2017～2018北师大版九年级上数学第一章特殊平行四边形复习题(一)(word无答案)
1．如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（－4，5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标为（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0 C ．()2,0 D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛310,
2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ） A ．1 B ． 2 C ．4－2 2 D ．32－4
3.菱形ABCD 中，∠A ＝60°，其周长为32，则菱形的面积为__________；
4．将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若CB ＝3，则菱形AECF 的周
长是_____________；
5．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB ＝2．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折
痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：
①∠ABN ＝60°；②AM ＝1；③NQ ＝
3
3
；④△BMG 是等边三角形；⑤P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PN ＋PH 的最小值是3．其中正确结论的序号是_________．
F D
A
B
C
E
F
6．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别为边AD 、CD 上一点，将正方形分别沿
BE 、BF 折叠，点A 的对应点M 恰好落在BF 上，点C 的对应点N 恰好落在BE 上，则图中阴影部分的面积为_________．
7.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG
＝CG ；③AG //CF ；④S △EFC ＝12
5
．其中正确结论的是____________（只填序号）.
8．如图，菱形ABCD 的周长为16，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC ＝120°，则OE 的长为（ ）． A
B ．1 C
D ．
9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，点E 是AD 上的一点，有AE ＝4，BE 的垂直平分线交
BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ，若G 是CD 的中点，则BC 的长是 ．
10.如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平，再一次折叠，使点D 落到EF 上G 点处，并使折痕经过点A ，展平纸片后∠DAG 的大小为（ ） A.30° B.45° C.60° D.75°
A
第9题图
第8题图
11.如图1，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，过点D 作DE ⊥AB 点E ，DF ⊥BC 于点F .将∠EDF 绕点D 顺时针旋转α°（0＜α＜180），其两边的对应边DE ′、DF ′分别与直线AB 、BC 相较于点G 、P ，如图2.连接GP ，当△DGP 的面积等于33时，则α的大小为（ ） A.30 B.45 C.60 D.120
12.在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB ＝∠MBC ，则AM ＝___________；
13.如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，且满足AM ＝BN ，连接AC 交BN 于点E ，连接DE 交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为4，则线段CF 的最小值是_____________；
14．如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形. 若∠BAD ＝60°，AB ＝2，则图中阴影部分的面积为__________.
D
15.邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n 次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n 阶矩形．如图，矩形ABCD 中，若AB ＝1，AD ＝2，则矩形ABCD 是1阶矩形．已知一个矩形是2阶矩形，较短边长为2，则较长边的长度为( )
A.6
B.8 C ．5或8 D ．3或6
16.在矩形ABCD 中，AE ＝CF ＝
AD ＝1，BE 的垂直平分线过点F ，交BE 于点H ，交AB 于
点G ，则AB 的长度为 .
17．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．
(1)求证：AF ＝CE ；
(2)如果AC ＝EF ，且∠ACB ＝135°，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．
18．已知：正方形ABCD ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D 处，使三角板绕点D 旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE 与AF 的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE ＝1，AE ＝7，CE ＝3，求∠AED 的度数；
G
图1
图
N
O M E
A
C
F
F
B
D
19．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（一6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
(1)直接写出线段BO的长；
(2)求点D的坐标；
(3)若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由．。
【新】九年级数学上册第一章特殊平行四边形全章复习与巩固(基础篇)巩固练习(含解析)(新版)北师大版
《特殊平行四边形》全章复习与巩固【巩固练习】 一.选择题 1．如图，□ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 的长等于（ ）. A ．2cm B ．1cm C ．1.5cm D ．3cm2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）.A ．每一条对角线平分一组对角B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直3．如图所示，将一张矩形纸ABCD 沿着GF 折叠(F 在BC 边上，不与B ，C 重合)，使得C 点落在矩形ABCD 的内部点E 处，FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数α满足( )．A ．90°＜α＜180° B．α＝90°C ．0°＜α＜90° D．α随着折痕位置的变化而变化4．如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为（ ）A ．32B ．75D 5．正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）A ．对角线相等；B ．对角线互相垂直；C ．每条对角线平分一组对角；D ．对角线互相平分.6．如图是一张矩形纸片ABCD 错误！未找到引用源。
，AD=10cm 错误！未找到引用源。
，若将纸片沿错误！未找到引用源。
折叠，使错误！未找到引用源。
落在错误！未找到引用源。
上，点C 的对应点为点F ，若BE=6cm ，则错误！未找到引用源。
（ ）.A ．错误！未找到引用源。
B ．6cmC ．8cmD ．10cm7．矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm，则对角线的长为（）. A．2.8cm B．1.4cm C．5.6cm D．11.2cm8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）.A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9．如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．10．矩形的两条对角线所夹的锐角为，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12．如图，矩形错误！未找到引用源。
2017-2018北师大九年级上第一章特殊的平行四边形检测
2017-2018北师大九年级上第一章特殊的平行四边形检测一．选择题（共12小题）1．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（）A．14 B．16 C．18 D．203．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②4．菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是（）A．10 B．8 C．6 D．55．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm7．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．9．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB 10．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A．B．C．D．11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm12．如图，四边形ABCD是菱形，A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为（）A．（﹣5，4）B．（﹣5，5）C．（﹣4，4）D．（﹣4，3）二．填空题（共7小题）13．如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是．14．菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为cm2．15．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）16．在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是．17．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是．18．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．19．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．三．解答题（共6小题）20．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．21．如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．22．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．23．已知：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，BF与AD交于点F，求证：AE=BF．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．25．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．2017-2018北师大九年级上第一章特殊的平行四边形检测参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．2．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（）A．14 B．16 C．18 D．20【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，∴BC=AB==5，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．故选：C．3．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，故选B．4．菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是（）A．10 B．8 C．6 D．5【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，求得OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长．【解答】解：如图，∵菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，∴OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，AC⊥BD，∴AB==10（cm）．即菱形的边长是10cm．故选A．5．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3，故选A．7．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）【分析】过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ADC=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论．【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴，∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，∴OE=7，∴C（2，7），故选A．8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．=S矩形ABCD=3=•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．【分析】根据S△ABE【解答】解：如图，连接BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE中，AE===，=S矩形ABCD=3=•AE•BF，∵S△ABE∴BF=．故选B．9．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB 【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．10．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A．B．C．D．=S△BCP+S△BEP求出【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCEh=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，=S△BCP+S△BEP，则S△BCE即BE•h=BC•PQ+BE•PR，∵BE=BC，∴h=PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为2，∴h=2×=．故选D．11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S==×6×8=24cm2，菱形ABCD=BC×AE，∵S菱形ABCD∴BC×AE=24，∴AE=cm．故选：B．12．如图，四边形ABCD是菱形，A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为（）A．（﹣5，4）B．（﹣5，5）C．（﹣4，4）D．（﹣4，3）【分析】由勾股定理求出AB=5，由菱形的性质得出BC=5，即可得出点C的坐标．【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD=AB=5，∴点C的坐标为（﹣5，4）；故选：A．二．填空题（共7小题）13．如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是24．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∴菱形的面积S=AC•BD=×8×6=24．故答案为：24．14．菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为18cm2．【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面积．【解答】解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E∵菱形ABCD中，其周长为24cm，∴AB=AD=6cm，∴BE=AB•sin60°=3cm，∴菱形ABCD的面积S=AD•BE=18cm2．故答案为：18．15．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC （答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．16．在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是16．【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．【解答】解：如图，∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴AB=2EF=4，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，∴菱形ABCD的周长=4×4=16．故答案为16．17．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是80°．【分析】根据菱形的对角相等可得∠B=∠D，再根据等角三角形两底角相等，利用三角形的内角和等于180°表示出∠BAE和∠DAF，然后根据菱形的两邻角互补列式求解即可．【解答】解：在菱形ABCD中，∠B=∠D，∵正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，∴AB=AE，AD=AF，∴∠BAE=180°﹣2∠B，∠DAF=180°﹣2∠D，又∵∠EAF=60°，∴180°﹣2∠B+60°+180°﹣2∠D+∠B=180°，整理得，3∠B=240°，解得∠B=80°．故答案为：80°．18．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75度．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P 为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．19．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．【分析】作BM⊥FG于M，交EC于N，如图，根据菱形的性质得BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，则∠BCN=∠BGM=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCN中可计算出BN=CN=，在Rt△BMG中可计算出BM=GM=，则MN=BM﹣BN=﹣=2，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S△BCD+S梯形CDFG﹣S△BGF进行计算即可．另一种解法为把阴影部分的面积转化为△BCD的面积进行计算．