2019届一轮复习全国通用版 第59讲几何概型 学案

第59讲 几何概型

1．几何概型

如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A 的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的两个特点

一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是__

等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度)__”之比来表示．

3．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式

P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__.

4．几种常见的几何概型

(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．

(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；

(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )

(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．( × )

(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )

解析 (1)正确．由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确．

(2)错误．虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等．

(3)正确．由几何概型的定义知，该说法正确． (4)正确．由几何概型的定义知，该说法正确．

2．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a ，则这个实数满足17＜a ＜20的概率是( C )

A ．1

3

B ．12

C ．3

10

D ．710

解析 ∵a ∈(15,25]，∴P (17＜a ＜20)＝20－1725－15＝3

10

.

3．有一杯2 L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( C )

A ．0.01

B ．0.02

C ．0.05

D ．0.1

解析 因为取水是随机的，而细菌在2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P ＝0.1

2

＝0.05.

4．已知x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 满足x 2＋x －2＜0的概率为( B ) A ．1

2

B ．38

C ．5

8

D ．0

解析 x 2＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1，则P ＝1－(－2)4－(－4)＝3

8

.

5．某路公共汽车每5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3 min 的概率是( A )

A ．3

5

B ．4

5

C ．2

5

D ．15

解析 此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设A ＝{某乘客候车时间不超过3 min}．

则P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果构成的区域长度＝3

5

.

一 与长度、角度有关的几何概型

(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 的概率为P ＝l 的长度

L 的长度.

(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．

【例1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 59

.

(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )

A ．1

3

B ．1

2

C ．2

3

D ．34

解析 (1)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝5

9.

(2)由题意得图：

由图得等车时间不超过10分钟的概率为1

2

.

二 与面积有关的几何概型

与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．

【例2】 (1)在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2－1的概率是( D ) A ．2

9

B ．7

9

C ．1

6

D ．56

(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )