2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测66 几何概型]

课时跟踪检测(六十六) 几何概型
第Ⅰ组：全员必做题
1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13 D.12
2．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是( ) A ．1 B.23 C.310 D.25
3.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )
A.1
5
B.14
C.13
D.12
4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )
A.512
B.12
C.23
D.34
5．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表
示焦点在x 轴上且离心率小于
3
2
的椭圆的概率为( ) A.12
B.15
32
C.17
32
D.3132
6．(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．
7.(2014·苏锡常镇四市一调)如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的)，则该点落在半圆内的概率为________．
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图
1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1
4，则此长方体的体积是
________．
9．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1
的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12
.
(1)求n 的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .
(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；
(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．
10.(创新题)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x
.
(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．
第Ⅱ组：重点选做题
1．设不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤2，
0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点
到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.π
4
B.π－22
C.π6
D.4－π4
2．在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S -APC 的体积大于V
3的
概率是________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选B 依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝1
5
.
2．选C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f (x 0)≤0，则所求概率P ＝2－(－1)5－(－5)＝3
10
.
3．选D 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π
2，所以所求概率为2×π22×π＝12.
4．选C 图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠
⎛0
4x d x ＝23x 3
2|40＝16
3
，S 长方
形＝4×2＝8，∴P ＝
S 阴
S 长方形＝16
38＝23.故选C. 5.选B 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2
的椭圆，
故⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＞b 2
，e ＝c a
＝a 2－b 2a ＜3
2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞b 2，a 2＜4b 2
，化简得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞
b ，a ＜2b ，
又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为15
4，故所求的概率P ＝
S 阴影2×4＝15
32
. 6．解析：要使2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax ≤2x 2＋8，即a ≤2x ＋8
x 在
(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8
x ≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a ≤8，因此
0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为
8－010－0＝45
. 答案：45
7．解析：由题知该点落在半圆内的概率为S 半圆S 正方形＝π
8.
答案：π8
8．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14
，解得h ＝3或h ＝－1
2(舍去)，
故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：3
9．解：(1)依题意n n ＋2＝1
2
，得n ＝2.
(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝1
3
.
(ⅱ)记“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2＞4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＞4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4
.
10．解：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时ax ＋b
x 在⎝⎛⎭⎫
0，
b a 上递减，在⎝
⎛⎭
⎫b a ，＋∞上递增；
x －1x 和4x －1
x
在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，
故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是2
3
.
(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，
∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b
2≤8，
∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫2＋114×33×3
＝19
24，
故所求的概率是19
24.
第Ⅱ组：重点选做题
1.选D 根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4
.
2.解析：由题意可知V S -APC
V S -ABC >1
3，三棱锥S -ABC 的高与三棱锥S -APC 的
高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S -APC
V S -ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所
求的概率为2
3
(即为长度之比)．
答案：23。