2017-2018版高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修3

3.3 几何概型学习目标 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一 几何概型的概念思考 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？梳理 (1)几何概型的定义：设D 是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会________；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的________________________．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(________、________、________等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． (2)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________． ②每个基本事件出现的可能性________． 知识点二 几何概型的概率公式思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？梳理 几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.知识点三 用模拟方法估计概率 1．随机数的产生(1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数．(2)Excel 软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”． (3)[a ，b ]上随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝______________就可以得到[a ，b ]内的随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．2．用模拟方法估计概率的步骤：(1)把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．(2)用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数．(3)统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题．类型一几何概型的概念例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率． 引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率． 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．反思与感悟 若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是________． 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 三棱锥D —ABC 的体积为V ，在其内部任取一点P ，求三棱锥P —ABC 的体积小于13V 的概率．反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为______．1．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；②从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；③在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率．其中，是几何概型的为________．2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为________．3．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．4．在装有5升纯净水的容器中不小心混入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是________．1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解．答案精析问题导学知识点一思考出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理线段平面图形立体图形都一样某个指定区域d中的点长度面积体积梳理(1)无限多个(2)相等知识点二思考由定义知，事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成正比，故可用区域的测度代替基本事件数．知识点三1．(1)RAND (2)RAND ( )(3)x1*(b-a)+a题型探究例1 解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．跟踪训练1 解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2 解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝T1TT1T2＝2 15.引申探究1．解由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝TT2T1T2＝13 15 .2．解 由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车， 故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 跟踪训练2 解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C 、D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －ra.例3 解 如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0，1)，F (1，0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFES 正方形ABCD＝724＝78. (3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π， 所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD ＝4－π4.跟踪训练349π解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π. 例4 解 如图，设三棱锥D —ABC 的底面ABC 的面积为S ，高为h ， 则V D —ABC ＝13Sh ＝V .设平面EFG 是距底面ABC 的距离为13h 的平面，则点P 落在平面EFG 与平面ABC 之间时，可以保证三棱锥P —ABC 的体积小于13V .由于三棱锥D —EFG 的底面EFG 的面积为49S ，高为23h ，因此V D —EFG ＝13×49S ·23h ＝827V ，因此所求概率P ＝V －827VV＝1927. 跟踪训练4233π解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.当堂训练 1．①③解析 ①是，因为区间[－10，10]和[－1，1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；②不是，因为区间[－10，10]内的整数只有21个，不满足无限性；③是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性)． 2.12解析 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.3.13解析 记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则P (A )＝26＝13.4.15。