东城区2014-2015二模数学试题理
2015年北京东城高三二模数学试题及答案(理科)
7 83 5 5 2 3 8 945 5 1 9 7 8 乙甲 北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）23sin()6π-=（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32（2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ） b c a >> （B ）a c b >>（C ） a b c >> （D ）b a c >>（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有 （A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s =（D ）12x x <，12s s >（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（A ）[1,3]- （B ）[1,11]（C ）]3,1[ （D ）]11,1[-（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(f f f f ++++= （A ）336 （B ）355（C ）1676 （D ）2015（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（A）11010（B）01100（C）10111（D）00011l 1l 2O M (p ,q )第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若1()nx x -的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（10）已知正数,x y 满足x y x y +=，那么x y +的最小值为 ． （11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一个公共点，则a = ．（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ．（14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个．GDE B C FA ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题（共6小题，共80分。
2014-2015学年北京市东城区七年级上学期期末考试数学试题(含答案)
东城区（南片）2014--2015学年第一学期期末考试题 初一数学 2015.1一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请把答案填在下表相应的位置上）A.2B.12 C.12- D. 2- 2．未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为A ． 0.845×104亿元B ． 8.45×103亿元C ． 8.45×104亿元D ． 84.5×102亿元4.下列运算正确的是A ． 43m m -=B ． 33323a a a -=-C ． 220a b ab -=D ． 2yx xy xy -=5．右图所示的四条射线中，表示北偏西30°的是A ．射线OAB ．射线OBC ．射线OCD ．射线OD6．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中α∠与β∠一定互余的是A B C D8. 某商品先按批发价a 元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是9．已知是二元一次方程组的解，则m ﹣n 的值是10．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为． ． ． ．二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分）11．某天最低气温是－5℃，最高气温比最低气温高8℃，则这天的最高气温是_________℃． 12．与原点的距离为2.5个单位的点所表示的有理数是_ ___．13．若代数式x y -的值为3，则代数式232x y --的值是 ． 14．若33x ab -与213y ab --是同类项，则x =_______，y =________．18．定义新运算：对于任意有理数a ，b ，都有a ⊕b =a （a -b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5，则（-2）⊕3的值为 ． 19．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x 人，可列方程为 ．20．如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C 点，第3次从C 点向右移动6个单位长度至D 点，第4次从D 点向左移动9个单位长度至E 点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41．DCBA三、解答题（本题共39分） 21.计算题：（每小题3分，共9分）（1） 15)7()18(12--+-- ； （2）41-+()23131427-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯；（3）⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯--214131122．22.（本题4分） 先化简，再求值： (2a 2－5a )－2 (a 2＋3a －5)，其中a ＝１．23．解方程或方程组：（每小题4分，共12分）（1） 12﹣2（2x +1）=3（1+x ） ； （2）13421+=-xx ； （3）24．（本题6分）作图题：已知平面上点A ，B ，C ，D . 按下列要求画出图形：（1）作直线AB ，射线CB ；（2）取线段AB 的中点E ，连接DE 并延长与射线CB 交于点O ； （3）连接AD 并延长至点F ，使得AD =DF .25．（本题4分）如图，已知∠AOB =030，∠BOC =71°，OE 平分∠AOC ， 求∠BOE 的度数.（精确到分）26. （本题4分）如图，线段AB ＝10cm ，点C 为线段A 上一点，BC ＝3cm ，点D ，E 分别为AC 和AB 的中点，求线段DE 的长．四、列方程或方程组解应用题（第27题5分，第28题6分，共11分）27．抗洪抢修施工队甲处有34人，乙处有20人，由于任务的需要，现另调30人去支援，使在甲处施工的人数是在乙处施工人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？28.目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？东城区（南片）2014--2015学年第一学期期末初一数学参考样题参考答案及评分标准一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）11．3 12．2.5± 13．3 14．4,2 15．8 16．120° 17．3-a 18．11 19．2x +56=589﹣x 20．28 三、解答题（本题共39分） 21．计算题（每小题3分，共9分） 解： （1） 15)7()18(12--+--1218715=+--………………………1分3022=-………………………2分=8 ． ………………………3分 （2）41-+()23131427-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ 2721=1()439-+⨯-⨯………………………2分3=2-．………………………3分（3）⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯--214131122 ()2436=---+ ………………………1分27=-- ………………………2分9=- ． ………………………3分22.（本题4分） 先化简，再求值： (2a 2－5a )－2 (a 2＋3a －5)，其中a ＝１． 解： (2a 2-5a ) -2 (a 2＋3a -5)=2a 2-5a -2a 2-6a +10 ……………………………… 2分 =-11a +10 ……………………………… 3分 ∵ a =１，∴ 原式=-11×1+10=-1． ……………………………… 4分23．解方程或方程组：（每小题4分，共12分） （1）12﹣2（2x +1）=3（1+x ）. 解：去括号，得124233x x --=+. …………………………1分移项，得433212x x --=+- . …………………………2分合并同类项，得77x -=- . …………………………3分系数化为1，得1x =. ……………………………4分（2）13421+=-xx . 解： 去分母，得 68)1(3+=-x x . …………………………………………1分 去括号，得 6833+=-x x . …………………………………………………2分移项，得 3683+=-x x . ……………………………………………………3分 合并同类项，得 95=-x .………………………………………………… 4分 系数化为1，得 59-=x . ………………………………………………… 5分 （3）解：①×3+②得：10x =20，即x =2， …………………………………………………2分 将x =2代入①得：y =﹣1， 则方程组的解为……………………………………………………3分24．