08凸优化理论与应用_等式约束优化
凸优化理论
凸优化理论第一章凸集1、仿射集1.1、定义：任意以及都有；直观上，如果两点在仿射集内，那么通过任意两点的直线位于其内；1.2、仿射集的关联子空间：如果是仿射集，且，则集合是一个子空间（关于加法和数乘封闭）,因此仿射集可以表示为一个子空间加上一个偏移，，可以是C中任意一点；定义C的维数为子空间V的维数（向量基的个数）;1.3、线性方程组的解集:等价于仿射集且其关联的子空间是就是的的零空间即;1.4、仿射组合：如果，称为的仿射组合；如果是仿射集，，且，那么；集合C是仿射集集合包含其中任意点的仿射组合；1.5、仿射包：集合C中的点的所有仿射组合组成的集合记为C的仿射包，；仿射包是包含的最小的仿射集合；1.6、仿射维数：集合仿射维数为其仿射包维数, 即仿射包相关联子空间的维数，即是其子空间最大线性无关基；如果集合的仿射维数小于n ，那么这个集合在仿射集合中;1.7、集合相对内部：定义为的内部，记为，即;集合内部：由其内点构成，内点为;1.8、集合的相对边界：集合C的相对边界定义为，为C的闭包；集合C的边界定义为;------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2.凸集：如果，，，都有；直观上，如果两点在凸集内，则两点间的线段也在凸集内；仿射集是凸集；2.1、凸组合：如果，，，称为的凸组合；点的凸组合可以看做他们的混合或加权平均，代表混合时所占的份数。
如果点在凸集内，则它们的凸组合仍在凸集内；C是凸集集合包含其中所有点的凸组合；2.2、集合的凸包：集合C中所有点的凸组合，;C的凸包是包含C的最小凸集；2.3、无穷级数的凸组合：假设，，，并且，，、、，为凸集，那么若下面的级数收敛，那么2.4、积分的凸组合：假设对所有满足，并且,其中为凸集，那么如果下面积分存在，则： ;2.5、概率的凸组合：假设x是随机变量，为凸集，并且的概率为，那么；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3锥：如果对于任意和，都有，称集合C为锥；直观上如果点在锥中，那么以原点为端点过该点的射线在锥中；3.1、凸锥：集合C是锥，并且是凸的，则称C为凸锥，即对于任意，和，，都有直观上，如果两点在凸锥中，那么以原点为端点，以过两点的两条射线为边界的扇形面在凸锥中；3.2、锥组合：具有，形式的点称为的锥组合（或非负线性组合）；如果均属于凸锥C，那么的每一个锥组合也在C中；集合C是凸锥它包含其元素的所有锥组合；3.3、锥包：集合C的锥包是C中所有元素的锥组合的集合；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 凸集的例子：空集、单点集、全集都是的仿射子集；线段是凸的，但不是仿射的；射线是凸的，不是仿射的，不是锥（除非端点是零点）；直线是仿射的，自然是凸的；如果通过零点，则是锥，并且是凸锥；子空间是仿射的、凸锥(满足对加法、数乘封闭、含零元)；超平面：，其中，且；，，在超平面上；闭的半空间：非平凡线性不等式的解空间，，半空间是凸的，但不是仿射的，也不是锥；半空间边界、内部：、；Euclid球：欧几里得球是凸集：；椭球：椭球是凸集：，对称正定矩阵，决定椭球从各个方向扩展的幅度；半轴长度有给出；正半定矩阵；若为奇异矩阵，椭球退化，即一些维度上半轴长为零，这时其仿射维数等于A的秩，退化的椭球也是凸的；范数球、范数锥：它们是凸集，范数锥：，；如二阶锥（二次锥）；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.多面体：有限个线性等式和不等式的解集：，，;因此多面体是有限个半空间和超平面的交集；仿射集合（如子空间、超平面、直线）、射线、线段、半空间都是多面体；多面体是凸集；有界多面体也称为多胞形<=>有限集合的凸包；多面体可以表示为，，b、d为向量；4.1、单纯形（一种多面体）：点描述法设k+1个点，，仿射独立，即，，，线性独立，那么这些点决定了一个单纯形：，，，，这个集合的仿射维数（它的仿射闭包的维数），即是，空间的维数，显然它的一个基就是，，，即集合的仿射维数为k；单纯形是凸集、并且是多面体，一般称k维单纯形（k+1个仿射独立点生成的凸包）；4.2、常见的单纯形:1维单纯形是