湖南省2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题
(新教材)2020-2021学年下学期高一第一次月考卷 化学(A卷)学生版
（新教材）2020-2021学年下学期高一第一次月考卷化 学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Cl 35.5 Fe 56 Mn 55 Ba 137 一、选择题1．近年来，总有一些不法商贩为了牟取自身利益。
用硫磺(燃烧硫磺)对银耳进行熏制，使银耳增白。
这些不法商贩所制取的银耳是利用了A ．SO 2的氧化性B ．SO 2漂白性C ．SO 2的还原性D ．S 的漂白性 2．下列关于氮气的说法错误的是A ．氮气在通常情况下不燃烧，也不支持燃烧，不能供给呼吸B ．液氮可用于医学和高科技领域，制造低温环境C ．利用氮气的稳定性，工业上用来替代稀有气体作焊接金属的保护气D ．在高温高压、催化剂条件下与氢气反应时，氮气作还原剂 3．化学与生产、生活、科技息息相关，下列叙述错误的是A ．华为首款5G 手机搭载了智能7nm 制程SoC“麒麟980”手机芯片的主要成分是二氧化硅B ．国产飞机C919用到氮化硅陶瓷是新型无机非金属材料C ．小苏打是面包发酵粉的主要成分之一D ．水玻璃可用作制备木材防火剂的原料4．碳纳米材料是近年来人们非常关注的一类新型无机非金属材料，下列关于碳纳米材料的说法中不正确的是A ．C 60是富勒烯的代表物，C 60的摩尔质量为720g/molB ．碳纳米管可用于生产电池和传感器C ．石墨烯与石墨都具有导电性D ．石墨烯的性质稳定，在氧气中不能燃烧 5．对下列事实的解释错误的是A ．在蔗糖中加入浓硫酸后出现发黑现象，说明浓硫酸具有脱水性B ．浓硝酸在光照下颜色变黄，说明浓硝酸不稳定C ．常温下，浓硝酸可以用铝制器皿贮存，说明铝与浓硝酸不反应D ．将SO 2通入BaCl 2溶液至饱和，未见沉淀生成，继续通入另一种气体，有白色沉淀，则通入的气体可能是NH 36．下列物质之间的转化都能一步实现的是 A ．H 2S→S→SO 3→H 2SO 4B ．Si→SiO 2→H 2SiO 3→Na 2SiO 3C ．FeS 2→SO 2→Na 2SO 3→Na 2SO 4D ．N 2→NH 3→NO 2→HNO 3→NO 27．某兴趣小组探究SO 2气体还原Fe 3+，他们使用的药品和装置如下图所示，下列说法不合理的是A ．B 中现象为溶液蓝色褪去B ．装置C 的作用是吸收SO 2尾气，防止污染空气C ．为了验证A 中发生了氧化还原反应，加入KMnO 4溶液，紫红色褪去D ．反应后，A 中溶液的酸性增强8．下列实验用来证明气体SO 2的存在，其中正确的是 ①能使品红溶液褪色②能使沾有酚酞和NaOH 溶液的滤纸褪色 ③通入H 2S 饱和溶液中有浅黄色沉淀生成④通入足量的NaOH 溶液中，再滴入BaCl 2溶液，有白色沉淀生成，该沉淀能溶于盐酸 ⑤通入溴水中，溴水褪色，再滴加BaCl 2溶液有白色沉淀产生，该沉淀难溶于稀硝酸 A ．③⑤能证明 B ．①②④能证明 C ．都不能证明 D ．只有⑤能证明 9．下列实验中金属或氧化物可以完全溶解的是 A ．1mol Cu 与含2mol H 2SO 4的浓硫酸共热 B ．1mol MnO 2与含2mol H 2O 2的溶液共热 C ．常温下1mol Al 投入足量的浓硫酸中D ．常温下1mol Cu 投入含4mol HNO 3的浓硝酸中此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．如图，同温同压下，两个等体积的干燥圆底烧瓶中分别充满①NH3、②NO2，进行喷泉实验。
2022年湖南省常德市望城中学高一数学文月考试卷含解析
2022年湖南省常德市望城中学高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ．设数列{}，下列判断一定正确的是（）A．若，，则{}为等比数列；B．若，，则{}为等比数列；C．若，，则{}为等比数列；D．若，，则{}为等比数列。
参考答案：C略2. 三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π参考答案：B三棱锥P?ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设，则，解得,.则长方体的对角线的长为.所以球的直径是6￣√,半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选B.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．3. （5分）若向半径为1的圆内随机撒一粒米，则它落到此圆的内接正方形的概率是（）A．B．C．D．参考答案：考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：首先确定正方形的面积在整个圆中占的比例，根据这个比例即可求出豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率．解答：由题意，圆的面积为π，由勾股定理得圆内接正方形的边长，其面积为2，故豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是．故选：B．点评：此题主要考查了几何概率、圆的面积求法以及正方形的特殊性质，求出两图形的面积是解决问题的关键．4. 已知2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．﹣8 B．8 C．D．参考答案：B【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等比数列的通项公式，可得公比q，再由等比数列的定义可得a2﹣a1，再由等差数列中项的性质，结合对数的运算性质可得b2，即可得到所求值．【解答】解：设等比数列的公比为q，由2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，可得：q3==28，即有q=2，即=q=2，可得a2﹣a1=；2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，可得2log3b2=2+0，解得b2=3，则b2（a2﹣a1）=3×=8．故选：B．5. 若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 设集合，则（）A. B. C. D.参考答案：D7. 角的终边过点，则等于（）A B C D参考答案：C略8. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“和谐区间”，下列函数中存在“和谐区间”的是▲ .①②③④参考答案：①④9. 已知等比数列{a n}满足，，则（）A. B. －2 C. 或－2 D. 2参考答案：C【分析】由等比数列的性质可知，a5?a8＝a6?a7，然后结合a5+a8，可求a5，a8，由q3可求．【详解】由等比数列的性质可知，，∵，∴，，或，，∴或．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题．10. 已知函数f（x）=，则f（﹣2）=（）A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣8参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由x ＜0时，f （x ）=x 2，把x=﹣2直接代入即可求解函数值 【解答】解：∵x＜0时，f （x ）=x 2 ∴f（﹣2）=4 故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x<1，则函数y=2－－x 的最小值为.参考答案：512. 如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是 .参考答案：13. 若A （-4，2），B （6，-4），C （12，6），D （2，12），则下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD 。
2020-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一(下)第一次月考数学试卷 Word版含解析
2022-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角2．若点P 在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）A．（1，）B．（，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）3．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sinαcosα=（）A．B．C．D．5．已知（）A．B．C．D．6．将函数y=sin4x 的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．7．函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=8．设，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 9．函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，10．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：（把答案填在答题卡相应题号后的横线上，本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．sin15°+cos15°=．12．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．13．已知，则sin（2α+β）=．14．函数的最小正周期为．15．下列命题中真命题的序号是．①y=sin|x|与y=sinx的象关于y轴对称．②y=cos（﹣x）与y=cos|x|的图象相同．③y=|sinx|与y=sin（﹣x）的图象关于x轴对称．④y=cosx与y=cos（﹣x）的图象关于y轴对称．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．已知tanα=3，计算：（1）；（2）sinαcosα；（3）（sinα+cosα）2．17．已知函数y=a﹣bcos3x（b＞0）的最大值为，最小值为﹣，求函数y=﹣4asin3bx的单调区间、最大值和最小正周期．18．已知cosα=，cos（α+β）=，且，，求tan及β的值．19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，﹣＜φ＜）图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出这个函数的单调区间．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．。