（本题6分）作图题：（1）图略 ………………2分 （2）图略 ………………4分 （3）图略 ………………6分25．（本题4分）解：因为∠AOB =30︒， ∠BOC =71°，所以∠AOC = 101︒ . ………………1分又因为 O E 平分∠AOC ，所以∠AOE =1110122AOC ∠=⨯︒ . ∠AOE =5030'︒ . ………………2分因为 ∠BOE = ∠AOE - ∠AOB ，所以 ∠BOE =5030'︒-30°=20°30′. ………………4分 26．（本题4分）解：因为 点D 是AC 的中点，所以 12AD AC =．………………………1分 因为 点E 是AB 的中点，所以 12AE AB =．………………………2分 所以 DE 1()2AE AD AB AC =-=-．因为 AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，所以 AC =7 cm ．………………………3分 所以 DE =32cm ． ………………………4分 四、列方程或方程组解应用题（第27题5分，第28题6分，共11分） 27. 解：设应调往甲处x 人，调往乙处（30-x ）人. ………1分依题意，有342(2030)x x +=+- . ………3分 解方程，得22x =. ………4分30-x ＝30-22＝8（人）答：应调往甲处22人，调往乙处8人. ………5分28. 解：（1）设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯（1200﹣x ）只，………1分由题意，得25x +45（1200﹣x ）=46000， ………2分 解得：x =400．购进乙型节能灯1200﹣400=800只． ………3分答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；（2）设商场购进甲型节能灯a 只，则购进乙型节能灯（1200﹣a ）只，由题意，得（30﹣25）a +（60﹣45）（1200﹣a ）=[25a +45（1200﹣a ）]×30%．………4分解得：a=450．购进乙型节能灯1200﹣450=750只．………5分5 a+15（1200﹣a）= 13500元．答：商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时利润为13500元．………6分课文编提纲。
2014-2015学年北京市东城区2015年中考二模数学试题.docx
北京市东城区2014--2015 学年第二学期综合练习（二）数学试卷2015.6学校班级姓名考号1. 本试卷共8 页，共五道大题，29 道小题，满分120 分 . 考试时间120 分钟 .考2. 在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号.生3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.须4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.知5. 考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回.一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．如图，数轴上有A， B， C，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是A ．点B 与点 D B．点 A 与点C C．点 A 与点D D ．点 B 与点 C2.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约为50 000 000 吨，将 50 000 000用科学记数法表示为A ． 5×107B ． 50×106C． 5×106D． 0.5 ×1083.下列运算正确的是A ．a2a3a6B．a3a3a6C．a2a2 D ．( a3)2a64．甲、乙、丙、丁四名运动员参加了射击预选赛，他们射击的平均环数－及其方差2x s 如下表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，应选运动员甲乙丙丁－7887xs211 1.2 1.8A ．甲B．乙C．丙D．丁5.如图，已知⊙ O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是A．6B． 5C． 4D．36．已知一个布袋里装有 2 个红球， 3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从此布袋里任意摸出 1 个球，该球是红球的概率为1，则a等于3A ． 1B ． 2C． 3D． 47. 如图，将△ ABC 沿 BC 方向向右平移2cm 得到△ DEF ，若△ ABC 的周长为16cm，则四边形 ABFD 的周长为A ． 16cm B． 18cm C． 20cm D． 22cm8．如图，在已知的△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B， C 为圆心，以大于1BC 的2长为半径作弧，两弧相交于点M， N；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD．若 CD=AC，∠B=25 °，则∠ ACB 的度数为C MA ． 90°B ． 95°C． 100 ° D ． 105 °A BD9．如果三角形的一个角是另一个角的3倍，那么我们称这N个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是A ． 1， 2， 3B． 1， 1，C． 1， 1，D． 1，，210.如，矩形 ABCD 中， AB=3，BC=4 ，点 P 从 A 点出，按 A→B→ C 的方向在 AB和 BC 上移，PA=x，点 D 到直 PA 的距离y， y 关于 x 的函数象大致是DACBA．B．C．D．二、填空（本共18 分，每小 3 分）11．使x 2 有意的x的取范是．12．如， AB//CD ，∠ D = 27 ，°∠ E =36 °．∠ ABE 的度数是．13．一次函数y kx b 的象第一、二、三象限且(0,2)点.任写一个足上述条件的一次函数的表达式是_________________.14．小用一半径24cm 的扇形板做一个如所示的形小丑帽子面（接忽略不），如果做成的形小丑帽子的底面半径10cm，那么扇形板的面是__ cm2A BC DE第12 第 14 第 1515.如，菱形 ABCD 的角 AC， BD 相交于点 O， AC＝ 8， BD＝ 6，以 AB 直径作一个半，中阴影部分的面．16．如，已知 A1，A2，⋯⋯， A n，A n＋1在 x 上，且 OA1＝ A1A2＝ A2A3＝⋯⋯＝ A n A n＋1＝ 1，分点 A1，接 A1B2， B1A2， A2B3， B2A3，⋯⋯， A n B n＋1， B n A n＋1，依次相交于点 P1， P2， P3，⋯⋯，P n，△ A1B1P1，△ A2B2P2，⋯⋯，△ A n B n P n的面依次 S1， S2，⋯⋯， S n， S1=， S n=．三、解答（本共30 分，每小 5 分）17. 算：π30132 8sin 45041B18．如，点 A，F ，C，D 在同一直上，点 B 和点 E 分D 在直 AD 的两，且AB DE，BC ∥ EF ，∠A=∠D.A F C求： AF=DC.E19．若数 a 足a22a 10 ，算 4(a1)(a 1) 2a(a2) 的.20.已知关于 x 的方程(k1)x2(k 1)x10 有两个相等的数根，求数k 的．421． A，B 两个火站相距 360km．一列快与一列普通列分从A，B 两站同出相向而行，快的速度比普通列的速度快54km/h ，当快到达 B 站，普通列距离A 站有 135km ．求快和普通列的速度各是多少？22．如，一次函数yk2 k1x b 的象A（0，2），B（1，0）两点，与反比例函数yx的象在第一象限内的交点M（ m， 4）．（ 1）求一次函数和反比例函数的表达式；（ 2）在 x 上是否存在点P，使 AM⊥ MP？若存在，求出点 P 的坐；若不存在，明理由．四、解答（本共20 分，每小 5 分）23．如，矩形ABCD 中，点 O AC 的中点，点O 的直分与AB， CD交于点 E，F，接 BF交 AC于点 M，接 DE，BO.若∠ COB=60°， FO=FC.求证：（1）四边形 EBFD是菱形；（2） MB :OE= 3： 2.24．以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘制的统计图的一部分，请你根据图中信息解答下列问题：（ 1） 2015 年全国普通高校毕业生人数年增长率约是多少？（精确到0.1% ）（2） 2013 年全国普通高校毕业生人数约是多少万人？（精确到万位）（3）补全折线统计图和条形统计图．25．如图，已知AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点，∠ BAC 的平分线交⊙ O 于点D ，交⊙ O 的切线 BE 于点 E，过点 D 作 DF ⊥ AC，交 AC 的延长线于点 F．（1）求证： DF 是⊙ O 的切线；（2）若 DF =3， DE =2．①求BE值；②求FAB 的度数．AD26 . 阅读材料如图 1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙ O于点 A, 则 PA长是点 P 与⊙ O上各点之间的最短距离 .CO A P B O A P图 1图2证明：延长PO 交⊙ O于点 B，显然 PB>PA.如图 2，在⊙O上任取一点C（与点 A，B 不重合），连结 PC， OC.PO PC OC,且PO PA OA, OA OC,PA PC,∴ PA长是点 P 与⊙ O上各点之间的最短距离.