实数的整数部分与小数部分
实数大小比较的方法和技巧——教案二重点
实数大小比较的方法和技巧——教案二重点。
一、实数大小的比较实数的大小比较是指对两个或多个实数进行比较，了解它们的大小关系。
在比较实数大小时，我们通常都是将实数按照从小到大或从大到小的顺序排列。
我们可以通过以下不同的方法来进行实数大小比较：1.图像法图像法是通过坐标系表示实数的大小，并直观比较它们之间的大小差距。
例如，当我们比较 $4$ 和 $-2$ 的大小时，我们可以画出一个数轴，将那些数标在数轴上面并作为一个点表示。
我们可以看到$4$ 在数轴上面更靠右边，而 $-2$ 更靠左边，所以我们可以得出$4$ 比 $-2$ 大。
2.化简法当我们需要比较一些数量级相等的实数时，我们可以将它们进行化简，使比较过程变得简洁有序。
例如，当我们进行以下比较时：$$\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{29}{9},\frac{19}{6}$$其中，我们可以将这四个数的分母相等，并化简为：$$\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{10}{3},\frac{19}{6}$$接下来，我们只需要比较分子的大小即可，也就是：$$\frac{7}{3}<\frac{8}{3}<\frac{10}{3}<\frac{19}{6}$$3.通分比较法当我们需要比较不同分数的大小关系时，我们可以先将它们通分。
通分是将不同分数的分数位分子分母都相同，之后我们可以通过分子的大小关系来比较实数的大小关系。
例如，当我们进行以下比较时：$$\frac{2}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{4}$$通过通分，我们可以得到：$$\frac{8}{12},\frac{6}{12},\frac{9}{12}$$而在与通分后的结果比较中，$\frac{8}{12}<\frac{9}{12}<\frac{6}{12},$也就是说，$\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{1}{2}$。
实数的整数部分与小数部分
实数的整数部分与小数部分在二次根式的化简与计算中，常常出现确定一个实数的整数部分与小数部分问题．确定一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，然后再确定其小数部分．由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：⑴对于正实数，即实数＞0时，整数部分直接取与其最接近的两个整数中最小的正整数，小数部分=原数－整数部分．如实数9.23，在整数9—10之间，则整数部分为9，小数部分为9.23-9=0.23．⑵对于负实数，即实数＜0时，整数部分则取与其最接近的两个整数中最小的负整数，小数部分=原数－整数部分．如实数-9.23，在整数-10—-9之间，则整数部分为-10，小数部分为-9.23-（-10）=0.77．例1．已知+1的整数部分为a，小数部分为b，求a、b的值．解：∵2＜＜3 ∴3＜+1＜4 ∴a=3，b=+1－3=－2例2．若x、y分别是8－的整数部分与小数部分，求2xy－y2的值．解：∵3＜＜4 ∴4＜8－＜5 ∴x=4，y=8－－4=4－2xy－y2=y（2x－y）=（4－）（4+）=5例3．已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．解：∵==+1 又2＜＜3 ∴3＜+1＜4∴a=3，b=+1－3=－2∴a2+b2=32+（－2）2=18－4例4．设x=，a是x的小数部分，b是-x的小数部分．则a3+b3+3ab= ．解：由x==+1 而1＜＜2 ∴2＜+1＜3∴x的整数部分为2，小数部分a=+1-2=-1又∵-x=－－1 ∴-3＜－－1＜-2∴－x的整数部分为－3，小数部分b=－－1―（―3）=2－∴a+b=1∴a3+b3+3ab=（a+b）（a2-ab+b2）+3ab= a2+2ab+b2=（a+b）2=1。
话说整数部分与小数部分
1、话说整数部分与小数部分2、平方根常见错例剖析3、剖析平方根与算数平方根4、《实数》一章中的数学思想及应用5、《实数》考题放送6、《实数》考题赏析7、平方根与立方根“诊所”8、实数大小比较有办法9、“实数”错例剖析 10、用好算术平方根的双重非负性解题1、话说整数部分与小数部分解涉及到算术平方根的整数部分和小数部分的试题时，部分同学认为是一个开不尽的无限不循环小数就束手无策，其实利用比较算术平方根大小的方法，从平方入手可以估算出一个非负数的算术平方根的大小，例如要求19的整数和小数部分：可由42＝16，52＝25，且16＜19＜25,可以估算出4＝16＜19＜25＝5,即19大约是比4多一点，而比5小一点，即19是一个4点几的小数，所以19的整数部分是4，小数部分是19－4（注：小数部分是两数的差，在这里表现为一个式子，这也是同学们不习惯的地方）。