湖南省长沙市2020-2021学年高一数学下学期期末试卷【含答案】
长沙市2020-2021学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟 满分：150分得分__________．一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是（）10y +-=A. B. C. D. 3π6π23π56πC【分析】将一般式化成斜截式，再根据即可求解tan θk =【变形可得，则，又，所以10y +-=1y =+tan k θ==[)0,θπ∈，23πθ=故选：C本题考查由直线的一般式求解直线倾斜角，属于基础题2. 如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AC BD 下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A. 与B. 与PD ABPB DAC. 与D. 与PC BDPA CDC【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面PA ⊥ABCD AB ÌABCD PA AB ⊥为矩形，所以,,平面,所以平面ABCD AB AD ⊥PA AD A ⋂=,AD AP ⊂PAD AB ⊥，平面,所以,即，所以，故A 不正确；PAD PD ⊂PAD AB PD ⊥AB PD ⊥0AB PD =⋅ 对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD ⊥ABCD 形，所以,,平面,所以平面，AB AD ⊥PA AB A = ,AB AP ⊂PAB AD ⊥PAB 平面,所以,即，所以，故B 不正确；PB ⊂PAB PB AD ⊥PB AD ⊥0DA PB =⋅ 对于C ，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所ABCD AC BD PC BD 以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C 正确．PC BD PC BD 对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥ABCD 形，所以,,平面,所以平面，CD AD ⊥PA AD A ⋂=,AD AP ⊂PAD CD ⊥PAD 平面,所以,即，所以，故D 不正确.PA ⊂PAD PA CD ⊥PA CD ⊥ 0PA CD ⋅=故选：C.3. 设复数满足：，则的共轭复数是（）z ()1i i 3z ⋅+=-z z =A. B. C. D. 12i -+12i+12i--12i-C【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数，即可得到其共轭复数；z 【详解】解：，()1i i 3z ⋅+=- ，()()()()2i 31i i 3i i 33i 24i12i1i 1i 1i 22z ----+-+-+∴=====-+++-．12i z ∴=--故选：C ．4. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=0A【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．5. 根据历年气象统计资料，某市在七月份的某一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为35%，吹南风或下雨的概率为38%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 22%B. 13%C. 24%D. 28%A【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为.25%35%38%22%+-=故选：A.6. 已知一组数据的分位数为4，则的值和其总体方差分别为（）,3,2,6a -50%a A. 2，9 B. 3，10C. D. 175,3195,2D【分析】根据第百分位数的定义及方差计算公式即可求解.p 【详解】因为数据的第数为4，所以，解得，,3,2,6a -50%342a +=5a =所以这组数据的平均数为，()1235634⨯-+++=所以方差为，2222119(23)(33)(53)(63)42⎡⎤⨯--+-+-+-=⎣⎦故选：D.7. 三棱锥P --ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则该三棱锥外接球的2,3,6,3BAC AP BC π∠===表面积为（ ）A. B. C. D. 45π63π57π84πC【分析】将三棱锥P--ABC 中放在圆柱中，由正弦定理得的外接圆的直径，再结合12O O ABC 1O 2r 勾股定理求得外接球的直径，从而求得表面积.【详解】作出的外接圆由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P --ABC 中放在圆柱ABC 1O 中，如图所示：12O O 因为由正弦定理得的外接圆的直径为2,6,3BAC BC π∠==ABC 1O，22sin 3BC r π==∠又,则三棱锥P--ABC 外接球的直径为3AP =，故外接球的表面积为()()2222294857R PA r =+=+=2457S R ππ==方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.8. 已知三个内角，，及其对边，，，其中，角为锐角，且ABC A B C a b cB b =， 则面积的最大值为（）()222tan ac b B +-=ABC ∆C. D. 3432A【分析】由余弦定理求得，且，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项.3Bπ=223ac a c =+-【详解】由得()222tan a c b β+-=222tan 2a c b ac β⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即，而，所以，cos tan ββ=sin B =02B π<<3B π=所以，又因为，1sin 2ABCS ac B == 222221cos 322a c b B ac a c ac +-==⇒=+-所以，所以22323ac a c ac =+-≥-3ac ≤3≤=故选：A.本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09. 下列说法不正确的是（）A. 抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定0.030.1C. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D. 一组数据的中位数和众数都是51255533､､､､､､ACD【分析】对于A,根据随机事件的定义即可求解；对于B ，根据方差的性质及作用即可求解；对于C ，抽样调查和全面调查的定义即可求解；对于D ，根据中位数和众数的定义即可求解.【详解】对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误；对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C 错误；对于D ，数据按从小到大排列后为，则其中位数为3，众数为5，125,5533､､､､､123355,5､､､､､故D 错误，故选: ACD.10. 复数满足，则下列说法正确的是（ ）i z a b =+11iz =+A. 在复平面内点落在第四象限(),a b B.为实数()1i z --1-C.z =D. 复数的虚部为z 1i2-ABC【分析】根据复数的除法法则及复数相等的条件，再利用复数的几何意义及复数的模公式，结合复数的概念即可求解.【详解】由，得，11i z =+()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++-所以，点落在第四象限，故A 正确；11,22a b ==-11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，故B 正确；()()()2111111111i 1i i 1i i i 122222222z ⎛⎫--=---=-⨯+-+=--=-⎪⎝⎭所以，故C正确；z ==由，得复数的虚部为，故D 不正确．