由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题．(1) 如图 3，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°， AC=BC=2，以 BC 为直径的半圆交AB 于 D，P 是上的一个动点，连接AP，则 AP 长的最小值是．图 3图4(2)如图 4，在边长为 2 的菱形ABCD中，∠A =60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△A' MN ，连接 A' C ,①求线段 A’M 的长度 ; ②求线段A'C 长的最小值.五．解答题（本题共22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）27．在平面直角坐标系中，抛物线y ax2bx +3 a0 与 x 轴交于点A（-3,0）、B（1,0）两点， D 是抛物线顶点， E 是对称轴与x 轴的交点 .(1) 求抛物线的解析式 ;(2) 若点 F 和点 D 关于x轴对称 , 点 P 是 x 轴上的一个动点，过点P 作 PQ∥OF 交抛物线于点 Q，是否存在以点 O,F,P,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标 ; 若不存在，请说明理由 .28. 如图 1，在Rt△ABC中，ACB 90 ，E是边 AC 上任意一点(点E与点A， C 不重合 )，以CE为一直角边作Rt△ ECD ， ECD 90 ，连接BE，AD.(1)若 CA CB ， CE CD ，①猜想线段 BE， AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)若 CA 8 ， CB 6 ，CE 3 ， CD 4，Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角，如图 3，连接BD，AE，计算BD2AE2的值 .AEBC图 3D29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线。
北京市东城区2014—2015学年度第二学期期末教学统一检测初一数学试题(含详细答案)
1 东城区2014—2015学年度第二学期期末教学统一检测
初一数学
2015.7 题号
一
二三四五六总分
1～10
11～18 19～21 22，23 24 25，26 分数第一部分（选择题共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中
. 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案
1．在平面直角坐标系中，点
P （2，－3）位于A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限2. 为了描述北京市某一天气温变化情况，应选择
A ．扇形统计图
B ．折线统计图
C ．条形统计图
D ．直方图3. 利用数轴确定不等式组32x x
的解集，正确的是4. 若a b >，则下列不等式变形错误．．的是
A ．a 1b 1>
B ．a
b
22>C ．3a 43b 4>D ．43a 43b
>5．已知正方形的面积是
17，则它的边长在A ．5与6之间B ．4与5之间C ．3与4之间D ．2与3之间
6.将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知
∠1=30°，则∠2的度数为
A ．30°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
D
0123
3210C B 0123A 3210。
(解析版)北京市东城区2015届高三二模数学(理)试题(pdf)
h1 = h0 ⊕ a2 = 1 ⊕ 1 = 0 ≠ 1 有误
b 2 5 满足双曲线方程，代入解得 a = 5 2
13． 已知非零向量 a , b 满足 | b |= 1 ，a 与 b − a 的夹角为 120 ， 则 | a | 的取值范围是 答案： 0,
．
2 3 3
解析：如图所示
B=
π
3
由正弦定理
b sin B
f (1) + f (2) + f (3) + + f (2015) = f ( 0 ) + f (1) + + f (2015) = 336 f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) = 336
信息．设定原信息为 a0 a1a2 ，其中 ai ∈ {0,1} （ i = 0,1, 2 ） ，传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ，
4
4 4
3．已知 {an } 为各项都是正数的等比数列，若 a4 ⋅ a8 = 4 ，则 a5 ⋅ a6 ⋅ a7 = A． 4 B． 8 C． 16 D． 64 答案：B 解析：在各项都是正数的等比数列中， a6 = a5 ⋅ a7 = a4 ⋅ a8 = 4
2
4．甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示， x1 , x2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数 学测验成绩的平均数， s1 , s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的标准差，则 有
2015高三数学理科东城二模
） D．2015
8．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信 息 。 设 定 原 信 息 为 a0 a1a2 ， 其 中 ai 0 ， 1 i 0 ， 1， 2 ， 传 输 信 息 为 h0 a0 a1a2 h1 ，
第二部分
（非选择题
共 110 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
1 9． 若 x 的二项展开式中各项的二项式系数的和是 64，则 n x
n
展开式中的
常数项为
． （用数字作答） ．
10．已知正数 x ， y 满足 x y xy ，那么 x y 的最小值为
18． （本小题共 13 分） 已知函数 f x x a e x ． （Ⅰ）当 a e 2 时，求 f x 在区间 1 ‚ 3 上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数 x0 3 ‚ 3 ，有 f x0 a ．
19． （本小题共 13 分） 已知椭圆 C 的中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为
9 6 2
7 8 9
7 3 2
8 5 3 5 7
D． x1 x2 ， s1 s2
4
5
5 1
5．已知 p ，q 是简单命题，那么“ p ^ q 是真命题”是“ p 是真命题的” （ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
）
x 3y 3 ≤ 0 ， 6．若实数 x ，y 满足不等式组 x y 1≥ 0 ， 则 z 2 | x | y 的取值范围是（ y ≥ 1 ，
n N* ．
2014东城区中考数学二模
2014东城区中考数学二模一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（4分）如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（4分）2014年3月21日上午，我国新型导弹驱逐舰昆明舰举行入列仪式，正式加入人民海军战斗序列．昆明舰采用柴燃交替动力，配备2台QC208燃气轮机，单台功率37500马力．数据37500用科学记数表示为（）A．3.75×104 B．37.5×103 C．0.375×105D．3.75×1033．（4分）下列运算中，正确的是（）A．a2+a3=a5B．a6÷a3=a2C．（a4）2=a6D．a2•a3=a54．（4分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，下列事件中是不可能事件的是（）A．朝上的点数之和为13B．朝上的点数之和为12C．朝上的点数之和为2D．朝上的点数之和小于35．（4分）本学期的五次数学单元练习中，甲、乙两位同学的平均成绩一样，方差分别为1.2，0.5，由此可知（）A．甲比乙的成绩稳定B．甲乙两人的成绩一样稳定C．乙比甲的成绩稳定D．无法确定谁的成绩更稳定6．（4分）如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（4分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm28．（4分）矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）使得二次根式有意义的x的取值范围是．10．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C落在斜边AB上，若AC=12cm，DC=5cm，则sinA=．11．（4分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．12．（4分）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是；第2014次相遇地点的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：．14．（5分）解方程：x2﹣10x+8=0．15．（5分）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．16．