【解答】解：作BM⊥FG于M，交EC于N，如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE为菱形，∴BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，∴∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，∴∠BCN=∠BGM=60°，∵BM⊥GF，∴BN⊥EC，在Rt△BCN中，∵∠NBC=30°，∴CN=BC=，BN=CN=，在Rt△BMG中，GM=BG=，BM=GM=，∴MN=BM﹣BN=﹣=2，∴S阴影部分=S△BCD+S梯形CDFG﹣S△BGF=×3×+×（3+4）×2﹣×4×=．另一种解法：连接CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE为菱形，∠A=120°，∴∠DBC=∠FCG=30°，∴BD∥CF，=S△CDB=S菱形ABCD=•2••32=．∴S△FDB故答案为．三．解答题（共6小题）20．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．21．如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD=BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=BC=CE，AF=AD=CF，得出AE=CE=AF=CF，即可得出结论；（2）连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面积=AC•EF，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=BC=CE，同理，AF=AD=CF，∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=BC=5，AB=AC=5，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=AB=，∴EF=5，∴菱形AECF的面积=AC•EF=×5×5=．22．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵M是AD的中点，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：由（1）得：△ABM≌△DCM，∴BM=CM，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴ME=BE=BM，MF=CF=CM，∴ME=MF，又∵N是BC的中点，∴EN、FN是△BCM的中位线，∴EN=CM，FN=BM，∴EN=FN=ME=MF，∴四边形MENF是菱形．23．已知：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，BF与AD交于点F，求证：AE=BF．【分析】根据正方形的性质得出∠AED=∠AFB，所以得到△AED≌△ABF，利用全等的性质得到AE=BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，∴∠DAE+∠AED=90°，∠DAE+∠AFB=90°，∴∠AED=∠AFB，又∵AD=AB，∠BAD=∠D，∴△AED≌△ABF，∴AE=BF．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE=DF，∴矩形DECF是正方形．25．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．【分析】先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．【解答】证明：取AB的中点H，连接EH；∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．。
北师大版2018九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形单元练习题十(附答案)
北师大版2018九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元练习题十（附答案）1．如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，则四边形满足的一个条件是（）A．四边形是矩形B．四边形是菱形C．D．2．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．4B．2C．2D．23．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，BE 的长为（）A．B．C．4 D．24．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．185．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤ 2CEF ABE S S ∆∆=,其中正确结论有（ ）个A ． 2B ． 3C ． 4D ． 56．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）A ． 正方形B ． 矩形C ． 菱形D ． 都有可能7．如图，在中，，，点D 是AB 的中点，则A ． 4B ． 5C ． 6D ． 88．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD 是菱形，则这个条件是（ ）A ． AC ⊥BDB ． AD=CDC ． AB=BCD ． AC=BD9．如图，在正方形ABCD 中，BD=BE ，CE ∥BD ，BE 交CD 于F 点，则∠DFE 的度数为（ ）A ． 45°B ． 60°C ． 75°D ． 90°10．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为( )A ． 10B ． 3C ． 4D ． 511．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=140°，则∠AOE的大小为__________________；12．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是__________．cm 13．菱形的两条对角线分别长10cm，24cm，则菱形的边长为____cm，面积为____ 2 14．菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的周长为______．15．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC，AD=3，DF=1，四边形DBEC面积是_____16．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD 上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_____cm．17．如图，△ABC中，若∠ACB=90°，∠B=55°，D是AB的中点，则∠ACD=_____°．18．如图，正方形ABCD的边长为5，连接BD，在线段CD上取一点E，在线段BD上取点F，使得∠BEC=∠DEF，当S△DEF= 13S△EFB时，在线段BC上有一点G，使FG+EG最短，则CG=________．19．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上，若AB=1，则CN=_____．20．如图，己知某菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD=120°，则花坛对角线AC的长是_____________m．21．平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？22．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论．23．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，求OD的长.24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．求证：四边形BMDN是菱形；若，，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．25．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且，．求证：四边形OCED是菱形；若，，求菱形OCED的面积．26．如图所示，矩形ABCD中，长为7，宽为6，点E、F将BD三等分，求△AEF的面积．27．如图，正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分BAC，DH AF于点H，交AC 于G，DH延长线交AB于点E，求证：BE=2OG.28．如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F.求证：DE＝BF＋EF.答案1．D【解析】因为E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，所以EF=AD，EH∥BC且EH=BC，GF∥BC且GF=BC，所以四边形EFGH是平行四边形，当EF=EH，即AD=BC时，四边形EFGH是菱形，故选D.2．A【解析】如图，∵四边形ABCD的正方形，∴点A和点C关于BD对称，∴当点P移动到AE与BD的交点处时，PC+PE的和最小，此时PC+PE=AE=AB=4.故选A.3．D【解析】根据矩形的性质和已知条件，由全等三角形的判定AAS，可证明△AEF≌△DCE；根据全等三角形的的性质，可知AE=DC Rt△ABE中由勾股定理可求得BE=2．故选：D.4．C【解析】【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．5．C【解析】∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴AB=BC=CD=AD，AE=AF=EF，∠B=∠D=∠BCD=90°，∠EAF=60°，∴△ABE≌△ADF，∠BAE+∠DAF=90°-60°=30°，∴∠BAE=∠DAF=15°，BE=DF，（即①②正确）；∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF，又∵AE=AF，∴点A、C都在线段EF的垂直平分线上，∴AC垂直平分EF.（即③正确）；如下图，在AB上取点P连接PE，使PE=PA，则由∠BAE=15°可知∠BPE=30°，设BE=DF=1，则PE=PA=2，在Rt△PEB中由勾股定理可得：∴2，∴1，∴∵BE+DF=2，∴BE+DF ≠EF.（即④错误）；∵S △CEF =12CE 2=)21122=2S △ABE =122⨯AB·BE=)212⨯= ∴S △CEF =2S △ABE （即⑤正确）；综上所述，上述5个结论中，正确的有4个.故选C.6．C【解析】如图，作AE ⊥BC 交BC 于点E ，作AF ⊥CD 交CD 于点F ，则AE =AF ，∠AEB =∠AFD =90°，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE =∠ADF ，∵在△AEB 和△AFD 中，，∴△AEB≌△AFD，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.故选C.点睛：一组邻边相等的平行四边形是菱形.7．B【解析】【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】，点D为AB的中点，．故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质，掌握在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据菱形的判定方法结合各选项的条件逐一进行判断即可得.【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键.9．C【解析】试题分析：把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG，则∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，先证出C、A、G三点共线，得出∠DAG=135°，∠BAG=∠DAG，由SAS证明△BAG和△DAG全等，得出BG=DG，证出BG=DG=BE，即△BDG是等边三角形，得出∠GBD=60°，∠DBE=30°，再由三角形的外角的性质求出∠DFE 的度数，故选C．10．D【解析】【分析】先由勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可求中线.【详解】因为Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，所以其斜边为，所以斜边上的中线长为10÷2=5.故选：D【点睛】本题考核知识点：勾股定理，斜边上的中线. 解题关键点：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求直角三角形斜边上的中线.11．70°【解析】分析：根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可.详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC平分∠DAB，∴∠DAB+∠ADC=180°，∠OAB=∠DAB，∵∠ADC=140°，∴∠DAB=40°，∠OAB=20°，∵OE⊥AB，∴∠OEA=90°，∴∠AOE=180°-90°-20°=70°.故答案为：70°.点睛：熟记“菱形的相关性质并能由此解得∠OAB=20°”是解答本题的关键.12．3【解析】【分析】先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【详解】∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=BC==6cm，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE ′是直角三角形，∴CE ′=，故PE ﹢PC 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．13． 13 120【解析】试题解析：根据题意可得AC =10cm ，BD =24cm ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴1122AO AC BO BD ==，，AC ⊥BD ， ∴AO =5cm ，BO =12cm ，∴13AB cm =，面积： ()2111024120.22AC BD cm ⋅=⨯⨯= 故答案为：13；120.14．20cm ；【解析】分析：菱形的一半与菱形的一边构成直角三角形，用勾股定理求菱形的边长.详解：因为菱形的对角线互相平分且垂直，所以菱形的一半与菱形的一边构成直角三角形， 所以菱形的边长为5，则周长为20cm .故答案为20cm .点睛：本题考查了菱形的性质和勾股定理，在菱形中，已知两条对角线的长时，根据菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形的一半与菱形的一边构成直角三角形，结合勾股定理求菱形的边长.15．4【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD，得出四边形DBEC是菱形，由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．【详解】∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC为平行四边形．又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，∴CD=BD=AC，∴平行四边形DBEC是菱形；∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD=S△ABC∴BC=2DF=2．又∵∠ABC=90°，∴AB=＝．∵平行四边形DBEC是菱形，∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC=×4×2=4，故答案为：4.【点睛】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质即可解题16．5【解析】试题解析：连接EF，∵OD=OC，∵OE⊥OF∴∠EOD+∠FOD=90°∵正方形ABCD∴∠COF+∠DOF=90°∴∠EOD=∠FOC而∠ODE=∠OCF=45°∴△OFC≌△OED，∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF==5cm．故答案为5．17．35．【解析】∵∠ACB=90°，∠B=55°，∴∠A=35°，∵∠ACB=90°，D 是AB 的中点，∴DA=DC ，∴∠ACD=∠A=35°，故答案为：35．【点睛】考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．18．59【解析】延长DC 到N ,CN=CE,连接FN 交BC 于G,此时点G,FG+EG 最短,S △DEF =13S △EFB, 14DF DB ∴=, 过点F 作FM ⊥CD,四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°，FM BC ,FM DM DF BC DC DB∴==, 5BC CD ∴==，1554FM DM ∴==， ∴FM=DM =54， ∠BEC =∠DEF ,∠EMF =∠ECB =90°，~,EMF ECB ∴545EM FM EC BC ==, ∴EC =4EM ,∴EM+EC+DM =5,∴EM =43,EC=3, ∴CN=CE =3,MN=CN+CE+ME =3+3+34=27,4∴CG FM,CG CN FM MN∴=, 352744CG ∴=， ∴CG=59.点睛：平面上最短路径问题（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”.凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型.（2）归于“三角形两边之差小于第三边”.凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题.19．【解析】分析：由已知易得∠ABC=120°，则∠CBM=60°，结合∠M=90°可得∠BCM=30°，从而可得BM=BC=，CM=，则可得AM=AB+BM=，由此可得MN=AM=，从而可得CN=MN-CM= .详解：∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=，∴∠CBM=180°﹣120°=60°，∵正方形AMNP中，∠M=90°，∴∠BCM=30°，∴BM=BC=，CM=，∴AM=AB+BM=，∵四边形AMNP是正方形，∴MN=AM=，∴CN=MN﹣CM=，故答案为：.点睛：本题的解题要点是：由多边形内角和公式求得∠ABC=120°，从而可得∠CBM=60°，进而在△CBM中，解得∠BCM=30°，由此结合已知条件即可求得BM和CM的长度，从而使问题得到解决.20．6【解析】分析：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．详解：∵菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD=120°，∴AB=BC=6m，AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6m．故答案为：6．点睛：此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．21．四边形ABCD是菱形,理由见解析【解析】【分析】在△AOB中，根据勾股定理可证△AOB为直角三角形，即可证AC、BD互相垂直．根据菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形ABCD是菱形．【详解】在△AOB中，∵AB=，AO=2，OB=1，∴AB2=()2=5，AO2+OB2=22+12=5，∴AB2=AO2+OB2，∴△AOB为直角三角形,即∠AOB=90°，∴AC、BD互相垂直，∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和菱形的判定方法,菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.22．