一条空间线段（1个基向量，2个空间点）；2维单纯形是一个空间三角形（含其内部）（2个基向量，3个空间点）；3维单纯形是一个四面体（3个基向量，4个空间点）；4.3、单位单纯形：由零向量0和单位向量，，决定的n维单纯形，它可以表示为满足下列条件的向量的集合：;4.4、概率单纯形：由单位向量，，决定的n-1维单纯形，它是满足下列条件的向量集合：;概率单纯形中的每个向量对应于随机变量n个取值对应的一个概率分布，可理解为第i个元素的概率；4.5、单纯形的多面体描述法C是单纯形，充要条件是，对于某些，，有;，其中，，，，，，显然，B的秩为k；因此存在非奇异矩阵，使得，，,则: ，，，，，，，显然：且且且；这里A的选择与，，有关；4.6、多面体：凸包描述法有限集合，，的凸包是：，，，是一个有界多面体，但是无法用线性不等式和不等式的集合将其表示；凸包表达式的一个扩展：，，,其意义是，，的凸包加上，，的锥包，定义了一个多面体，反之每个多面体也都可以表示为此类形式；仿射集是凸集；多面体是凸集；仿射集是多面体；单纯形（特殊多面体）是凸集，可以给出线性等式和不等式表示；多面体（使用线性等式和不等式组定义）等价于凸包，无法给出线性等式和不等式表示；有限集的凸包是有界多面体，无法给出线性等式和不等式表示；5.保凸运算：用以从凸集构造出其他凸集；5.1、求交集：无穷多个凸集的交是凸集；5.2、仿射映射：,且,若S是凸的，那么是凸的；反之成立；伸缩、平移、投影是仿射映射；凸集的和、直积是凸的，凸集的投影是凸的，凸集的部分和是凸的；注意：，也是仿射函数；线性矩阵不等式的解：，是凸集；双曲锥：,是凸集；5.3、透视映射：，，定义域为，如果C是凸集，那么是凸集；反之成立；5.4、线性分式映射：是仿射的，其中并且,那么：，是线性分式（投射）函数, 定义域，P是透视函数；同样象与原象的凸性可以互推；线性分式映射的应用：条件概率，设u和v是分别在，，和，，中取值的随机变量，并且表示概率。
凸优化理论与应用凸优化PPT课件_1-51
可编辑
9
可分离变量优化问题
性质： 其中
inf f (x, y) inf f%(x)
x, y
x
f%(x) inf f (x, y)
y
定理：优化问题
minimize f0 (x1, x2 ), x R n
subject to fi (x1) 0, i 1,..., m1
f%i (x2 ) 0, i 1,..., m2 可以分离变量 x1, x2
h%i (z) i (hi (z)) 0, i 1,..., p
可编辑
7
优化问题的等价形式(4)
定理：原优化问题与以下优化问题等价
minimize f0 (x), x R n subject to fi (x) si 0, i 1,..., m
si 0 hi (x) 0, j 1,..., linear minimization
问题描述
minimize
上半图形式 minimize
f (x) im1,a...x,m(aiT x bi ) t
LP形式
subject to im1,a...x,m(aiT x bi ) t minimize t
subject to aiT x bi t,i 1,..., m
y
x eT x
f
Ay bz 0 eT y fz 1
z
1 eT x
f
z0
可编辑
31
二次规划(quadratic program,QP)
QP问题的基本描述
minimize (1/ 2)xT Px qT x r subject to Gx p h
Ax b P Sn , G Rmn , A R pn
凸优化等式约束
凸优化等式约束凸优化是数学和计算机科学领域的一种优化方法，它主要用于寻找多元函数的最小值或最大值。
凸优化问题包含等式约束是一类常见的问题，这类问题在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和等式约束的相关概念，并深入探讨凸优化问题中等式约束的求解方法。
首先，我们先来了解凸优化的基本概念。
在凸优化中，我们要优化的目标函数和约束条件都满足凸性。
一个凸集是指对于该集合中的任意两点，连接这两点的线段上的点也在集合内。
一个凸函数是指对于函数定义域内的任意两点，函数取值对应的线段上的点也在函数值的上方。
凸优化的目标是找到满足约束条件的凸函数的最小值或最大值。