（5分）已知2x+y=4，求[（x﹣y）2﹣（x+y）2+y（2x﹣y）]÷（﹣2y）的值．17．（5分）甲、乙两公司各为“希望工程”捐款20000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数比甲公司的人数少20%．问甲、乙两公司人均捐款各为多少元？18．（5分）如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=的图象经过点A．（1）求点A的坐标；（2）如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，求这个一次函数的解析式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE 于点G，，求△EFC的周长．20．（5分）图①表示的是某综合商场今年1～5月的商品各月销售总额的情况，图②表示的是商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问题：（1）来自商场财务部的数据报告表明，商场1～5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图①中的统计图补充完整；（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？（3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？请说明理由．21．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BC=4，AC=3CE时，求⊙O的半径．22．（5分）我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB′，与直线l的交点，就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是；（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC 周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）（3）如图5，平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是，点D的坐标应该是．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）已知：关于x的一元二次方程mx2+（m﹣3）x﹣3=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个实数根；（2）设抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣3，证明：此函数图象一定过x轴，y轴上的两个定点（设x轴上的定点为点A，y轴上的定点为点C）；（3）设此函数的图象与x轴的另一交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围．24．（7分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．25．（8分）定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数x1，x2，用|x1﹣x2|表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做A，B两点之间的直角距离，记作d（A，B）．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（﹣1，3），则d（O，P）=；（2）已知C是直线上y=x+2的一个动点，①若D（1，0），求点C与点D的直角距离的最小值；②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．【解答】由题意，得：a+（﹣3）=0，解得a=3．故选A．2．【解答】：37500=3.75×104，故选：A．3．【解答】A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a6÷a3=a3，故本选项错误；C、（a4）2=a8，故本选项错误；D、a2•a3=a5，故本选项正确．故选D．4．【解答】根据同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1次，每个骰子上的数字最大是6，故朝上的点数之和最大为12，所以，朝上的点数之和为13是不可能事件，故选：A．5．【解答】∵甲的方差是1.2，乙的方差是0.5，1.2＞0.5，∴乙比甲的成绩稳定；故选C．6．【解答】连接OB，OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC=90°，∴∠BEC=∠BOC=45°．故选B．7．【解答】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2，故选B．8．【解答】此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：当x≤4时，y=6×8﹣（x•2x）=﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y=48﹣8x=﹣8x+48，此时函数的图象为直线y=﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．结合四个选项的图象知选A项．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】根据题意得，2x+1≥0，解得x≥﹣．故答案为：x≥﹣．10．【解答】如图，过D作DE⊥AB于点E，∵△BCD沿BD翻折，点C落在斜边AB上，∴∠ABD=∠CBD，又∵∠C=90，∴DE=DC，∵DC=5cm，∴DE=5cm，∵AC=12cm，∴AD=12﹣5=7cm，∴在Rt△AED中，sinA==．故答案为：．11．【解答】根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．12．【解答】由题意可得：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1），③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；…此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，∵2014÷3=671…1，故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是：第一次相遇地点，即物体甲行的路程为12×1×=4，物体乙行的路程为12×1×=8；此时相遇点F的坐标为：（﹣1，1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（﹣1，1）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】原式=2﹣1+2﹣=1+．14．【解答】由原方程，得x2﹣10x=﹣8，配方，得x2﹣10x+25=﹣8+25，整理，得（x﹣5）2=17，解得x1=5+，x2=5﹣．15．【解答】证明：∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴BC=DC．16．【解答】∵2x+y=4，∴x+y=2，∴原式=[x2﹣2xy+y2﹣x2﹣2xy﹣y2+2xy﹣y2]÷（﹣2y）=（﹣2xy﹣y2）÷（﹣2y）=x+y=2．17．【解答】设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款x+20元，根据题意得：（1﹣20%）=解得：x=80经检验x=80是原方程的根，故x+20=80+20=100元，答：甲公司人均捐款80元，乙公司人均捐款100元．18．【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a＞0，∵点A在反比例函数y=的图象上，得：3a=，解得a1=2，a2=﹣2，经检验a1=2，a2=﹣2是原方程的根，但a2=﹣2不符合题意，舍去，∴点A的坐标为（2，6）；（2）设点B的坐标为（0，m），∵m＞0，OB=AB，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB2=BC2+AC2，即m2=（6﹣m）2+2 2，解得m=，经检验m=是原方程的根，∴点B的坐标为（0，），设一次函数的解析式为y=kx+，由于这个一次函数图象过点A（2，6），∴6=2k+，解得k=，∴所求一次函数的解析式为y=x+．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAE=∠AFD，∠DAF=∠AEB，∵AF为∠BAD的角平分线，∴∠BAE=∠EAD，∴∠AFD=∠EAD，∠BAE=∠AEB，∠CEF=∠CFE，∴△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形，又∵AB=6，AD=9，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴CE=CF=3．∵BG⊥AE，BG=4，由勾股定理可得：AG==2，∴AE=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE．∴==，∴EF=2，∴△EFC的周长=EF+FC+CE=8．20．