2018高中数学人教B版必修四1.2.3《同角三角函数的基本关系式》精选习题
数学人教B必修4优化训练：3同角三角函数的基本关系式 含解析
1.2.3 同角三角函数的基本关系式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知sinα=53,α∈（0,π），则tanα的值等于（ ） A.34 B.43 C.±43 D.±34 解析：由sin 2α+cos 2α=1，α∈（0,π）， ∴cosα=±α2sin 1-=±54. ∴tanα=ααcos sin =±43. 答案：C2.已知cosθ=54，且23π＜θ＜2π，那么θtan 1的值为（ ） A.43 B.43- C.35 D.34- 解析：由sin 2θ+cos 2θ=1，得sinθ=±θ2cos 1-. 因为23π＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ=2)54(1--=53-,tanθ=θθcos sin =34-.答案：D3.若tanα=t （t≠0），且sinα=21tt +-，则α是（ ）A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.第一、四象限角 解析：由tanα=ααcos sin 得cosα=ααtan sin ，所以cosα=211t+-＜0，故α是第二、三象限角.答案：B4.若tanα=2，则（1）cos 2α=________________；（2）sin 2α-cos 2α=________________. 解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+,2cos sin ,1cos sin 22αααα 由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos 2α=1，cos 2α=51. （2）由（1）得sin 2α=1-51=54, 所以sin 2α-cos 2α=54-51=53.答案：（1）51 (2) 5310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知sinα=53，并且α是第二象限角，那么tanα的值等于（ ） A.34- B.43- C.43 D.34解析：由sin 2α+cos 2α=1，α是第二象限角，得cosα=54)53(12-=--. ∴tanα=ααcos sin =43-. 答案：B2.如果角x 的终边位于第二象限，则函数y=xx xx 22sin 1cos cos 1sin -+-的值可化简为（ ）A.1B.2C.0D.-1解析：利用同角基本关系式sin 2x+cos 2x=1以及x 属于第二象限，有y=xxx x x x x cos cos sin sin |cos |cos |sin |sin -+=+=1-1=0.答案：C3.如果角α满足关系式αααα22tan 1cos cot 1sin +-+=1，则角α的终边位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1，故sinα＞0且cosα＜0.所以α属于第二象限. 答案：B 4.化简53sin12π-得到的结果是___________________. 解析：因为2π＜53π＜π，所以53π是第二象限角,cos 53π＜0, 所以53cos 53sin122ππ=-=｜cos 53π｜=-cos 53π. 答案：-cos53π 5.已知2sinα-cosα=3sinα，那么cosα=_________________.解析：由2sin α-cosα=3sinα，得（2-3）sinα=cosα，sinα=（2+3）cosα，由sin 2α+cos 2α=1，得（2+3）2cos 2α+cos 2α=1，解之,得cosα=±426-. 答案：±426- 6.化简:)cos 1cos 1cos 1cos 1()sin 1sin 1sin 1sin 1(αααααααα+---+•+---+.解：原式=［αααα2222cos )sin 1(cos )sin 1(--+］·［αααα2222sin )cos 1(sin )cos 1(--+］ =（|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+）·（|sin |cos 1|sin |cos 1αααα--+）=|sin |cos 2|cos |sin 2αααα•=⎩⎨⎧-.,,4,,,4四象限时在第二三象限时在第一αα30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设sin 2α=54，且α是第二象限角，则tan 2α等于（ ） A.34 B.43 C.±34 D.±43 解析：∵α是第二象限角，∴2kπ+2π＜α＜2kπ+π（k ∈Z ），kπ+4π＜2α＜kπ+2π（k ∈Z ）.∴2α是第一、三象限角.而sin 2α=54＞0，∴2α是第一象限角，由sin 22α+cos 22α=1，得cos 2α=532sin12=-α，∴tan 342cos 2sin 2==ααα. 答案：A 2.已知tanx=122-a a，其中0＜a ＜1，x 是三角形的一个内角，则cosx 的值为（ ） A.122+a aB.1122+-a aC.1122+-a aD.±1122+-a a解析：∵0＜a ＜1,∴122-a a＜0.∴x 是第二、四象限角.又x 是三角形的一个内角, ∴x 是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+,12cos sin ,1cos sin 222a ax x x x解得cos 2x=（1122+-a a ）2，∴cosx=1122+-a a .答案：C3.如果tanθ=2，那么sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ的值是（ ） A.37 B.57 C.45 D.35 解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=,1cos sin ,2cos sin 22θθθθ∴cos 2θ=51. ∴sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ=1+2cos 2θ=57. 