凸优化问题包含等式约束的形式如下：$$\begin{align*}\min_{\mathbf{x}} & \quad f(\mathbf{x}) \\\text{s.t.} & \quad \mathbf{Ax} = \mathbf{b}\end{align*}$$其中，$\mathbf{x}$是待求解的变量向量，$f(\mathbf{x})$是凸函数，$\mathbf{A}$是一个矩阵，$\mathbf{b}$是一个已知的向量。
解决等式约束的凸优化问题有多种方法，下面将介绍两种常用的方法：拉格朗日乘子法和内点法。
拉格朗日乘子法是一种通过构建拉格朗日函数来解决等式约束问题的方法。
它的基本思想是将等式约束问题转化为无约束优化问题。
拉格朗日函数定义如下：$$L(\mathbf{x}, \lambda) = f(\mathbf{x}) +\lambda^T(\mathbf{Ax} - \mathbf{b})$$其中，$\lambda$是一个拉格朗日乘子向量。
通过对拉格朗日函数求导并令导数为零，可以得到约束条件的解。
内点法是另一种求解等式约束的凸优化问题的方法。
该方法的基本思想是将约束条件转化为一系列的约束，并构造一个辅助函数。
通过逐步靠近可行解的路径，最终找到满足约束条件的最优解。
凸优化 等式约束
凸优化等式约束凸优化是一种数学方法，用于求解无约束或等式约束下的优化问题。
在凸优化中，等式约束指的是优化问题的限制条件中含有等式的约束条件。
等式约束是一种常见的约束条件形式，在实际问题中广泛应用。
例如，在生产调度中，不同工序的产量之和必须等于总产量；在资源分配中，各项资源的分配量之和必须等于总资源量。
这些问题都可以被抽象为等式约束下的优化问题，通过凸优化方法求解。
在凸优化中，等式约束可以通过拉格朗日乘子法来处理。
拉格朗日乘子法是一种常用的求解含等式约束优化问题的方法。
它将等式约束引入目标函数中，形成带有拉格朗日乘子的拉格朗日函数，并通过求取拉格朗日函数的极小值来解决等式约束下的优化问题。
具体而言，对于一个等式约束优化问题，假设目标函数为f(x)，等式约束为h(x)=0，其中x为优化变量。
引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λh(x)，其中λ为拉格朗日乘子。
然后通过求取拉格朗日函数的极小值来解决等式约束下的优化问题。
求解等式约束优化问题的关键在于求取拉格朗日函数的极小值。
通过对拉格朗日函数对优化变量x和拉格朗日乘子λ分别求导，并令导数为零，可以得到一组方程。
通过求解这组方程，可以得到优化变量和拉格朗日乘子的取值，进而得到等式约束下的极小值。
在实际应用中，凸优化和等式约束经常出现在各种工程和科学问题中。
例如，在机器学习中，常常需要通过凸优化方法求解带有等式约束的最优化问题，如支持向量机中的拉格朗日对偶问题。
又如在电力系统中，经济调度问题通常包含了一系列的等式约束，通过凸优化方法可以有效地求解得到最优的电力调度方案。
凸优化和等式约束是一对密切相关的概念。
等式约束是实际问题中常见的约束形式，凸优化方法可以有效地求解等式约束下的优化问题。
通过引入拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数，并通过求取极小值来解决等式约束下的优化问题。
凸优化和等式约束在各个领域具有广泛的应用，为解决复杂的实际问题提供了有力的数学工具。
凸优化理论与应用
仿射包：包含集合C的最小的仿射集。
aff C {i xi | xi C, i 1}
Ax b
仿射维数：仿射包的维数。
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10
仿射集
凸集(Convex Sets)
B( xc , r ) {x | x xc r}
{i vi | i 0, i 1, v1 v0 ,..., vk v0线性无关}
i 0 i 0
k
k
范数锥(norm cone)：
{( x, t ) | x t}
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2012/9/24
对偶广义不等式
作业
极小元的对偶特性
K 0, x为使 T z, z S最小的值 x为极小元.