(1)见解析 (2)平行四边形(3)DF∥AB，DF＝AB【解析】【分析】（1）根据三线合一可得∠ADC＝90°，由外角的性质和角平分线的定义得AN∥BC,从而∠DAE＝90°，由CE⊥AN得∠AEC＝90°，从而四边形ADCE为矩形．（2）由四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE，结合已知可得AB＝DE，AE＝BD，从而四边形ABDE是平行四边形；（3）由四边形ADCE为矩形可得F是AC中点，由四边形ABDE是平行四边形可得DF∥AB，从而DF是△ABC的中位线.【详解】(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∴∠ADC＝90°.∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN.∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB,∵∠MAN+∠CAN=∠ABC+∠ACB,∴∠MAN=∠ABC,∴AN∥BC,∴∠DAE＝90°.∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°.(2)四边形ABDE是平行四边形．证明：由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE.又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)∵四边形ADCE为矩形∴F是AC中点，∵四边形ABDE是平行四边形∴DF∥AB，∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，DF＝AB.点睛：主要考查的知识点为三角形外角的性质，等腰三角形的性质，平行四边形和矩形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质是解答此题的关键. 23．4.8.【解析】分析：由直线AB的解析式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB的长度，由OA、OB的长度利用勾股定理可求出AB的长度，根据菱形的性质可得出OE⊥AB、OE=DE，利用面积相等法可求出OE的长度，再根据OD=2OE即可求出OD的长度．详解：∵直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，∴点A（3，0），点B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5．∴OE⊥AB，OE=DE，∴OA•OB=OE•AB，即3×4=5OE，解得：OE=，∴OD=2OE=．点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及三角形的面积，借用面积相等法求出OE的长度是解题的关键．24．(1)证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先由已知条件证四边形BMDN是平行四边形，结合MN垂直平分BD即可得到平行四边形BMDN是菱形；（2）设BM=x，由四边形BMDN是菱形可得DM=BM=x，由此可得AM=AD-DM=8-x，这样在Rt△ABM中由勾股定理可求得x=5，这样由S菱形BMDN=MD·AB即可求出其面积了；在Rt△ABD中由已知易得BD=，结合S菱形BMDN=MD·AB=BD·MN即可求得MN的长.（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，，∴，，在和中，，∴≌，∴，∵，∴四边形BMDN是平行四边形，∵，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）∵四边形BMDN是菱形，∴，设MD长为x，则，在中，即，解得：，即．菱形BMDN的面积，∵，又∵菱形BMDN的面积，∴．点睛：这是一道特殊四边形的综合题，熟悉“矩形的性质、菱形的判定和性质及菱形面积的计算方法”是正确解答本题的关键.25．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．（2）解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．【详解】证明：，，四边形OCED是平行四边形，矩形ABCD，，，，，四边形OCED是菱形；在矩形ABCD中，，，，，，连接OE，交CD于点F，四边形OCED为菱形，为CD中点，为BD中点，，，．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．26．7【解析】试题分析：根据矩形的性质可得△ABD的面积是矩形面积的一半，再根据同等底等高的三角形面积相等即可得.试题解析：∵BD是矩形ABCD的对角线，∴S△ABD=12S矩形ABCD=1762⨯⨯=21，∵E、F是BD的三等分点，∴S △AEF=13S△ABD=7.27．证明见解析.【解析】分析：作OM∥AB交DE于M．首先证明OM是△DEB的中位线，再根据等角对等边证明OG=OM即可解决问题．详解：作OM∥AB交DE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OD，∵OM∥BE，∴EM=DM，∴BE=2OM，∵∠OAD=∠ADO=∠BAC=45°，∵AF平分∠BAC，∴∠EAH=22.5°，∵AF⊥DE，∴∠AHE=∠AHD=90°，∴∠AEH=67.5°，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠ADE=22.5°，∴∠OGD=∠GAD+∠ADE=67.5°，∵∠AEH=∠OME=67.5°，∴∠OGM=∠OMG，∴OG=OM，∴BE=2OG．点睛：本题考查了正方形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的中位线等知识点，正确作出辅助线，证明OG=OM是解答本题的关键.28．见解析【解析】【分析】由正方形性质和垂直定义，根据AAS证明△ABF≌△DAE，得BF=AE．DE=AF，可得结论.【详解】解：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE＋∠DAE=90°又∵∠BAF＋∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF与△DAE中，AD=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)．∴BF=AE．DE=AF，∵AF=AE＋EF，∴DE=BF＋EF。
2017-2018学年九年级数学北师大版上册 第1-3章综合测试题(原卷版)
第1-3章综合测试题一、选择题(每小题3分，共30分)1. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中甲跑第一棒，那么乙跑第二棒的概率为（）A.124B.112C.16D.132. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A. 63米B. 6米C. 33米D. 3米3. 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（）．A. 8%B. 18%C. 20%D. 25%4. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为( )A. 2B.C.D. 15. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分BAD∠交BC于E，15CAE︒∠=，则下面结论：①ODC∆是等边三角形；②=2BC AB；③135AOE︒∠=；④AOE COES S∆∆=，其中正确结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 在方程x2＋x＝y5x－2x2＝3，(x－1)(x－2)＝0，x2－1x＝4，x(x－1)＝1中，是一元二次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）A. -2B. 2C. 4D. -48. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 为斜边AB 的中点，如果CD=3，那么AB 的长是（ ）A. 1.5B. 3C. 6D. 129. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若OA=2，则BD 的长为( )A. 4B. 3C. 2D. 1 10. 如图，要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）A. AB =AD 且AC ⊥BDB. AB =AD 且AC =BDC. ∠A =∠B 且AC =BDD. AC 和BD 互相垂直平分 二、填空题(每小题3分，共24分)11. 正方形ABCD 的边长AB ＝4，则它的对角线AC 的长度为_______.12. 若代数式x 2＋9的值与－6x 的值相等，则x 的值为________.13. 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件___（只添一个即可），使ABCD 是矩形．14. 已知x 1=3是关于x 的一元二次方程x 2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x 2是_______ 15. 一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。
北师大版九年级上册第一章《特殊平行四边形》典型例题
第一章特殊的平行四边形1.菱形的性质和判断1.1第一课时知识点1：菱形的定义例1（2019年毕节）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A．B．C．D．1分析：菱形的判定有如下方法：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四边相等的四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.这里已知四边形的基础是平行四边形，因此解答时以1和3为判断主要依据.解：根据菱形的判定方法，知道①，③是成立的，所以推出平行四边形ABCD是菱形的概率为：=，所以选B.点拨与提升：遇到菱形的判定问题，要从两个大方面去分析求解，一是基础图形是平行四边形，二是基础图形是一般四边形，这是解题的基本思路；找到方法后，接下来判断条件的完备性便成为了解题的关键.针对性练习：1.（2019•江西）如图1，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种答案：.D解析：共有如下6种拼接方法：2.（2019•浙江湖州）如图2，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．答案：解：（1）证明：因为D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，所以DF∥BC，EF∥AB，所以DF∥BE，EF∥BD，所以四边形BEFD是平行四边形；（2）解：因为∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，所以DF=DB=DA=AB=3，所以四边形BEFD是菱形，所以四边形BEFD的周长为12．其他教材试题：如图3，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于C，BD平分∠ABC，交AE于D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形．（人教版八年级数学下册P102页第6题）图3B F答案：证明：因为AE∥BF，AC 平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC=∠ACB,所以AB=BC，因为AE∥BF，BD 平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=∠ADB,所以AB=AD，所以AD=BC，因为AD∥BC,所以四边形ABCD 是平行四边形，因为AB=BC，所以四边形ABCD 是菱形.2.如图4，四边形ABCD 是菱形，点M,N 分别在AB,AD 上，且BM=DN，MG∥AD,NF∥AB，点F,G 分别在BC,CD 上，MG 与NF 交于点E.求证：四边形AMEN，EFCG 都是菱形.（人教版八年级数学下册P103页第10题）图4F CB 答案：因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=AD,因为BM=DN，所以AM=AN，因为ME∥AN,NE∥AM，所以四边形AMEN 是平行四边形，所以四边形AMEN 是菱形.同理可证，四边形EFCG 是菱形.知识点2：菱形的轴对称性例2（2019•河北•3分）如图5，菱形ABCD 中，∠D=150°，则∠1=（）A．30°B．25°C．20°D．15°分析：菱形是以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，利用轴对称的全等性解题是解题时常用数学思想解：根据菱形的对称性，知道∠B=∠D，∠DAC=∠1，所以∠1=15°，所以选D.点拨与提升：菱形是一个轴对称图形，有两条对称轴，分别是对角线所在的直线.针对性练习：1.（2019•天津改编）如图6，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C、D在坐标轴上，则C,D的坐标分别为.答案：根据菱形的对称性，可得点C 坐标为（-2,0），点D 的坐标为（0，-1）.2.（2019年岳阳）如图7，在菱形ABCD 中，点E、F 分别为AD、CD 边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．答案：证明：根据题意，得点A,C 关于直线BD 对称，点E,F 关于直线BD 对称，因此△DAF 和△DEC 关于直线BD 对称，所以△DAF≌△DEC，所以∠1=∠2．其他教材试题：如图8，将菱形ABCD 沿AC 方向平移到D C B A ''''，D A ''交CD 于E，B A ''交BC 于F.判断四边形FCE A '是不是菱形.请说明理由.（新浙教版八年级数学下册P124页课内练习1）解：四边形FCE A '是菱形.理由如下：因为菱形是关于对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，且两个图形是平移得到，所以点E,F 关于直线C A '对称，所以CF CE F A E A ='=',,易证CE E A ='，所以CF CE F A E A =='='，所以四边形FCE A '是菱形.知识点3：菱形的特殊性质例3（2019•贵阳）如图9，菱形ABCD 的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC 的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm分析：根据菱形四边相等求得边长，连接BD，根据对角线互相垂直，确定∠ABO=30°，从而确定AO，根据AC=2AO 即可得解.解：因为菱形ABCD 的周长是4cm，所以AB=BC=1cm．连接BD，则AC⊥BD，所以∠ABO=30°，所以AB=2AO，因为AC=2AO，所以AC=AB=1，所以选A．针对性练习：1.（2019•铜仁）如图10，四边形ABCD 为菱形，AB=2，∠DAB=60°，点E、F 分别在边DC、BC 上，且CE=CD，CF=CB，则S △CEF =（）A．B．C．D．答案：D解析：因为四边形ABCD 为菱形，所以AB=BC=CD=2，∠DCB=60°，所以CE=CF=23，所以△CEF 为等边三角形，所以S △CEF =√34×（23）2=√39.2.（2019•天津）如图11，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A.5 B.34 C.54 D.20答案：C 解析:由勾股定理可得：AB=AO 2+BO 2=5,根据菱形四边相等，所以周长等于45，所以选C.其他教材试题：如图12，四边形ABCD 是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm.求：（1）∠BAD,∠ABC 的度数；（2）边AB 及对角线AC 的长（精确到0.01cm）.(人教版数学八年级下册P102页第5题）解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=BC=CD=DA,∠ACD=∠ACB=30°，所以∠DCB=60°，所以△BCD 是等边三角形，根据菱形的性质，得∠BAD=60°,∠ABC=120°；（2）因为△BCD 是等边三角形，所以AB=BD=6cm，设对角线的交点为O，在直角三角形DOC 中，OC=222236-=-OD DC =33,所以AC=2OC=63≈10.39（cm）.课时练：一、选择题1.（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形答案：B解析：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．2.（2018•淮安）如图13，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长（）A．20B．24C．40D．48答案：A解析：由菱形对角线性质知，AO=12AC=3，BO==12BD=4，且AO⊥BO，则AB=5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A．二、填空题3.（2018•黑龙江）如图14，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．答案：AB=BC或AC⊥BD．解析：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．4.（2018•广州）如图15，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．答案：（﹣5，4）．解析：根据题意，得AB=5，所以AD=5，由勾股定理知：OD=4，所以点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．备选题：1.（2018•贵阳）如图16，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．9答案：A解析：EF是△ABC的中位线，所以BC=6，所以菱形ABCD的周长是4×6=24．故选：A．2.（2018•随州）如图17，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．答案：（6，﹣6）．解析：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，则∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，所以∠AOB=30°，∠BOB′=75°，OB′=OB=23，△OBH为等腰直角三角形，所以OB′=6，所以点B′的坐标为（6，﹣6）．故答案为：（6，﹣6）．1.1第二课时知识点1：菱形的判定定理1例4已知：如图18所示，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC 于点F．求证：四边形AEDF是菱形．分析：根据平行条件，易证四边形AEDF是平行四边形．后利用线段垂直平分线的性质的逆定理可证明EF⊥AD，从而得证．证明：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是是平行四边形．因为DE∥AC，所以∠EDA=∠DAC，因为AD是三角形ABC的角平分线，所以∠EAD=∠DAC；所以∠EAD=∠EDA,所以AE=ED，所以点E在线段AD的垂直平分线上，同理可证点F在线段AD的垂直平分线上，所以EF⊥AD，所以四边形AEDF是菱形．点拨与提升：用这个定理时，一定清楚两个核心条件，一是基础条件：四边形是平行四边形；二是升级条件：对角线互相垂直.证明时，平行四边形是基础，要灵活运用平行四边形的判定，证垂直是关键，证明的方法很多，常见的有如下几种：1.等腰三角形三线合一性质法；2.两角互余法；3.垂直—平行—垂直法.4.线段垂直平分线性质定理的逆定理.