高中物理天体运动多星问题
天体运动中“多星”问题

3.由三颗星体构成的系统,忽略其它星体对它们的 作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间 的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶 点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内 做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星 体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为3m, B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求: (1)A星体所受合力大小FA; (2)B星体所受合力大小FB; (3)C星体的轨道半径RC; (4)三星体做圆周运动的周期T。
A.m
B.m C.m D.m
1
1 1 2
:m
:m
2
2
做圆周运动的角速度之比为2:3
做圆周运动的线速度之比的半径为
2.”多星”问题 (1)多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运 动,每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其 它各个行星对该行星的万有引力的合力提供. (2)每颗行星转动的方向相同,运行周期,角速 度和线速度大小相等.
黑 洞
所谓“黑洞”,就是这样一种天体: 它的引力场是如此之强,就连光也不能逃脱出 来.黑洞不“黑”,“黑洞”很容易让人望文生义地想象 成一个“大黑窟窿”,其实不然。所谓“黑洞”,就是 这样一种天体:它的引力场是如此之强,就连光也 不能逃脱出来。说它“黑”,是指它就像宇宙中的无 底洞,任何物质一旦掉进去,“似乎”就再不能逃出 。
4.宙中存在一些质量相等的且离其他恒星较远的四 颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们 的引力作用.设四星系统中每个星体质量均为m, 半径均为R,四颗星稳定分布在边长为a的正方形的 四个顶点上.已知引力常数为G,关于四星系统, 下列说法正确的是( CD ) •A. 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运 动 •B. 四颗星的线速度均为v= •C. 四颗星表面的重力加速度均为 •D. 四颗星的周期均为
天体运动的双星和多星问题解析

天体运动的双星和多星问题解析,要求有标题
运动的双星与多星:追随宇宙深处的秘密
任何太阳系里的天体,不管它的外形大小和其他有关特征,总是以我们地球太阳系坐标系为参照,在其中特有的轨道运行的。
这个运动的规律被称为“天体运动规律”。
根据这个规律,一般而言,当天空中有两个特殊的天体出现时,其运行就围绕着某一焦点而进行,这个运动称为双星运动;若有多个天体出现,则它们之间也会相互产生影响,发生“大陆碰撞”,因而形成多星运动。
双星运动首先可分为向心运动和远心运动两种。
当两个天体存在时,它们会围绕着一个活动焦点(例如太阳)进行双星运动,而运动的方向则可分两种。
第一种是双星围绕活动焦点的向心运动,即运动轨迹以活动焦点为中心在一定范围内呈圆形;第二种是双星围绕活动焦点的远心运动,即运动轨迹以活动焦点为中心,运动方向沿正多边形状移动,而不是圆形。
而多星运动则比双星运动更加复杂,从抽象意义上来说,它是宇宙中某一空间属性量度下所有天体运动的组合,在它们间有着良好的关系,它也随着周期性的重现。
只有当人们发现宇宙的深处,构建起既能说明双星和多星间的运动关系、又能预测它们运动情况的科学框架后,人们才能真正洞察到双星与多星的深远奥秘。
因此,我们每个人都应该把握住双星和多星的机会,去研究、去追寻宇宙中深处的秘密,以发掘出更多的天体运动规律。
秘籍06 天体运动中的五类热点问题和三大概念理解应用(教师版)-备战2024年高考物理抢分秘籍

秘籍06天体运动中的五类热点问题和三大概念理解一、开普勒行星运动定律k ,k 是一个与行星无关的常量注意:(1)行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理.(2)由开普勒第二定律可得12Δl 1r 1=12Δl 2r 2,12v 1·Δt ·r 1=12v 2·Δt ·r 2,解得v 1v 2=r2r 1,即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比,近日点速度最大,远日点速度最小.(3)开普勒第三定律a 3T2=k 中,k 值只与中心天体质量有关二、万有引力定律的理解1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果:一是重力mg ,二是提供物体随地球自转的向心力F 向.(1)在赤道上:G MmR 2=mg 1+mω2R .(2)在两极上:G MmR2=mg 0.(3)在一般位置:万有引力GMmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和.越靠近南、北两极,g 值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即GMmR 2=mg .2.星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r =R +h 处的重力加速度为g ′,mg ′=GmM (R +h )2,得g ′=GM(R +h )2.所以g g ′=(R +h )2R2.3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.(2)两个推论:①推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即∑F 引=0.②推论2:在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力,即F =GM ′mr 2.三、宇宙速度的理解与计算1.第一宇宙速度的推导方法一:由G Mm R 2=m v 21R ,得v 1=GM R= 6.67×10-11×5.98×10246.4×106m/s =7.9×103m/s.方法二:由mg =m v 21R得v 1=gR =9.8×6.4×106m/s =7.9×103m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度,也是人造卫星的最大环绕速度,此时它的运行周期最短,T min =2πRg=5078s≈85min.2.宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发=7.9km/s 时,卫星绕地球表面做匀速圆周运动.(2)7.9km/s<v 发<11.2km/s ,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆.(3)11.2km/s≤v 发<16.7km/s ,卫星绕太阳做椭圆运动.(4)v 发≥16.7km/s ,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间.3.对第一宇宙速度的理解1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,也是卫星贴近地面运行的速度,即人造地球卫星的最大运行速度.2.当卫星的发射速度v 满足7.9km/s<v <11.2km/s 时,卫星绕地球运行的轨道是椭圆,地球位于椭圆的一个焦点上.四、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较1.分析人造卫星运动的两条思路(1)万有引力提供向心力即G Mmr2=ma 。
高中物理天体运动六大题型整理(有题有答案有解析)