11i 22z =-z 12-故选：．ABC 11. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）():1l y kx k =+∈R 22:5C x y +=A. 直线与圆一定相交l C B. 直线一定将圆平分l C C. 当时，被截得的1k =l C D. 被截得的最短弦长为4l C AD【分析】结合直线与圆的知识对选项进行分析，利用弦长公式确定CD 正误，利用直线过定点判断A,利用斜率判断B,从而确定正确选项.【详解】圆C 对于A 选项，直线过定，点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A 选项l ()0,1()0,1C l C 正确；对于B 选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B 选项不正l C l l确；对于C 选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，1k =l 10x y -+=Cl d =所以，直线被截得的弦长为，C 选项错误；lC =对于D 选项，圆心到直线的距离为，Cl 1d =≤所以，直线被截得的弦长为，D 选项正确．lC 4≥故选：AD12. 正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论正1111ABCD A B C D -2,E F G ､､11BC CC BB ､､确的是（）A. 直线与直线不垂直1D D AFB. 直线与平面平行1A G AEF C. 平面截正方体所得的截面面积为3AEF D. 点到平面的距离是点到平面的距离的C AEF G AEF 12ABD【分析】对于A ，利用反正法，结合线面垂直的判定定理和性质定理即可判断；对于B,根据三角形的中位线定理及面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理即可求解；对于C ，根据确定平面的条件及三角形的面积公式，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解;对于D ，根据等体积法求出相应椎体的体积即可求解.【详解】对于A 选项，若，因为且，所以平1D D AF ⊥1D D AE ⊥AE AF A ⋂=1D D ⊥面，AEF 所以，所以，此时不成立，所以A 正确；1D D EF ⊥1CC EF ⊥对于B 选项，取的中，点，连接，如图所示11B C Q 1,A Q GQ由条件可知：，且，1,GQ EF A QAE ∥∥1,GQ A Q Q EF AE E ⋂=⋂=所以平面平面，又因为平面，1//A GQ AEF 1A G ⊂1A GQ 所以平面，所以B 正确；1A G AEF 对于C 选项，连接，延长交于点，如图所示11,D F D A 1,D F AE S因为为的中点，所以，所以四点共面，,E F 1BC C C ､1EF AD ∥1A E F D ､､､所以截面即为梯形，又因为，1AEFD 11D S AS AD ====所以，1162AD SS =⨯= 所以梯形，所以C 错误．139642AEFD S =⨯=对于D 选项，记点，与点到平面的距离分别为，C G AEF 12,h h 因为，又因为11111123323C AEF AEF A CEF V S h V --⨯=⋅⋅==⋅⨯=，21122333G AEF AEF A GEF V S h V --=⋅⋅===所以，所以D 正确．1212h h =故选:ABD ．三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 若直线的方向向量为．平面的法向量为，则直线与平面l ()1,0,2a →=α()2,0,4μ→=--l 的关系为________．αl α⊥【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.【详解】解：∵，2a μ→→=-∴，//a μ 因此.l α⊥故答案为.l α⊥本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.14. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是3π______ ．1【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出半径.3π【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，r l 则由得，2l r ππ=2l r =而22·233S r r r r ππππ=+==故，21r =解得，1r =故答案为.1本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧()1()2面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．15. 一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为，从中不放回地抽取2个1,2,3,4,5,6球，则抽出的2个球的编号和不大5的概率为__________．415【分析】写出所有的基本事件和满足题意的事件，利用古典概型公式求解.【详解】由题意，所有的基本事件为：，()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4，共15个，()()()()()3,5,3,6,4,5,4,6,5,6其中“从中不放回地抽取2个球，2个球的编号和不大于5”有，共4个基本事件，()()()()1,2,1,3,1,4,2,3则抽出的2个球的编号和不大5的概率为．415P =故41516. 已知三条直线，其中123:0,:30,:0l mx ny l nx my m n l ax by c +=-+-=++=为实数，不同时为零，不同时为零，且．设直线交于m n a b c ､､､､m n ､a b c ､､2a c b +=12,l l 点，则点到直线的距离的最大值__________．P P 3l【分析】利用直线恒过定点问题得出直线恒过定点，再根据直线三角形斜边的中线定理得出点的轨迹，进而求出点的轨迹方程，结合圆上的点到直线的距离的最值问题即可求解.P P 【详解】由于，且，12:0,:30l mx ny l nx my m n +=-+-=()0mn n m +⋅-=，易知直线过原点，12l l ∴⊥1l 将直线的方程化为，由解得2l ()()130n x m y ---=10,30,x y -=⎧⎨-=⎩1,3,x y =⎧⎨=⎩所以，直线过定点，所以，2l()1,3M OM =因为，则，直线的方程为，2a c b +=2a c b +=3l 02a c ax y c +++=直线的方程可化为，由解得3l 1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,210,2y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩所以，直线过定点，设线段的中点为点，：则，如图所示3l()1,2N -OM E 13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭若点不与或重合，由于，由直角三角形的性质可得；P O M OP PM ⊥EP EO EM==若点与或重合，满足．P O M 12l l ⊥由上可知，点的轨迹是以为直径的圆，该圆圆心为P OM E 13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以点的轨迹方程为P 2135222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设点到直线的距离为，当时，；E 3ld 3EN l ⊥dEN =当不与垂直时，．EN 3ld EN<综上，．d EN ==所以，点到直线的距离的最大值为P 3l2OM EN +=故答案为四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应㝍出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知在某次招考测试中，甲､乙､丙3人各自通过测试的概率分别为．求：231,,543（1）至少有1人通过测试的概率；（2）恰有2人通过测试的概率．（1）910（2）60【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，事件“丙通过测试”，事A =B =C =件与相互独立，至少有1人通过测试的对立事件为1人也没用过，利用相互,,A B C ,A B C 独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则，利2M =2M ABC ABC ABC =++用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，事件“丙通过测试”，A =B =C =事件与相互独立，由题意有：．,,A B C A B C ()()()231,,543P A P B P C ===设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件1M =1M 1M A B C=⋅⋅()()11312911.54310P M P M =-=-⨯⨯=【小问2详解】设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则，2M =2M ABC ABC ABC =++由于事件均相互独立，并且事件两两互斥，,,,A B C A B C ,ABC ABC ABC 因此()2()()()()()()()()()P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅23123123123111.54354354360⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18. 