针对性练习：（2018•扬州）如图19，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形；证明：易证四边形AEBD是平行四边形，因为DB=DA，点F是AB的中点，所以AB⊥DE，所以四边形AEBD是菱形．其他教材试题：已知：如图20所示，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形．(浙教版数学八年级下册P159页例2）证明：易证△AOE≌△COF，所以AE=CF．因为FC∥AE，所以四边形AFCE是平行四边形，因为AC⊥EF，所以四边形AFCE是菱形．知识点2：菱形的判定定理2例5（2018•乌鲁木齐）如图21，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．分析：（1）利用已知条件设法证明四边形AECD的四边相等即可.（2）根据菱形的面积公式和三角形的面积公式解答即可．证明：（1）因为AD∥BC，AE∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以AD=EC，AE=CD.因为∠BAC=90°，E是BC的中点，所以AE=CE=12BC，所以AE=EC=CD=DA，所以四边形AECD是菱形；（2）如图21，过A作AH⊥BC于点H，因为∠BAC=90°，AB=6，BC=10，所以AC=8，因为 ∆ =12BC×AH=12AB×AC，所以AH=245，因为点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，所以CD=CE=5，因为菱形的面积相等，所以CE•AH=CD•EF，所以EF=AH==245．点拨与提升：证明四边形相等是解题的关键，这种方法的最大特点是不以四边形的形状为主线，二是以证明四边相等为主线解决.其次，要把握好同一个图形面积的不同的表示方式，为解题提供新的有效解题方法.针对性练习：将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图22-1；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图22-2，证明：四边形AEDF是菱形．证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，所以∠1=∠2，由第二次折叠可知：∠CAB=∠EDF，从而，∠3=∠4，因为AD是△AED和△AFD的公共边，所以△AED≌△AFD(ASA)，所以AE=AF，DE=DF，又由第二次折叠可知：AE＝ED，AF＝DF，所以AE=ED=DF=AF，所以四边形AEDF 是菱形．其他教材的试题：如图23，在四边形ABCD 中，AC=BD，E,F,G,H 依次是AB,BC,CD,DA 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.（浙教版数学八年级下册P160页A 组第3题）证明：因为E,F,G,H 依次是AB,BC,CD,DA 的中点，所以EF,FG,GH,HE 分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB 的中位线，所以EF=GH=21AC,FG=EH=21BD，因为AC=BD，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形EFGH 是菱形.课时练：1.（2018•内江）如图24，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E，F 分别是AB，BC 上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD 是菱形．答案：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A=∠C．所以△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD=BC,AB=CD，所以AD=BC=AB=CD，所以四边形ABCD 是菱形．2.（2018•遂宁）如图25，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC ⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AD∥BC，因为DE=BF，所以AE=CF，因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形，因为AC⊥EF，所以四边形AECF是菱形．3.（2018•郴州）如图26，在平行四边形ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．证明：因为在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，所以BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∠ =∠FBO=∠ =∠FOB，所以△DOE≌△BOF（ASA）；所以OE=OF，因为OB=OD，所以四边形EBFD是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BFDE为菱形．备选题：（2018•泰安）如图27，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．解：（1）因为AF=FG，所以∠FAG=∠FGA，因为AG平分∠CAB，所以∠CAG=∠FGA，所以∠CAG=∠FGA，所以AC∥FG，因为DE⊥AC，所以FG⊥DE，因为FG⊥BC，所以DE∥BC，所以AC⊥BC，所以∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，因为F是AD的中点，FG∥AE，所以H是ED的中点，所以FG是线段ED的垂直平分线，所以GE=GD，∠GDE=∠GED，所以∠CGE=∠GDE，所以△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，所以GC=GP，所以△CAG≌△PAG，所以AC=AP，由（1）可得EG=DG，所以Rt△ECG≌Rt△GPD，所以EC=PD，所以AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：因为∠B=30°，所以∠ADE=30°，所以AE=12AD，所以AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，所以四边形AECF是平行四边形，所以AE=AF=FG=EG，所以四边形AEGF是菱形．1.1第三课时知识点1：菱形的对角线计算例6（2018•柳州）如图28，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．分析：（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，AB=2，所以菱形ABCD的周长=2×4=8；（2）因为四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2，所以AC⊥BD，AO=1，所以BO=AB2−AO2=22−12=3,所以BD=23.点拨与提升：菱形的计算有三大特点：一是计算周长，边长的4倍；二是对角线互相垂直且平分，为计算提供基础条件；三是充分利用勾股定理，确定计算结果.针对性练习：（2018•呼和浩特）如图29，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．解：（1）证明：因为AB∥DE，所以∠A=∠D，因为AF=CD，所以AF+FC=CD+FC，即AC=DF，因为AB=DE，所以△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，因为∠DEF=90°，EF=3，DE=4，所以DF=32+42=5，因为四边形EFBC 是菱形，所以BE⊥CF，所以EO=× =125,所以OF=OC=EF 2−EO 2=95,所以CF=185,所以AF=CD=DF﹣FC=5﹣185=75．其他教材试题：如图30，菱形花坛ABCD 的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD.求：两条小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积（结果保留小数点后1位）.解：因为ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AC ⊥BD ，∠ABD=30°,△ABC 是等边三角形，所以AC=AB=20m，在直角三角形AOB 中，BO=300102022=-，所以BD=2BO=2300≈34.64m,菱形ABCD 的面积为：64.34202121⨯⨯=⨯BD AC ≈346.42m .知识点2：菱形的面积计算例7如图31，已知四边形ABCD 是菱形，且菱形的周长为32，AE⊥BC，垂足为E，若△ABC 是等边三角形，求菱形的面积.分析：根据菱形的周长，确定菱形的边长；根据△ABC 是等边三角形，确定BE 的长，从而利用勾股定理，确定高AE，利用菱形的面积等于底乘高计算即可.解：因为菱形的周长为32，所以AB=BC=8,因为△ABC 是等边三角形，AE⊥BC，所以BE=21BC=4，所以AE=222248-=-BE AB =43，所求菱形的面积为：BC×AE=323.点拨与提升：菱形的面积计算方法有两种，一是底边乘以其上的高；二是菱形对角线积的一半，这是最常用的方法，计算时灵活运用勾股定理是解题的关键.要特别重视一般式的计算法即底乘高法，这是继承平行四边形的性质得来的，是最基本计算方法，也是通用的计算方法，必须熟练掌握.针对性练习：（2018•哈尔滨）如图32，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，BD=8，3OB=4AO，则线段AB 的长为（）A．7B．27C．5D．10答案：解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，所以∠AOB=90°，因为BD=8，所以OB=4，因为3OB=4AO，所以O=3，在Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB=22BO AO +=5，所以选C.其他教材试题：如图33所示，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm,DH⊥AB 于H，求DH 的长.解：根据题意，易得菱形的边长为5，菱形的面积为6821⨯⨯=24，因为菱形的面积等于底乘高，所以DH=524.知识点3：菱形的性质与判定综合应用例8（2018•广西）如图34，在平行四边形ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：平行四边形ABCD 是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求菱形ABCD 的面积．分析：（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD 即可解决问题；（2）连接BD 交AC 于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；解：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠B=∠D，AB=CD,BC=AD，因为AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠AEB=∠AFD=90°，因为BE=DF，所以△AEB≌△AFD所以AB=AD，所以AB=BC=CD=DA，所以四边形ABCD 是菱形．（2）连接BD 交AC 于O，因为四边形ABCD 是菱形，AC=6，所以AC⊥BD，AO=OC=12AC=12×6=3，因为AB=5，AO=3，所以BO=AB 2−AO 2=4,所以BD=2BO=8，所以 菱形ABCD =12×AC×BD=24．点拨与提升：先利用菱形的判定定理判定菱形，后运用菱形的性质进行相关计算.针对性练习：（2018•扬州）如图35，在平行四边形ABCD 中，DB=DA，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD 是菱形；（2）若DC=10，EF=3BF，求菱形AEBD 的面积．答案：解：（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD∥CE，所以∠DAF=∠EBF，所以△AFD≌△BFE，所以AD=EB，所以四边形AEBD 是平行四边形，所以AD=EB,DB=AE，因为BD=AD，所以AE=EB=BD=DA，所以四边形AEBD 是菱形．（2）解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以CD=AB=10，因为四边形AEBD 是菱形，所以2DE=310，所以 菱形AEBD =12×AB×DE=•310=15．其他教材试题：如图36，在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AB,CD 的中点，AF 与DE 相交于点H，CE 与BF 相交于点G.求证：(1)四边形EHFG 是平行四边形；(2)在什么条件下，四边形EHFG 是是菱形？请说出条件和理由．（浙教版数学八年级下册P161页D 组第6题）答案：解：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CE,AB∥CD，因为E,F 分别是AB,CD 的中点，所以BE=DF,BE∥DF，所以四边形BEFD 是平行四边形，所以EH∥FG；同理可证，FH∥EG；所以四边形EHFG 是平行四边形；(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．理由如下：因为BE=21AB，CF=21CD，所以BE=CF．因为BE∥CF，所以四边形BEFC 是平行四边形．因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC=90°，所以四边形BEFC 是矩形．所以EH=21CE，FH=21BF，且CE=BF，所以EH=FH，所以四边形EHFG 是菱形．课时练：1.图37，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（）A．20B．18C．16D．15答案：C解析：根据菱形的性质，得三角形ABC 是等边三角形，所以AB=4，所以菱形的周长为16.2.已知菱形的边长和一条对角线的长均为２cm，则菱形的面积为（）Ａ．３2cmＢ．４2cm Ｃ．32cm Ｄ．２32cm 答案：D.解析：设对角线的交点为O，所以ＯＡ=１，ＯＢ=22OA AB -=3,所以ＢＤ=２3，所以菱形的面积等于:3222121⨯⨯=⨯⨯BD AC =２3（2cm ）．3.（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，点E 在对角线BD 上，设对角线的交点为点O，且OA=3OE，则BE 的长为．答案：3或5.解析：因为菱形ABCD 中，边长为5，对角线AC 长为6，所以AC⊥BD，BO=22OA AB -=4，因为OA=3OE,解得：OE=1，所以BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E 在对角线交点左侧时，如图2所示：所以BE=BO+OE=4+1=5，所以答案为：3或5.4.一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图39，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？2=1.414，3=1.732，结果保留整数）（.解：当∠ADC=60°时，根据菱形的性质，得三角形ADC是等边三角形，所以AC=40cm；当∠ADC=120°时，过点A作AF⊥CD于点F，如图所示，则AF=203,根据菱形的性质，得∠ACF=30°，所以AC=2AF=403，所以千斤顶升高的高度为：403-40=40（1.732-1）≈29.28cm≈29cm.5.如图39，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E,F分别是AB,AC的中点，连接DE,DF.(1)求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=10,BC=12,求菱形AEDF的面积.（1）证明：因为AB=AC，AD⊥BC，所以点D是BC的中，因为点E,F分别是AB,AC的中点，根据三角形中位线定理，得DE=AF=21AC，DF=AE=21AB，因为AB=AC，所以AE=ED=DF=AF，所以四边形AEDF 是菱形；（2）连接EF，则EF 是三角形ABC 的中位线，所以EF=21BC=6，因为AB=10,BC=12,所以AD=22BD AB -=8，所以菱形AEDF 的面积为：862121⨯⨯=⨯⨯EF AD =24.备选题：1.将等边三角形ABC 沿着边AB 对折，点C 的重合点为点D，则四边形ABCDD 的形状是.答案：菱形.解析：利用四边相等的四边形是菱形判断.2.如图40，在菱形ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE⊥BC 于点E，若DE=3，求菱形ABCD 的面积．解：根据勾股定理，得AE=22AD DE -=5，所以菱形的面积为25.2.矩形的性质和判断1.2第一课时知识点1：矩形的定义例1（2018•沈阳）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O．过点C 作BD 的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，四边形ABCD的面积是．分析：（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．解：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，所以∠COD=90°．因为CE∥OD，DE∥OC，所以四边形OCED是平行四边形，因为∠COD=90°，所以平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．因为四边形ABCD是菱形，所以AC=2OC=4，BD=2OD=2，所以菱形ABCD的面积为：AC•BD=×4×2=4．所以填4．点拨与提升：运用矩形的定义解题时，要抓牢两个核心要素：一是基础四边形是平行四边形，二是其中的一个角是直角.其次要熟练掌握直角的得出方式：垂直二线的交角是直角；互补且相等的两个角是直角；三角形中，两个角互余，则第三个角一定是直角等.针对性练习：（2018•上海改编）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B．∠A=∠C C．四个内角相等D．AB⊥BC答案：B解析：由∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；由∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；由AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；所以选：B．其他教材试题：如图2，平行四边ABCD的对角线AC,BD相交于点O，△OAB是等边三角形,AB=4cm,求：四边形ABCD的面积（精确到0.012cm）(人教版八年级数学P96页第2题)答案：解：因为△OAB是等边三角形,所以AO=BO=AB,因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD，所以OA=OD，因为△OAB是等边三角形,所以∠BAO=∠AOB=60°，所以∠AOD=120°，因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA=30°，所以∠BAD=90°，因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，在直角三角形ABD中，AD=2248-=43,所以四边形ABCD的面积为：4⨯43=163≈27.71（2cm）知识点2：矩形的性质定理1例2（2019•广东省广州市）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD 于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）A．4B．4C．10D．8分析：连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．