⾼中物理天体运动六⼤题型整理(有题有答案有解析)天体运动题型整理天体运动六⼤题型:1、开普勒定律2、⾚道和两极3、万有引⼒和⽜顿运动结合4、求质量和密度5、双星/多星问题6、宇宙速度和卫星变轨⼀、开普勒定律1.(2018·⽢肃省西北师范⼤学附属中学模拟)若⾦星和地球的公转轨道均视为圆形,且在同⼀平⾯内,如图所⽰。
在地球上观测,发现⾦星与太阳可呈现的视⾓(太阳与⾦星均视为质点,它们与眼睛连线的夹⾓)有最⼤值,最⼤视⾓的正弦值为k,则⾦星的公转周期为A.(1-k2)年B.(1-k2)年C.年D.k3年1.C【解析】⾦星与太阳的最⼤视⾓出现的情况是地球上的⼈的视线看⾦星时,视线与⾦星的轨道相切,如图所⽰。
θ为最⼤视⾓,由图可知:sinθ=;根据题意,最⼤正弦值为k,则有:;根据开普勒第三定律有:;联⽴以上⼏式得:;解得:年,C正确,ABD错误;故选C。
2.(2018·河北省⽯家庄市模拟)地球和⽊星绕太阳的运动可近似看成是同⼀平⾯内的同⽅向绕⾏的匀速圆周运动,已知⽊星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍,估算⽊星与地球距离最近的相邻两次时间间隔约为A .1年B .1.1年C .1.5年D .2年2.B 【解析】地球、⽊星都绕太阳运动,所以根据开普勒第三定律可得3322=R R T T ⽊地地⽊,即333== 5.21=11.9R T T R ?⽊⽊地地年,设经时间t 两星⼜⼀次距离最近,根据t θω=,则两星转过的⾓度之差2π2π2πt T T θ=-= ? 地⽊,解得 1.1t =年,B 正确。
3.(2018·江西省浮梁⼀中模拟)如图所⽰,由中⼭⼤学发起的空间引⼒波探测⼯程“天琴计划”于2015年启动,拟采⽤三颗全同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成⼀个边长约为地球半径27倍的等边三⾓形阵列,地球恰好处于三⾓形中⼼,卫星将在以地球为中⼼、⾼度约10万公⾥的轨道上运⾏,对⼀个周期仅有5.4分钟的超紧凑双⽩矮星系统RX10 806.3+1 527产⽣的引⼒波进⾏探测,若地球近地卫星的运⾏周期为T 0,则三颗全同卫星的运⾏周期最接近A .6T 0B .30T 0C .60T 0D .140T 03.C 【解析】由⼏何关系可知,等边三⾓形的⼏何中⼼到各顶点的距离等于边长的,所以卫星的轨道半径与地球半径的关系,由开普勒第三定律的推⼴形式,可知地球近地卫星与这三颗卫星的周期关系,所以,C 最为接近,C正确。
高中物理天体运动 6大题型总结归纳试题练习