四棱锥，底面为正方形，边为中点，平面P ABCD -ABCD 4,AB E =AB PE ⊥．ABCD （1）若为等边三角形，求三棱锥的体积；PAB △A PEC -（2）若的中点为与平面所成角为，求与所成角的正切值．CD ,F PF ABCD 45︒PC AD（1（2【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及等体积法，再利用棱锥的体积公式即可求解；（2）根据线面角的定义及勾股定理，再利用异面直线所成角的定义及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及锐角三角函数的正切函数的定义即可求解.【小问1详解】为等边三角形，且为中点，，PAB △E AB 4AB =，又平面，PE ∴===PE ⊥ABCD三棱锥的体积．∴A PEC -11124332A PEC P AEC AEC V V PE S --==⋅⋅=⨯⨯⨯=【小问2详解】平面，又直线在平面内的射影为,PE ⊥ ABCD PF ABCD EF 为与平面所成角，即，如图所示PFE ∴∠PF ABCD 45PFE ∠=为等腰直角三角形，PEF ∴ 分别为的中点，，E F ､AB CD ､4PE FE ∴==//,PB AD BC ∴== 所以（或其补角）为异面直线与所成的角，PCB ∠PC AD 平面平面，PE ⊥ ,ABCD BC ⊂ABCD PE BC∴⊥又平面，,,BC AB PE AB E PE AB ⊥⋂=⊂､PAB 平面，平面，BC ∴⊥PAB PB ⊂,PAB BC PB ∴⊥在中，Rt PBC tan PB PCB BC ∠===所以与.PC AD 19. 某校农村中学有学生1000人．在假期研学旅行中开展地方劳动技术教育，结束时对某一项劳动技能进行测试，测试结果如下表．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100人数50150300300200（1）估计本次测试的平均成绩并完成频率分布直方图；（2）在90分以上（含90分）男生占60%，在这部分学生中按男女生比例抽取5人担任助教，并在这5人中随机抽3人担任助教长，求助教长中恰好有一名女生的概率．（1）平均成绩分；频率分布直方图见解析；（2）.79.535【分析】（1）利用每组数据的组中值乘以该组数据的频率，然后将所得的结果相加即可得到本次测试的平均成绩，然后分别计算出、的频率除以组距的值即可据此作[)60,70[)70,80出频率分布直方图；（2）先根据分层抽样计算出人中男生、女生的人数，然后根据要求列出人中抽取人对553应的基本事件，再分析恰有一名女生的基本事件数量，由此可求解出概率.【详解】（1）依题意有平均分为（分）；550.05650.15750.3850.3950.279.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=的频率为，对应频率除以组距的值为，[)60,701500.151000=0.150.01510=的频率为，对应频率除以组距的值为；[)70,803000.31000=0.30.0310=故频率分布直方图如下：（2）抽取的人中男生有：人，女生有：人，5560%3⨯=540%2⨯=记男生为，女生为，则从人中抽取人对应的所有基本事件有：123,,A A A 12,B B 53()()()()()123121122131132,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A A B A A B A A B 共种可能，()()()()()112231232212312,,,,,,,,,,,,,,,A B B A A B A A B A B B A B B 10记“助教长中恰好有一名女生”为事件，其对应的基本事件有：M ，共种，()()()()()()121122131132231232,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A B A A B A A B 6所以，()63105P M ==所以助教中恰有一名女生的概率为.3520. 如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且111ABC A B C -ABC D AC ．12AB AA ==（1）证明：平面；1//AB 1BC D （2）求平面与平面夹角的余弦值．11B AC 1BAC （1）证明见解析（2）57【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线的性质可得出，再利用1B C 1BC E DE 1//AB DE 线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角D DB DC 1AAx y z 坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.11B AC 1BAC 【小问1详解】证明：连接交于点，连接，1B C 1BC E DE 在三棱柱中，四边形为平行四边形，111ABC A B C -11BB C C 因为，则为的中点，11B C BC E = E 1B C 又因为为的中点，则，D AC 1//AB DE 平面，平面，因此，平面.1AB ⊄ 1BC D DE ⊂1BC D 1//AB 1BC D 【小问2详解】解：因为为等边三角形，为的中点，则，ABC D AC BD AC ⊥又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、1AA ⊥ABC D DB DC 1AAx y 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，z则、、、、、，()0,1,0A-)B()0,1,0C ()10,1,2A-)12B ()10,1,2C 设平面的法向量为，，，11B AC ()111,,m x y z = ()10,2,2AC =)111,0C B =- 则，取，可得，11111112200m AC y z m C B y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩11x=(m = 设平面的法向量为，，，1BAC ()222,,n x y z =)AB = ()10,2,2AC =则，取，可得，221220220n AB y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩21x=(1,n = .5cos ,7m n m n m n⋅<>==-⋅因为，平面与平面夹角的余弦值为.11B AC 1BAC 5721. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥，现在正在修建的中国到尼泊尔的穿过珠穆朗玛峰的隧道等．如图为某工程队要在山体的水平面上从到修建一条隧道，测量员测得，因为具体情况不能测出ABC A D 1,4AB AC ==与的长，但发现为中点，设．BD DC D BC ,AB AC θ=（1）用表示；θAB AD ⋅ （2）若，cos BAD ∠=①求的长；AD ②求的面积．ADC （1）12cos 2θ+（2【分析】（1）根据线段中点的向量线性表示及向量的数量积公式及运算律即可求解；（2）①根据线段中点的向量的线性表示两边平方得，再利用向量的夹角公式及（1）AD的结论即可求解；②根据角之间的关系及平方关系，再两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为为中点，所以，D BC ()12AD AB AC=+ 所以()2111222AB AD AB AB AC AB AB AC⋅=⋅+=+⋅ ．211114cos 114cos 2cos 2222θθθ+=⨯+⨯⨯⨯=+=【小问2详解】由（1）知，()12AD AB AC=+所以()222211()244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅，()221178cos 14214cos 44θθ+=++⨯⨯⨯=得AD = 所以，cos AB AD BAD AB AD ∠⋅===⋅ 化简可得解得或，2:28cos 8cos 110θθ+-=1cos 2θ=11cos 14θ=-又，所以，代入，得，14cos 0θ+>1cos2θ=AD =所以，sinθ==所以sin BAD ∠==所以()sin sin sin cos sin cos DAC DAB DABDAB ∠θ∠θ∠∠θ=-=-，12=-=所以的面积ADC 11sin 422DAC S AD AC DAC ∠=⋅⋅⋅== 22.如图，已知圆O ∶，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.224x y +=（1）当|AB 时，求直线l 的方程；（2）已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ⊥CD ，求四边形ACBD 面积的最大值.（1）；（2）)1y x =±-【分析】（1）分别考虑斜率存在与不存在时，利用弦心距表示出即可，AB （2）当直线与轴垂直时，，，四边形的面积，当直线ABx AB =4CD =ACBD 与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为AB x AB kx y k 0--=CD ，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，由此利用配方法能20x ky +-=O AB AB CD 求出四边形面积的最大值．ACBD 【详解】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时1ol 1x =，不符合题意；AB ==当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，2o l k l ()1y k x =-所以圆心到直线的距离，Ol d =因为AB=AB ==k =所以直线的方程为．l )1y x=-（2）当直线与轴垂直时，，，AB x AB =4CD =四边形的面积，∴ACBD 1·2S AB CD ==当直线与轴不垂直时，设直线方程为，AB x AB (1)y k x =-即，kx y k 0--=则直线方程为，即，CD 1(2)y x k =--20x ky +-=点到直线，点到直线O AB O CD，，AB ∴==CD ==则四边形面积，ACBD 1122S AB CD === 令（当时，四边形不存在），211k t +=>0k =ACBD ，∴(S ==四边形面积的最大值为．∴ABCDS 本题考查直线方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．。