解：连接AE，如图43，因为EF是AC的垂直平分线，所以OA=OC，AE=CE，因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°，AD∥BC，所以∠OAF=∠OCE，所以△AOF≌△COE，所以AF=CE=5，所以AE=CE=5，BC=BE+CE=8，所以AB＝＝＝4，所以AC＝＝＝4；所以选：A．点拨与提升：利用矩形的四个角都是直角生成直角三角形，为勾股定理的不断运用创造条件，也诶问题的破解提供基础．针对性练习：如图4，已知：四边形ABCD是矩形,AC与BD是对角线.求证：AC=BD.答案：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°，因为BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以AC=BD.其他教材试题：已知：如图5，在矩形ABCD中，M是BC的中点.求证：AM=DM.(浙教版数学八年级下册P149页A组第3题）答案：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD,∠B=∠C=90°，因为BM=CM，所以△ABM≌△DCM，所以AM=DM.知识点3：矩形的性质定理2例3（2019•江苏无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直分析：根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，所以选：C．点拨与提升：矩形的性质识记，要从两个方面落实，一是平行四边形具有的性质，菱形具有点的性质，二是矩形特有的性质，只有分类识记才有效果，因此熟记两图形的性质是解题的关键．针对性练习：（2018•株洲）如图6，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为．答案：2.5解析：因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD=10，BO=DO=BD，所以OD=BD=5，因为点P、Q是AO，AD的中点，所以PQ是△AOD的中位线，所以PQ=DO=2.5．其他教材试题：1.如图7，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中有个直角三角形，有个等腰三角形，有对全等三角形.（浙教版数学八年级下册P148页课内练习第2题）答案：4,4,4；解析：直角三角形ABD，直角三角形ABC，直角三角形ADC，直角三角形BCD；等腰三角形AOD，等腰三角形AOB，等腰三角形BOC，等腰三角形COD；△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC.2.如图7，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O.（1）若∠AOD=120°，则△AOB 是三角形；△COD 是三角形.（2）若∠AOD=120°，CD=4，则对角线AC 的长，矩形ABCD 的周长，面积为.答案：（1）△AOB 是等边三角形；△COD 是等边三角形.（2）AC=8，矩形ABCD 的周长8+83，面积为163.解析：利用勾股定理计算即可.知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质例4如图8，已知：在△ABC 中，BD、CE 分别是边AC、AB 上的高，M 是BC 的中点。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（ ）A ．14B ．18C ．21D ．282．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点（点P 不与点B 、D 重合），PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接EF ，给出下列几个结论：①AP EF =；②AP EF ⊥；③当APD ∆是等腰三角形时，67.5DAP ∠=︒；④PFE BAP ∠=∠．其中有正确有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则DE 的长为（ ）A ．12B ．53C ．25D ．134．下列说法中正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．有一个角是直角的平行四边形是正方形C ．有两个角相等的四边形是平行四边形D ．平移和旋转都不改变图形的形状和大小5．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，AE 是∠BAC 的外角平分线，ED ∥AB 交AC 于点G ．下列结论：①AD ⊥BC ；②AE ∥BC ；③AE ＝AG ；④AD 2＋AE 2＝4AG 2，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；②AB =CD ；③AB BC ⊥；④AO OC =中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，正方形ABCD 的边长为3，点P 为对角线AC 上任意一点，PE BC ⊥，PQ AB ⊥，垂足分别是E ，Q ，则PE PQ +的值是（ ）A ．32B ．3C ．322D ．328．如图，公路,AC BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为4.8km ，则,M C 两点间的距离为（ ）A ．1.2kmB ．2.4kmC ．3.6kmD ．4.8km9．在菱形ABCD 中，∠ADC ＝120°，点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ，连结EG ．若AE ＝1，AB ＝4，则EG ＝（ ）A ．210B ．27C ．33D ．1910．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，3AB =，2OA =，则AD 的长为（ ）A ．5B ．13C ．10D ．711．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，12BC =．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF BG ⊥；②GE GF =；③GDK △和GKH △的面积相等；④当点F 与点C 重合时，75DEF ∠=︒，其中正确的结论共有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．菱形OBCA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是()8,0，点A 的纵坐标是2，则点B 的坐标是（ ）A ．()4,2B ．()4,2-C ．()2,6-D ．()2,6二、填空题13．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若118ABC ∠=︒，则BAC ∠=_______．14．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，P 是AC 上的一个动点，过点P 分别作AB 和BC 的垂线，垂足分别是点F 和E ，若菱形的周长是12cm ，面积是6cm 2，则PE +PF 的值是_____cm ．15．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．16．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，点E 在BC 上，连接AE ，2，EC=7，∠C=2∠DAE，则BD=__．17．如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当BPQ为等腰三角形时，AP的长为_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，将矩形纸片折叠，边AD、边BC与对角线BD 重合，点A与点C恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD的周长是______．19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是_____．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是____．三、解答题21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．（1）如图1，求证：∠BAF ＝∠DAE ；（2）如图2，若∠ABC ＝45°，AE ⊥BC ，连接BD 分别交AE ，AF 于G ，H ，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD 的三角形．22．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°， AB ＝BC ，D 是AC 的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交BC 于点F ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）连接EF ，求∠DEF 的度数；（3）若AC =42，直接写出EF 的取值范围．23．如图，在ABC 中，,,,AC BC D E F 分别是,,AB AC BC 的中点，连接,DE DF ．求证：四边形DFCE 是菱形．24．如图，△ABC 是等边三角形，D 是边AC 的中点，EC ⊥BC 与点C ，连接BD 、DE 、AE 且CE=BD ，求证：△ADE 为等边三角形25．如图所示，平行四边形,ABCD 对角线BD 平分ABC ∠；()1求证：四边形ABCD 为菱形；()2已知AE BC ⊥于E ，若24CE BE ==，求BD ．26．已知：如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CE BF =，连接DE 、CF ，两线相交于点P ，过点E 作EG DE ⊥，且EG DE =，连接FG ．（1）若5DE =，求FG 的长．（2）若点E 、F 分别是BC 、AB 延长线上的点，其它条件不变，试判断FG 与CE 的关系，并予以证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．C解析：C【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP＝EF；④∠PFE＝∠BAP；延长AP到EF，交EF于点H，知∠PAG＝∠PFH，结合∠APG＝∠FPH得∠PHF＝∠PGA＝90°，据此知AP⊥EF，②正确；由点P是正方形ABCD的对角线BD上不于点B、D重合的任意一点，∠ADP＝45°知当∠PAD＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形，可判断③；【详解】过点P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），∴GB＝GP，同理：PE＝BE，∵AB＝BC＝GF，∴AG＝AB−GB，FP＝GF−GP＝AB−GB，∴AG＝PF，在△AGP和△FPE中，AG PF AGP FPE GP PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP ＝EF ，①正确，∠PFE ＝∠GAP ，∴∠PFE ＝∠BAP ，④正确；延长AP 到EF ，交EF 于一点H ，∴∠PAG ＝∠PFH ，∵∠APG ＝∠FPH ，∴∠PHF ＝∠PGA ＝90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上不与点B 、D 重合的任意一点，∠ADP ＝45°， ∴当PA ＝PD 时，∠PAD ＝45°；当DA ＝DP 时，∠PAD ＝67.5°，即当，△APD 是等腰三角形时，∠PAD ＝45°或67.5°时，故③错误．因此，正确的结论是①②④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．3．B解析：B【分析】先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出BF ＝4，则CF ＝BC ﹣BF ＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x ，然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+12＝（3﹣x ）2，解方程即可得到DE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，BF4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x ，在Rt △ECF 中，CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x＝43，∴DE＝3﹣x＝53，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据平行四边形，菱形，正方形的判定，依据平移旋转的性质一一判断即可．【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．B、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．C、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．D、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．C解析：C【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可判断①；求出∠FAE=∠B，再根据平行线的性质得出AE∥BC，即可判断②；求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AE=BD，求出AE=CD，根据矩形的判定推出四边形ADCE是矩形，根据矩形的性质得出AC=DE，AG=CG，DG=EG，求出DG=AG=CG=EG，根据勾股定理判断④即可；根据AE=BD=12BC和AG=12AC判断③即可．【详解】解：连接EC，∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE平分∠FAC，∴∠FAC=2∠FAE，∵∠FAC=∠B+∠ACB，∴∠FAE=∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵AB=AC，AD⊥BC，∴CD=BD，∴AE=CD，∵AE∥BC，∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，AG=CG，DG=EG，∴DG=AG=CG=EG，在Rt△AED中，AD2+AE2=DE2=AC2=(2AG)2=4AG2，故④正确；∵AE=BD=12BC，AG=12AC，∴AG=AE错误（已知没有条件AC=BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．6．C解析：C【分析】分析已知条件，根据轴对称图形的性质结合图形对题中小问题的条件进行分析，选出正确答案，其中③是无法证明是正确的．【详解】解：如图所示：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD，故①正确；∴四边形ABCD是菱形；∴AB=CD，故②正确；∵四边形ABCD是菱形；∴AO=OC，故④正确．∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误；故选：C．【点睛】主要考查了轴对称的性质及菱形的性质与判定；证明四边形是菱形是正确解答本题的关键．7．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∠BCD=45°∴∠ABC=90°，∠ACB=12∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴四边形PQBE是矩形，∴PQ=BE∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．8．B解析：B【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝12AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4km，故选：B．【点睛】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝12AB是解此题的关键．9．B解析：B【分析】连接FG，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE＝AF，BF＝BG，进而可证△AEF是等边三角形及△BFG是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF和FG的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG的长．【详解】解：连接FG，过点B作BH⊥FG于H，如图，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A ＝60°，∠ABC ＝120°，∵点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ， ∴AE ＝AF=1，BF ＝BG ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AFE ＝60°，EF=AF=1∵BF ＝BG ，∴△BFG 是等腰三角形，∴∠GFB ＝1801202-=30°， ∴∠EFG ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF ＝4﹣1＝3，∴BH=32，2==， ∴FG ＝∴EG==故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．10．D解析：D【分析】根据矩形的性质求得BD=4，利用勾股定理求出AD 即可.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OB=OD=OA=OC ，∠BAD=90，∴BD=2OA=4，在Rt △ABD 中，=故选：D.【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，熟记矩形的性质是解题的关键.11．C解析：C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG 是菱形，从而可判断①②正确；由角平分线定理可判断DK KH ≠，即可推导出③错误；根据点F 、C 重合时的性质可得30AEB ∠=︒，进而算出④正确．【详解】解：连接BE ，如图：由折叠可知：BE GE =，BF GF =，BEF GEF ∠=∠∵//AD BC∴GEF BFE ∠=∠∴BEF BFE ∠=∠∴BE BF GE GF ===∴四边形EBFG 是菱形∴EF BG ⊥∴①②正确∵GK 平分DGH ∠，DG GH ≠∴DK KH ≠∴GDK GKH S S ≠△△∴③错误∵当点F 与点C 重合∴122BE BF BC AB ====∴30AEB ∠=︒ ∴180752AEB GEF ︒-∠∠==︒ ∴④正确．故选：C【点睛】 本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、折叠的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等，关键在于结合图形对线段、角进行转化．12．B解析：B【分析】连接AB 交OC 于点D ，由菱形OACB 中，根据菱形的性质可得OD=CD=4，BD=AD=2，由此即可求得点B 的坐标．【详解】∵连接AB 交OC 于点D ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ⊥OC ，OD=CD ，AD=BD ，∵点C 的坐标是（8，0），点A 的纵坐标是2，∴OC=8，BD=AD=2，∴OD=4，∴点B 的坐标为：（4，-2）．故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质与点与坐标的关系．熟练运用菱形的性质是解决问题的关键，解题时注意数形结合思想的应用．二、填空题13．