第四章 微专题33 抓住”双星、多星模型”的核心方程

1．“双星模型”如图：各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2
＝m 1ω12r 1，Gm 1m 2L 2
＝m 2ω22r 2.
2．“双星问题”的隐含条件是两者受到的向心力相等、周期相等、角速度相同；双星轨道半径与质量成反比．
3．多星问题中，每颗星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合
＝m v 2
r
，以此列向心力方程进行求解． 1．(多选)(2019·广东揭阳市下学期第二次模拟)2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球约 6.5万公里的地月拉格朗日L 2点的Halo 使命轨道，为嫦娥四号“照亮”“驾临”月球背面之路．当“鹊桥”位于如图1所示的拉格朗日点L 2上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动．下列说法正确的是( )
图1
A ．“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度小
B ．“鹊桥”中继星绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大
C ．“鹊桥”中继星绕地球转动的周期比地球同步卫星的周期长
D ．“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度比月球绕地球转动的角速度小
2.(多选)如图2所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )
图2 A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为2∶3
B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C ．m 1做圆周运动的半径为25
L D ．m 2做圆周运动的半径为25
L 3．(多选)(2020·云南大姚县一中模拟)引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P 、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P 星的周期为T ，P 、Q 两颗星的距离为l ，P 、Q 两颗星的轨道半径之差为Δr (P 星的轨道半径大于Q 星的轨道半径)，引力常量为G ，则( )
A ．Q 、P 两颗星的质量差为4π2l 2Δr GT 2
B ．P 、Q 两颗星的线速度大小之差为2πΔr T
C ．P 、Q 两颗星的运动半径之比为l l －Δr
D ．P 、Q 两颗星的质量之比为l －Δr l ＋Δr
4．(多选)(2019·湖北宜昌市元月调考)宇宙中有许多双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．如图3所示，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，m 1星线速度大小为v 1，m 2星线速度大小为v 2，经过一段时间演
化后，两星总质量变为原来的1k
(k >1)倍，两星之间的距离变为原来的n (n >1)倍，则此时双星系统圆周运动的周期T ′和线速度之和v 1′＋v 2′是( )
图3
A ．T ′＝n 3kT
B ．T ′＝n 3
k
T
C．v1′＋v2′＝1
nk
(v1＋v2)
D．v1′＋v2′＝nk(v1＋v2)
5．(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星中心间的距离都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G，则()
A．三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v＝Gm R
B．三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝
1
2R
5Gm
R
C．三星系统B的运动周期为T＝4πR
R 5Gm
D．三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L＝312
5R
答案精析
1．BC [根据题意知“鹊桥”中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，根据
ω＝2πT
知“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度与月球绕地球转动的角速度相等，根据a ＝ω2r 知“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大，故A 、D 错误；“鹊桥”中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据v ＝ωr 知“鹊桥”中继星绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大，故B 正确；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2
T 2r ，得T ＝ 4π2r 3GM
，因为“鹊桥”中继星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，所以“鹊桥”中继星绕地球转动的周期比地球同步卫星的周期长，故C 正确．]
2．AC [设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得
G m 1m 2L
2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35
L m 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，
故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3.
综上所述，选项A 、C 正确．]
3．ABD [双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，
则有：G m P m Q l 2＝m P r P ω2＝m Q r Q ω2，解得m P ＝l 2r Q ω2G ，m Q ＝l 2r P ω2G
，则Q 、P 两颗星的质量差为Δm ＝m Q －m P ＝l 2Δrω2G ＝4π2l 2Δr GT 2
，故A 正确．P 、Q 两颗星的线速度大小之差为Δv ＝v P －v Q ＝2πr P T －2πr Q T ＝2πΔr T
，故B 正确．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以Q 星的周期为T .根据题意可知，r P ＋r Q ＝l ，r P －r Q ＝Δr ，解得：r P ＝l ＋Δr 2，r Q ＝l －Δr 2，则P 、Q 两颗星的运动半径之比为l ＋Δr l －Δr
，C 错误；P 、Q 两颗星的质量
之比为m P m Q ＝r Q r P ＝l －Δr l ＋Δr ，故D 正确．] 4．AC [对恒星m 1：G m 1m 2L 2＝m 14π2T 2r 1，对恒星m 2：G m 1m 2L 2＝m 24π2T
2r 22，距离关系有：L ＝r 1＋r 2，由以上三式得：T ＝4π2L 3GM 总
；经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的1k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为：T ′＝n 3kT ，故A 正确，B 错误．根
据圆周运动知识知v 1＝2πr 1T ，v 2＝2πr 2T ，则v 1＋v 2＝2π(r 1＋r 2)T ＝2πL T ，所以v 1′＋v 2′＝2πnL T ′
＝2πnL T n 3k ＝1nk
(v 1＋v 2)，故C 正确，D 错误．] 5．BCD [三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行．其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向
心力，有：G m 2R 2＋G m 2(2R )2
＝m v 2R ，解得v ＝ 5Gm 4R ，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πR v ＝4πR R 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝ 12R 5Gm R
，B 正确；由于两种系统周期相等，则三星系统B 的运行周期为T ＝4πR R 5Gm
，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力
定律和牛顿第二定律得：2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°·4π2T 2，解得L ＝3125
R ，D 正确．]。