*
反过来不一定成 立！
P60 P60 P60 P62 P62 P64 P64 P64
2.8 2.10 2.14 2.16 2.18 2.30 2.31 2.33
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分割超平面(separating hyperplane)
支撑超平面(supporting hyperplane)
定理：设C 和 D 为两不相交凸集，则存在超平面将C 和 D 分离。即：
x C, aT x b且x D, aT x b.
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凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
凸优化问题的约束处理算法研究
凸优化问题的约束处理算法研究第一章引言1.1 背景凸优化问题是数学优化领域的重要研究方向之一。
在现实生活中，很多问题都可以归结为凸优化问题，因此研究凸优化问题的算法具有重要的实际意义。
然而，很多问题在实际应用中都会存在一些约束条件，这就需要研究如何处理凸优化问题的约束，从而更好地解决实际问题。
1.2 研究目的本文旨在对凸优化问题的约束处理算法进行深入研究，分析不同算法的优缺点，探讨其适用范围和改进方法，为实际问题的求解提供指导。
第二章基本概念和定义2.1 凸优化问题的定义凸优化问题是指目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸函数具有良好的性质，可以通过求解凸优化问题来获得全局最优解。
2.2 凸集和凸函数的定义凸集和凸函数是凸优化问题理论的基础。
凸集是指对于任意两个点在集合内的线段也在集合内。
凸函数是指函数的定义域是凸集，并且对于任意两个点在定义域内的线段，函数值不大于线段的端点的函数值之和。
第三章线性规划问题的约束处理算法3.1 单纯形算法单纯形算法是解决线性规划问题的经典算法之一。
它通过不断移动顶点来搜索最优解。
然而，单纯形算法对于大规模问题计算复杂度较高，且可能出现循环和退化等问题。
3.2 内点算法内点算法是另一种解决线性规划问题的有效算法。
它通过在可行域内搜索的方式逼近最优解。
内点算法相对于单纯形算法具有更好的数值稳定性和收敛性能，在处理约束条件时也更加灵活。
第四章非线性规划问题的约束处理算法4.1 无约束问题的优化算法在处理非线性规划问题之前，首先需要解决无约束问题。
常用的无约束问题的优化算法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。
这些算法可以找到函数的局部最优解，但对于全局最优解的搜索能力有限。
4.2 有约束问题的优化算法对于非线性规划问题，有约束问题的优化算法可以分为等式约束问题和不等式约束问题两类。
针对等式约束问题，可以使用拉格朗日乘子法或者内点法进行求解。
而对于不等式约束问题，可以使用罚函数法或者投影法来处理。
凸优化理论与应用_等式约束优化
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消去等式约束的牛顿方法
( z) f (Fz x ), z Rn p minimize f
初始值
z ，第 k 次迭代值z
(0)
(0)
(k )
；
转换为等式约束下的牛顿方法：
Fz x (k ) (k ) x Fz x 迭代值：
次近似为：
1 T 2 T minimize f ( x v) f ( x) f ( x) v v f ( x)v 2 subject to A( x v) b
设 xnt 和 分别为该问题和对偶问题的最优解，则满 足： 2 f ( x) AT xnt f ( x) 0 0 A 牛顿减量 T 2 1/ 2
( x) (xnt f ( x)xnt )
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牛顿减量
牛顿减量
T 2 ( x) (xnt f ( x)xnt )1/ 2
牛顿减量的性质：
1 f ( x) inf{ f ( x v) | A( x v) b} ( x) 2 2
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等式约束的牛顿方法
初始化：给定初始解 LOOP：
x domf 满足 Ax b ，以及 0
2 x 计算 nt 及 ； 2 若 / 2 则终止退出；
一维线性搜索：计算步长因子 t ； 迭代： x x t xnt
初始值：x(0)
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若 z 为最优解，则有
x Fz x
* *
*
( A A ) A f ( x )
* T *
1
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4
对偶问题
对偶形式：
m ax im ize b f (A )
14
p 存在，则 x * 为最优解当且仅当存在 * ， 假设最优值
满足（KKT条件）：
f (x ) A
* T *
0, A x b
*
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2
