基于凸优化理论的多用户MIMOSDMA系统_沈薇薇

第44卷第1期复旦学报(自然科学版)Vo1.44,No.1 2005年2月Journal of Fudan University(Natural Science)Feb.,2005文章编号:0427-7104(2005)01-0183-05X基于凸优化理论的多用户MIMO SDMA系统沈薇薇,方朝曦,王宗欣(复旦大学通信科学与工程系,上海200433)摘要:提出了一种基于凸优化理论的多用户MIMO SDMA联合发送)接收优化系统.在此系统中,将各用户的比特误码率作为目标函数通过凸优化理论来得到发送权矩阵和接收权矩阵,使系统在各用户同时达到最优的接收性能.模拟结果表明,这样得出的MIMO SDMA系统性能比传统的以最小均方误差为标准的系统性能有明显的改善.关键词:通信技术;空分多址;多输入多输出;凸优化;最小均方误差;比特误码率中图分类号:TN911.23文献标识码:A多输入多输出(multiple-input multiple-output,MI MO)系统在接收端和发送端使用多根天线,在信道不相关的信道条件下,提供了比单输入单输出(single-input single-output,SISO)信道大得多的容量.在无线链路两端使用多根天线,不仅可以大大改进系统的频谱效率(复用增益),而且能通过分集增益来提高系统的可靠性.目前,根据发送端是否能获得信道状态信息(channel state infor mation,CSI),可以将MI MO系统分为两大类:当发送端没有CSI时,使用独立于信道条件的空时编码技术的MI MO系统;当发送端和接收端均已获得完整CSI时,通过对发送端和接收端进行线性处理,获得最佳的系统性能.本文讨论后一种情况.在传统的MI MO SDMA(Spatia-l Division Multiple Access)系统中,通常使用最小均方误差(minimum mean square error,MMSE)作为标准,来决定系统的发送矩阵和接收矩阵.但是,在评判一个通信系统的性能时,最终的标准往往是平均比特误码率(bit error rate,B ER).在本文中,利用凸优化的理论,直接将平均B ER 作为代价函数,对系统进行优化,由此得到最佳的系统性能.文献[1]应用凸优化理论对单用户系统进行了联合发送)接收优化,但认为此方法难以用于多用户系统.本文基于多用户的MIMO SDMA系统,在发送端引入一个具有正交性质的权矩阵,把它和信道矩阵的乘积作为一个新的信道矩阵进行优化,从而得到了多用户的MIMO SDMA系统的联合发送)接收优化解.1系统模型讨论多用户MI MO SD MA系统的发送接收联合优化问题,系统模型如图1所示.仅考虑下行链路的情况,上行链路可以类似地得出.基站有A根天线,共有U个用户终端,每个用户终端u有B u根天线.基站对这U个用户同时传输多个符号:对用户1同时传输C1个符号,对用户2同时传输C2个符号,依此类推.这样的传输方案称为SD M-SDMA)))即用SD MA来实现用户间的区分,用SDM(Space Division Multiplex)来实现每个用户的比特流的区分.很明显,为满足这一要求,用户终端的天线数必须大于或等于该用户传输的符号的数量,即:B u\C u.假设信道为平坦衰落信道,那么第u个用户接收到的信号为:r u(k)=H u#s(k)+n u(k);(1)X收稿日期:2004-07-16基金项目:国家自然科学基金资助项目(60272033)作者简介:沈薇薇(1981)),女,硕士研究生;通讯联系人王宗欣教授.图1 多用户MIMO SDMA 的系统模型Fi g.1 Model of mul tiuser MIMO SDMA system其中,s (k)为基站发送的信号矢量,它的表达式为(F 为发送权矩阵):s (k )=[s 1(k ),s 2(k ),,,s A (k)]T =F #x (k ),x (k )=[x 1(k )T ,x 2(k )T ,,,x U A (k )T ]T ,x u (k)=[x u 1(k ),x u 2(k ),,,x u C u (k )]T .在此使用了两种复用:用户与用户之间在空间上复用(SDMA ),而每个用户又能接收在空间上复用的比特流(SDM ).2 凸优化理论对于上面描述的系统,将其代价函数放在凸优化的理论框架上进行求解.凸优化问题的一般形式为[1]:min x f 0(x ),当f i (x )[0 1[i [m ,h i (x )=0 1[i [p ;其中,x I R n 为待优化的变量,f 0(x ),f 1(x ),,,f m (x )为凸函数,h 0(x ),h 1(x ),,,h p (x )为线性方程.函数f 0(x )称为目标函数或代价函数;不等式f i (x )[0称为不等式限制;等式h i (x )=0称为等式限制.将问题表示成上面的形式后,就能用现有的方法,如Karush -Kuhn -Tucker(KKT)优化条件、内点方法(in -terior -point method )或切割平面方法(cutting -plane method )来求解[2,3].要解上面的凸优化问题,首先要做的就是将目标函数(以及附加的限制条件)写成Schur -凸函数或Schur -凹函数的形式.