答案：B4.如果sinα+cosα=1，则sin n x+cos n x （n ∈Z ）的值为（ ）A.-1B.1C.1或-1D.2解析：由sinα+cosα=1，则（sinα+cosα）2=1，故sinαcosα=0.若sinα=0，则cosα=1.这时sin n α+cos n α=1；若cosα=0，则sinα=1，这时也有sin n α+cos n α=1. 答案：B 5.若｜sinθ｜=51，29π＜θ＜5π，则tanθ的值为（ ） A.126B.62-C.126-D.62解析：因为29π＜θ＜5π，即4π+2π＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sinθ=51.所以cosθ=562sin 12-=--θ,tanθ=126cos sin -=θθ,应选C 项.答案：C 6.化简︒--︒︒•︒-10sin 110sin 10cos 10sin 212的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-2 解析：原式=︒-︒︒-︒=︒-︒︒+︒︒-︒10cos 10sin )10cos 10(sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 210sin 2222︒-︒︒-︒-=10cos 10sin )10cos 10(sin =-1.答案：B7.已知1cos 4sin 2++θθ=2，则（cosθ+3）·（sinθ+1）的值为（ ）A.4B.0C.2D.0或4解析：由1cos 4sin 2++θθ=2得1-cos 2θ+4=2cosθ+2,整理得cos 2θ+2cosθ-3=0，解得cosθ=1或cosθ=-3（舍去），所以sinθ=±θ2cos 1-=0.所以（cosθ+3）·（sinθ+1）=4. 答案：A8.(2006高考重庆卷,文13)已知sinα=2,552π＜α＜π，则tanα=_______________. 解析：由sinα=552，2π＜α＜π可得cosα=55-，tanα=-2. 答案：-29.已知sinθ+cosθ=51,θ∈（0，π），则cotθ的值是_____________. 解析：因为sinθ+cosθ=51，两边平方，得1+2sinθ·cosθ=251，所以2sinθ·cosθ=2524-. ①因为θ∈（0，π），所以cosθ＜0＜sinθ.由于（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ·cosθ=2549，所以sinθ-cosθ=57.② 联立①②，解得sinθ=54，cosθ=53-，所以cotθ=435453sin cos -=-=θθ. 答案：43-10.（1）已知sinθ=415-，求θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin -+++-的值. （2）已知5sinθ+12cosθ=0，求θθθsin 32cos 9sin -+的值.解：（1）原式=1)415(221sin 2)cos (sin 2cos sin )cos (sin )cos (sin 22222222--⨯=-+=-++-θθθθθθθθθ=522-.（2）由5sinθ+12cosθ=0，得tanθ=512-＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cosθ=135tan 112-=+-θ，当θ在第四象限时，cosθ=135tan 112=+θ， ∴原式=62331033cos tan 32cos )9(tan 或=•-•+θθθθ.11.若tanα、tanβ是方程x 2-2（log 872+log 972）x-log 872·log 972=0的两个根， 求sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值. 解：由定理得⎩⎨⎧•-=•+=+,72log 72log tan tan ),72log 72(log 2tan tan 9898βαβα而log 872+log 972=9log 8log 72log 9log 8log 9log 8log 9log 18log 1727272727272727272•=•+=+ =log 872·log 972.所以tanα+tanβ=2log 872·log 972.所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ =cosα·sinβ（tanα+tanβ+2tanα·tanβ） =cosα·sinβ（2log 872·log 972-2log 872·log 972）=0.。
人教新课标版数学高一-人教B版必修4精练 1.2.3 同角三角函数的基本关系式
第一章 1.2 1.2.3一、选择题1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512B∵α是第四象限角，cos α＝1213，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513.2．下列说法中，可能成立的一个为( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α为第四象限角，tan α＝－sin αcos αB∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴选项A 一定不成立，选项B 可能成立．选项C 中，tan α＝1，∴sin α＝cos α，∴cos α≠－1.选项D 中，应有tan α＝sin αcos α，故tan α＝－sin αcos α不成立． 3．(2015·福建文，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512D由sin α＝－513，且α为第四象限角，则cos α＝1－sin 2 α＝1213，则tan α＝sin αcos α＝－512，故选D ． 4．若2sin α＝3cos α，则4sin α＋cos α5sin α－2cos α的值等于( )A ．1411B ．2C ．－109D ．1411或1019A∵2sin α＝3cos α， ∴tan α＝32.