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．12．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√64．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．25．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣27．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b → B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ）A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．10910．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或1611．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ ．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z 1z 2，求z 的共轭复数z ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ．22．在①2a cos C+c＝2b，②cos2B−C2−cosBcosC=34，③（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．1【解答】解：∵复数z =i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i 21−i 2=1+i 2=12+12i ，∴|z |=√(12)2+(12)2=√22．故选：A ．2．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）【解答】解：向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（5，7）． 故选：D ．3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√6【解答】解：∵B ＝30°，C ＝105°， ∴A ＝45°， 由正弦定理可得：4sin45°=b sin30°，解得b =4×12√22=2√2．故选：A ．4．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．2【解答】解：∵BA →⋅BC →=|BA →||BC →|cosB ，CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cosC ，|BC →|=|CB →|=2，∴BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|=2cosB +2cosC ，∵cosA =12，A +B +C =π，A 为△ABC 的内角， ∴sinA =√32，A =π3，∴2cos B +2cos C ＝2cos B ﹣2cos （A +B ）＝cos B +√3sinB =2sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3， ∴0＜sin(B +π6)≤1， ∴0＜2siin(B +π6)≤2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值为2．故选：D ．5．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i【解答】解：设z ＝a +bi ，因为|z |﹣z ＝1+i ，所以√a 2+b 2−(a +bi)=1+i ，即√a 2+b 2−a −bi =1+i ，所以{√a 2+b 2−a =1−b =1，解得a ＝0，b ＝﹣1，所以z ＝﹣i ． 故选：B ．6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣2【解答】解：z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）＝3a +2ai ﹣9i ﹣6i 2＝3a +6+（2a ﹣9）i ， 所以复数z 的实部与虚部分别为3a +6，2a ﹣9， 则3a +6+2a ﹣9＝7，得a ＝2． 故选：C ．7．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b →B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →【解答】解：设c →=x a →+y b →，即（5，4）＝x （1，2）+y （﹣2，1），则{x −2y =52x +y =4，得x =135，y =−65，即c →=135a →−65b →，故选：A ．8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ） A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154【解答】解：最大角是A ，根据余弦定理：cosA =b 2+c 2−a 22bc =9+4−162×3×2=−14，且A ∈（0，π），∴sinA =√1−cos 2A =√1−116=√154． 故选：D ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．109【解答】解：因为（1+i ）2＝1+2i ﹣1＝2i ，（1﹣i ）2＝1﹣2i ﹣1＝﹣2i ， 又（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ， 所以(1+i)n=[(1+i)2]n2=(2i)n2，(1−i)n=[(1−i)2]n2=(−2i)n2，故(2i)n2=(−2i)n 2，即2n 2⋅(i)n2=(−1)n 2⋅2n 2⋅(i)n 2，故当n2为偶数时，（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ．故选：AC ．10．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或16 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），若a →∥b →，则3m ＝﹣8，则m =−83，A 错误； 对于B ，若m ＝0，则a →=（0，2），则|a →|＝2，|b →|＝5，a →•b →=6，则cos ＜a →，b →＞=610=35，则sin ＜a →，b →＞=45，B 正确，对于C ，若a →⊥b →，则a →•b →=−4m +6＝0，解可得m =32，C 错误，对于D ，a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），则a →+b →=（m ﹣4，5），若|a →+b →|＝13，即（m ﹣4）2+25＝169，解可得m ＝﹣8或16，D 正确， 故选：BD ．11．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限 【解答】解：对于A ，|z |＝0，则z ＝0，故A 正确；对于B ，设z 1＝a 1+b 1i （a 1，b 1∈R ），z 2＝a 2+b 2i （a 2，b 2∈R ）．由|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，得|z 1+z 2|2＝（a 1+a 2）2+（b 1+b 2）2＝|z 1﹣z 2|2＝（a 1﹣a 2）2+（b 1﹣b 2）2，则a 1a 2+b 1b 2＝0，而z 1•z 2＝（a 1+b 1i ）（a 2+b 2i ）＝a 1a 2﹣b 1b 2＝2a 1a 2不一定等于0，故B 错误；对于C ，z ＝a +ai （a ∈R ），若a ＝0，则z 为实数，若a ≠0，则z 为虚数，z 不可能为纯虚数，故C 错误；对于D ，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1，或{a =−2b =−1． ∴z 对应的点在第一象限或第三象限，故D 正确． 