实验2-LTI系统的时域分析
实验2离散时间LTI系统的时域分析
实验二 离散时间LTI 系统的时域分析一 实验目的（1） 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的零状态响应；（2） 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的单位取样响应；（3） 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的卷积和。
二 实验原理及实例分析1、离散时间系统的响应离散时间LTI 系统可用线性常系数差分方程来描述，即∑∑==-=-Mj jN i i j n x b i n y a 00)()( （1） 其中，i a （0=i ，1，…，N ）和j b （0=j ，1，…，M ）为实常数。
MATLAB 中函数filter 可对式（1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter 的语句格式为y = filter (b , a , x )其中，x 为输入的离散序列；y 为输出的离散序列；y 的长度与x 的长度一样；b 与a 分别为差分方程右端与左端的系数向量。
【实例1】 已知某LTI 系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y试用MATLAB 命令绘出当激励信号为)()2/1()(n u n x n=时，该系统的零状态响应。
解：MATLAB 源程序为>>a=[3 -4 0 2];>>b=[1 2]; >>n=0:30;>>x=(1/2).^n;>>y=filter(b,a,x);>>stem(n,y,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('系统响应y(n)')程序运行结果如图1所示。
2、离散时间系统的单位取样响应系统的单位取样响应定义为系统在)(n δ激励下系统的零状态响应，用)(n h 表示。
MATLAB 求解单位取样响应可利用函数filter ，并将激励设为前面所定义的impDT 函数。
第二章 线性时不变系统的时域分析
基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
信号与系统实验二 连续LTI系统的时域分析
实验二 连续LTI 系统的时域分析一. 实验目的1. 加深对线性时不变系统中零状态响应概念的理解，掌握其求解方法；2. 掌握求解给定连续系统的冲激响应和阶跃响应的方法。
二. 实验原理1.连续系统零状态响应的数值解线性时不变 (LTI) 连续时间系统用常系数线性微分方程进行描述，系统的零状态响应就是在系统初始状态为零条件下微分方程的解。
MATLAB 控制系统工具箱提供了一个lism 函数来求解连续时间系统的零状态响应，其调用格式为y = lism(sys,f,t)其中t 表示计算系统响应的时间抽样点向量，f 是系统输入信号向量，sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程、状态方程。
在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助MATLAB 中的tf 函数来获得，其调用格式为sys = tf(b,a)其中a 、b 分别为微分方程左端和右端各项的系统向量。
例如系统方程 (3)(2)(1)(2)(1)2210210()()()()()()()a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t +++=++该方程左边、右边的系数向量分别为3210[,,,]a a a a a =，210[,,]b b b b =。
例1：描述某线性时不变系统的方程为"()4'()4()'()3()y t y t y t f t f t ++=+试求：当()()tf t e t ε-=时，系统的零状态响应()zs y t 。
解：实现所要求运算的m 文件如下，a = [1 4 4]; %将y （t ）各阶导数的系数放在向量a 中b = [1 3]; %将f （t ）各阶导数的系数放在向量b 中sys = tf(b, a); %求系统模型systd = 0.01; %定义时间间隔t = 0 : td : 10; %定义时间向量f = exp(-t); %将f （t ）表示出来y = lsim(sys, f, t); %求系统的零状态响应plot(t, y); %绘出零状态响应的波形xlabel('t(sec)'); %给出x 坐标的标签ylabel('y(t)'); %给出y 坐标的标签grid on %在图上显示方格程序运行结果见图1。
实验2-LTI系统的时域分析
一，实验目的作为基础性实验部分，实验2使我们了解和掌握利用MATLAB对系统进行时域分析的方法，掌握了连续时间系统和离散时间系统下对零状态响应、单位抽样响应的方法，以及求卷积积分和卷积和的方法。
二，实验原理（1）连续时间系统时域分析的MATLAB实现。
①连续时间系统的MATLAB表示。
用系统微分方程描述LTI连续系统，然后在matlab中建立模型：b=[b1,b2,……]a=[a1,a2,……]sys=tf(b,a)。
②连续时间系统的零状态响应。
调用函数lsim(sys,x,t)绘出信号及响应的波形。
③连续时间系统的冲击响应与阶跃响应。
描述系统的单位冲击响应调用impulse函数：impulse(sys)在默认时间范围内绘出系统冲激响应的时域波形。
impulse(sys，T)绘出系统在0~T范围内冲激响应的时域波形。
impulse(sys，ts:tp:te)绘出系统在ts~te范围内，以tp为时间间隔取样的冲击响应波形。
描述系统的单位阶跃响应调用step函数：impulse(sys)impulse(sys，T)}impulse(sys，ts:tp:te)（2）离散时间系统时域分析的MATLAB实现。