∴4sin α＋cos α5sin α－2cos α＝4tan α＋15tan α－2＝4×32＋15×32－2＝1411. 5．(2015·河北行唐启明中学高一月考)若π2<α<π，化简1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α的结果是( )A ．－2tan αB ．2tan αC ．－2cot αD ．2cot αA∵π2<α<π，∴cos α<0.∴1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α. 6．设sin α＋cos α＝－2，则tan α＋cot α的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2B(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋cot α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.二、填空题7．化简：1－cos 24＝________. －sin4∵4＝4×(180π)°≈229°12′，∴sin4<0， ∴1－cos 24＝sin 24＝－sin4.8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 223∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.三、解答题9．已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值． (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sinαcos α＋4cos 2α. (1)显然cos α≠0，∴tan α＝23，cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10.(2015·潍坊一中高一检测)已知sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，求sin x 、cos x 、tan x 的值．将sin x ＋cos x ＝15两边平方得，1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425<0，又∵0<x <π，∴sinx >0，cos x <0， ∴sin x －cos x >0. ∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝75，得⎩⎨⎧sin x ＝45cos x ＝－35.∴tan x ＝sin x cos x ＝－43.故sin x ＝45，cos x ＝－35，tan x ＝－43.一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1A由sin α－cos α＝2两边平方，得1－2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝－12.∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－12，∴tan 2α＋2tan α＋1＝0， ∴(tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－1.2．已知α为第四象限角，则cos α·csc α·sec 2α－1的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1D原式＝cos α·1sin α·|tan α|＝cot α·(－tan α)＝－1.3．若α∈0，π2)B ．π2，ππ，3π2答案解析0,2π)，∴α∈π2，π答案解析答案解析答案解析解析解析 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .∴u ＝sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x＝13－sin x －1＋sin 2x ＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，u min ＝－1112，当sin x ＝－1时，u max ＝43.。
2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析
5．已知θ∈(0,2π)，且sinθ，cosθ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实根，求k，θ的值．
解析：依题意有sinθ＋cosθ＝k，①
sinθcosθ＝k＋1，②
又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，
所以k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1，
显然|sinθcosθ|＝|k＋1|≤1，
因此k＝－1，代入①②得
从而 或
又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或 .
(限时：30分钟)
1．已知α是第四象限角，cosα＝ ，则sinα等于()
A. B．－
C. D．－
解析：∵α是第四象限角，
∴sinα＝－ ＝－ ＝－ .
答案：B
2．已知tanα＝－ ，则 的值是()
A. B．3
C．－ D．－3
解析： ＝ ，将tanα＝－ 代入得：
解析：因为α∈ ，所以sinα＜0，则sinα＝－ ＝－ ，所以tanα＝ ＝ .
答案：
9．已知 ＝2，那么(cosθ＋3)(sinθ＋1)的值为__________．
解析：∵ ＝2，∴sin2θ＋4＝2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝1或cosθ＝－3(舍去)．
由cosθ＝1，得sinθ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
＝ ＝ ，故选A.
答案：A
3．化简 (1－cosα)的结果是()
A．sinαB．cosα
C．1＋sinαD．1＋cosα
解析：原式＝ (1－cosα)＝ ＝ ＝sinα.