故选：AD ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3【解答】解：对于A ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得8＝9+b 2﹣2×3×b ×23，即b 2﹣6b +1＝0，解得b ＝3±2√2，可得△ABC 有两个解，故错误；对于B ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得16＝9+b 2﹣2×3×b ×13，即b 2﹣2b ﹣7＝0，解得b ＝1+2√2，（负值舍去），可得△ABC 有一个解，故正确； 对于C ，由a ＜b ，sin B =23，可得cos B ＝±√53，可得角B 不唯一，故错误； 对于D ，由sin π3=√32＞13，且B ＜2π3，故B 为锐角且有唯一解，可得△ABC 有一个解，故正确； 故选：BD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= i ．【解答】解：−1+4i 4+i=(−1+4i)(4−i)(4+i)(4−i)=−4+i+16i−4i 242+12=−4+17i+417=17i 17=i ．故答案为：i ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ √7 ． 【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，|a →−b →|=1， ∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=2−2a →⋅b →=1， ∴2a →⋅b →=1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+2+1=√7．故答案为：√7．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ 6 ．【解答】解：在△ABC 中，a =2√7，b =2，A =60°， 根据正弦定理，2√7sin60°=2sinB，∴sinB =√2114， ∴cosB =5√714，根据余弦定理，5√714=22⋅2√7⋅c，解得c ＝4或6，据题意知，B ＜60°，C ＞60°， ∴c ＞2√7， ∴c ＝6． 故答案为：6．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 √5 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 −3π4． 【解答】解：a →⋅b →=2sin x +cos x =√5sin （x +φ），其中tan φ=12， ∵x ∈R ，∴a →⋅b →的最大值为√5． ∵a →∥b →，∴2sin x cos x ＝1，即sin2x ＝1， ∴2x =π2+2k π，即x =π4+k π，k ∈Z ， ∵x ∈（﹣π，0），∴取k ＝﹣1，x =−3π4． 故答案为：√5；−3π4．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z1z 2，求z 的共轭复数z ．【解答】解：（1）复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，所以z 1+az 2＝（1﹣2i ）+a （3+4i ）＝（1+3a ）+（4a ﹣2）i ； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以{1+3a ＞04a −2＜0，解得−13＜a ＜12，所以实数a 的取值范围是（−13，12）；（2）化简z =z 1z 2=1−2i 3+4i =(1−2i)(3−4i)32−(4i)2=−5−10i 25=−15−25i ，z 的共轭复数z =−15+25i ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2），a →∥b →， ∴2cosθ1=sinθ−2，∴tan θ＝﹣4， ∴3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1=3×(−4)−22×(−4)+1=2．（2）∵θ＝45°，∴a →=（√2，√22）， ∴2a →−t b →=（2√2−t ，√2+2t ），√2a →+b →=（3，﹣1）， ∵2a →−t b →与√2a →+b →垂直，∴（2a →−t b →）•（√2a →+b →）＝（2√2−t ）×3+（√2+2t ）×（﹣1）＝0， 解得t =√2．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值． 【解答】解：（1）由已知可得，a 2+b 2﹣2a +2bi ＝7+4i ，∴{a 2+b 2−2a =72b =4， 解之得{a =3b =2，或{a =−1b =2，∴z ＝3+2i 或z ＝﹣1+2i（2）由复数相等的性质，可知a =1−3+5−7+9−11+⋯−2019+2021=1+2+2+⋯+2︸505个=1011，b =2−4+6−8+10−12+⋯+2018−2020=−(2+2+⋯+2)︸505个=−1010．∴a ﹣b ＝2021．另解：z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020① ∴zi ＝1i +2i 2+3i 3+4i 4+5i 5+…+2020i 2020+2021i 2021②∴①﹣②得：z （1﹣i ）＝1+i +i 2+i 3+i 4+…+i 2020﹣2021i 2021＝1﹣2020i ∴z =1−2021i 1−i =(1−2021i)(1+i)(1−i)(1+i)=2022−2020i2=1011−1010i ， ∴a ＝1011，b ＝﹣1010， ∴a ﹣b ＝2021．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得c sinC=2R ，所以b 2−a 2a+c=c ，整理可得：c 2+a 2﹣b 2＝﹣ac ，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac =−ac 2ac =−12， 因为B ∈（0，π）， 可得B =2π3． （2）因为B =2π3，b =√7，c ＝2， 所以由正弦定理b sinB=c sinC，可得sin C =c⋅sinB b=√217， 因为c ＜b ，C 为锐角，可得cos C =√1−sin 2C =2√77，所以sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√32×2√77+（−12）×√217=√2114． 21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ． 【解答】解：由sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A •sin B sin C 得，b 2+c 2﹣a 2＝2√33bc sin A ＝2bc cos A ， 故√33sinA =cosA ，即tan A =√3， 由A 为三角形内角得A =π3，因为b =√3c ，△ABC 的面积为S ＝3=12bc ×√32=√34×√3c 2，故c ＝2，b ＝2√3； （2）因为A =π3， 故sin B +sin C ＝sin C +sin （2π3−C ）=32sinC +√32cosC =√62， 即√32sinC +12cosC =√22， 所以sin （C +π6）=√22，由C 为三角形内角得，C =π12． 22．在①2a cos C +c ＝2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 _____． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）选①，由正弦定理得2sin A cos C +sin C ＝2sin B ， 所以2sin A cos C +sin C ＝2sin （A +C ）＝2（sin A cos C +cos A sin C ），即sin C （2cos A ﹣1）＝0，又C ∈（0，π），所以sin C ＞0，所以cosA =12， 又A ∈（0，π），从而得A =π3． 选②，因为cos 2B−C2−cosBcosC =1+cos(B−C)2−cosBcosC =1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈（0，π），所以A =π3． 选③因为（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C ， 所以sin 2B +sin 2C +2sin B sin C ＝sin 2A +3sin B sin C ， 即sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C ， 所以由正弦定理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，因为A∈（0，π），所以A=π3．（2）由（1）得A=π3，又a＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣ab≥2bc﹣bc＝bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取得等号，S¡÷ABC=12bcsinA≤12×4×√32=√3，所以ABC面积的最大值为√3．。
高一数学第一次月考试卷.及答案