文献[1]给出了最大化定理下的这两大类函数的定义.3 SDMA 系统的联合发送)接收优化3.1 下行链路多用户干扰的消除由于这是一个多用户系统,而发送端又有完整的信道状态信息,采用/零空间0方法,在发送端将接收端的多用户干扰消除[4].如果H #F 能够形成块对角矩阵,就能保证在接收端完全消除多用户干扰,只剩下每个用户各个数据流之间的干扰,从而能够对于每个用户的数据流分别进行处理.在图1的信道模型中,信道矩阵H 是U 个/基站到用户u 0的矩阵H u 的垂直叠加,即H =[H 1T ,H 2T ,,,H U T ]T .预处理矩阵F 是U 个用户的预处理矩阵F u 的水平叠加,即F =[F 1,F 2,,,F U ].如果F u 落在H u C (H u C 为信道矩阵H 移去用户u 所对应的B u行所得到的矩阵,因此它有6U k=1,k X u B k行)的零空间中,即H u C #F u =O(O 为零矩阵),则H #F 能够形成块对角矩阵,使用户端接收到的信号没有多用户干扰.为了在发送端既能完成去多用户干扰(mult-i user interference,MUI )的工作,又能根据当前的CSI 来进行联合发送)接收优化,把F 写成两个矩阵相乘的形式,F =N #E ;其中,N 的作用是实现信道矩阵对角化,它是H 零空间的标准正交基;E 的作用是实现联合发送)接收优化,它是一个块对角矩阵,每一子块分别对它所184复旦学报(自然科学版) 第44卷对应的用户进行优化.通过运用上面的结构,能将系统重新组合为以下形式.图2 重新组合的SDMA 系统Fig.2 Recombined SDMA system这样,就将原来的系统等效为U 个上面这样的系统的叠加.每个系统对应于一个用户,并且该用户的信道矩阵不再为原先的H u ,而是B u @D u 维的矩阵H u N u .由于矩阵N 可直接用线性代数的方法,由H 矩阵得出,因此这个多用户的SD MA 系统的优化问题变为:优化矩阵G u 和E u ,使得在信道为H u N u 的情况下,系统性能最佳.3.2 多用户系统的联合发送)接收凸优化算法应用凸优化的理论,对图2所示的系统进行优化.由于对于每个u(1[u [U)所做的处理都相同,在下面的推导过程中,将省略下标u.首先,将误差向量的协方差矩阵定义为均方误差(MSE )矩阵[1]:X(E,G)=E[(^x -x )(^x -x )H ]=GR r G H +I -GHNE -E H (HN )H G H ;(2)其中,R r =E[r #r H ]=HNEE H N H H H +R n .R n 为B @1维的复高斯噪声的协方差矩阵.对于给定的E,可以确定矩阵G o pt ,使X(E,G opt )[X(E,G).通过解目标函数min Gc H X(E,G)c ,P c ,得到,(G opt )H =(HNEE H N H H H +R n )-1HNE ,(3)将(3)式代入(2)式,得,X(E)=(I +E H R H E )-1;其中R H =(HN )H R n (HN ).因此,现在可将目标函数写为:min B f 0(d(X(E ))) 当Trace ((NE )H (NE ))[P T ,(4)其中,d (X(E))表示MSE 矩阵的对角元素构成的向量;P T 为当前用户的最大发送功率.由于N 是信道矩阵H 零空间的标准正交基,可得N H N =I ,因此可将(4)式的限制条件写为Trace (E H E )[P T .由(4)式给出的优化问题的解可利用下面的定理得到.¹若f 0为Schur -凹函数[1],则E =U H ,12E,1;其中U H ,1是对应于R H 最大的C 个本征值K i (升序排列)的本征向量.2E,1是C @C 的对角阵,它的对角元素为对于第i 个符号流的功率分配.此时,MSE i =11+z i K i .º若f 0为Schur -凸函数,则E =U H ,12E,1V H E ;其中,U H ,1和2E,1的定义同上,V E 是一酉矩阵,它相当于对信号进行旋转,使X(E)=(I +E H R H E )-1的对角元素的值相等.可以用文献[5]中的算法得到V E ,或者V E 也能是任何满足|V ik |=|V il |,P i,k,l 的矩阵,如DFT 矩阵.因此,当f 0为Schur -凸函数时,每个用户传输的各个符号流的MSE 相等.此时,MSE i =1C6C j=111+z j K j ;其中z k (1[k [C),为对于当前用户第k 个复用符号(即第k 个子数据流)的分配的功率.基于上面的结论,可以分别将MSE 和B ER 作为代价函数来求解[1].¹当代价函数为算术平均均方误差(ARI TH -MSE)时,目标函数为f 0({MSE i })=6i (MSE i ),它为185第1期 沈薇薇等:基于凸优化理论的多用户M IMO SDMA 系统Schur -凹函数.因此,可将此优化问题写为min z i 6i 11+z i K i当6i z i [P T (z i \0,1[i [C),(5)用KKT 方法解(5)式,可得 z i =(L -1/2K i -1/2-K i-1)+;式中,(x )+=ma x (x ,0);L -1/2为满足功率分布6i z i [P T 所取的值.º当代价函数为算术平均比特误码率(ARITH-BE R )时,目标函数为f 0({MSE i })=6iA QB 1MSE i -1;其中,A 和B 是由信号调制方式决定的常数[6].