36、万有引力(4)双星与多星问题 练习题 高中物理高考考点知识点微专题天天练每天30分钟【含答案详解】

36、万有引力（4）双星与多星问题
1． “双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )
图1
A ．A 、
B 运动的轨道半径之比为m 1m 2
B ．A 、B 运动的速率之比为
m 1
m 2
C ．C 运动的速率为A 的2倍
D ．C 、D 运动的周期均为
22
T 2．(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( )
A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝Gm R
B ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R
5Gm
R
C ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πR
R
5Gm
D ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝312
5
R
3．(多选) 冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为M 、m (m <M )，两星相距L ，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点O 做匀速圆周运动．冥王星与星体卡戎到O 点的距离分别为R 和r .则下列说法正确的是( )
A ．可由G Mm
R 2＝MRω2计算冥王星做圆周运动的角速度
B ．可由G Mm
L 2＝M v 2L 计算冥王星做圆周运动的线速度
C ．可由G Mm L 2＝mr (2π
T )2计算星体卡戎做圆周运动的周期
D ．冥王星与星体卡戎绕O 点做圆周运动的动量大小相等
4． 2015年12月17日我国发射了“悟空”探测卫星，这期间的观测使人类对暗物质的研究又进了一步．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且
T 理论
T 观测
＝k (k >1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m ，那么，暗物质的质量为( ) A.k 2－14m
B.k 2－28m
C ．(k 2－1)m
D ．(2k 2－1)m
5． 2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到．在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统．如图2所示，黑洞A 、B 可视为质点，它们围绕连线上O 点做匀速圆周运动，且AO 大于BO ，不考虑其他天体的影响．下列说法正确的是( )
图2
A ．黑洞A 的向心力大于
B 的向心力 B ．黑洞A 的线速度大于B 的线速度
C ．黑洞A 的质量大于B 的质量
D ．两黑洞之间的距离越大，A 的周期越小
6．(多选) 宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( ) A ．这两颗恒星的质量必定相等
B ．这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3GT 2
C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1
D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2(R 1＋R 2)3
GT 2
答案精析
1．D [对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2
m 1＋m 2L ，r 2
＝m 1
m 1＋m 2
L ，T ＝2πL L G (m 1＋m 2)
，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v ＝
2πr
T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2
m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL
L
G (2m 1＋2m 2)
＝
22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 2
2m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′
＝2v 1，C 错误．]
2．BCD [三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕
中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行．其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有：G m 2R 2＋G
m 2(2R )2＝m v 2
R ，解得v ＝
5Gm 4R
，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πR
v ＝4πR
R 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R
5Gm
R
，B 正确；由于两种系统周期相等，则三星系统B 的运行周期为T ＝4πR
R
5Gm
，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°·4π2
T 2，解得L ＝3125R ，D 正确．]
3．CD [冥王星与星体卡戎之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力：可由G Mm
(R ＋r )2＝
MRω2
计算冥王星做圆周运动的角速度，故A 错误；同理，可由G Mm
L 2＝M v 2
R
计算冥王星做
圆周运动的线速度，故B 错误；冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统．所以冥王星和星体卡戎做圆周运动的周期是相等的，可由G Mm L 2＝mr (2π
T )2计算星体卡戎做圆周运动的周
期，故C 正确；因G Mm (R ＋r )2＝MRω2＝mrω2
，由于它们的角速度的大小是相等的，所以：MRω＝mrω，又：v m ＝ωr ，v M ＝ωR ，p m ＝m v m ，p M ＝M v M ，所以冥王星与星体卡戎绕O 点做圆周运动的动量大小相等，故D 正确．]
4．A [两星球均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L ，由万有引力提供向心力得：G m 2L 2＝m 4π2T 理论2·L 2
，解得：T 理论＝πL
2L
Gm .根据观测结果，星体的运动周期T 理论T 观测
＝
k ，这种差异是由两星球之间均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在两星球之间的暗物质对双星系统的作用与一质量等于暗物质的总质量m ′、位于中点O 处的质点的作用相同．则有：G m 2L 2＋Gmm ′(L 2)2＝m 4π2T 观测2·L 2
，解得：T 观测＝πL
2L
G (m ＋4m ′)，又T 理论T 观测
＝k ，所以：m ′＝
k 2－14m ，故A 正确，B 、C 、D 错误．]
5．B [两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A 对B 的作用力与B 对A 的作用力大小相等、方向相反，则黑洞A 的向心力等于B 的向心力，故A 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由题图可知A 的轨道半径比较大，根据v ＝ωr 可知，黑洞A 的线速度大于B 的线速度，故B 正确；由于m A ω2r A ＝m B ω2r B ，由于A 的轨道半径比较大，所以A 的质量小，故C 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以G m A m B L 2＝m A 4π2T 2r A ＝m B 4π2T 2r B ，又：r A ＋r B ＝L ，得r A ＝m B L m A ＋m B ，L 为二者之间的
距离，所以得：G m A m B L 2＝m A 4π2T 2·m B L m A ＋m B ，即：T 2
＝4π2L 3G (m A ＋m B )，则两黑洞之间的距离越小，
A 的周期越小，故D 错误．]
6．BC [设两星质量分别为m 1、m 2.对m 1有：G m 1m 2(R 1＋R 2)2＝m 1R 14π2
T 2，解得m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，
同理可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2
GT 2，故两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1
＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3GT 2，则不可能其中一个的质量为4π2(R 1＋R 2)3
GT 2，故选项D 错误，选项B 正确；
m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故选项C 正确．]。