一天的工作时间X就是一个随机 变量，X服从10阶爱尔朗分布，如果他 平均一天要工作六个小时，即 r 10 E( X ) 6 l l
r1 -1
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《概率论与数理统计》高教版PPT
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第35页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章 随机事件与概率
第30页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15
15讲方差
2010-7-6 14
图示, 图示, 方差大和方差小的情况 f1(x) 方差大
f2(x)
方差小
x
方差越大,随机变量的取值越分散;反之, 方差越大,随机变量的取值越分散;反之,越 集中在期望的附近. 集中在期望的附近.方差有非常重要和直观的 实际意义,如某些地区年温差较大, 实际意义,如某些地区年温差较大,即气温方 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 2010-7-6
2010-7-6 12
∞
方差实际上就是随机变量的函数 g(X)=(X-E(X))2的数学期望,如果 是离散 的数学期望,如果X是离散 型随机变量, 并且P{X=xk}=pk (k=1,2,...), 则 型随机变量 并且 ∞
D( X ) = ∑[xk E( X )] pk
2 k =1 +∞
如果X是连续型随机变量 有概率密度f (x), 则 , D( X ) = ∫[x E( X )] f (x)dx
概率论与数理统计 15讲 第15讲
2010-7-6
1
方差
2010-7-6
2
两封信随机投向1,2,3,4四个信箱 四个信箱, 例1 两封信随机投向 四个信箱 X1,X2代表头两个信箱里的信数目 求在第 代表头两个信箱里的信数目, 求在第2 个邮箱里有1封信条件下第一个邮箱内信数 个邮箱里有 封信条件下第一个邮箱内信数 平均数 的平均数. 解 因已经计算出 2×2 2×3 2 P{X1 = 0 | X2 =1 = } / = 16 16 3 2 2×3 1 } P{X1 =1| X2 =1 = / = 16 16 3 因此 在X2 =1条 下 X1的平 , 件 , 均值 为 应 2 1 1 E{X1 | X2 =1 = 0× +1× = } 3 3 3
图示, 图示, 方差大和方差小的情况 f1(x) 方差大
f2(x)
方差小
x
方差越大,随机变量的取值越分散;反之, 方差越大,随机变量的取值越分散;反之,越 集中在期望的附近. 集中在期望的附近.方差有非常重要和直观的 实际意义,如某些地区年温差较大, 实际意义,如某些地区年温差较大,即气温方 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 2010-7-6
2010-7-6 12
∞
方差实际上就是随机变量的函数 g(X)=(X-E(X))2的数学期望,如果 是离散 的数学期望,如果X是离散 型随机变量, 并且P{X=xk}=pk (k=1,2,...), 则 型随机变量 并且 ∞
D( X ) = ∑[xk E( X )] pk
2 k =1 +∞
如果X是连续型随机变量 有概率密度f (x), 则 , D( X ) = ∫[x E( X )] f (x)dx
概率论与数理统计 15讲 第15讲
2010-7-6
1
方差
2010-7-6
2
两封信随机投向1,2,3,4四个信箱 四个信箱, 例1 两封信随机投向 四个信箱 X1,X2代表头两个信箱里的信数目 求在第 代表头两个信箱里的信数目, 求在第2 个邮箱里有1封信条件下第一个邮箱内信数 个邮箱里有 封信条件下第一个邮箱内信数 平均数 的平均数. 解 因已经计算出 2×2 2×3 2 P{X1 = 0 | X2 =1 = } / = 16 16 3 2 2×3 1 } P{X1 =1| X2 =1 = / = 16 16 3 因此 在X2 =1条 下 X1的平 , 件 , 均值 为 应 2 1 1 E{X1 | X2 =1 = 0× +1× = } 3 3 3
概率论与数理统计教程-第五版-课件
先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现.
2021/3/10
讲解：XX
6
三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用或S表示。则中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 示。
2021/3/10
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
2021/3/10
讲解：XX
16
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
2
第一章 事件与概率
2021/3/10
讲解：XX
3
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
2021/3/10
讲解：XX
4
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
2021/3/10
讲解：XX
5
二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
会出现.