①离散时间系统的MATLAB表示。
用向量b=[b1,b2,……]，a=[a1,a2,……]可以表示系统。
②离散时间系统对任意输入的响应。
可以调用函数filter（b,a,x）③离散时间系统的单位抽样响应。
可以调用函数impz:impz（b,a）在默认时间范围内绘出系统单位抽样响应的时域波形。
impz (b,a,N绘出系统在0~N范围内单位抽样响应的时域波形。
"impz(b,a,ns:ne)绘出系统在ns~ne范围内的单位抽样响应波形。
（3）卷积与卷积积分①离散时间序列的卷积和可以调用函数conv求得两个离散序列的卷积和。
②连续时间信号的卷积积分在取样间隔足够小的情况下，由卷积和近似求得卷积积分。
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验-——-连续LTI系统的时域分析在信号处理中，MATLAB是一个强大的工具，它提供了许多功能，使我们能够模拟和分析各种信号系统。
对于连续LTI系统，时域分析是一个重要的方法，它允许我们直接观察系统的输入和输出信号之间的关系。
下面是一个关于连续LTI系统的时域分析的实验。
一、实验目的本实验的目的是验证连续LTI系统的时域响应，通过使用MATLAB模拟系统，我们可以观察到不同的输入信号产生的输出信号，从而了解系统的特性。
二、实验步骤1.定义系统：首先，我们需要定义我们的连续LTI系统。
这可以通过使用MATLAB中的lti函数来完成。
我们需要提供系统的传递函数，它描述了系统的输入和输出之间的关系。
2.设置输入信号：为了观察系统的行为，我们需要设置一个合适的输入信号。
在MATLAB中，我们可以使用square函数来生成一个方波信号，该信号具有固定的频率和幅度。
3.模拟系统：使用MATLAB的lsim函数，我们可以模拟我们的连续LTI系统。
这个函数将输入信号和系统的传递函数作为参数，然后计算出系统的输出信号。
4.分析结果：我们可以使用MATLAB的图形功能来观察输入和输出信号。
这可以帮助我们理解系统的行为，并验证我们的模型是否正确。
三、实验结果与分析在实验中，我们使用了不同的输入信号（如方波、正弦波等）来测试我们的连续LTI系统。
对于每种输入信号，我们都观察了系统的输出信号，并记录了结果。
通过对比不同的输入和输出信号，我们可以得出以下结论：1.对于方波输入，系统的输出信号是带有延迟的方波，这表明系统对突变信号的响应是瞬时的。
2.对于正弦波输入，系统的输出信号是与输入信号同频同相位的正弦波，这表明系统对正弦波的响应是具有稳定性的。
这些结果验证了连续LTI系统的基本特性：即对于单位阶跃函数（突变信号）的输入，系统的响应是瞬时的；而对于周期性输入（如正弦波），系统的响应具有稳定性。
这些结果与我们在理论上学到的知识相符，从而验证了我们的模型是正确的。
数字信号处理实验离散时间 LTI 系统的时域分析与 Z 域分析
实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析一、实验目的1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。
二、实验原理1、离散时间系统的时域分析（1）离散时间系统的零状态响应离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter的语句格式为：y=filter(b,a,x)其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
（2）离散时间系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。
MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。
impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。
（3）离散时间系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。
MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。
stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。
2、离散时间系统的Z域分析(1)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即如果系统函数H(z)的有理函数表示式为那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。
roots的语法格式为：Z=roots(b)%计算零点b=[b1b2…bmbm+1]P=roots(a)%计算极点a=[a1a2…anan+1]tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(b,a)其中，b与a分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。
LTI离散时间系统的时域分析
用抽样序列表示任意序列
δ(n) x(n) h(n)
离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
连续时间系统 任意信号由冲激函数的迭加积分公式表示
x(t ) x( ) (t )d
离散时间系统： 用抽样序列表示任意序列
x ( n)
k
x(k ) (n k )
２、单位阶跃序列u(n)
u(n)
1 u ( n) 0
n0 n0
-3 -2 -1
1
……
0 1 2 3
δ (n)和u(n)间的关系为
n
(n) u(n) u(n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
或用极坐标表示为
x(n) x(n) e j arg[ x( n)] ene j0 n