【解答】（1）410﹣（100+90+65+80）=410﹣335=75；如图：（2）商场服装部5月份的销售额是80万元×16%=12.8万元；（3）4月和5月的销售额分别是75万元和80万元，服装销售额各占当月的17%和16%，则为75×17%=12.75万元，80×16%=12.8万元，故小刚的说法是错误的．21．【解答】（1）AE与⊙O相切．理由如下：连接OM，则OM=OB，∴∠OMB=∠OBM．∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠EBM．∴∠OMB=∠EBM．∴OM∥BC．∴∠AMO=∠AEB．在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC．∴∠AEB=90°．∴∠AMO=90°．∴OM⊥AE．∴AE与⊙O相切；（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，∴BE=BC，∠ABC=∠C．∵BC=4，cosC=，∴BE=2，cos∠ABC=．在△ABE中，∠AEB=90°，∴．设⊙O的半径为r，则AO=6﹣r．∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE．∴．∴．解得：r=∴⊙O的半径为．22．【解答】（1）连接AE，则EP+CP的最小值=AE==．（2）如图所示：点B，C即为所求作的点；（3）作点B关于y轴的对称点B'，作A关于x轴的对称点A’，则B'的坐标是（﹣4，6），A'的对称点是（6，﹣4）．设直线A'B'的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=﹣x+2，令x=0，解得：y=2，则C的坐标是（0，2）；令y=0，解得：x=2，则D的坐标是（2，0）．故答案是：（0，2），（2，0）．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）△=（m﹣3）2+12m=（m+3）2∵（m+3）2≥0∴无论m取何值，此方程总有两个实数根．（2）由公式法：∴x1=﹣1，x2=，∴此函数图象一定过x轴，y轴上的两个定点，分别为A（﹣1，0），C（0，﹣3）．（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A（﹣1，0），C（0，﹣3）和B（，0）．观察图象，当m＜0时，△ABC为钝角三角形，不符合题意．当m＞0时，可知若∠ACB=90°时，可证△AOC∽△COB．∴．∴|OC|2=|OA|•|OB|．∴32=1×|OB|．∴OB=9．即B（9，0）．∴当时，△ABC为锐角三角形．即当m＞时，△ABC为锐角三角形．24．【解答】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，设AP为x，∴PC=4﹣x，CQ=4+x．∵∠BQD=30°，∴CQ=PC．∴4+x=（4﹣x）．解得x=8﹣4．（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P，Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ．∵△ABC是等腰直角三角形，∴可证PE=QF=AE=BF．在△PDE和△QDF中，，∴△PDE≌△QDF（AAS），∴DE=DF．∴DE=AB．又∵AC=BC=4，∴AB=4，∴DE=2，∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．（3）∵AP=x，BD=y，∴AE=x，∵AB=AE+DE+BD，∵4=x+2+y，即y=﹣x+2（0＜x＜4），当△BDQ为等腰三角形时，x=y，∴x=4﹣4，即BD的值为4﹣4．25．【解答】（1）d（O，P）=|0+1|+|3﹣0|=1+3=4，故答案为4；（2）①设C点坐标为（x，x+2），d（C，D）=|x﹣1|+|x+2﹣0|=|x﹣1|+|x+2|，当x＞1时，d（C，D）=x﹣1+x+2=2x+1＞3，当﹣2≤x≤1时，d（C，D）=1﹣x+x+2=3，当x＜﹣2时，d（C，D）=1﹣x﹣x﹣2=﹣2x﹣1＞3，所以点C与点D的直角距离的最小值为3；②点C与点E的直角距离的最小值为2﹣．。
东城2015年二模题答案
BAFCDE北京市东城区2014--2015学年第二学期初三综合练习（二）数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 17．原式=184+ ………………4分 =3- ……………………………………5分 18．证明：∵ BC ∥EF ，∴ACB DFE =∠∠..............................................................2分 在ABC △和DEF ∆中，AB DE A D ACB DFE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，，， ......................................................3分 ABC DEF ∴△≌△． ···················································································· 4分 AC DF ∴=． .AF DC = ···································································································· 5分2222219.4(1)(1)2(2)=442424432(2)421,=2-4=-2.5a a a a a a a a a a a a a +--+---=--=---=∴L L Q L L 分原式分20 . ∵关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，∴[]21(1)4(1)0,410.k k k ⎧∆=----⨯=⎪⎨⎪-≠⎩┉┉4分 解得：k =2．∴当关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根时，k =2．┉┉5分 21．解：设普通列车的速度为x km/h ，则快车的速度为（x +54）km/h ……1分 由题意，得：3603601352+54x x-= 分 解得：x =90……3分经检验得：x =90是这个分式方程的解．……4分 x +54=144．……5分答：普通列车的速度为90km/h ，快车的速度为144km/h ． 22．解：（1）把A （0，﹣2），B （1，0）代入1,y k x b =+得12,0.b k b =-⎧⎨+=⎩，解得12,2.k b =⎧⎨=-⎩，所以一次函数解析式为2 2.y x =-……2分 把M （m ，4）代入2 2.y x =- 解得m=3，则M 点坐标为（3，4），把M （3，4）代入2k y x=得k 2=12， 所以反比例函数解析式为12y x=……3分（2）存在．0(0,2),(1,0),(3,4),90.,A B M AB BM PM AM BMP OBA MBP -∴===⊥∴∠=∠=∠ ∴Rt △OBA ∽Rt △MBP ……4分.10.11.AB OB PB BM PB OP ∴==∴=∴=D∴P 点坐标为（11，0）．……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23． 证明:（1）连接BD .∵点O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点， ∴BD 必过点O 且BO DO CO DO ===.………1分 ∵矩形ABCD ，∴AB DC ∥，AB DC =. ∴FCO EAO ∠=∠.在CFO △和AEO △中，,,,FCO EAO CO AO COF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴CFO AEO △≌△. ∴FO EO =. ∵BO DO =，∴四边形EBFD 是平行四边形.………2分 ∵BO CO =，60COB ∠=︒， ∴COB △是等边三角形. ∴60OCB ∠=︒.∴30FCO DCB OCB ∠=∠-∠=︒. ∵FO FC =，∴30FOC FCO ∠=∠=︒.∴90FOB FOC COB ∠=∠+∠=︒. ∴EF BD ⊥.∴平行四边形EBFD 是菱形.┉┉3分 （2）∵FO FC =，∴点F 在线段OC 的垂直平分线上. ∵BO BC =，∴点B 在线段OC 的垂直平分线上. ∴BF 是线段OC 的垂直平分线.………4分 ∴90FMO OMB ∠=∠=︒. ∴30OBM ∠=︒. ∴12OF BF =. ∵30FOC ∠=︒，∴12FM OF =. ∴13222BM BF MF OF OF OF =-=-=. ∴32BM OF =. ∵FO EO =，∴:3:2BM OE =.┉┉5分749-727727 3.0%2÷≈L L 24.(1)（）分答:2015年全国普通高校毕业生数增长率为3.0%(2)680+%⨯≈L L （12.8）699（万）3分(3) 每图各1分┉┉5分答:2013年全国普通高校毕业生数约699万人.A25. （1）连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ∴∠DAF ＝∠DAO ∵OA =OD∴∠OAD ＝∠ODA ∴∠ DAF ＝∠ODA ∴AF ∥OD ．┉┉1分 ∵DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ∴DF 是⊙O 的切线┉┉2分 （2）①连接BD ∵直径AB ， ∴∠ADB =90°∵圆O 与BE 相切 ∴∠ABE =90°∵∠DAB +∠DBA =∠DBA +∠DBE =90° ∴∠DAB =∠DBE ∴∠DBE =∠F AD∵∠BDE=∠AFD =90° ∴△BDE ∽△AFD ∴32==DF DE AD BE ┉┉3分 ②连接OC ，交AD 于G 由①，设BE =2x ，则AD =3x∵△BDE ∽△ABE ∴DE BE =∴x 22=四、解答题（本题共20分，每小题5分） 27．