也就是说：确定一个非负数的算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个数在哪两个能开尽方的整数之间，那么较小的整数即为算术平方根就是的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分。
例1．求29的小数部分是多少。
【析解】由5＝362925<<＝6，得29的整数部分为5；∴29的小数部分为：29-5；例2．（天津市初二数学竞赛题）已知139+和139-的小数部分分别为a 、b ，求：3a ＋4b ＋8的值。
【析解】∵ 3＝9＜13＜16＝4,∴ 13的整数部分为3，小数部分为13-3；∴ 139+的整数部分为12，小数部分仍为13-3；（比如5＋3.678＝8.678,小数部分为0.678）∵ 5＜139-＜6,∴ 139-的整数部分5，小数部分为4－13；（你可要仔细想想为什么是小数部分为4－13罗） ∴ a ＝13-3，b ＝4－13∴3a ＋4b ＋8＝3(13-3)＋4(4－13)＋8＝313－9＋16－413＋8＝15－13．2、平方根常见错例剖析本节常见的思维误区主要表现在以下两方面，下面分别举例来加以剖析： 一、混淆概念造成例1．(－5)2的平方根是 ．错解：填－5；（有的填负数没有平方根）．剖析：本题应从(－5)2＝25，是一个正数，因此本题实际上是求25．．的平方根．．．．是多少，而正数的平方根有两个，因此说(－5)2的平方根是－5是错误的．正解：因为(－5)2＝25，而(±5)2＝25，所以(－5)2的平方根是±5．故应填：±5． 例2．当a 时，13+a 有意义．错解：当3a ＋1＞0，即a ＞－31时，13+a 有意义． 剖析：由算术平方根的概念可知，正数和0都有算术平方根，只有负数没有算术平方根，也就是说本题当3a ＋1＝0时，13+a 也有意义．正解：当3a ＋1≥0，即a ≥－31时，13+a 有意义． 二、审题不慎，题意理解不透造成例3 ）A ．9B ．±9C ．3D ．±3 错解：选（A ）剖析：本题带有一定的迷惑性，有的同学不加思考，想当然地选了（A ），其实对于本题，我们不能9，因此本题实际上是要“求9的算术平方根．”正解9，而9的算术平方根是3； 所以应选（C ）． 例4．2)14.3(π-的算术平方根是 ．错解：2)14.3(π-的算术平方根是 3.14－π ．剖析：非负数a 的算术平方根是a （a ≥0）；而2a 的算术平方根是2a ＝a （a ≥0）．因此一定要注意，算术平方根是一个非负数，而3.14－π＜0，却是一个负数，它平方后是正数．例如：求2)5(-的算术平方根应解成2)5(-＝25＝5．正解：2)14.3(π-＝2)14.3(π－＝π－3.14．3、剖析平方根与算数平方根平方根与算术平方根是初中代数中的两个重要的概念，不少同学常常对这两个概念混淆不清，导致在解题时常出现这样或那样的错误。
小数和整数的相同点和不同点表格
小数和整数的相同点和不同点表格
小数和整数是数学中两种常见的数值表示方法。
它们在很多方面相似，但也有一些不同之处。
下面是小数和整数的相同点和不同点的表格。
相同点：
1. 都是实数：小数和整数都是实数的一种表示形式，用于度量或计算数量。
2. 基本运算：小数和整数都可以进行基本的数学运算，如加法、减法、乘法和除法。
3. 数量度量：两者都可以用于表示物体的数量、长度、面积、体积等。
不同点：
1. 定义：小数是有整数部分和小数部分组成的数值，而整数是不包含小数部分的数值。
2. 表示范围：整数可以表示整数集合，包括正整数、负整数和零，而小数可以表示实数集合中的任意数值。
3. 精度：整数具有无限精度，可以表示精确的整数值，而小数的精度有限，可能存在舍入误差。
4. 运算规则：整数运算遵循整数除法原则，即整数除以整数得到整数或小数的结果会被截断取整，而小数运算结果保持小数部分的精度。
5. 表示形式：小数的表示形式中包含小数点和位数，用于表示小数部分的精度，而整数的表示形式只包含整数值。
总体而言，小数和整数在实数范围内都具有重要的作用，但在使用时需要根据具体情况选择适合的表示方法。
初中数学 实数的整数部分是什么
初中数学实数的整数部分是什么
实数是指包括有理数和无理数的所有数的集合。
在实数中，每个数都可以分为整数部分和小数部分。
整数部分是实数的整数部分，即实数的小数点前面的部分。
下面我们将详细介绍实数的整数部分的定义和特点。
1. 整数部分的定义：
整数部分是指实数的整数部分，即实数的小数点前面的部分。
整数部分可以是正整数、负整数或零。