【分析】根据折叠的性质可以判断出三角形ABC 是等腰三角形继而根据三角形内角和为180°求解即可；【详解】将翻折后的图形如图所示：∵四边形ADCF 是矩形三角形ACE 是由三角形ACF 翻折得到的∴∠D=∠解析：31︒【分析】根据折叠的性质可以判断出三角形ABC 是等腰三角形，继而根据三角形内角和为180°求解即可；【详解】将翻折后的图形如图所示：∵ 四边形ADCF 是矩形，三角形ACE 是由三角形ACF 翻折得到的，∴ ∠D=∠E=90°，AD=CE在△ABD 和△BCE 中：AD CE D EABD CBE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠=∠∠∠ ∴△ABD ≌△BCE （AAS ）∴AB=BC∵∠ABC=118°，∴∠BAC=∠BCA=()11180118=62=3122︒-︒⨯︒︒ ， 故答案为：31°．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，正确理解知识点是解题的关键；14．2【分析】连接BP 根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝AB•PE ＋BC•PE 把相应的值代入即可【详解】解：连接BP ∵四边形ABCD 是菱形解析：2【分析】连接BP ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形，S △ABP ＋S △BPC ＝12AB•PE ＋12BC•PE 把相应的值代入即可． 【详解】解：连接BP ，∵ 四边形ABCD 是菱形，且周长是12cm ，面积是6cm 2∴AB ＝BC ＝14×12＝3（cm ）， ∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴ S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形＝3（cm 2）， ∴S △ABP ＋S △BPC ＝12AB•PE ＋12BC•PE ＝3（cm 2）， ∴12×3×PE ＋12×3×PF ＝3， ∴PE ＋PF ＝3×23＝2（cm ）， 故答案为：2．【点睛】 此题考查菱形的性质，S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABC ＝12ABCD S 菱形是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 15．【分析】找出B 点关于AC 的对称点D 连接DM 则DM 就是PM+PB 的最小值求出即可【详解】解：连接DE 交AC 于P 连接BDBP 由菱形的对角线互相垂直平分可得BD 关于AC 对称则PD=PB ∴PE+PB=PE+解析：3【分析】找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DM ，则DM 就是PM+PB 的最小值，求出即可．【详解】解：连接DE 交AC 于P ，连接BD ，BP ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB ，∴PE+PB=PE+PD=DE ，即DM 就是PM+PB 的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE=BE ，∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）在Rt △ADE 中，DM=22AD AM －=2221=3－．故PM+PB 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是最短线路问题及菱形的性质，由菱形的性质得出点D是点B关于AC的对称点是解答此题的关键．16．13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出ABBE的长再利用勾股定理得出BD的长【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠C=90°AD∥BC∵∠C=2∠DAE∴∠DAE=45解析：13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出AB，BE的长，再利用勾股定理得出BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，∵∠C=2∠DAE，∴∠DAE=45°，∴AB=BE，∵，∴AB=BE=5，∵EC=7，∴AD=BC=12，∴．故填：13．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理、等腰直角三角形的性质，正确得出AB，BE的长是解题关键．17．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°BC＝AD＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝90°BC＝AD＝8解析：3或52或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，BC＝AD＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝8，分三种情况：①BP＝BQ＝5时，AP ＝22BP AB -＝2254-＝3；②当PB ＝PQ 时，作PM ⊥BC 于M ，则点P 在BQ 的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4， ∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8； 故答案为：3或52或2或8． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 18．6＋2【分析】由题意BD=2AD=利用勾股定理求出AB 即可解决问题【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=90°AD=BC=AB=CD 由翻折的性质可知BD=2AD=2∴在中AB=CD===3∴四边解析：6＋3【分析】由题意BD=2AD=3利用勾股定理求出AB 即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=90°,AD=BC=3 ,AB=CD, 由翻折的性质可知,BD=2AD=23,∴在Rt DAB 中,AB=CD=22BD AD - =()()22233-=3,∴四边形ABCD 的周长为6+23,故答案为6+23．【点睛】本题考查矩形的性质翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题．19．14【分析】过点D 作轴垂足为E 先证明从而得到AE ＝OB ＝4最后依据的面积＝OB•OE 求解即可【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴垂足为E ∵A 的坐标是点B 的坐标是∴OA ＝3OB ＝4∵ABCD 为正方形∴AB ＝解析：14【分析】过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ．先证明ABO DAE ≌，从而得到AE ＝OB ＝4，最后依据OBD 的面积＝12OB•OE 求解即可． 【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ．∵A 的坐标是()0,3，点B 的坐标是()4,0-，∴OA ＝3，OB ＝4．∵ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠DAB ＝90°．∵90DAE BAO ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒，∴DAE ABO ∠∠＝．在ABO 和DAE △中E AOB DAE ABO AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABO DAE AAS ≌．∴AE ＝OB ＝4．∴437OE AE AO =+=+=．∴OBD 的面积＝12OB•OE ＝12×4×7＝14． 故答案为：14．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，求得OE 的长是解题的关键．20．【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OCAC=BD 由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB 可证△OAB 是等边三角形可得∠ABD=60°由直角三角形的性质可求解【详解】解：∵四边形ABCD 是矩解析：【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC ，AC=BD ，由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB ，可证△OAB 是等边三角形，可得∠ABD=60°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，∴OA=OB ，∵BE=EO ，AE ⊥BD ，∴AB=AO ，∴OA=AB=OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）见解析；（2）△BEG ，△ADG ，△DFH, △ABH【分析】（1）根据菱形的性质可得∠B=∠D ，AB=AD ，再证明△ABE ≌△ADF ，得∠BAE=∠DAF ，从而得出结论；（2）根据菱形的性质和∠ABC ＝45°，得出∠ABD=22.5°，则3∠ABD=67.5°，找出含有67.5°的角的三角形即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B=∠D ，AB=AD ，在△ABE 和△ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴∠BAE=∠DAF ．∴∠BAF ＝∠DAE ；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝45°，∴∠ABD=∠CBD= 22.5°，∴3∠ABD=67.5°，∵AE ⊥BC ，∴∠AEB= 90°，∴∠BGE=67.5°，∵△ABE ≌△ADF∴∠AFD= 90°，∴△BEG 只含有一个3∠ABD ；同理可得：∠DHF=67.5°，△DFH 只含有一个3∠ABD ；∵四边形ABCD 是菱形，∴AD//BC ，AB//CD∵AE ⊥BC ，∠AFD= 90°，∴∠DAG=∠BAH= 90°，∵∠DHF=∠AH B=67.5°，∠BGE=∠ AGD=67.5°，∴△ADG 只含有一个3∠ABD ；△ABH 只含有一个3∠ABD ；【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 22．（1）见解析；（2）∠DEF=45°；（3）≤EF≤4【分析】（1）连结BD ，由等腰直角三角形，结合D 为AC 中点可得AD=BD=CD ，BD ⊥AC,可求∠A=∠DBF=45º，由DE ⊥DF ，可得∠ADE=∠BDF ，再证△ADE ≌△BDF （ASA ）即可； （2）由△ADE ≌△BDF 得DE=DF ，由DE ⊥DF ，可证△DEF 是等腰直角三角形即可； （3）由AC=，利用勾股定理AB=BC =4，当点E 与点A 重合时EF 最大=4，当DE ⊥AB 时，由∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF ，可证四边形EBFD 正方形，可得EF 最小=BD=即可求出EF的取值范围为．【详解】解：（1）证明：连结BD，∵在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝BC，∴∠A=∠C=45º，∵D是AC的中点，∴AD=BD=CD，BD⊥AC,∴∠DBC=∠DBA=45º，∴∠A=∠DBF=45º，∵DE⊥DF，∴∠ADE+∠EDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，∴∠ADE=∠BDF，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE=BF，（2）∵△ADE≌△BDF，∴DE=DF，∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°；（3）若AC=2，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=BC=22AC=42=4 22，当点E与点A重合时EF最大=4，当DE⊥AB时，∵∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF，四边形EBFD正方形，EF最小=BD=22EF的取值范围为22．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质与判定方法，三角形全等判定的方法与性质，正方形的判定方法与性质，勾股定理的应用是解题关键．23．证明见解析【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【详解】证明：,,D E F 分别是,,AB AC BC 的中点，11//,,//,22DE CF DE BC DF CE DF AC ∴==， ∴四边形DECF 是平行四边形．AC BC =，DE DF ∴=，∴四边形DFCE 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．证明见解析【分析】利用△ABC 是等边三角形，D 为边AC 的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS 证明△CBD ≌△ACE ，推出AE=CD=AD ，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD ，即可证明．【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，D 是边AC 的中点，∴AD=DC ，BC=CA ，BD ⊥AC ，∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，∵EC ⊥BC ，∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠DBC ，在△CBD 和△ACE 中， BC CA DBC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBD ≅△ACE （SAS ）∴CD=AE ，∴∠AEC=∠CDB=90°∵D 为AC 的中点∴AD=DE ，AD=DC ，∴ AD=AE=DE ，即△ADE 为等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等．解答此题的关键是先证明△CBD ≌△ACE ，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．25．（1）证明见解析；（2）46BD = 【分析】（1）由角平分线的定义得ABD CBD ∠=∠，再证明CDB CBD ∠=∠，从而得BC DC =，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明出四边形ABCD 是菱形； （2）分别求出BE EC BC AB AE AC 、、、、、，再根据菱形的面积等于平行四边形的面积求解即可．【详解】解：（1）∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AB CD∴CDB ABD ∠=∠∴CDB CBD ∠=∠∴BC DC =∴四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC ，如图，∵ABCD 是菱形∴3BC AB BE EC BE ==+=又∵24BE EC ==∴2BE =∴246BC BE EC AB =+=+== 又AE BC ⊥ ∴22226242AE AB BE =-=-=2222(42)443AC AE EC =+=+=∴642242ABCD S BC AE =⨯=⨯=而242ABCD ABCD S S==菱形 ∴114324222BD AC BD ⨯=⨯=∴BD =【点睛】此题主要考查了菱形的性质与判定，关键是掌握菱形的判定定理．26．（1）FG=3；（2）GF EC =，//GF EC ，理由见解析【分析】（1）首先证明四边形GECF 是平行四边形得FG=CE ，再依据勾股定理求出CE 的长即可得到结论；（2）证明四边形GECF 是平行四边形即可得到结论．【详解】（1）解：四边形ABCD 是正方形BC CD ∴=90B BCD ∠=∠=︒BF CE =BCF CDE ∴∆≅∆DE CF ∴=，BCF CDE ∠=∠90BCF DCP ∠+∠=︒90CDF DCP ∴∠+∠=︒90CPD ︒∴∠=即DE CF ⊥DE EG ⊥//CF EG ∴EG DECF EG ∴=∴四边形GECF 是平行四边形FG EC ∴=5DE =4CD =90DCE ∠=︒3CE ∴=3FG ∴=（2）GF EC =，//GF EC理由：延长FC 交DE 于点M ．四边形ABCD是正方形∴=BC CD∠=∠=︒ABC DCB90∴∠=∠=︒CBF DCE90=BF CEBCF CDE∴∆≅∆∴=CF DE∠=∠BCF CDE∠+∠=︒BCF DCM90∴∠+∠=︒90CDE DCM∴⊥CM DE⊥DE EGEG DE=CF EG∴//=CF BG∴四边形EGFC是平行四边形∴=GF ECGF EC//【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形综合压轴专项训练测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形综合压轴专项训练测试题1、如图，分别以直角ABC △的斜边AB ，直角边AC 为边向ABC △外作等边ABD △和等边ACE △，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒．给出如下结论：①EF ⊥AC ； ②四边形ADFE 为菱形； ③4AD AG =；④14FH BD =；其中正确结论的是__________．2、如图，矩形ABCD 中，BC =2AB ，对角线相交于O ，过C 点作CE ⊥BD 交BD 于E 点，H 为BC 中点，连接AH 交BD 于G 点，交EC 的延长线于F 点，下列5个结论： ①EH =AB ； ②∠ABG =∠HEC ； ③△ABG ≌△HEC ；④CF =BD ．正确的有________．3、如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论： ①四边形CFHE 是菱形； ②EC 平分∠DCH ；EADH F GA BDCHGOEABGHEDCF③线段BF的取值范围为34BF≤≤；④当点H与点A重合时，EF=．以上结论中，你认为正确的有_______________．4、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE BF=，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．求证：AM BG GM=+．A D F BCGEMHADF BCGEMH34215、如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP AB⊥交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若60B∠=︒，这时点P与点C重合，则NMP∠=_______度；（2）求证：NM NP=；（3）当NPC△为等腰三角形时，求B∠的度数．ADM BPNCADMBPNC备用图6、如图3-1，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若120ABC∠=︒.（1）求出线段PG与PC的位置关系及PCG∠的大小；（2）将图3-1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图3-2）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．A D CPGB EAD CP BE G 图3-1 图3-27、在平行四边形ABCD中，BAD∠的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图4-1中证明CE CF=；（2）若90ABC∠=︒，G是EF的中点（如图4-2），求BDG∠的度数；（3）若120ABC∠=︒，FG//CE，FG CE=，分别连接BD、DG（如图4-3），直接写出BDG∠的度数．