天体运动题型一:开普勒三定律的应用题型二:万有引力应用之质量、密度、重力加速度等的计算题型三:多星问题(双星和三星)题型四:追击问题题型五:宇宙速度例1:(2018夹角)A.(1-1、(2016A.B.C.D.2.(2018·河北省石家庄市模拟)地球和木星绕太阳的运动可近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动,已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍,估算木星与地球距离最近的相邻两次时间间隔约为()A.1年 B.1.1年 C.1.5年 D.2年[练习提升]1、(2019•全国Ⅱ卷•T1)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描F随h变化关系的图像是( )A. B. C. D.2、(2018•济宁一模)对于环绕地球做圆周运动的卫星说,它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化,某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r 与周期T 关系作出如图所示图象,则可求A .B .C .D .例1:,则有:r 金r 地=k ;C 正确,ABD1、答案:B【解析】开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了开普勒天体运动三定律,找出了行星运动的规律,而牛顿发现了万有引力定律,ACD 错误,B 正确。
2.答案:B【解析】地球、木星都绕太阳运动,所以根据开普勒第三定律可得3322=RRT T木地地木,即1=11.9 T木地年,设经时间t两星又一次距离最近,根据tθω=,则两星转过1.1t=年,B正确。
1、答案:D2、答案:B【分析】根据万有引力提供向心力,得到轨道半径与周期的函数关系,再结合图象计算斜率,从而可以计算出地球的质量.【解答】解:由万有引力提供向心力有:,得:,由图可知:,所以地球的质量为:,故B正确、ACD错误。
例1:(2019P由上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a–x关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体。
双星与多星问题

双星与多星问题双星模型1、模型构建在天体运动中,将两颗彼此相距较近,且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上得某点做周期相同得匀速圆周运动得行星称为双星。
2、模型条件①两颗星彼此相距较近。
②两颗星靠相互之间得万有引力做匀速圆周运动。
③两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3、模型特点如图所示为质量分别就是m 1与m2得两颗相距较近得恒星。
它们间得距离为L 、此双星问题得特点就是:(1)两星得运行轨道为同心圆,圆心就是它们之间连线上得某一点。
(2)两星得向心力大小相等,由它们间得万有引力提供。
(3)两星得运动周期、角速度相同。
(4)两星得运动半径之与等于它们间得距离,即r 1+r2=L、4、 双星问题得处理方法双星间得万有引力提供了它们做圆周运动得向心力,即 错误!=m 1ω2r 1=m 2ω2r 2。
5、 双星问题得两个结论(1)运动半径:m1r 1=m 2r 2,即某恒星得运动半径与其质量成反比。
(2)质量之与:由于ω=错误!,r1+r 2=L ,所以两恒星得质量之与m 1+m 2=错误!。
【示例1】2016年2月11日,美国科学家宣布探测到引力波,证实了爱因斯坦100年前得预测,弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失得“拼图”、双星得运动就是产生引力波得来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线得某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a 星得周期为T ,a 、b 两颗星得距离为l ,a 、b 两颗星得轨道半径之差为Δr (a 星得轨道半径大于b 星得轨道半径),则( )A 、b 星得周期为\f(l -Δr,l +Δr )TB 、a星得线速度大小为π(l +Δr )TC 、a 、b 两颗星得半径之比为错误!D 、a 、b 两颗星得质量之比为错误!规律总结解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题得“两等”:①它们得角速度相等。
②双星做匀速圆周运动得向心力由它们之间得万有引力提供,即它们受到得向心力大小总就是相等得。
(完整版)双星三星四星问题

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建:在天体运动中,将两颗彼此相距较近,且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2.模型条件: (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3.模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系:m1r1=m2r2;m1v1=m2v2;m1a1=m2a2推导:根据两球的向心力大小相等可得,m1ω2r1=m2ω2r2,即m1r1=m2r2;等式m1r1=m2r2两边同乘以角速度ω,得m1r1ω=m2r2ω,即m1v1=m2v2;由m1ω2r1=m2ω2r2直接可得,m1a1=m2a2。
(4)巧妙求质量和:Gm1m2L2=m1ω2r1①Gm1m2L2=m2ω2r2②由①+②得:G m1+m2L2=ω2L ∴m1+m2=ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供,即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点,所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的,它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1=m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等,故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义:所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同.(2)三星模型:①三颗星位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示).②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).(3)四星模型:①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙).②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示).三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律:内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
高考物理一轮复习学案:双星及多星、天体追及问题