2021/3/10
讲解：XX
6
三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用或S表示。则中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 示。
2021/3/10
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
2021/3/10
讲解：XX
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事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
2
第一章 事件与概率
2021/3/10
讲解：XX
3
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
2021/3/10
讲解：XX
4
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
2021/3/10
讲解：XX
5
二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
概率论与数理统计
A
3）在应用上，那些不便直接求某一事件的概 B2
率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7/21
§1.5 条件概率
2．贝叶斯(Bayes)公式 (计算后验概率问题)
事件A的发生，iff构成S划分的事件B1，B2，…，Bn中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道Bi的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，Bi发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式
在实际应用 中，对于事 件的独立性 常常根据事 件的实际意 义来判断，
注意：仅满足前三个等式的三个事件称为两两相互独立 见习题33 如果两个事
当然，如果事件A，B，C相互独立
件关联很弱 也可以看作
则 A, B,C; A, B,C; ... ; A, B,C 也相互独立
是独立的。
推广到多个事件
由定义可以得到以下两点推论： 1.若事件A1, A2, … , An相互独立，n2，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立 的。 2.若n个事件A1, A2, … , An(n2)相互独立，则将A1, A2, … , An中任意多个事件换13/成21 他们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立
§1.6 独立性
对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题
首先看一下关于划分的概念
定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件。若
(i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，…，n； (ii) B1∪B2∪…∪Bn=S 则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。
※每次试验，事件B1，B2，…，Bn中有且仅有一个发生
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
概率论与数理统计_15_均匀分布
这时，可以认为随机变量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
P{c X c l}
c l c
c l
c
f ( x)dx
X a l 0 l X b x
1 l dx . ba ba
均匀分布的累积分布函数（CDF）
若随机变量 X 服从区间
a ， b 上的均匀分布，
1 y2 x 1 y2 其它
即当 1 y 1 时，X 在 Y y下的条件分布是区间
1 y2 ,
1 y 2 上的均匀分布．
均匀分布的期望与方差
1 /( b a ), a x b f ( x) 。 0, 其它
EX
1 ab xf ( x )dx x dx ba 2
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
练习3解答
2 2 X Y 设二维随机变量 ， 服从圆域：x y 1
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
解：
二维随机变量 X ， Y 的联合密度函数为 1 f x， y p 0 x y 1
2
则
P A P 4 4 4 2 0
2
P 1或 2 1 6 1 1 dx dx 9 9 3 2 2 4 2 9 9 3
P 1 2 0
练习3
2 2 X Y 设二维随机变量 ， 服从圆域：x y 1
1 y 1 其它
y
x2 y2 1
x
由此得，当 1 y 1时，fY y > 0
练习3解答（续2）
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计课件完整版.ppt
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包
含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k
P( A) S中的基本事件总数 n
15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
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（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包
含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k
P( A) S中的基本事件总数 n
15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率论与数理统计15讲
5
例如 一个人的身高和体重是非常有关系的, 但 是又并不完全是严格的函数关系, 那么关 系程度究竟有多大呢? 一个人的吸烟量和他的平均寿命是有关系 的, 这个关系量又有多大呢?
6
一种化肥的施用量和农作物的产量是有关 系的, 这个关系的大小又是如何呢? 这样一些问题都希望能够用一个数字就表 示出来, 这就是人们想到要用协方差和相 关系数的原因.
...
...
k0-2 k0-1 k0 k0+1 k0+2 由上图可知P(X=k0)P(X=k0+1)
且P(X=k0)P(X=k0-1)
46
Cnk C k -1
n
n! k!(n -
k)!
(k
-1)!(n n!
k
1)!
n
-k k
1
由
C p q k0 k0 n-k0 n
C p q k0 -1 k0 -1 n-k0 1 n
(n - k0 1) p k0q
1
(n 1) p k0, 得np p k0
47
k0 1 k0 1 n-k0 -1
再由C p q n C p q k0 k0 n-k0
n
(n - k0) p (k0 1)q
1
np p -1 k0,
即np p -1 k0 np p
48
分析np+p-1k0np+p 知道np+p比np+p-1大了1, 因此挤在这两 个数中间的整数有1个还是2个取决于 np+p是否正好是整数.
yi ,
cov( X ,Y )
1 n
n i1
( xi
-
x )( yi
-
y)
1 n
例如 一个人的身高和体重是非常有关系的, 但 是又并不完全是严格的函数关系, 那么关 系程度究竟有多大呢? 一个人的吸烟量和他的平均寿命是有关系 的, 这个关系量又有多大呢?
6
一种化肥的施用量和农作物的产量是有关 系的, 这个关系的大小又是如何呢? 这样一些问题都希望能够用一个数字就表 示出来, 这就是人们想到要用协方差和相 关系数的原因.
...
...
k0-2 k0-1 k0 k0+1 k0+2 由上图可知P(X=k0)P(X=k0+1)
且P(X=k0)P(X=k0-1)
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Cnk C k -1
n
n! k!(n -
k)!
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-1)!(n n!
k
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-k k
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由
C p q k0 k0 n-k0 n
C p q k0 -1 k0 -1 n-k0 1 n
(n - k0 1) p k0q
1
(n 1) p k0, 得np p k0
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k0 1 k0 1 n-k0 -1
再由C p q n C p q k0 k0 n-k0
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(n - k0) p (k0 1)q
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np p -1 k0,
即np p -1 k0 np p
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分析np+p-1k0np+p 知道np+p比np+p-1大了1, 因此挤在这两 个数中间的整数有1个还是2个取决于 np+p是否正好是整数.
yi ,
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1 n
n i1
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x )( yi
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1 n