解：（1）据题意得9-3b+3=01,a+b+3=0. 2.a ab =-⎧⎧⎨⎨=-⎩⎩，解得 ∴解析式为y = -x 2 -2x +3 ……3分 （2）当12bxa=-=-时，y =4 ∴顶点D （-1,4）∴F (-1，-4)… 4分 若以点O 、F 、P 、Q 为顶点的平行四边形存在，则点Q （x ,y ）满足4y EF == ①当y = - 4时，-x 2-2x +3= -4 解得，1x =-±∴12(14),(14)Q Q ----+- ∴12(P P -……6分 ②当y = 4时，-x 2-2x +3= 4 解得，x = - 1 ∴Q 3(-1,4)∴P 3(-2,0)……7分综上所述，符合条件的点有三个即：123((2,0)P P P --28．（1）①解： BE AD =，BE AD ⊥；……2分 ②BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BE AD ⊥.……4分（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒，∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++. ∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……7分29．（1）……3分（2）……5分t 9034134 6.62=x,0x 3,ABC R ABC A AB AC S AP ∠===∴=⨯⨯=≤≤（3）在中，，，，BC=5.分设o V V L L① 若等分线交边AC 于点Q ，34562AQ x x ++=-=-21116)6,222660303,3APQ S AP AQ x x x x x x x ==-=⨯-+==±≤≤∴=-（即V g g g Q此时34AQ =∴3AP =此种不存在,舍去……7分 ② 若等分线交BC 于点Q ，23453,(3)32,3454(3)51141(3))6,225232BPQ BP x BQ x x Q QE AB E BEQ BAC QE BQ QE x CA BC QE x S BP QE x x x x x ++=-=--=+⊥+∴==∴=+==-=⨯=∴==过点作于点则与相似.即（3+舍）V V V g g g ∴等分线交BC 于点Q时，AP =……8分。
2014-2015学年北京市东城区七年级上学期期末考试数学试题(含答案)
东城区（南片）2014--2015学年第一学期期末考试题 初一数学 2015.1一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请把答案填在下表相应的位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答案1.2−的绝对值是 A.2 B.12 C.12− D. 2− 2．未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为A ． 0.845×104亿元B ． 8.45×103亿元C ． 8.45×104亿元D ． 84.5×102亿元3．单项式2323x y −的次数是 A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ． 6 4.下列运算正确的是A ． 43m m −=B ． 33323a a a −=−C ． 220a b ab −=D ． 2yx xy xy −=5．右图所示的四条射线中，表示北偏西30°的是A ．射线OAB ．射线OBC ．射线OCD ．射线OD6．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A ． a ＞bB ． |a ﹣c |=a ﹣cC ． ﹣a ＜﹣b ＜cD ． |b +c |=b + c7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中α∠与β∠一定互余的是A B C D8. 某商品先按批发价a 元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 A ． a 元 B ． 0.99a 元C ． 1.21a 元D ． 0.81a 元9．已知是二元一次方程组的解，则m ﹣n 的值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为A ．B ．C ．D ．二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分）11．某天最低气温是－5℃，最高气温比最低气温高8℃，则这天的最高气温是_________℃． 12．与原点的距离为2.5个单位的点所表示的有理数是_ ___．13．若代数式x y −的值为3，则代数式232x y −−的值是 ． 14．若33x ab −与213y ab −−是同类项，则x =_______，y =________．15．计算：27254'︒⨯= ．16．若2x =−是关于x 的方程240x m +−=的解，则m 的值为 ． 17．如图，点A ，O ，B 在同一条直线上，∠COD =2∠COB ， 若∠COB =20°，则∠AOD 的度数为 .18．定义新运算：对于任意有理数a ，b ，都有a ⊕b =a （a -b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5，则（-2）⊕3的值为 ． 19．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x 人，可列方程为 ．20．如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C 点，第3次从C 点向右移动6个单位长度至D 点，第4次从D 点向左移动9个单位长度至E 点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41．CBAODCBA三、解答题（本题共39分） 21.计算题：（每小题3分，共9分）（1） 15)7()18(12−−+−− ； （2）41−+()23131427−÷⎪⎭⎫⎝⎛−⨯；（3）⎪⎭⎫⎝⎛+−⨯−−214131122．22.（本题4分） 先化简，再求值： (2a 2－5a )－2 (a 2＋3a －5)，其中a ＝１．23．解方程或方程组：（每小题4分，共12分）（1） 12﹣2（2x +1）=3（1+x ） ； （2）13421+=−xx ； （3）24．（本题6分）作图题：已知平面上点A ，B ，C ，D . 按下列要求画出图形：（1）作直线AB ，射线CB ；（2）取线段AB 的中点E ，连接DE 并延长与射线CB 交于点O ； （3）连接AD 并延长至点F ，使得AD =DF .25．（本题4分）如图，已知∠AOB =030，∠BOC =71°，OE 平分∠AOC ， 求∠BOE 的度数.（精确到分）26. （本题4分）如图，线段AB ＝10cm ，点C 为线段A 上一点，BC ＝3cm ，点D ，E 分别为AC 和AB 的中点，求线段DE 的长．四、列方程或方程组解应用题（第27题5分，第28题6分，共11分）27．抗洪抢修施工队甲处有34人，乙处有20人，由于任务的需要，现另调30人去支援，使在甲处施工的人数是在乙处施工人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？28.目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？东城区（南片）2014--2015学年第一学期期末初一数学参考样题参考答案及评分标准一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）11．3 12．2.5± 13．3 14．4,2 15．8 16．120° 17．3−a 18．11 19．2x +56=589﹣x 20．28 三、解答题（本题共39分） 21．计算题（每小题3分，共9分） 解： （1） 15)7()18(12−−+−−1218715=+−−………………………1分3022=−………………………2分=8 ． ………………………3分 （2）41−+()23131427−÷⎪⎭⎫⎝⎛−⨯ 2721=1()439−+⨯−⨯………………………2分3=2−．………………………3分（3）⎪⎭⎫⎝⎛+−⨯−−214131122 ()2436=−−−+ ………………………1分27=−− ………………………2分9=− ． ………………………3分22.（本题4分） 先化简，再求值： (2a 2－5a )－2 (a 2＋3a －5)，其中a ＝１． 解： (2a 2-5a ) -2 (a 2＋3a -5)=2a 2-5a -2a 2-6a +10 ……………………………… 2分 =-11a +10 ……………………………… 3分 ∵ a =１，∴ 原式=-11×1+10=-1． ……………………………… 4分23．解方程或方程组：（每小题4分，共12分） （1）12﹣2（2x +1）=3（1+x ）. 解：去括号，得124233x x −−=+. …………………………1分移项，得433212x x −−=+− . …………………………2分合并同类项，得77x −=− . …………………………3分系数化为1，得1x =. ……………………………4分（2）13421+=−xx . 解： 去分母，得 68)1(3+=−x x . …………………………………………1分 去括号，得 6833+=−x x . …………………………………………………2分移项，得 3683+=−x x . ……………………………………………………3分 合并同类项，得 95=−x .