答案：A
4．已知sinαcosα＝ ，且π＜α＜ ，则cosα－sinα的值为()
A. B．－
C. D．－
2018版高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1-2-3 同角三角函数的基本关系式 含答案 精品
1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它.思考2由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系：________________________________.②商数关系：________________________________.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝________；cos2α＝________.②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝____________；cos α＝____________.类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125B.－125C.512D.－512反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2 已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值.类型二 利用同角三角函数关系化简 例3 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3 化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).类型三 利用同角三角函数关系证明 例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： (1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4 求证：cos x1－sin x ＝1＋sin x cos x .类型四 齐次式求值问题例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值. (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值.(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A.－43B.34C.±34D.±432.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于( )A.74 B.－916 C.－932 D.9323.化简1－sin 23π5的结果是( )A.cos 3π5B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π54.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________.5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值. 3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.答案精析问题导学 知识点思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义， 得sin α＝y ，cos α＝x . 由勾股定理得sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1. 思考2 ∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α.梳理 (1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z )(2)①1－cos 2α 1－sin 2α ②cos αtan α sin αtan α题型探究 例1 D跟踪训练1 cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.例2 解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.跟踪训练2 解 ∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角． (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213，tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125，故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0.(2)若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－513)2＝－1213，tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0. 综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 例3 解 原式＝(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号)．跟踪训练3 (1)1 (2)tan α 例4 证明∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．跟踪训练4 证明 (比较法——作差) ∵cos x 1－sin x－1＋sin x cos x＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x ＝0， ∴cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x .例5 解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1 ＝14×4＋13×2＋125＝1330.跟踪训练5 (1)89 (2)1310当堂训练1．A 2.C 3.C 4.－255．解 ∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.。
数学人教B版必修4：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 作业 Word版含解析
双基达标 (限时20分钟)1．化简 1－sin 2π5的结果是( )．A ．sin π5 B ．－sin π5 C ．cos π5D ．－cos π5解析 ∵0<π5<π2，∴cos π5>0. ∴1－sin 2π5＝cos 2π5＝cos π5.答案 C 2．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )．A.34 B ．±310 C.310 D ．－310解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝310. 答案 C3．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是 ( )．A.73B.75C.54D.53解析 1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ ＝1＋tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋22＋21＋22＝75. 答案 B4．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 答案 sin α5．已知sin α＋2cos αcos α＝1，则α在第________象限．解析 由sin α＋2cos αcos α＝1⇒tan α＝－1<0.∴α在第二或第四象限． 答案 二或四6．已知tan α＝2，计算： (1)2sin α－cos αsin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α. 解 (1)2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.(2)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.综合提高 (限时25分钟)7．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是 ( )．A ．tan α＝－sin αcos α B ．cos α＝－1－sin 2α C ．sin α＝－1－cos 2αD ．tan α＝cos αsin α解析 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝sin αcos α，故A 、D 错误；又α是第二象限角，所以sin α>0，故C 错误．答案 B8．若sin θ＝m－3m＋5，cos θ＝4－2mm＋5，则m的值为()．A．0 B．8 C．0或8 D．3<m<9解析由sin2θ＋cos2θ＝1，得(m－3)2(m＋5)2＋(4－2m)2(m＋5)2＝1，解得m＝0或8.答案 C9．在△ABC中，2sin A＝3cos A，则角A＝________. 解析由题意知cos A>0，即A为锐角．将2sin A＝3cos A两边平方得2sin2A＝3cos A.∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)，∴A＝π3.答案π310．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．解析sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α) (1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.答案－2tan2α11．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ )；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12① sin θ·cos θ＝m ②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m＝34.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.12．(创新拓展)是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．解 设这两个锐角为A ，B ， ∵A ＋B ＝90°，∴sin B ＝cos A ，所以sin A ，cos A 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝－3k4 ①sin A cos A ＝2k ＋18 ②②代入①2，得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109，当k ＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，∵Δ<0∴方程无解；将k＝－109代入②，得sin A cos A＝－1172<0，所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.。