A DB EG C F图4-1 图4-2 图4-38、在菱形ABCD中，60ABC∠=︒，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF AE=，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图5-1，证明：BE EF=；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图5-2、图5-3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．ABDECFA BDECFA BDEC图5-1 图5-2 图5-59、已知：矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N （如图3-1）． （1）求证：BM DN =；（2）如图3-2，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，求证：四边形AMCN 是菱形；（3）在（2）的条件下，若CDN △的面积与CMN △的面积比为1:3，求MNDN的值． AB N D OMCABNDOMC E图3-1 图3-210、已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图4-1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD CF ⊥．②CF BC CD =-． （2）如图4-2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；（3）如图4-3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．FA BD CEFADEADBCFOE图4-1 图4-2 图4-311、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．12、如图，在平行四边形ABCD 中，4cm AD =，60A ∠=︒，BD AD ⊥．一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AD ⊥． （1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求APE △的面积；（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动．过Q 作直线QN ，使QN//PM ．设点Q 运动的时间为t 秒010t ≤≤（），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2．求S 关于t 的函数关系式．13、如图，矩形OABC 顶点B 的坐标为,3)(8，定点D 的坐标为(12,0)，动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动，动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，PQ 两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ．设运动时间为t 秒． （1）当t =_______时，PQR △的边QR 经过点B ；（2）设PQR △和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．M D CAPBE Q DQ D14、如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA AB ⊥，3cm AD =，5cm DC =，8cm AB =．如果点P 由B 点出发沿BC 方向以1cm/s 速度向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发以2cm/s 速度沿AB 方向点B 匀速运动，当Q 点到达B 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为()t s ． （1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？ （2）当PQB △为等腰三角形时，求t 的值．15、如图5-1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(12,0)A ，(0,4)C ，点D 为OA 边的中点，连接BD ．（1）直接写出点D 的坐标：__________，BD =__________；（2）如图5-2，若点M 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿D A B C →→→运动，同时点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿O C B →→运动，当点M ，N 相遇时运动即停止，设运动时间为t （秒），求使得MON △为直角三角形时所有t 值和取值范围．图5-1图5-2 备用图16、已知：矩形ABCD 中，AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N （如图6-1）．（1）如图6-2，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，求证：四边形AMCN 是菱形；（2）在（1）的条件下，如图6-3，若4cm AB =，8cm BC =，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AMB △和CDN △各边匀速运动一周．即点P 自A M B A →→→停止，点Q 自C D N C →→→停止．在运动过程中，已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．图6-1 图6-2 图6-317、如图，在矩形ABCD 中，12cm AB =，8cm BC =．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，EFG △的面积为S (cm 2) ． （1）当1t =秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围．AN DBOM CANDBOM CEAN DB1图2图18、在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图所示，且5AO =、10OC =，Rt DEF △中，90D ∠=︒，6DE DF ==，DE 边在x 轴上且E 点与原点重合，将Rt DEF △沿x 轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，当点E 与点C 重合时停止运动，设平移的时间为t ，Rt DEF △与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求在平移过程中S 与t 的函数关系式．19、如图，正方形ABCD 的边长为6cm ，P 、Q 分别是BC 、AD 边上的两个动点，点P 从点B 出发以3cm/s 的速度向点C 运动，点Q 从点D 出发以4cm/s 的速度向点A 运动．P 、Q 两点同时出发，当Q 到达A 点时，Q 、P 点同时停止运动．过Q 作QF BC ⊥于F ，交AC 于E ，连接EP ．设运动的时间为()x s ，EPC △的面积为2(cm )y ．当x 为多少时，EPC △是等腰直角三角形．20、如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，BC =30C ∠=︒．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t ＞．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF ． （1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF △为直角三角形？请说明理由．21、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB BC⊥．点M为直角梯形ABCD内一点，满足AMD∠=135︒，将△ADM绕点A顺时针旋转得到对应的△ABN（AD与AB重合，ADM ABN），连接MN．△≌△（1）判断线段MN和BN的位置关系，并说明理由；（2）若AM=1，MD=，求MB的长及点B到直线AN的距离；（3）在（2）的情况下，若BC=8，求四边形MBCD的面积．参考答案1、①③④； ∵ACE △是等边三角形，∴60EAC ∠=︒，AE AC =∵30BAC ∠=︒，∴90FAE ACB ∠=∠=︒，2AB BC =，∵F 为AB 的中点 ∴2AB AF =，∴BC AF =，∴ABC EFA △≌△，∴FE AB =，∴30AEF BAC ∠=∠=︒ ∴EF AC ⊥，故①正确∵EF AC ⊥，90ACB ∠=︒，∴HF//BC ；∵F 是AB 的中点 ∴12HF BC =，∵12BC AB =，AB BD =，∴14HF BD =，故④说法正确； ∵AC AB ≠；∴AE EF ≠，∴四边形ADFE 不是菱形；故②说法不正确； ∴12AG AF =；∴12AG AB =，∵AD AB =；则4AD AG =，故③说法正确. 2、①②④； ①∵CE BD ⊥，H 为BC 中点∴在BCE △中，2BC EH =；又2BC AB =∴EH AB =，故①正确；②由①可知，BH HE =∴EBH BEH ∠=∠，又90ABG EBH BEH HEC ∠+∠=∠+∠=︒∴ABG HEC ∠=∠，故②正确；③由AB BH =，290ABH ∠=︒，得45BAG ∠=︒同理：45DHC ∠=︒，∴45EHC DHC ∠∠=︒＞∴ABG HEC △≌△错误；④∵45ECH CHF F F ∠=∠+∠=︒+∠，又ECH CDE BAO ∠=∠=∠， BAO BAH HAC ∠=∠+∠，∴F HAC ∠=∠∴CF BD =，故④正确．3、①③④； ∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分， ∴FH //CG ，EH //CF ，∴四边形CFHE 是平行四边形，由翻折的性质得，CF FH =，H∴四边形CFHE 是菱形，（故①正确）；∴BCH ECH ∠=∠，∴只有30DCE ∠=︒时EC 平分DCH ∠，（故②错误）； 点H 与点A 重合时，设BF x =，则8AF FC x ==-， 在Rt ABF △中，222AB BF AF +=，即2224(8)x x +=- 解得3x =，点G 与点D 重合时，4CF CD ==， ∴4BF =，∴线段BF 的取值范围为34BF ≤≤，（故③正确）； 过点F 作FM AD ⊥于M ，则(83)32ME =--=，由勾股定理得，EF④正确）．4、连接DG ，在ABG △和ADG △中，45AB AD DAC BAC AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABG ADG △≌△，∴BG DG =，23∠=∠，∵BG AE ⊥，∴290BAE ∠+∠=︒，∵490BAD BAE ∠=∠+∠=︒，∴234∠=∠=∠，∵GM CF ⊥，∴190BCF ∠+∠=︒，又90BCF BFC ∠+∠=︒，∴12BFC ∠=∠=∠，∴13∠=∠，在ADG △中，345DGC ∠=∠+︒，∴DGC ∠也是CGH △的外角，∴D 、G 、M 三点共线，∵34∠=∠（已证），∴AM DM =，∵DM DG GM BG GM =+=+，∴AM BG GM =+．5、（1）∵MP AB ⊥交边CD 于点P ，60B ∠=︒，点P 与点C 重合， ∴30NPM ∠=︒，90BMP ∠=︒，∵N 是BC 的中点，∴MN PN =，∴30NMP NPM ∠=∠=︒；（2）如图1，延长MN 交DC 的延长线于点E ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，∴BMN E ∠=∠，∵点N 是线段BC 的中点，∴BN CN =，在MNB △和ENC △中，BMN EMNB ENC BN CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MNB ENC △≌△，∴MN EN =，即点N 是线段ME 的中点，∵MP AB ⊥交边CD 于点P ，∴MP DE ⊥，∴90MPE ∠=︒， ∴12PN MN ME ==；（3）如图2∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =，又M ，N 分别是边AB ，BC 的中点，∴MB NB =，∴BMN BNM ∠=∠，由（2）知：MNB ENC △≌△，∴BMN BNM E CNE ∠=∠=∠=∠，又∵PN MN NE ==，∴NPE E ∠=∠，设BMN BNM E CNE NPE x ∠=∠=∠=∠=∠=︒， 则2NCP x ∠=︒，NPC x ∠=︒，①若PN PC =，则2PNC NCP x ∠=∠=︒，在PNC △中，22180x x x ++=，解得：36x =，∴2363108B PNC NPC x x ∠=∠+∠=︒+︒=︒⨯=︒， ②若PC NC =，则PNC NPC x ∠=∠=︒，在PNC △中，2180x x x ++=，解得：45x =，∴454590B PNC NPC x x ∠=∠+∠=︒+︒=︒+︒=︒．6、（1）PG PC ⊥，30PCG ∠=︒；如图①，延长GP 交DC 于点H ，∵在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，AE //DC ，AE //GF ， ∴DC //GF ，∴PDH PFG ∠=∠，在△PDH 和△PFG 中，PDH PFG PD PF DPH FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)PDH PFG △≌△，∴DH GF =，PH PG =，∵BG GF =，∴DH BG =，∵DC BC =，∴HC GC =，∴GCH △是等腰三角形，∴PG PC ⊥，PCG PCH ∠=∠，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴30PCG ∠=︒；（2）（1）中两个结论仍成立；证明：如图②，延长GP 交AD 于点H ，连接CG ， ∵四边形ABCD 和BEFG 是菱形，∴AD //BC ，BE //FG ，∵E 在CB 的延长线上∴AD //FG ，∴HDP GFP ∠=∠，在DPH △和FPG △中，PDH PFG PD PF DPH FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DPH FPG △≌△，PH PG =，DH FG BG ==，在CDH △和CBG △中，120DH BG HDC CBG DC BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)CDH CBG △≌△，∴CH CG =，DCH BCG ∠=∠，∴CP PG ⊥，∵60HCG HCB BCG HCB DCH DCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴1230PCG HCG ∠=∠=︒7、（1）证明：如图1，∵AF平分BAD∠，∴BAF DAF∠=∠，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴DAF CEF∠=∠，BAF F∠=∠，∴CEF F∠=∠.∴CE CF=.（2）连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，90∠=︒，ABC∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分BAD∠，∴45∠=∠=︒，DAF BAF∵90∠=︒，DF//AB，DCB∴45∠=︒DFAECF∠=︒，90∴ECF△为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG CG FG⊥，==，CG EF∵ABE=，△为等腰直角三角形，AB DC∴BE DC=，∵45∠=∠=︒BEG DCG CEF GCF∠=∠=︒，∴135在BEG△与DCG△中，∵EG CGBEG DCG BE DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)BEG DCG△△≌，∴BG DG=，∵CG EF⊥，∴90DGC DGA∠+∠=︒，又∵DGC BGA∠=∠，∴90BGA DGA∠+∠=︒，∴DGB△为等腰直角三角形，∴45BDG∠=︒.（3）证法同2，如图3．8、（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60ABC∠=︒，∴ABC△是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴1230CBE ABC∠=∠=︒，AE CE=，∵AE CF=，∴CE CF=，∴F CEF∠=∠，∵60F CEF ACB∠+∠=∠=︒，∴30F∠=︒，∴CBE F∠=∠，∴BE EF=；（2）图2：BE EF=．图3：BE EF=．图2证明如下：过点E作EG//BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60∠=︒，ABC∴ABC△是等边三角形，∴AB AC∠=︒，ACB=，60又∵EG//BC，∴60∠=∠=︒，AGE ABC又∵60∠=︒，BAC∴AGE△是等边三角形，∴AG AE=，=，∴BG CE又∵CF AE=，=，∴GE CF又∵120BGE ECF∠=∠=︒，∴(SAS)△≌△，BGE ECF∴BE EF=；图3证明如下：过点E作EG//BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60∠=︒，ABC∴ABC△是等边三角形，∴AB AC∠=︒，=，60ACB又∵EG//BC，∴60∠=∠=︒，AGE ABC又∵60∠=︒，BAC∴AGE△是等边三角形，∴AG AE=，∴BG CE=，又∵CF AE=，=，∴GE CF又∵60∠=∠=︒，BGE ECF∴(SAS)=．BGE ECF△≌△，∴BE EF9、（1）连接BD ，则BD 过点O ， ∵AD //BC ，∴OBM ODN ∠=∠，又OB OD =，BOM DON ∠=∠， ∴OBM ODN △≌△，∴BM DN =；（2）∵矩形ABCD ，∴AD //BC ，AD BC =，又BM DN =，∴AN CM =，∴四边形AMCN 是平行四边形， 由翻折得，AM CM =，∴四边形AMCN 是菱形；（3）∵12CDN S DN CD =⋅△，12CMN S CM CD =⋅△， 又1:3CDN CMN S S =△△:，∴:1:3DN CM =，设DN k =，则3CN CM k ==， 过N 作NG MC ⊥于点G ， 则CG DN k ==，2MG CM CG k =-=，N G ==∴M N ==∴MN DN = 10、（1）证明：①∵90BAC ∠=︒，AB AC =， ∴45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD AF =，90DAF ∠=︒， ∵90BAC BAD DAC ∠=∠+∠=︒， 90DAF CAF DAC ∠=∠+∠=︒， ∴BAD CAF ∠=∠，在BAD △和CAF △中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(SAS)BAD CAF △≌△， ∴45ACF ABD ∠=∠=︒， ∴90ACF ACB ∠+∠=︒， ∴BD CF ⊥；②由①BAD CAF △≌△可得BD CF =， ∵BD BC CD =-， ∴CF BC CD =-；（2）与（1）同理可得BD CF =， 所以，CF BC CD =+；11、①当01t ≤<时，1()2MNQP S PM QN MN =+⋅四边形11)]2t =++= ②当12t ≤≤时1()2MNQP S PM QN MN =+⋅四边形1)]12t =-⋅=； ③当23t <≤时，1()2MNQP S PM QN MN =+⋅四边形1))]2t t =--= 综上所述，1)2)3)tS tt+≤<=≤≤⎪+<≤⎪⎩．12、（1）当点P运动2秒时，2cmAP=，由60A∠=︒，知1cmAE=，PE=．∴APES=△2．（2）①当06t≤≤时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN 与AD交于点F，则AQ t=，2tAF=，QF=，2AP t=+，12tAG=+，PG．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=+．