整数部分的特点如下：
-整数部分是实数的整数部分，不包括小数部分。
-整数部分可以是正整数、负整数或零，取决于实数的正负性。
2. 整数部分的表示：
整数部分可以用一个数字或符号来表示，表示实数的整数部分。
例如，对于实数3.14，其整数部分为3；对于实数-5.8，其整数部分为-5；对于实数0.9，其整数部分为0。
3. 整数部分的性质：
-整数部分是实数的整数部分，可以用来表示实数的整数值。
-整数部分可以是正整数、负整数或零，取决于实数的正负性。
-整数部分不包括小数部分，只表示实数的整数部分。
实数的整数部分是指实数的整数部分，即实数的小数点前面的部分。
整数部分可以是正整数、负整数或零，取决于实数的正负性。
通过理解和研究实数的整数部分的定义和特点，我们能够更好地理解和处理实数的整数部分。
整数与小数的联系和区别
整数与小数的联系和区别
整数和小数都是数学中的基本概念，它们之间有着联系和区别。
首先，整数和小数都是实数的一种。
实数是包括有理数和无理
数的数的集合，而有理数包括整数和分数，而分数又可以表示为小数。
整数是不带小数部分的数，包括正整数、负整数和零。
它们用
来表示计数或编号，例如1、2、3等。
整数在数轴上是均匀分布的，相邻的整数之间的间隔都是1。
小数是带有小数部分的数，可以是有限的，也可以是无限循环的。
小数在数轴上则是不均匀分布的，相邻的小数之间的间隔是不
固定的，例如0.1和0.2之间的间隔比1.1和1.2之间的间隔要小。
小数通常用于表示测量、精确值或分数的近似值。
联系方面，整数和小数都是实数的一部分，它们都可以进行加
减乘除等基本运算。
在实际问题中，整数和小数常常会同时出现，
例如在货币计算中，会涉及到整数部分的货币单位和小数部分的分数。
区别方面，整数和小数在表示形式和数值精度上有明显的区别。
整数没有小数部分，而小数则包括小数点后的部分。
另外，整数的
精度是精确的，而小数的精度是有限的或者是无限循环的。
这意味
着在实际计算中，小数可能存在误差，而整数则不会出现这种情况。
总的来说，整数和小数在数学中都有着重要的作用，它们之间
既有联系又有区别，我们在实际问题中需要根据具体情况灵活运用
整数和小数的概念和性质。
专项06 实数中的整数和小数部分(解析版)
专项6 实数中的整数和小数部分【解析】一、解答题1．例如<23<<，2，2，a 的小数部分为b ，求5a b ++的值．解：<∵12<<．1，即1a =．<∵34<<．3，即3b =．∵51353a b ++=+=．2．已知1a -的平方根是±1，32a b +-的立方根是2，x y的小数部分，求2a b x y +++【详解】∵a -1的平方根是±1，3a+b -2的立方根是2，∵11328a a b -=⎧⎨+-=⎩解得24a b =⎧⎨=⎩<34<试卷第2页，总8页33，即x=3，3，∵2242339+++=++⨯=a b x y∵2a b x y +++3±．3．已知m ，2n ，求（m +n ）2018．【详解】∵1＜3＜4，∵12．∵m ＝31，n ＝20＝2∵（m+n ）2018＝12018＝1．4．请回答下列问题：（1介于连续的两个整数a 和b 之间，且a b <，那么a = ，b = ；（2）x2的小数部分，y1的整数部分，求x = ，y = ；（3）求)yx 的平方根． 解：（1）∵16＜17＜25，∵4＜5，∵a ＝4，b ＝5，故答案为：4；5；（2）∵4＜5，∵6＋2＜7，由此整数部分为6−4，∵x −4，∵4＜5，∵3－1＜4，∵y ＝3；；3（3）当x −4，y ＝3时，)y x ＝)3＝64， ∵64的平方根为±8．5．已知2a m +=a+6的算术平方根，3a b n -=b -6的立方根. （1）求a 、b 的值.（2p ，小数部分为q ，求2p pq +的值解：（1）由题意得：222363a b a b +-=⎧⎨--=⎩， 解得：32a b =⎧⎨=-⎩； （2）∵a=3，b=－2，试卷第4页，总8页 ∵363m =+=，3262n =--=-， ∵33327m n +=⨯-=，∵273<<，∵p=2，q=72-，∵()22227227p pq +=+⨯-=. 6．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：2π、等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如253<<，是因为459<<；根据上述信息，回答下列问题：（1）13的整数部分是___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）103+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为103a b <+<则a b +=______；（4）若303x y -=+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数．