信号分析与处理习题

2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。

解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。

3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω)表示下列序列的傅里叶变换： （1） )1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([21)(2n x n x n x -+=* 分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即)()(ωj e X n x ⇔，)()(ωj e X n x -⇔-)()(ωωj mj e X e n m x --⇔-解：（1）由于)()]([ωj eX n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e eX n x DTFT ---=+=（2）由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-故)](Re[2)()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=*3.7 试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：（1） )()(n R a n x N n =（2） N n n n n x <<-=000)()(，δ （3） )()(n nR n x N = （4） )()(2n R n n x N =分析：利用有限长序列的DFT 的定义，即10)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n knN ，解：（1）因为)()(n R a n x N n =，所以k Nj N N n nk NjnN n knNnaea ea Wa k X ππ212111)(--=--=--===∑∑（2）因为N n n n n x <<-=000)()(，δ，所以k n Nj n n knNN n knNeW W n n k X 002100)()(πδ-=-===-=∑（3）由)()(n nR n x N =，得∑-==1)(N n knNnW k X 注意：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n ．。

．∑-=+=10)1()(N n n k NkNnW k X WNW W N WN W N W N W W W N W W W nW nWW k X kNk N N n knNkNN N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn Nk N-=--+--=+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑-=---=+-=11)1()1(])1()2(2[])1(32[)1)((11)1(32)1(321)1(1则所以kNW Nk X --=1)( （4）注意：本题可利用上题的结论来进行化简。

．．．．．．．．．．．．．．．．由)()(2n R n n x N =，则∑-==102)(N n knNW n k X 根据第（3）小题的结论：若)()(1n nR n x N = 则kNN n knN W NnW k X --==∑-=1)(101 与上题同理，得kNN n knNN n knNkNN N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn Nk NW NN N k X N N nW N N W n N W N W N W W W N W W W W n Wn W k X ----=+--=+--=-+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑∑-=-=---=+-=12)2()(2)2(2)2()12()1(])1()2(4[])1(94[)1)((1111122)1(232)1(2321)1(212所以10)1()2()(22-≤≤---=N k W N W N N k X k N kN ， 3.13 [习题3.20]设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz ，如果采用的采样时间间隔为0.1ms ，试确定：（1） 最小记录长度；（2） 所允许处理信号的最高频率； （3） 在一个记录中的最小点数。

分析：采样间隔T 和采样频率f s 满足f s =1/T ，记录长度T 0和频域分辨力F 0的关系为T 0=1/ F 0，采样定理为f s ≥2f h （f h 为信号最高频率分量），一个记录中最少的采样总数N 满足002F f F f T T N hs ≥==解：（1）因为T 0=1/ F 0，而F 0≤10Hz ，所以s T 1010≥即最小记录长度为0.1s 。

（2）因为kHz T f s 10101.0113=⨯==，而f s ≥2f h 所以kHz f f s h 521=≤即允许处理信号的最高频率为5kHz 。

（3）1000101.01.030=⨯≥=T T N 又因N 必须为2的整数幂所以一个记录中的最少点数为N =210=1024。

3.17 [课堂思考题]若)(),(21n x n x 是因果稳定序列，求证：⎰⎰⎰---=ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j证：设)()()(21n x n x n y *= 则由时域卷积定理，得)()()(21ωωωj j j e X e X e Y =即⎰⎰--===*ππωωωππωωωπωπd e e X e X d e e Y n y n x n x n j j j n j j )()(21)(21)()()(2121令上式的左右两边n=0，得)0()0()()()()()()(2121002102121x x k n x k x n x n x d e X e Xn n k n j j ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*====-∑⎰ππωωωπ又傅里叶反变换公式，得⎰-=ππωωωπd ee Xn x nj j )(21)(11，⎰-=ππωωωπd e e Xn x n j j )(21)(22则⎰-=ππωωπd e X x j )(21)0(11，⎰-=ππωωπd e X x j )(21)0(22所以⎰⎰⎰---=ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e Xd e X d e X e X j j j j5.1 各态遍历的随机相位正弦波)sin()(0ϕω+=t x t x式中，x 0,ω均为常数，φ在0~2π内随机取值，试求其自相关函数并作图。

分析：利用自相关函数的定义求解，即⎰+=∞→TT xx dt t x t x TR 0)()(1lim)(ττ解：由自相关函数的定义式，得[]()ωταωτααωταπτπωαωαϕωϕτωϕωττϕπϕπcos 2sin cos sin cos sin 2lim )(21)(sin )sin(1lim )()(1lim )(20222/2/200x d x R T d dt t dt t t x T dtt x t x T R T xx T T T TT xx =+====++++=+=⎰⎰⎰++-∞→-∞→∞→故且则令，可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关，而不含相位信息．．．．．．，这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。

其自相关函数图形如图所示。

6.4 试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc =2 rad/s 。

分析：与习题6. 3同理，利用模方函数求出其左半S 平面极点，而求得系统函数。

解：对于三阶（N =3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为()()6221111)(c Nc j j j j j H ΩΩ+=ΩΩ+=Ω令j Ω= s ，则有()611)()(c j s s H s H Ω+=-各极点满足()()6,,2,1231212 ==Ω=+-+k ees k j NN k j c k ，ππ不难得知，当k =1, 2, 3时，相应的极点s k 均位于左半S 平面。

则滤波器的系统函数H (s )的极点312223123432321j es e s j es j j j --==-==+-==πππ因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为()()()8848)(233213+++=---Ω=s s s s s s s s s s H cR xx (τ) τ x 02/2。