………………………………………………… 4分 系数化为1，得 59−=x . ………………………………………………… 5分 （3）解：①×3+②得：10x =20，即x =2， …………………………………………………2分 将x =2代入①得：y =﹣1， 则方程组的解为……………………………………………………3分24．（本题6分）作图题：（1）图略 ………………2分 （2）图略 ………………4分 （3）图略 ………………6分25．（本题4分）解：因为∠AOB=30︒，∠BOC=71°，所以∠AOC= 101︒.………………1分又因为O E平分∠AOC，所以∠AOE=11101 22AOC∠=⨯︒.∠AOE=5030'︒.………………2分因为∠BOE = ∠AOE - ∠AOB，所以∠BOE=5030'︒-30°=20°30′. ………………4分26．（本题4分）解：因为点D是AC的中点，所以12AD AC=．………………………1分因为点E是AB的中点，所以12AE AB=．………………………2分所以DE1()2AE AD AB AC=−=−．因为AB＝10cm，BC＝3cm，所以AC=7 cm．………………………3分所以DE=32cm．………………………4分四、列方程或方程组解应用题（第27题5分，第28题6分，共11分）27. 解：设应调往甲处x人，调往乙处（30-x）人. ………1分依题意，有342(2030)x x+=+− . ………3分解方程，得22x=. ………4分30-x＝30-22＝8（人）答：应调往甲处22人，调往乙处8人. ………5分28.解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，………1分由题意，得25x+45（1200﹣x）=46000，………2分解得：x=400．购进乙型节能灯1200﹣400=800只．………3分答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，由题意，得（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a）=[25a+45（1200﹣a）]×30%．………4分解得：a=450．购进乙型节能灯1200﹣450=750只．………5分5 a+15（1200﹣a）= 13500元．答：商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时利润为13500元．………6分。
2014东城区初三数学二模试卷(附答案)
2014东城区初三数学二模试卷（附答案）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm28．矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.使二次根式有意义的的取值范围是．10.如图，在△ABC中，C=90，点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C落在斜边AB上，若AC=12cm,DC=5cm，则sinA=．11.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是．（结果保留）12．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是；第2014次相遇地点的坐标是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：.14．解方程：．15．已知：如图，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．16．．17.列方程或方程组解应用题：甲、乙两公司各为“希望工程”捐款20000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的．问甲、乙两公司人均捐款各为多少元？18.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在第一象限,它的纵坐标是横坐标的3倍,反比例函数的图象经过点A.(1)求点A的坐标；(2)如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点B,且OB=AB,求这个一次函数的解析式.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，求的周长.20.图①表示的是某综合商场今年1—5月的商品各月销售总额的情况，图②表示商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问题：（1）来自商场财务部的数据报告表明，商场1—5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图①中的统计图补充完整；（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？（3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由.21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BC＝4，AC＝3CE时，求⊙O的半径．22.我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB 最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB＇．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB＇，与直线l的交点，就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是__________；（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）（3）如图5，平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是，点D的坐标应该是．五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；（2）设抛物线，证明：此函数图像一定过轴，轴上的两个定点（设轴上的定点为点A，轴上的定点为点C）；（3）设此函数的图像与轴的另一交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求的取值范围．24．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P 作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．25.定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数，用表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点我们把叫做A，B两点之间的直角距离,记作d（A，B）．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（－1，3），则d(O,P)＝_____________;（2）已知C是直线上y＝x＋2的一个动点，①若D（1，0），求点C与点D的直角距离的最小值；②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值．北京市东城区2013--2014学年第二学期初三综合练习（二）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号12345678答案DCDACBBA二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号9101112答案（-1，-1）（-1，1）三、解答题：（本题共30分，每小题5分）13..解：原式=……………………………………4分=.……………………………………5分14．解:.15．证明：∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE.即∠ACB=∠ECD.在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）.∴BC=DC．17．解：设甲公司人均捐款x元，则乙公司人均捐款（x＋20）元.………………1分根据题意得：.………………3分解得：x＝80.……………4分经检验x＝80是原方程的解.………5分x＋20＝100.答：甲公司人均捐款80元，则乙公司人均捐款100元.18.解:(1)设A(m,3m).∵点A在上,∴解得.┉┉1分∵点A在第一象限,∴m=2,故A(2,6).┉┉2分(2)设一次函数y=kx+b,∴B(0,b)(b>0).∵OB=AB,∴解得则.┉┉3分又∵A点在y=kx+b上,∴解得.┉┉4分故所求一次函数的解析式为.┉┉5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：由题意可证△ABE，△ADF，△CEF都是等腰三角形 (1)分又∵AB=6，AD=9，∴可求AB=BE=6，AD=DF=9.∴CE=CF=3.…………2分∵BG⊥AE，由勾股定理可求.…………3分∴AE=4.∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE.∴.∴.…………4分∴△EFC的周长为8.…………5分20．解：（1）410－100－90－65－80＝75（万元）.补全商场各月销售总额统计图.…………2分（2）5月份的销售额是80×16%＝12.8（万元）.