大同四中联盟学校2020—2021学年第一学期10月月考试题高一年级数学学科命题人：本试卷共4 页 满分：150分 考试用时：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 .选择题（本题包括12小题、每小题5分、共60分） 1．下列各选项中,不能组成集合的是( )。
A.所有的整数 B.所有大于0的数C.所有的偶数D.高一(1)班所有长得帅的同学2.已知集合M ={x |—3< x ≤ 5},N ={x |x <—5或x > 5},则M ∪N =( )。
A.{x |x <—5或x >—3} B.{x |—5<x < 5} C.{x |—3< x < 5} D.{x |x <—3或x > 5}3.已知3 ∈ {1,a , a -2 },则实数a 的值为( )。
A.3 B.5 C.3或5 D.无解4.“1<x <2”是“x <2”成立的( )。
A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.集合P ={x |x ≥ —1},集合Q ={x |x ≥0 },则P 与Q 的关系是( )。
A.P =QB.P QC.P QD.P ∩Q =⌀6.已知集合M ={x |—3< x ≤ 5 },N ={x | x > 3 },则M N =( )。
A.{x |x >—3}B.{x |—3< x ≤ 5}C.{x |3 < x ≤ 5 }D.{x |x ≤ 5}7.设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x ≥},则∁U A =( )。
A.⌀B.{2}C.{1,4,6}D.{2,3,5}8.设全集U =A ∪B ,定义:A —B ={x |x ∈A 且x ∉B },集合A ,B 分别用圆表示,则图1-3-2-3中阴影部分表示A -B 的是( )。
图1-3-2-39.已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题中必成立的是( )。
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高三(下)月考数学试卷(六)
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高三（下）月考数学试卷（六）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2≤4}，N＝{x|2x＜4}，则M∩N＝（）A．{x|x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x＜2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）已知复数z满足z（2+i）＝3﹣4i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）a是的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）的符号不确定B．f（x0）＜0C．f（x0）＝0D．f（x0）＞05．（5分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）某个周期的图象如图所示，A，B分别是f（x）图象的最高点与最低点，C是f（x）图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（）A．B．C．D．8．（5分）概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A．甲48枚，乙48枚B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚D．甲80枚，乙16枚二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥β，m∥β，则m⊥αD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β10．（5分）若a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么（）A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac C．＝+D．＝﹣11．（5分）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的（）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为12．（5分）关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）的展开式中x3的系数为．14．（5分）已知，则sin2θ＝．15．（5分）如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为．16．（5分）已知两条抛物线C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO面积的3倍，则p＝四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的公比为q（q＞1），前n项和为S n，若，且S3+2＝a4．（1）求a n；（2）设数列的前n项和为T n，求证：．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设b sin A＝a（2+cos B）．（1）求B；（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面P AC⊥底面ABCD，P A＝PC＝2．（1）求证：PB＝PD；（2）点M，N分别在棱P A，PC，PM＝AM，PN＝CN，求直线PB与平面DMN所成角的正弦值．20．已知椭圆的焦距为2，且过点（，1）．（1）求C的方程；（2）若直线l与C有且只有一个公共点，1与圆x2+y2＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2．试判断k1•k2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．21．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图触点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于1感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计k的值：，其中x i，y i分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，42，y与x的相关系数r＝0.82．（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r0．试判断r0与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N（μ，σ2）．以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为μ的估计值，用样本方差s2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望．附：①回归方程②若ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544．③＝11.222．已知函数f（x）＝lnx﹣x+a．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）存在两个零点x1，x2（x2＜x2），证明：2lnx1+lnx2＜0．。
湖南省邵阳市高一数学第一次月考
湖南省邵阳市高一数学第一次月考姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共60分)1. （5分）(2018·自贡模拟) 已知，，则（）A .B . 或C .D .2. （5分）(2018高一上·武汉月考) 在映射中，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A .B .C .D .3. （5分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 已知函数若对任意的，都有，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .4. （5分） (2016高一上·西湖期中) 已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A . {x|﹣3＜x＜0或x＞3}B . {x|x＜﹣3或0＜x＜3}C . {x|x＜﹣3或x＞3}D . {x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}5. （5分）下列函数在区间[0，]上是减函数的是（）A . y=sinxB . y=cosxC . y=tanxD . y=26. （5分）(2019·乌鲁木齐模拟) 图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是（）A .B .C .D .7. （5分）已知f（x）=lg（x+）•sinx为偶函数，则函数g（x）=bx﹣a（b＞0且b≠1）的图象经过定点（）A . （0，0）B . （0，1）C . （1，0）D . （1，1）8. （5分） (2018高一上·大连期末) 对于每个实数x，设取，两个函数中的较小值．