其中 x(n) en , arg[x(n)] 0n
x[n] exp( j 6 )n＝e
1 12
1 n 12
cos 6 n je
1 n 12
sin n 6
Real part
１）差分方程的自变量可以是时间t，也可以是其它的离散变量； ２）差分方程的一般形式
a
k 0
N
k
y(n k ) bk x(n k )
k 0
M
３）差分方程各项序值如果同时加减同一个数，差分方程描述的输入－输出关 系不变． ４）方程若想得到确定的唯一解，必须给出初始条件，这与连续系统是一样 的．
x(t )
x( ) (t )d
不同： （１）连续系统中是积分，离散系统中是累加； （２）连续时间系统中δ(t-τ)是单位冲激函数， 离散系统中δ(n-k)是单位抽样函数，幅度为１．
连续LTI系统的时域分析
实验报告实验二连续LTI系统的时域分析班级姓名学号指导老师时间一、实验目的：1、熟悉连续时间系统的线性和时不变性质。
2、掌握线性时不变系统的单位冲激响应的概念。
3、掌握两个连续时间信号卷积的计算方法和编程技术。
4、了解线性时不变系统的微分方程描述方法及其MATLAB 编程的求解方法。
二、实验环境：matlab7.0三、实验原理：卷积积分在信号与线性系统分析中具有非常重要的意义，是信号与系统分析的基本方法之一。
（1）线性时不变（LTI ）系统的单位冲激响应给定一个连续时间LTI 系统，在系统的初始条件为零时，用单位冲激信号δ(t)作用于系统，此时系统的响应信号称为系统的单位冲激响应（Unit impulse response ），一般用h(t)来表示。
需要强调的是，系统的单位冲激响应是在激励信号为δ (t)时的零状态响应（Zero-state response ）。
系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念，如果已知一个系统的单位冲激响应，那么，该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。
（2）卷积的意义对于LTI 系统，根据系统的线性和时不变性以及信号可以分解成单位冲激函数可得，任意LTI 系统可以完全由它的单位冲激响应h(t)来确定，系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)之间的关系可以用卷积运算来描述，即：⎰∞∞--=τττd t h x t y )()()( 由于系统的单位冲激响应是零状态响应，故按照上式求得的系统响应也是零状态响应。
它是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。
（3）函数说明利用MATLAB 的内部函数conv( )可以很容易地完成两个信号的卷积积分运算。
其语法为：y = conv(x,h)。
其中x 和h 分别是两个参与卷积运算的信号，y 为卷积结果。
四、实验内容：1、已知两连续时间信号如下图所示，绘制信号f 1(t )、f 2(t )及卷积结果f (t )的波形；设时间变化步长dt 分别取为0.5、0.1、0.01，当dt 取多少时，程序的计算结果就是连续时间卷积的较好近似？2、计算信号)()(1t u e t f at -=(a =1)和)(sin )(2t tu t f =的卷积f (t )， f 1(t )、f 2(t )的时间范围取为0~10，步长值取为0.1。
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一，实验目的作为基础性实验部分，实验2使我们了解和掌握利用MATLAB 对系统进行时域分析的方法，掌握了连续时间系统和离散时间系统下对零状态响应、单位抽样响应的方法，以及求卷积积分和卷积和的方法。
二，实验原理（1）连续时间系统时域分析的MATLAB实现。
①连续时间系统的MATLAB表示。
用系统微分方程描述LTI连续系统，然后在matlab中建立模型：b=[b1,b2,……]a=[a1,a2,……]sys=tf(b,a)②连续时间系统的零状态响应。
调用函数lsim(sys,x,t)绘出信号及响应的波形。
③连续时间系统的冲击响应与阶跃响应。
描述系统的单位冲击响应调用impulse函数：impulse(sys)在默认时间围绘出系统冲激响应的时域波形。
impulse(sys，T)绘出系统在0~T围冲激响应的时域波形。
impulse(sys，ts:tp:te)绘出系统在ts~te围，以tp为时间间隔取样的冲击响应波形。
描述系统的单位阶跃响应调用step函数：impulse(sys)impulse(sys，T)impulse(sys，ts:tp:te)（2）离散时间系统时域分析的MATLAB实现。
①离散时间系统的MATLAB表示。
用向量b=[b1,b2,……]，a=[a1,a2,……]可以表示系统。
②离散时间系统对任意输入的响应。
可以调用函数filter（b,a,x）③离散时间系统的单位抽样响应。
可以调用函数impz:impz（b,a）在默认时间围绘出系统单位抽样响应的时域波形。
impz (b,a,N绘出系统在0~N围单位抽样响应的时域波形。
impz(b,a,ns:ne)绘出系统在ns~ne围的单位抽样响应波形。
（3）卷积与卷积积分①离散时间序列的卷积和可以调用函数conv求得两个离散序列的卷积和。
②连续时间信号的卷积积分在取样间隔足够小的情况下，由卷积和近似求得卷积积分。
三，实验容（1）已知描述模拟低通、高通、带通和带阻滤波器的微分方程如下，试采用MATLAB绘出各系统的单位冲激响应和单位阶跃响应波形。