数学人教B版必修4课后训练：1.2.3同角三角函数的基本关系式 含解析 精品
同角三角函数的基本关系式练习1．已知4cos 5θ＝，且3π2＜θ＜2π，那么1tan θ的值为( ) A ．34 B ．34- C ．53 D ．43-2( )A ．．－23．(2012·黑龙江哈尔滨期末)已知cos α＝3sin α，则3223sin sin cos cos sin cos αααααα-+=( ) A ．13 B ．727 C ．19 D ．13274．设4sin 25α=，且α是第二象限的角，则tan 2α等于( ) A ．43 B ．34 C ．43± D ．34± 5．已知α∈3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12sin cos 25αα-＝，则sin α＋cos α的值是( ) A ．15 B ．15- C ．15± D ．75±6__________． 7．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，则cot θ的值是__________． 8．若3cos 5α-＝，且tan α＞0，则3tan cos 1sin ααα=-__________.9．化简：⋅. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )，求tan θ＋1tan θ的值．参考答案1．解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ=因为3π2＜θ＜2π，故sin θ＜0，所以3sin 5θ==-， 所以sin 3tan cos 4θθθ==-. 答案：B2．解析：原式＝＝＝(sin10cos10)sin10cos10-︒-︒︒-︒＝－1. 答案：B3．答案：B4．解析：∵α是第二象限的角，∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4＜2α＜k π＋π2(k ∈Z )，∴2α是第一或第三象限的角．而4sin 025α=>，∴2α是第一象限的角． 由22sin cos 122αα+=，得3cos 25α==， ∴sin 42tan 23cos 2ααα==. 答案：A 5．解析：因为(sin α＋cos α)2＝24112525-=，且sin α＋cos α＜0， 所以sin α＋cos α＝15-，故选B ． 答案：B6．解析：因为π3ππ25<<，所以3π5是第二象限的角， 所以3πcos 05<，3π3πcos cos 55===-. 答案：3πcos 5- 7．解析：因为sin θ＋cos θ＝15，①两边平方，得1＋2sin θcos θ＝125， 所以2sin θcos θ＝2425-. 因为θ∈(0，π)，所以cos θ＜0＜sin θ. 由于(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925， 所以sin θ－cos θ＝75.② 联立①②，解得4sin 5θ＝，3cos 5θ-＝， 所以31cos 35cot 4tan sin 45θθθθ-====-. 答案：34- 8．解析：33sin cos tan cos cos 1sin 1sin ααααααα⋅=-- ＝22sin cos sin (1sin )1sin 1sin αααααα-=-- ＝sin (1sin )(1sin )1sin αααα-+- ＝sin α(1＋sin α)． 又由3cos 5α-＝，tan α＞0，可知α为第三象限的角， 故4sin 5α-＝， 因此sin α(1＋sin α)＝44415525⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭. 答案：425- 9．解：原式＝·＝1sin 1sin |cos ||cos |αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭·1cos 1cos 2sin 2cos |sin ||sin ||cos ||sin |αααααααα⎛⎫+--=⋅ ⎪⎝⎭. 故当α为第一、三象限的角时，原式＝4；当α为第二、四象限的角时，原式＝－4.10．解：依题意，知Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，解得a ≤0或a ≥4，且sin cos ,sin cos .a a θθθθ+=⎧⎨=⎩①② 由①2－②×2，得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1a ＝1舍)．故sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1tan θ＋1tan θ＝sin cos 11cos sin sin cos θθθθθθ+===，因此tan θ＋1tan θ＝1.。
数学人教b版必修4作业：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 含解析
一、选择题1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α【解析】 由商数关系可知A 、D 均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．【答案】 B2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则cos α等于( ) A.45B ．－45C ．－17D.35 【解析】 ∵α∈(π2，π)，∴cos α<0，∵sin 2α＋cos 2α＝1.∴cos α＝－1－sin 2α＝－45. 【答案】 B3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15 B ．－15C.513 D ．－513【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin α<0.由tan α＝－512得sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＋(－125sin α)2＝1，∴16925sin 2α＝1，sin α＝±513.∵sin α<0，∴sin α＝－513.【答案】 D4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为() A ．－4 B ．4C ．－8D ．8【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8. 【答案】 C5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则m 的值为( ) A ．0B ．8C ．0或8D ．3＜m ＜9【解析】 由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1 解得m ＝0或8，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2013·长沙高一检测)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2 α的值为________．【解析】 ∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 【答案】 －3。
高二数学人教B版必修4学案：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析
1.2.3同角三角函数的基本关系式明目标、知重点 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2，k∈Z).2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.[情境导学]大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.探究点一同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sin 30°cos 30°＝tan 30°，sin 45°cos 45°＝tan 45°，sin 60°cos 60°＝tan 60°，sin 150°cos 150°＝tan 150°. 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.这就是同角三角函数的基本关系式.思考2 如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答 设点P (x ，y )为α终边上任意一点，P 与O 不重合.P 到原点的距离为r ＝x 2＋y 2>0，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.于是sin 2α＋cos 2α＝(y r )2＋(x r )2＝y 2＋x2r2＝1，sin αcos α＝yr x r ＝yx＝tan α. 即sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而sin αcos α＝tan α并不是对任意角α∈R 都成立，这时α≠k π＋π2，k ∈Z . 思考3 对于平方关系sin 2α＋cos 2α＝1可作哪些变形？