当系统的调制方式为BPSK 或QPSK 时,它为Schur -凸函数.它的解是用优化ARITH -MSE 的方法得到的解再乘以一个旋转矩阵V E .由此可见,从算法的复杂度上来看,ARI TH -BER 标准与ARITH -MSE 标准十分类似.4 模拟结果分别使用最小ARI TH -MSE 和最小的ARI TH -BE R 标准,模拟上述的MIMO SDMA 系统,并将其结果进行比较.在所有的模拟中,假设系统中共有3个用户,所有用户的调制方式都为QPSK;信道矩阵H 为独立同分布的均值为0、方差为1的高斯随机变量;每个用户在基站所有天线上的总发送功率归一化为1.图3(a)所示为基站有6根天线、每个用户有2根天线,并同时传输2个并行比特流的情况.在本次模拟中,设定每个符号流包括480比特,并对每一个SNR 点取20000个随机信道下系统实现的平均.图3(b)给出了基站有8根天线,3个用户各有2根接收天线,并同时传输2个并行比特流的情况下的模拟结果.在本次模拟中,设定每个符号流包括480比特,对每一个SNR 点取100000个随机信道下系统实现的平均.由图3(a)可见,当系统的BER <10-1时,MIN ARI TH -BER 标准的误码率性能优于MI N ARITH -MSE 的性能.而在运算复杂度上,MIN ARITH -B ER 标准与MIN ARITH -MSE 标准基本相同.但是,在上面的系统配置下,系统的容量已经饱和)))如果再增加一条并行数据流,就将产生不可消除的多用户干扰.可以考虑增加基站的天线数,获得更多的分集增益,以期望得到更好的系统性能.图3(b)给出了基站天线数为8的情况.随着比特误码率的下降,MIN ARI TH -MSE 标准得到曲线的斜率绝对值越来越小,即BER 的改善速度越来越缓慢,但MI N ARI TH -BER 得到的B ER 下降速度仍然很快.因此在BER 较小时,MIN ARI TH -BER 方案的优势更为明显.例如,当BER =10-4时,MIN ARI TH -BE R 方案可将性噪比改善2.3dB;当接收机处的SNR 为25dB 时,MIN ARI TH -MSE 方案的BER 约为9.1@10-5,而MI N ARI TH -BER 方案的BER 可达1.5@10-5.图3 两种标准的性能比较Fi g.3 Performance comparison of two criteria186复旦学报(自然科学版) 第44卷图4 不同基站天线数的性能比较(U =3,B =2)Fig.4 Performance comparison of differen t numberof antennas at the base station (U =3and B =2)图4给出了用户数与接收天线数不变(U =3,B =2),而基站天线数不同时,使用MI N ARITH -B ER 方案的系统性能比较.可以看出,当基站天线数增加时,系统性能有显著的改善.当SNR 为25时,平均基站每增加一根天线,BER 就能改善2个数量级.通过在发送端引入一个零空间矩阵,把它和信道矩阵的乘积作为一个新的信道矩阵,并以各个用户的平均BER作为目标函数,对系统进行优化.这种方案比传统的以均方误差作为目标函数,可以有明显的性能改进.模拟表明,这种算法可以用于多用户系统,并且还可以通过增加基站的天线数,来进一步提高系统性能. 参考文献:[1] Palomar D P,Cioffi J M,Lagunas M A.Join t Tx -Rx beamforming design for multicarrier MIMO channels:A unifiedframework for convex optimization [J].IEEE Transactions on Signal Processin g ,2003,51(9):2381-2401.[2] Boyd S,Vandenberghe L.Introduction to convex opti mization wi th engineering applications [EB/OL ].http:M www./class/ee364.2002-03-01/2004-09-21.[3] Luenberger D G.Optimization by Vector Space Methods,New Edition [M].New York:Wiley,1997.[4] Bourdoux A ,Khaled N.Joi nt Tx -Rx optimi sation for MIMO -SDMA based on a nul -l space constrain t [EB/OL].http:Mwww.imec.be/wireless/mimo/publications/joint 2002 IEEE.pdf.2002-10-10/2004-09-21.[5] Viswanath P,Anantharam V.Op timal sequences and sum capaci ty of synchronous CDMA systems [J].IEEE Transac -tions on In 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