若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1、x2、x3 ，则x1+x2+x3的取值范围是（）A . （2，）B . （2，）C . （4，）D . （0，）9. （5分）函数y=sin（x﹣）cos（x+ ）+ 是（）A . 最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为π的偶函数C . 最小正周期为的奇函数D . 最小正周期为的偶函数10. （5分）对于函数f（x），使f（x）≤n成立的所有常数n中，我们把n的最小值G叫做函数f（x）的上确界．则函数f（x）= 的上确界是（）A . 0B .C . 1D . 211. （5分） (2016高一上·宁波期中) 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m，则f（5）的值为（）A . 2﹣mB . 4C . 2mD . ﹣m+412. （5分）已知集合M={(x，y)|y=f(x)}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“集合”. 给出下列4个集合：①M={(x，y)|y=} ② M={(x，y)|y=ex－2}③M={(x，y)|y=cosx} ④ M={(x，y)|y=lnx}其中所有“集合”的序号是（）A . ②③B . ③④C . ①②④D . ①③④二、填空题 (共4题；共20分)13. （5分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知函数f（x）的值域为R，则a的取值范围为________．14. （5分） (2017高一上·泰州月考) 若函数是偶函数，则 ________．15. （5分） (2017高一上·江苏月考) 函数 ,的值域为________．16. （5分） (2016高一上·嘉兴期中) 函数f（x）=x2﹣2ax+2在（﹣∞，6）内递减，则a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18. （10分）已知二次函数f（x）=x2+2ax+2a+1，若对任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范围．19. （10分）已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R上的单调性；（3）求f（x）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．20. （12分）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（x）在R上是奇函数；（2）求证：f（x）在R上是减函数；（3）若f（1）=﹣，求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．21. （14分） (2015高二上·孟津期末) 已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．22. （14分） (2016高一上·平罗期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．参考答案一、单选题 (共12题；共60分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共20分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
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湖南省临澧一中2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知角α终边上一点(4,3)P -，则sin α的值为 ( )
A ．35
B ．35
-
C ．45
D ．45
-
2．下列函数中，在区间(0,)2
π上为增函数且以π为周期的函数是 ( )
A ．sin 2
x y =
B ．sin y x =
C ．tan y x =-
D ．cos2y x =-
3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点(,0)8π对称，则ϕ可能是
( )
A ．2π
B ．4
π-
C ．4π
D ．2
π-
4．
化
简
后
等
于
( )
A ．sin3cos3--
B ．sin3cos3+
C ．sin3cos3-
D ．sin3cos3-+
5．若0x π
<<，则函数
1lg(sin )2
y x =-的定义域是
( )
A ．2[,)33ππ
B ．2(,]63
ππ
C ．5[,)36
ππ
D ．25(,)[,)6236
ππππ
6．要得到函数sin 2y x =的图象，可由函数cos(2)4y x π=-的图象
( )
A ．向右平移8π个长度单位
B ．向左平移8π个长度单位
C ．向右平移4π个长度单位
D ．向左平移4
π个长度单位
7
．
已
知
7sin cos ,(0,)
13
αααπ+=∈，
则
tan α=
( )
A ．512
B ．512-
C ．34
D ．125-
8
．
函
数
2()sin 2cos 1
f x x x =-+的
最
小
值
为
( )
A ．2
B ．3
C ．0
D ．1-
9．已知02πα<<，02πβ-<<，5cos()13αβ-=-，4sin 5
α=，则sin β= ( )
A ．725
B ．725
-
C ．5665
D ．5665
-
10．函数1,30
82sin(),03
kx x y x x π
ωφ+-≤<⎧⎪
=⎨
+≤≤⎪⎩
的图像如右图，则
( )
A ．11,,326k πωφ===
B ．11,,323k πωφ===
C ．1,2,36k πωφ=-==
D ．3,2,3
k πωφ=-==
11．把函数()sin f x x =的图象向右平移m (0)m >个单位后得到的函数的对称轴与函数
()cos ()
3
g x x π=+的对称轴完全相同，则m 可能的值为
( ) A ．32
π
B ．76π
C ．3π
D ．4
π
12．已知函数()sin (2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()|()|6
f x f π≤对x R ∈恒成立，且
()()2
f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是
( )
A ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈
B ．[,]()2k k k Z πππ+∈
C ．2[,]()63
k k k Z ππππ++∈ D ．[,]()2
k k k Z πππ-∈
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是___________．
14．将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然
后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移2π个单位，这样得到的曲线和函数2sin y x
=的图象相同，则函数()y f x =的解析式为___________．
15．已知函数()cos 2|cos |,[0,2]f x x x x π=+∈，若直线y k =与函数()y f x =的图象有四个
不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．
16．函数()2(1)sin 1f x x x π=-⋅+在区间[2,4]-上所有零点之和为___________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 已知sin()cos(2)tan()
()tan()sin()
f παπααπαπαπα---+=
+-- ．
（1）化简()f α； （2）若α是第三象限角，且31cos()23
πα-=，求()f α的值．
18．(本小题满分12分) 已知2sin cos 13sin cos αααα
+=-．
（1）求tan α的值； （2）求222sin cos sin cos 1αααα-+-的值．
19．(本小题满分12分) 已知函数()2cos ()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π.
（1）求()f x 的单调增区间和对称轴； （2）若x ∈[,]63ππ-,求()f x 的最大值和最小值.
20．(本小题满分12分) 已知02πα<<βπ<<，1tan 22
α=，2cos()10βα-=．
（1）求sin α的值； （2）求β的值．
21．(本小题满分12分) 已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,]2π上的最大值和最小值；
（2）若06()5f x =，0x ∈[,]42ππ，求0cos 2x 的值．
22．(本小题满分12分) 已知函数()sin ()(0,0,||)2
f x A x A πωϕωϕ=+>>≤部分图象
如图所示，且()()0f a f b ==，2
b a π-=,对不同的12[,]x x a b ∈，，若12()()f x f x =，有
12()3f x x +=. （1）求()f x 的解析式.
（2）若2()()2()g x f x f x =+,对于任意的[,]33
x ππ∈-，
不等式|()|6g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．。