对于商数关系sin αcos α＝tan α可作哪些变形？答 sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α， (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， sin α＝cos α·tan α，cos α＝sin αtan α.例1 已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值.解 因为sin α<0，sin α≠－1， 所以α是第三或第四象限角.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝1625. 如果α是第三象限角，那么cos α<0. 于是cos α＝－1625＝－45， 从而tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－54＝34.如果α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.反思与感悟 同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.探究点二 三角函数式的化简 例2 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解 原式＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α<0.∴原式＝2sin α－cos α＝－2tan α.即1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α.反思与感悟 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法：①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子，分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 跟踪训练2 已知tan α＝3，则 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝ ； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝ . 答案 (1)1 (2)1解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1；(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1 ＝2×32－3×3＋132＋1＝1.探究点三 三角恒等式的证明 例3 求证：cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.证明 方法一 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝(1－sin α)(1＋sin α)cos α(1－sin α)＝1＋sin αcos α＝右边，∴原等式成立.方法二 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α. ∴cos 2α＝(1－sin α)·(1＋sin α). ∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.方法三 右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)＝cos α1－sin α＝左边， ∴原等式成立.方法四 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)，右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)， ∵左边＝右边，∴原等式成立. 方法五 ∵cos α1－sin α－1＋sin αcos α＝cos 2α－(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－(1－sin 2α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－cos 2αcos α(1－sin α)＝0，∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.跟踪训练3 求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.证明 方法一 ∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边. ∴原式成立.方法二 ∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x ＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos xsin x ＋cos x . ∴左边＝右边，原等式成立.1.化简：1－2sin 40°cos 40°＝ . 答案 cos 40°－sin 40° 解析 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.2.已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝ .答案24解析 由α是第三象限的角，得到cos α<0， 又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 则tan α＝sin αcos α＝24. 3.若α是第三象限角，化简：1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0， 由三角函数线可知－1<cos α<0.∴1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α＝(1＋cos α)21－cos 2α＋(1－cos α)21－cos 2α＝ (1＋cos α)2sin 2α＋(1－cos α)2sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋cos αsin α＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos αsin α＝－1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝－2sin α.4.求证：tan θ·sin θtan θ－sin θ＝1＋cos θsin θ.证明 左边＝sin θcos θ·sin θsin θcos θ－sin θ＝sin 2θsin θ－sin θcos θ＝1－cos 2θsin θ(1－cos θ) ＝(1－cos θ)·(1＋cos θ)sin θ·(1－cos θ)＝1＋cos θsin θ＝右边.∴原等式成立. [呈重点、现规律]1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、基础过关1.已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于 ( )A.－1213B.－513C.513D.1213答案 A解析 因为α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15 B.－35 C.15 D.35答案 B解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝2×15－1＝－35.3.已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α等于( )A.－55 B.－15 C.－255 D.－45答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4.若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 sin α＋sin 2α＝1得sin α＝cos 2α， ∴cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.5.化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝ . 答案 1解析 原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β) ＝sin 2α＋cos 2α＝1.6.已知直线l 的倾斜角是θ，且sin θ＝513，则直线l 的斜率k ＝ .答案 ±512解析 因为直线l 的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π). 又因为sin θ＝513，sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos θ＝±1－(513)2＝±1213，于是直线l 的斜率k ＝sin θcos θ＝±512.7.(1)化简1－sin 2100°；(2)用tan α表示sin α＋cos α2sin α－cos α，sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.解 (1)1－sin 2100°＝cos 2100°＝|cos 100°|＝－cos 100°.(2)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1， sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2 αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1. 二、能力提升8.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A.－43 B.54 C.－34 D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.9.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案 C解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 10.