②当68t≤≤时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ t=，2tAF=，42tDF=-，QF，6BP t=-，10CP t=-，10PG t=-（BD=故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为2S=+-③当810t≤≤时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则202CQ t=-，(202QF t=-10CP t=-，10PG t=-（∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为2S=-+故S 关于t的函数关系式为22(0t 6)(68)10)S t t +≤≤⎪⎪⎪=+-≤≤⎨-+≤≤⎪⎩． 13、（1）当1t =秒时，PQR △的边QR 经过点B ．（2）①当01t ≤≤时，如图1-1所示．设PR 交BC 于点G ，过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==．13983(223)3622OABC OPGC S S S t t t =-=⨯-++⨯=-矩形梯形；②当12t <≤时，如图1-2所示．设PR 交BC 于点G ，RQ 交BC 、AB 于点S 、T ． 过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==． QD =t ，则4AQ AT t ==-，∴3(4t)t 1BT BS AB AQ ==-=--=-．21183(223)3(1)2OABC BST OPGC S S S S t t t =--=⨯-++⨯--矩形梯形△215192t t =--+③当2＜t ≤4时，如图1-3所示．设RQ 与AB 交于点T ， 则4AT AQ t ==-．123PQ t =-，∴3t)PR RQ ==-． 2222211117(123t)(4)142822424PQR AQT S S S PR AQ t t t =-=-=---=-+△△.综上所述， 22396(01)21519(12)271428(2t 4)4t t S t t t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩．D D14、（1）4t =；（2）183t =；28t =-，3327t -=15、（1）(6,0)，（2）①如图1所示：∵4OC =，6DA =，∴点N 从O 到C 需要4s ，点M 从D 到A 需要2s ．∴02t ≤＜时，点N 在OC 上，点M 在DA 上． ∴当02t ≤＜时，AOM △为直角三角形． ②如图2所示：当MN OC ⊥时，MON △是直角三角形． ∵MN OC ⊥，∴90MNO ∠=︒． ∴MNO NOA OAM ∠=∠=∠． ∴四边形OAMN 为矩形． ∴ON AM =． ∴36t t =-． 解得：3t =．∴当3s t =时，AOM △为直角三角形． ③如图3所示：当点N 与点C 重合时，NOM △为直角三角形． ∵4ON OC ==， ∴4t =．综上所述，当02t ≤＜时或3t =时或4t =时，NOM △为直角三角形．16、（1）证法一：∵矩形ABCD ，∴AD//BC ，AD BC =， ∵BM DN =，∴AD DN BC BM -=-， 即AN CM =，∴四边形AMCN 是平行四边形， 由翻折得，AM CM =， ∴四边形AMCN 是菱形；证法二：由翻折得，AN NC =，AM MC =，AMN CMN ∠=∠， ∵AD//BC ，∴ANM CMN ∠=∠， ∴AMN ANM ∠=∠， ∴AM AN =，∴AM MC CN NA ===， ∴四边形AMCN 是菱形；（2）设菱形AMCN 的边长为x cm ，则8BM x =-， 在Rt ABM △中，222AB BM AM +=，即22248x x +-=（），解得5x =， ∴5cm AM =，显然，当点P 在AM 上时，点Q 在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形，同理，点P 在AB 上时，点Q 在DN 或CN 上，此时A 、C 、P 、Q 四点也不可能构成平行四边形，因此，只有点P 在BM 上，点Q 在DN 上时，才能构成平行四边形，此时PC QA =，∵点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t ， ∴5PC PM MC PM AM t =+=+=， 844124QA AD CD CQ t t =+-=+-=-，∴5124t t =-， 解得43t =， ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒． 17、（1）如图1，当1t =秒时，2AE =，10EB =，4BF =，4FC =，2CG =，由111()222EBF FCG GCBE EB CG BC EB BF FC C S S S S G =⨯+⋅-⋅--=-⋅△△梯形2111(102)81044224cm 222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=； （2）①如图1，当02t ≤≤时，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上移动， 此时2AE t =，122EB t =-，4BF t =，84FC t =-，2CG t =，111()222EBF FCG GCBE EB CG BC EB BF FC C S S S S G =⨯+⋅-⋅--=-⋅△△梯形21118(1222)4(122)2(84)83248(02)222t t t t t t t t t =⨯⨯-+-⨯--⨯-=-+≤≤． ②如图2，当点F 追上点G 时，428t t =+，解得4t =，当24t ＜＜时，点E 在边AB 上移动，点F 、G 都在边CD 上移动，此时48CF t =-，2CG t =，2(48)82FG CG CF t t t =-=---，11(82)883222S FG BC t t =⋅=-⋅=-+．即832(24)S t t =-+<<． 18、分为三种情况：①当05t <≤时，如图1，设EF 交OA 于Q ， ∵DF DE =，90FDE ∠=︒，∴45FED ∠=︒， ∵四边形AOCB 是矩形， ∴90AOC ∠=︒， ∴45OQE FEO ∠=∠=︒， ∴1OQ OE t t ==⨯=，∴重叠部分的面积21122QOE S S t t t ==⋅=△；②当56t <≤时，如图2， 由①知：OE OQ t ==， ∵四边形AOCB 是矩形， ∴AB//OC ，90QAB ∠=︒， ∴45QRA FED ∠=∠=︒， ∴45AQR QRA ∠=∠=︒， ∴5AR AQ t ==-， ∴重叠部分的面积11()(5)522AOER S S AR OE OA t t ==⨯+⨯=⋅-+⋅梯形，即512.5S t =-；③当610t <≤时，如图3， ∵651QF QR ==-=， ∴重叠部分的面积11()(16)517.522S QR DE DQ =⨯+⨯=⨯+⨯=；综上所述：21,(05)2512.5,(56)17.5,(610)t t S t t t ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪<≤⎪⎩．19、∵45ACB ∠=︒，1图2图3图∴PE CE =和PE FC =时，EPC △是等腰直角三角形， ①PE CE =时，2PC CF =，6324x x -=⨯，解得611x =， ②PE FC =时，点P 和点F 重合，PC CF =，∴634x x -=， 解得67x =， 综上所述，611x =或67时，EPC △是等腰直角三角形．20、（1）在DFC △中，90DFC ∠=︒，30C ∠=︒，2DC t =，∴DF t =，又∵AE t =，∴AE DF =； （2）能.理由如下：∵AB BC ⊥，DF BC ⊥，∴AE//DF . 又AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形∵·tan 350AB BC ===，210AC AB ∴==， 102AD AC DC t ∴=-=-．若使AEFD 为菱形，则需AE AD =．即102t t =-，103t =． 即当103t =时，四边形AEFD 为菱形； （3）①90EDF ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形．在Rt AED △中，30ADE C ∠=∠=︒，∴2AD AE =．即1022t t -=，52t =． ②90DEF ∠=︒时，由（2）知EF//AD ，∴90ADE DEF ∠=∠=︒，∵9060A C ∠=︒-∠=︒， ∴12AD AE =．即11022t t -=，4t =． ③90EFD ∠=︒时，此种情况不存在． 综上所述，当52t =或4时，DEF △为直角三角形． 21、（1）MN BN ⊥，理由：由题意得，△≌△ADM ABN ，且MAN ∠=90︒，ANB AND ∴∠=∠=135︒，AM AN =， ANM ∴∠=45︒，MNB ∠=90︒， MN BN ∴⊥；（2）由题意得，△≌△ADM ABN ，且MAN ∠=90︒，NB MD ∴==AN AM ==1，由勾股定理，MN =，MB =作BP AN ⊥交AN 的延长线于点P ，则BNP ∠=45︒，BP =3，即点B 到直线AN 的距离为3．（3）由（2）得，BP NP ==3，AP ∴=4，AD AB ==5，△BMN S BN MN 1=⋅=32，△AMN S AN AM 11=⋅=22， 所以△△△△△△ANBM BMN AMN ANB AMB AMD AMB S S S S S S S 7=+=+=+=2四边形， MBCD ANBM ABCD S S S 657∴=-=-=2922四边形四边形梯形．。
2017-2018北师大版九年级数学上学期第一章 特殊平行四边形同步练习题 菱形的判定(含答案)
第7题第1课时 菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如左下图，AD 是△ABC 的角平分线。
DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F.四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。
4、如右上图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？5、已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是（ ） A. AD 平分∠BACB. AB ＝AC ＝且BD ＝CDC. AD 为中线D. EF ⊥AD6、 如右图，已知四边形ABCD 为菱形，AE ＝CF. 求证：四边形BEDF 为菱形。
7、已知ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。
小刚说只要过BD 中点作BD 的垂线交AD 、BC 于E 、F ，沿BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形BFDE 为菱形。
你认为小刚的方法对吗？为什么？8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？为什么？9、如左下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，点M 、N 分别在BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN第6题DACF H E B10、如右上图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。
M 点从D 到A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为2㎝/s ；N 点从A 到B ，Q 点从C 到D ，两点的速度都为1㎝/s 。
若四个点同时出发。
（1）判断四边形MNPQ 的形状。
北师大版初三上课后习题及答案第一章特殊平行四边形
北师大版初三上课后习题及答案第一章特殊平行四边形习题1-11.已知:如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求证:△ABC是等边三角形.2.如图，在菱形ABCD中, BD=6, AC=8,求菱形ABCD的周长.3.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点o.求证: AC 平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和4 ADC4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,团中有多少个等接三角形和直角三角形?答案：1.证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴BC=AB,BC//AD, ∴∠B+ ∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2 ∠B, ∴∠B+2 ∠B=180°，∴∠B=60°. ∵BC=AB ，∴△ABC 是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AD=DC=CB=BA, ∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4 ，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3. 在Rt △AOD 中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5. ∴菱形ABCD 的周长为4AD=4×5=20.3. 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AD=AB,AC±BD ，DO=BO, ∴△ABD 是等腰三角形，∴AO 是等腰△ABD 低边BD 上的高，中线，也是∠DAB 的平分线，∴AC 平分∠BAD.同理可证 AC 平分∠BCD,BD 平分∠ABC 和∠ADC.4. 解：有 4 个等腰三角形和 4 个直角三角形.习题1-21.已知:如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC的垂直平分线分別与AD. AC. BC相交于点E, O, F.求証:四迫形AFCE是菱形.2.已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD和交于点O，点E，F,G,H分別是OA, OB, OC, CD的中点，求证:四辺形EFGH是菱形。
九年级上册数学第一章特殊平行四边形检测卷(北师大含答案)
九年级上册数学第一章特殊平行四边形检测卷(北师大含答案)★精品文档★九年级上册数学第一章特殊平行四边形检测卷(北师大含答案)一、选择题(每小题3分，共45分)1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）a．平行四边形、菱形b．矩形、菱形c．矩形、正方形d．菱形、正方形2．在四边形abcd中，ab＝bc＝cd＝da，如果嵌入一个条件，即可面世该四边形就是正方形，那么这个条件可以就是（）a．ac⊥bdb．ab∥cdc．∠a＝90°d．∠a＝∠c3．若矩形的一条对角线与一边的夹角就是40°，则两条对角线平行阿芒塔的锐角就是（）a．20°b．40°c．80°d．100°4．如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd交于点o，下列说法错误的是（）a．ab∥dcb．ac＝bdc．ac⊥bdd．oa＝oc第4题图第5题图第6题图5．如图，点p是菱形abcd对角线bd上一点，pe⊥ab于点e，且pe＝2.连接pc，若菱形的周长为24.则△bcp的面积为（）2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导文学创作c独家原创1/9★精品文档★a．4b．6c．8d．126．例如图，在△abc中，bc＝12，ac＝5，ab＝13，点d就是ab的中点，则cd的短为（）a．6.5b．6c．2.5d．无法确认7．如图，已知面积为1的正方形abcd的对角线相交于点o，过点o任意作一条直线分别交ad，bc于e，f，则阴影部分的面积是（）a．1b．0.5c．0.25d．无法确认第7题图第8题图第9题图8．如图，在矩形abcd中，对角线ac、bd相交于点o.若∠acb＝30°，ab＝2，则bd的长为（）a．4b．3c．2d．19．菱形oabc在平面直角坐标系则中的边线如图所示，∠aoc＝45°，点a的座标为(2，0)，则点b的座标为（）a．(2，1)b．(1，2)c．(1，2＋1)d．(2＋1，1)10．例如图，四边形abcd就是正方形，点e在对角线bd上，且be＝bc，则∠ace的度数等同于（）a．20°b．22.5°c．25°d．30°第10题图第11题图2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作c独家原创2/9★精品文档★第12题图11．如图，在菱形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，作oe∥ab，交bc于点e，则oe的长一定等于（）a．beb．aoc．add．ob12．例如图，四边形abcd就是正方形，be⊥ef，df⊥ef，be＝2.5d，df＝4d，那么ef的短为（）a．6.5db．6dc．5.5dd．4d13．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是（）a．矩形b．平行四边形c．菱形d．任一四边形14．如图，将边长为2c的菱形abcd沿边ab所在的直线l翻折得到四边形abef，若∠dab＝30°，则四边形cdfe的面积为（）a．2c2b．3c2c．4c2d．6c2第14题图第15题图15．如图，四边形abcd为矩形纸片，把纸片abcd折叠，使点b恰好落在cd边的中点e处，折痕为af.若cd＝6，则af等于（）a．43b．33c．42d．8二、填空题(每小题5分，共25分)2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导文学创作c独家原创3/9★精品文档★16．rt△abc中，如果斜边上的中线cd＝4c，那么斜边ab＝c.17．例如图，一个平行四边形的活动框架，对角线就是两根橡皮筋．若发生改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在出现发生改变．当∠α为度时，两条对角线长度成正比．第17题图18．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1c，则其对角线长为c，矩形的面积为c2.19．如图，在正方形abcd的外侧，作等边△ade，则∠bed的度数是.第19题图第20题图20．例如图，菱形abcd的边长为4，且ae⊥bc于e，af⊥cd于f，∠b＝60°，则菱形abcd的面积为.三、答疑题(共80分后)21．(8分)如图，点o是菱形abcd对角线的交点，de∥ac，ce∥bd，连接oe.求证：oe＝bc.22．(8分后)例如图，正方形abcd中，e为cd边上一点，f为bc延长线上一点，且ce＝cf.澄清：△bce≌△dcf.2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作c独家原创4/9★精品文档★23.(10分后)例如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd平行于点o，ae⊥bd于点e，be∶ed＝1∶3，ad＝6c，谋ae的长．24.(12分)如图，等腰三角形abc中，ab＝ac，ah⊥bc，点e是ah上一点，延长ah至点f，使fh＝eh.(1)求证：四边形ebfc是菱形；(2)如果∠bac＝∠ecf，求证：ac⊥cf.25．(12分后)例如图，在矩形abcd中，沿ef将矩形卷曲，并使a，c重合，点d落到点g处为，ac与ef处设点h.(1)澄清：△abe≌△agf；(2)若ab＝6，bc＝8，求△abe的面积．26．(14分后)未知梯形abcd中，ad∥bc，ab＝ad(如图所示)．(1)在右图中，用尺规并作∠bad的平分线ae交bc于点e，相连接de(留存作图痕迹，不文学创作法)，并证明四边形abed就是菱形；(2)若∠abc＝60°，ec＝2be.求证：ed⊥dc.27．(16分后)例如图，未知△abc，直线pq垂直平分ac，与边ab处设点e，相连接ce，过点c作cf平行于ba交pq于点f，相连接af.(1)澄清：△aed≌△cfd；2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作c独家原创5/9。