【详解】（1）91316<< ∵3134<<133133故答案为：33；（2）因为2122a <<,故则a 的整数部分是21，a 的小数部分可以表示为21a -. 故答案为：21；21a -；（3）因为12<<，∵10110102+<<+，即111012<<，所以=11a ,=12b ，故23a b +=，故答案为：23；（4）5306<，23033<<，∵01y <<，x 是整数，∵x=2，325-=，∴)257x y -=-=， ∴x y -7．7 1.414≈，于是我们说：1，小数部分则可记为1”．则：（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（2）2的小数部分是a ，7-的小数部分为b ，那么a b +=__________；试卷第6页，总8页（3的在整数部分为x的小数部分为y，求1(x y -的平方根．解：（1）∵1＜2＜4∵121，1的整数部分为212-1故答案为21；（2）∵1＜3＜4∵121，2的整数部分为3，小数部分为21-；7-的整数部分为5，小数部分为b=75=21+2故答案为1；（3）∵9＜11＜16∵3＜4的整数部分为x=3，小数部分为-3∵()3211(3==3=9x y ----∵3±．故答案为3±．8．(1)已知实数a 、b ﹣1|=0，求a 2018+b 2019的值．(2)的整数部分为a 1的小数部分为b ，求2a+3b 的值． 解：（1）由题意得：a -1=0，b -1=0，∵a=1，b=1，a 2018+b 2019=1+1=2；（2）的整数部分为a 1的小数部分为b ，∵a=3，b=1）-1=2，∵2a+3b=6+32）9．已知a 是b 的小数部分，求代数式(1b a -的平方根． 解：∵223104<<，∵34<<，的整数部分是3，则3a =3，则3b =，∵(()1312339a b --==-=， ∵9的平方根为3±．10．任意无理数都是由整数部分和小数部分构成的．已知一个无理数a ，它的整数部分是b ，则它的小数部分可以表示为-a b ．例如：<<23<22． 根据上面的材料，解决下列问题：试卷第8页，总8页 （1的整数部分是mn（2）若7+2x ，小数部分是y，求2x y -+ 解：（1）<，∵34<<，的整数部分是3，即m=3，<<∵23<<，2，即n=2，； （2）<，∵10711<，∵7+10，即2x=10， ∵x=5，∵7+7103， 即3，∵2x y -+)532-+112．。
七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题
七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题一．选择题1.估计√6+1的值在( )A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间2.估计68 的立方根的大小在( )A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间介于( )3.估计√5−12A. 0.4 到0.5 之间B. 0.5 到0.6 之间C. 0.6 到0.7 之间D. 0.7 到0.8 之间4.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示√8的点落在( )A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④5.如图，数轴上点P 表示的数可能是( )A. √10B. √5C. √3D. √26.在如图所示的数轴上，AB=AC，A，B 两点对应的实数分别是√3和-1，则点C 所对应的实数是( )A. 1+√3B. 2+√3C. 2√3−1D. 2√3+17.如图数轴上有A 、B 、C 、D 四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与11−2√39最接近( )A. AB. BC. CD. D二．填空题8.大于√2且小于√5的整数是____．9.已知a 、b 为两个连续整数，且a<√17<b，则a+b= ____．10.若两个连续整数x，y，满足x<√15+1<y，则x+y 的值是____．3，b 是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____．11.设a=√312.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．[√3]=1，按此规定，[√13−1]=____．13.