双星及多星、天体追及问题1.双星问题知识点(1)运动模型:远离其他天体的两星在相互间的万有引力作用下绕两星连线上某点O各自做匀速圆周运动。
(2)几个结论:①两星彼此间的万有引力提供向心力,即=m 1r1,=m 2r2。
1②两星绕行方向、周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
④两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比,即。
⑤两星的运动周期为T=2π。
⑥两星的总质量为m=m1+m2=。
22.多星问题类型三星模型四星模型3结构图2.多星问题类型三星模型四星模型结构图结论:1、每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它万有引力的合力提供42、每颗星做圆周运动转动的方向、周期、角速度、线速度的大小均相同活动一、宇宙双星及多星模型1.宇宙双星模型2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星(BC)A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度2. 宇宙三星模型三颗质量均为M的星球(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。
如图所示,如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行,引力常量为G,下列说法正确的是(BD)A.其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力大小为3GM 2 2L2B.其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力指向圆心OC.它们运行的轨道半径为3 2LD.它们运行的速度大小为GML56【习练】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。
设四星系统中每个星体的质量均为m ,半径均为R ,四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上。
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双星模型、三星模型、四星模型
天体物理中的双星,三星,四星,多星系统是自然的天文现象,天体之间的相互作用遵循万有引力的规律,他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算,运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律:F F =',作用力的方向在双星间的连线上,角速度相等,ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为T ,两颗恒星之间的距离为r ,试推算这个双星系统的总质量。
(引力常量为G )
【解析】:设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2,做圆周运动的半径分别为r 1、r 2,角速度分别
为ω1、ω2。
根据题意有
21ωω=
①
r r r =+21
②
根据万有引力定律和牛顿定律,有
G
12112
2
1r w m r
m m = ③
G
12
212
21r w m r
m m =
④
联立以上各式解得
2
121m m r
m r +=
⑤
根据解速度与周期的关系知
T
πωω221=
= ⑥
联立③⑤⑥式解得
3
22214r G
T m m π=+
【例题2】天体运动中,将两颗彼此相距较近的行星称为双星,它们在万有引力作用下间距始终保持不变,并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动,设双星间距为L ,质量分别为M 1、M 2,试计算(1)双星的轨道半径(2)双星运动的周期。
解析:双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动,即:
2221212
2
1L M L M L
M M G
ωω==---------① ..L L L =+21-------② 由以上两式可得:L M M M L 2121+=
,L M M M L 2
12
2+=
又由1
2212214L T M L M M G π=.----------③ 得:)
(221M M G L
L T +=
【例题3】我们的银河系的恒星约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r ,已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为 ( D )
A .2
12)(4GT
r r r -2π
B .2
312π4GT
r
C .2
32π4GT
r
D . 2
122π4GT
r r 答案 :D
解析 : 双星的运动周期是一样的,选S 1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得
22
112
1π4T
r m =r m Gm 2,则m 2=2122π4GT r r .故正确选项D 正确. 【例题4】如右图,质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动,星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线,A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
⑴ 求两星球做圆周运动的周期。
⑵ 在地月系统中,若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A 和B ,月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。
但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。
求T 2与T 1两者平方之比。
(结果保留3位小数)
【答案】⑴)
(23
m M G L T +=π ⑵1.01
【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,则A 和B 的
向心力相等。
且A 和B 和O 始终共线,说明A 和B 有相同的角速度和周期。
因此有
R M r m 22ωω=,L R r =+,连立解得L M
m m R +=
,L M m M
r +=
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M M
T m L GMm +=22
)2(π 化简得 )
(23
m M G L T +=π
⑵将地月看成双星,由⑴得)
(23
1m M G L T +=π
将月球看作绕地心做圆周运动,根据牛顿第二定律和万有引力定律得
L T m L GMm 2
2
)2(π=
化简得 GM
L T 3
22π=
所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(24
22
24212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T
【例题5】【2012•联考】如右图,三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M (M>> m 1,M>> m 2)。
在c 的万有引力作用下,a 、b 在同一平面绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动,它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ;从图示位置开始,在b 运动一周的过程中,则 ( )
A .a 、b 距离最近的次数为k 次
B .a 、b 距离最近的次数为k+1次
C .a 、b 、c 共线的次数为2k
D .a 、b 、c 共线的次数为2k-2 【答案】D
【解析】在b 转动一周过程中,a 、b 距离最远的次数为k-1次,a 、b 距离最近的次数为k-1
次,故a 、b 、c 共线的次数为2k-2,选项D 正确。
【例题6】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运
行.设每个星体的质量均为m .
(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?
答案 (1)R GmR 25 Gm
R 5π43
(2)R 31
)5
12
(
解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:
F 1=2
2
22
2)
2(R Gm F R
Gm = F 1+F 2=mv 2
/R
运动星体的线速度:v =
R
GmR
25 周期为T ,则有T =
v
R
π2 T =4πGm
R 53
(2)设第二种形式星体之间的距离为r ,则三个星体做圆周运动的半径为 R ′=
︒
30cos 2
/r
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有:
F 合=22
2r Gm cos30°
F 合=m 22
π4T R ′
所以r =31
)5
12
(R
【例题7】(2012•百校联考)宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系统离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上,均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,其运动周期为;另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,其运动周期为,而
第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下,星体运动的周期之比1
2
T T .
【答案】
12T T 【解析】对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a ,所受合力等于向心力,因此有
222
22142m +G =m a a T π⋅︒ ①
解得3
21
a T =Gm
π ②
对
正方形模式,四星的轨道半径均为
2
a ,同理有
22222cos 45m G a ⋅︒ ③ 图4
解
得22
T ④
故12T T。