①b=[1]a=[1 2^(1/2) 1]sys=tf(b,a)subplot(121)impulse(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('单位冲击波形')subplot(122)step(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('阶跃响应波形')输出②b=[1 0 0]a=[1 2^(1/2) 1]sys=tf(b,a)subplot(121)impulse(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('单位冲击波形')subplot(122)step(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('阶跃响应波形')输出③b=[1 0]a=[1 1 1]sys=tf(b,a)subplot(121) impulse(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('单位冲击波形') subplot(122)step(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('阶跃响应波形') 输出④b=[1 0 1]a=[1 1 1]sys=tf(b,a)subplot(121) impulse(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('单位冲击波形') subplot(122)step(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('阶跃响应波形') 输出（2）已知某系统可以有如下微分方程描述：①请利用MATLAB绘出该系统冲击响应和阶跃响应的时域波形b=[1]a=[1 1 6]sys=tf(b,a)subplot(121)impulse(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('单位冲击波形')subplot(122)step(sys)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('阶跃响应波形')输出②根据冲击响应的时域波形分析系统的稳定性答：该系统为稳定系统，由①中输出的时域波形可以看出，系统的输出是有界的，随着时间的增加逐渐趋于一固定值，故是稳定系统。
③如果系统的输入为，求系统的零状态响应b=[1]a=[1 1 6]sys=tf(b,a)t=0:0.01:10x=exp(-t)lsim(sys,x,t)xlabel('t(s)')ylabel('y(t)')title('零状态响应')（3）已知描述离散系统的系统微分方程如下，试着采用MATLAB绘出各系统的单位抽样响应，并根据单位抽样响应的时域波形分析系统的稳定性。
①b=[1]a=[1 3 2]impz(b,a,0:10)xlabel('n(s)')ylabel('y(n)')title('单位抽样响应')输出根据输出时域波形，随时间的增加，系统输出趋于无穷，故该系统为不稳定系统。
②)b=[1 -3]a=[1-0.5 0.8]impz(b,a,0:10)xlabel('n(s)')ylabel('y(n)')title('单位抽样响应')输出根据输出的时域波形，输出信号随时间增长逐渐减下，收敛与0，故该系统为稳定系统。
（4）已知系统可以由如下差分方程描述：试采用MATLAB绘出该系统的单位抽样响应波形和单位阶跃响应波形。
b=[1]a=[1 1 0.25]impz(b,a,0:10)xlabel('n(s)')ylabel('y(n)')title('单位抽样响应')subplot(212)stepz(b,a)xlabel('n(s)')ylabel('y(n)')title('单位阶跃响应')输出（5）采用MATLAB计算如下两个序列的卷积，并绘出图形X1(n)={1,2,1,1}n1=-3:4n2=-2:2x1=[1,2,1,1]stem(x1)xlabel('n')ylabel('x1')title('x1')x2=[1,1,1,1,1,]subplot(222)stem(n2,x2)xlabel('n')ylabel('x2')title('x2')c=conv(x1,x2)M=length(c)-1subplot(223)stem(n1,c)xlabel('n')ylabel('y(n)')title('x1与x2 的卷积积分')输出（6）已知某LTI离散系统，其单位抽样响应h(n)=sin(0.5n),n0,系统的输入为x(n)=0.2n，n0，计算当n=0,1,2,…，40时系统的零状态响应y(n),绘出x(n),h(n)和y(n)时域波形。
n=0:1:40x=sin(0.2*n)subplot(311)stem(n,x,'filled')xlabel('n')ylabel('x(n)')title('输入')h=sin(0.5*n)subplot(312)stem(n,h,'filled')xlabel('n')ylabel('h(n)')title('单位抽样响应')c=conv(x,h)M=length(c)-1subplot(313)stem(c)xlabel('n')ylabel('y(n)')title('零状态响应')输出（7）已知两个连续时间信号如图所示，试采用MATLAB求这两个信号的卷积。
t=-3:0.01:3x1=2*heaviside(t+1)-2*heaviside(t-1)x2=heaviside(t+2)-heaviside(t-2)y=0.01*conv(x1,x2)subplot(221)plot(t,x1)grid ontitle('Signal x1(t)')subplot(222)plot(t,x1)grid ontitle('Signal x2(t)')subplot(212)t=-6:0.01:6plot(t,y)grid ontitle('x1(t)与x2(t)的卷积')xlabel('Time t sec')输出四，心得体会在课上所学习的，求两个信号卷积的方法十分繁琐易错、难以理解，而通过MATLAB的帮助，可以轻松得到答案并直观绘出图像，对我在这方面的学习和理解起了很大帮助。