已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a + b ____．14.任何实数a，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72 进行如下操作：，这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似的，①对81 只需进行____ 次操作后变为1；②只需进行3 次操作后变为1 的所有正整数中，最大的是____．三．解答题的最大整数，15.已知M 是大于−√3但小于√6的所有整数的和，N 是小于√37−22求M+N 的平方根．16.因为√4<√7<√9，2<√7<3，所以√7的整数部分为2，小数部分为(√7−2)．(1)如果√29的整数部分为a，那a= ____．如果3+√3=b+c，其中b 是整数，且0 < c < 1，那么b= ____，c= ____．(2)将（1）中的a，b 作为直角三角形的两条边长，请你计算第三边的长度．17.阅读下列材料：因为√9<√11<√16，3<√11<4，√11的整数部分为3，小数部分为√11−3．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果9π的整数3的小数部分为b，求a+b 的值．部分为a，√2818.大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不能全部写出来，于是，小平用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上，小平的表示方法是有道理的，因为√2的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：已知5+√5的小数部分是a，5−√5的整数部分是b，求a+b 的值．19.数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：√2≈1.414……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用√2−1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：已知8+√3=x+y，其中x 是一个整数，0<y<1，求3x+ (y−√3)2015的值．20.阅读材料：学习了无理数后，小明用这样的方法估算√7的近似值：因为√4<√7<√9，所以2<√7<3，所以设√7=2+k，（其中0<k<1），所以(√7)2= (2+k)2，7=4+4k+k2，因为0<k<1，所以0<k2<1，可见k2是一个很小的数，舍去k2，所以7≈4+4k，k≈0.75，√7≈2+k≈2.75．依照小明的方法解决下列问题：(1) 估算√11（精确到0.01）；(2) 已知：a，b，m 是非负整数，若a<√m<a+1，且m=a2+b，则√m≈____．（用含a，b 的代数式表示）(3) 请用（2）中的结论估算√37的近似值．。
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3、已知a是 5 的整数部分，b是 5 的小数部分， 求a(b- 5)2的值？ （《创优》P97第”
专题 实数的整数部分和小数部分
导：
已知9+ 10 的小数部分是a，8- 10 的小数部分是b，求a+b的值。
《专题：实数的整数部分和小数部分》
学习目标
学会《实数的整数部分和小数部分》 一类问题的解决方法。
思：
首先请同学们根椐“微课”视频自学《实数的整数部 分和小数部分》，然后思考并解决下列问题：
1、若a是 30 的整数部分，b是 30 的小数部分，试确 定a、b的值。
（《长江》P33第11题） 2、已知5+ 11 的小数部分为m，5- 11 的小数部分为n，
求m+n的值。 （《长江》P41第12题） 3、已知a是 5 的整数部分，b是 5 的小数部分，求
a(b- 5)2的值？ （《创优》P97第14题）
实数的整数部分和小数部分
思：
思考并解决下列问题：
1、若a是 30 的整数部分，b是 30 的小数部分，试确 定a、b的值。
（《长江》P33第11题） 2、已知5+ 11 的小数部分为m，5- 11 的小数部分为n，
求m+n的值。 （《长江》P41第12题） 3、已知a是 5 的整数部分，b是 5 的小数部分，求
a(b- 5)2的值？ （《创优》P97第14题）
议： 小组合作探究，形成共识，向全班展示
展、评：
1、若a是 30 的整数部分，b是 30 的小数部分，试 确定a、b的值。 （《长江》P33第11题）
2、已知5+ 11的小数部分为m，5- 11的小数部分为n， 求m+n的值。 （《长江》P41第12题）