高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量练习 文

第3讲 平面向量1．(2016·课标全国丙改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________. 答案 30°解析 ∵|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos∠ABC ＝BA →·BC→|BA →|·|BC →|＝32，∴∠ABC ＝30°.2．(2016·山东改编)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为______．答案 －4解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4. 3．(2016·天津改编)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________． 答案18解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝DE →＋EF →＝DE →＋12DE →＝32DE →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.4．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 答案12解析 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，以向量AB →，向量AC →作为基底，则向量AD →可表示为____________． 答案 (1)12 (2)13AB →＋23AC →解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，即2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)根据平面向量的运算法则及已知图形可知AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AC →)＝13AB →＋23AC →. 思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． 跟踪演练1 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么以向量AB →和向量AD →为基底，向量EF →可表示为__________．(2)如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为________．答案 (1)12AB →－23AD → (2)12解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →.(2)因为E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB→＋AC →，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2)若b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π12，cos 5π12，|a |＝2|b |，且(3a ＋b )·b ＝－2，则向量a ，b 的夹角为________．答案 (1)2 (2)5π6解析 (1)以A 为原点，建立如图所示的坐标系， 可得A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)，∴AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)， ∴AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，∴F (1,2)． ∴AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)，∴AE →·BF →＝2×(1－2)＋1×2＝2.(2)b 2＝cos 2π12＋cos 25π12＝cos 2π12＋sin 2π12＝1，所以|b |＝1，|a |＝2. 由(3a ＋b )·b ＝－2，可得3a·b ＋b 2＝－2，故a·b ＝－3，故cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－32×1＝－32.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝5π6.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)已知点A ，B ，C ，D 在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量AD →在AB →方向上的投影为________．(2)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC→的值为________． 答案 (1)－55(2)－2解析 (1)不妨以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得AD →＝(－2,3)，AB→＝(4,2)，所以向量AD →在AB →方向上的投影为AD →·AB→|AB →|＝－225＝－55.(2)AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·BC →＝(AC →＋23CB →)·BC →＝[AC →＋23(AB →－AC →)]·BC →＝(23AB →＋13AC →)·(AC →－AB →)＝－23⎪⎪⎪⎪AB →2＋13AB →·AC →＋13⎪⎪⎪⎪AC →2 ＝－6＋1＋3＝－2.热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件． 例3 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)当x ∈[0，π2)时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sinA )与向量n ＝(2，sinB )共线，求a ，b 的值．解(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈[0，π2)，所以f (x )的单调递增区间为[0，π6]．(2)由f (C )＝2sin(2C ＋π6)＋1＝2，得sin(2C ＋π6)＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈(π6，13π6)，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cosπ3， 即a 2＋b 2－ab ＝9.② 联立①②，解得a ＝3，b ＝23.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝ ⎛cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，n ＝()cos B ，sin B ，且m ⊥n .(1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m·n ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－B ＝0，又A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45·32＋35·12＝43＋310， 由正弦定理，得BC ＝sin A sin B·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →＝____________. 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 16(a ＋b )解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以ANAM＝AD AB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．2．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE→＝________.押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 －89解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2＋0－1＝－89. 3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为________．押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案38解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28° ＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34，故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC→|AB →|×|BC →|＝341×32＝12. 又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°， 故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为 S ＝12×|AB →|×|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是_______________________________________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|，所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP→|2＝(|BP →|－14)2－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，∵AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.2．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是________． ①|b |＝1; ②a ⊥b ； ③a ·b ＝1; ④(4a ＋b )⊥BC →.解析 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ， 得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1， 所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →.3．在等腰△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________. 答案 －43解析 由已知得到AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·(BA →＋13AC →)＝－12AB →2＋16AB →·AC →＋12AC →·BA →＋16AC →2，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，所以AD →·BE →＝－12×22＋0＋0＋16×22＝－43.4．(2016·天津蓟县期中)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，∴1＋a·b －8＝－6，∴a·b ＝1＝|a||b |cos θ，∴cos θ＝12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.5．(2016·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a 、b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b－a 的夹角为30°，则|b |的最大值为________． 答案 6解析 令OA →＝a ，OB →＝b ，则b －a ＝OB →－OA →＝AB →，如图，∵b 与b －a 的夹角为30°，∴∠OBA ＝30°， ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理|OA →|sin∠OBA＝|OB →|sin∠OAB得，|b |＝|OB →|＝6·sin∠OAB ≤6.6．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 方向上的投影相等，且(c －a )·(c －b )＝－52，则向量c 的坐标为________．答案 (12，32)解析 设c ＝(x ，y )，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －3y ＝－52，2x ＋y ＝－x ＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.7．设向量OA →＝(5＋cos θ，4＋sin θ)，OB →＝(2,0)，则|AB →|的取值范围是________． 答案 [4,6]解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－3－cos θ，－4－sin θ)， ∴|AB →|2＝(－3－cos θ)2＋(－4－sin θ)2＝6cos θ＋8sin θ＋26＝10sin(θ＋φ)＋26， 其中tan φ＝34，∴16≤|AB →|2≤36，∴4≤|AB →|≤6.8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 答案 [－12，12]解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sinx )，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，∴y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]．9．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1，所以f (x )的最大值为32.10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.B 组 能力提高11．已知非零单位向量a 与非零向量b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则向量b －a 在向量a 上的投影为________． 答案 －1解析 因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以(a ＋b )2＝(a －b )2，解得a ·b ＝0，所以向量b －a 在向量a 上的投影为|b －a |cos 〈a ，b －a 〉＝a ·b －a|a |＝0－|a |2|a |＝－|a |＝－1.12．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP →＝λ(AB→|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)(λ∈R )，则直线AP 必经过△ABC 的________心． 答案 垂 解析 ∵BC →·(AB→|AB →|cos B＋AC→|AC →|cos C)＝－|BC →|＋|BC →|＝0，∴BC →与λ(AB→|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)垂直，∴AP →⊥BC →，∴点P 在BC 的高线上，即直线AP 经过△ABC 的垂心．13．若a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则实数λ的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3)∪(－3，－32)解析 ∵a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，∴a·b ＝3(2＋λ)＋λ<0，得λ<－32.若a ，b 共线，则λ(2＋λ)－3＝0，解得λ＝－3或λ＝1.即当λ＝－3时，a ，b 方向相反， 又〈a ，b 〉为钝角，则λ<－32且λ≠－3.14．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．精选教案可编辑 解 (1)方法一 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 方法二 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。