…………3分（3）4月份的销售额是75×17%＝12.75（万元）.∵12.75＜12.8，∴不同意他的看法．…………5分21．解：（1）与相切．…………1分理由如下：连结，则．∴∠OMB=∠OBM．∵平分，∴∠OBM=∠EBM．∴∠OMB=∠EBM．∴．在中，，是角平分线，∴．∴．∴．∴．∴与相切．2分（2）在中，，是角平分线，∴∴．在中，，设的半径为，则．∵，∴．．．．∴的半径为．5分22.解：（1）；………………1分（2）∴点B，C即为所求作的点；………………3分（点D，E作出各得1分，连接DE得1分，写出结论得1分）（3）C（0，2）D（2，0）．………………5分五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵∴无论m取何值，此方程总有两个实数根.…………2分（2）由公式法：∴x1=－1,x2=.…………4分∴此函数图像一定过轴，轴上的两个定点，分别为A（－1，0）,C（0，－3）……4分（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0）.观察图象，当m＜0时，△ABC为钝角三角形，不符合题意.当m＞0时，可知若∠ACB=90°时，可证△AOC∽△COB.∴.∴.∴32=1×.∴OB=9.即B(9,0).∴当时，△ABC为锐角三角形.即当m>时，△ABC为锐角三角形.…………7分24．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，设AP为x，∴PC=4-x，CQ=4+x.∵∠BQD=30°，∴.∴.解得.…………2分（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P，Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ.∵△ABC是等腰直角三角形，∴可证PE=QF=AE=BF.∵∠PDE=∠QDF，∴△PDE≌△QDF.∴DE=DF.∴DE=AB.又∵AC=BC=4，∴.∴.∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．…………5分（3）∵AP=x，∴．∵，∵．即（0＜x＜4）．当△BDQ为等腰三角形时，x=y．∴．…………7分即BD的值为．25．⑴4；…………2分（2）①②．…………8分。
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7 8
3 5 5 7
2 3
8 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙
甲
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120
分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项） （1）23sin()6
π
-
= （A ）2
-
（B ）12
-
（C ）
12
（D ）
2
（2）设4log a =π，14
log b =π，4
c =π，则a ，b ，c 的大小关系是
（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>
（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=
（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64
（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次
数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有
（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <
（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >
（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩
，，，则2||z x y =+的取值范围是
（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-
（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,
当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f +++
+=
（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015
（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传
输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =）
，传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，
110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干
扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是
（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011
(p ,q )
第二部分（非选择题 共110分）
二、 填空题（共6小题，每小题5分，共
30分）
（9）若1
)n
x
的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开
式中的常数项为 ．（用数字作答）
（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．
（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨
=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ
=+⎧⎨=⎩，
为参数，0a >)有且只有
（12）若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则
a = ．
（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围
是 ．
（14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M
到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”． 给出下列四个命题：
① 若0p q ==，则“距离坐标”为② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．
E
F
A
三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题共13分）
已知函数2sin 22sin ()sin x x
f x x
-=．
（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值； （Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．
（16）（本小题共13分）
某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；
（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．
（17）（本小题共14分）
如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面
ADEB ，4AB =，60DEB ∠=，G 是DE 的中点．
（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ； （Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；
（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45，若存在，求BP 的长；
若不存在，说明理由．
（18）（本小题共13分）
已知函数()e
x
f x x a -=+⋅．
（Ⅰ）当2
e a =时，求()
f x 在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.
（19）（本小题共13分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x
C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原
点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．
（20）（本小题共14分）
已知数列{}n a 的前
n 项和为n S ，且满足1(3)a a a =≠，n n n S a 31+=+，设
n n n S b 3-=，n *
∈N ．
(Ⅰ)求证：数列{}n b 是等比数列；
(Ⅱ)若1n n a a +≥，n *∈N ，求实数a 的最小值； （Ⅲ）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,
, 2.n n
n e b n =⎧=⎨
≥⎩设这个新数列的前n 项和
为n C ，若n C 可以写成p t (,t p *∈N 且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．。