已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是 . 答案 －13解析 原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 11.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值. (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611.解得：tan θ＝2. (1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 12.求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 证明 方法一 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边.∴原式成立. 方法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α， sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α， ∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α. ∴原式成立.三、探究与拓展13.已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值. 解 因为sin α＋cos α＝－13，所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19，所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179， 所以sin α－cos α＝173.。
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第一章 1.2 1.2.3一、选择题1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512[答案] B[解析] ∵α是第四象限角，cos α＝1213，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513.2．下列说法中，可能成立的一个为( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α为第四象限角，tan α＝－sin αcos α[答案] B[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴选项A 一定不成立，选项B 可能成立．选项C 中，tan α＝1，∴sin α＝cos α，∴cos α≠－1.选项D 中，应有tan α＝sin αcos α，故tan α＝－sin αcos α不成立．3．(2018·福建文，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512[答案] D[解析] 由sin α＝－513，且α为第四象限角，则cos α＝1－sin 2 α＝1213，则tan α＝sin αcos α＝－512，故选D ．4．若2sin α＝3cos α，则4sin α＋cos α5sin α－2cos α的值等于( )A ．1411B ．2C ．－109D ．1411或1019[答案] A[解析] ∵2sin α＝3cos α， ∴tan α＝32.∴4sin α＋cos α5sin α－2cos α＝4tan α＋15tan α－2＝4×32＋15×32－2＝1411. 5．(2018·河北行唐启明中学高一月考)若π2<α<π，化简1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α的结果是( )A ．－2tan αB ．2tan αC ．－2cot αD ．2cot α[答案] A[解析] ∵π2<α<π，∴cos α<0.∴1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α.6．设sin α＋cos α＝－2，则tan α＋cot α的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2[答案] B[解析] (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋cot α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.二、填空题7．化简：1－cos 24＝________. [答案] －sin4[解析] ∵4＝4×(180π)°≈229°12′，∴sin4<0， ∴1－cos 24＝sin 24＝－sin4.8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案]223[解析] ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.三、解答题9．已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值． (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sinαcos α＋4cos 2α.[解析] (1)显然cos α≠0，∴tan α＝23，cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10.(2018·潍坊一中高一检测)已知sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，求sin x 、cos x 、tan x 的值．[解析] 将sin x ＋cos x ＝15两边平方得，1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425<0，又∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x －cos x >0. ∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝75，得⎩⎨⎧sin x ＝45cos x ＝－35.∴tan x ＝sin x cos x ＝－43.故sin x ＝45，cos x ＝－35，tan x ＝－43.一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1[答案] A[解析] 由sin α－cos α＝2两边平方，得1－2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝－12.∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－12， ∴tan 2α＋2tan α＋1＝0， ∴(tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－1.2．已知α为第四象限角，则cos α·csc α·sec 2α－1的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．1D ．－1[答案] D[解析] 原式＝cos α·1sin α·|tan α|＝cot α·(－tan α)＝－1.3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( ) A ．[0，π2)B ．[π2，π]C ．(π2，π)D ．[π，3π2][答案] B [解析] ∵1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α＝sin α－cos α， ∴sin α≥0，cos α≤0， 又∵α∈[0,2π)，∴α∈[π2，π]．4．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13[答案] A[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵是第三象限角，∴sin θcos θ＝23. 二、填空题5．已知sin αcos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.[答案] －32[解析] ∵π4<α<π2，∴sin α>cos α，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－1－2×18＝－32.6．若sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5，π2<α<π，则m ＝________.[答案] 8[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3m ＋5>04－2mm ＋5<0(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝8，∴m ＝8. 三、解答题7．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2cos α－2sin α2cos α＋2sin α； (2)3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α. [解析] ∵tan α＝2，∴cos α≠0.(1)原式＝2－2tan α2＋2tan α＝2－222＋22＝22－3.(2)原式＝3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α－4tan α＋1tan 2α＋1＝3×22－4×2＋122＋1＝1. 8. 已知sin x ＋sin y ＝13，求u ＝sin y －cos 2x 的最值．[解析] ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .∴u ＝sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x＝13－sin x －1＋sin 2x ＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，u min ＝－1112，当sin x ＝－1时，u max ＝43.。