例
二次优化：
KKT系统：
m in im ize su b ject to
1 2
1
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6
牛顿减量
牛顿减量
( x ) ( x nt f ( x ) x nt )
T 2
1
1/ 2
牛顿减量的性质：
1 2 f ( x ) in f{ f ( x v ) | A ( x v ) b } ( x ) 2
(k )
Fz
(k )
x
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非可行解为初始点的牛顿法
x 为等式约束优化的非可行解，则增量 x 应尽可能 使 x x 满足KKT条件，即：
A( x x) b
f (x x) A 0
T 2
T
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3
消去等式约束
方程组 A x b 的解集：
| z R n p } { x | A x b} { F z x
x 为方程组的一个特解， F 为 A 的零空间范围。
无约束优化形式：
m inim ize
2
x nt
及
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消去等式约束的牛顿方法
m inim ize
n p f ( z ) f ( F z x ), z R
初始值 z
(0)
，第 k 次迭代值 z
(k )
；
转换为等式约束下的牛顿方法：
初始值：x ( 0 ) F z ( 0 ) x 迭代值：x
即
2 f ( x) A A 0
T
x nt f ( x) AT v v nt Ax b
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非可行解为初始点的牛顿法
初始化：给定初始解 x d o m f 及 v ，以及 0 LOOP： 计算 x nt 和 v nt ； 回溯一维线性搜索：
T
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11
非可行解为初始点的牛顿法
令
y ( x, v)
r ( y ) ( f ( x ) A v , A x b )
T
则KKT条件可表示为：
r( y) 0
设 y 为不满足KKT条件，则其迭代量需满足：
r ( y y ) r ( y ) D r ( y )y 0
函数 f ( x ) 二阶连续可微，因此有
f ( x x ) f ( x ) f ( x )x
设 x nt 和 为KKT条件的解，即有：
2 f ( x) A A x nt f (x) 0 Ax b
T
3.若 H 奇异，则KKT系统可改写为：
H AT Q A A v g AT Q h h w T ，且满足 H A Q A 0 。
T
A 0
其中 Q 0
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等式约束的牛顿方法
初始化：给定初始解 x d o m f 满足 A x b ，以及 0 LOOP：
计算 ； 2 / 2 则终止退出； 若 一维线性搜索：计算步长因子 t ； 迭代： x x t x n t
凸优化理论与应用
第8章 等式约束优化
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1
等式约束优化问题
问题描述：
m in im ize su b ject to
f ( x) Ax b
f ( x ) 为凸函数，且二次连续可微，且
A R
*
pn
, p n , rank A p
性质2：牛顿减量具有仿射不变性。
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可行下降方向
可行下降方向：设 x 满足方程组 A x b 。若 v 满足 方程组 A v 0 ，则 A ( x tv ) b 。v 称为可行方向。 若对于较小的 t 0 ，有 f ( x tv ) f ( x ) ，则 v 为可 行下降方向。
v v t v nt
2
时，终止迭代。
13
KKT系统的求解
KKT系统：
T
H A
T A 0
v g w h
1. L D L 分解；
2.若 H 非奇异，则可消元：
AH
1
A w h AH
T
1
g , Hv (g A w)
T * T
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5
牛顿法
x 为等式约束优化的可行解，则在 x 附近原问题的二
次近似为：
m in im ize su b ject to
1 T 2 T f ( x v) f ( x) f ( x) v v f ( x )v 2 A( x v) b
设 x nt 和 分别为该问题和对偶问题的最优解，则满 T 足： 2 f ( x ) A x f ( x)
A 0
nt
0
1/ 2
牛顿减量
( x ) ( x nt f ( x ) x nt )
T 2
x Px q x r, P S
T T
n
Ax b
P A
T A 0
x* q * b
KKT系统可解，则二次优化问题存在最优解。 系数矩阵称为KKT矩阵。KKT矩阵非奇异当且仅当：
A x 0, x 0 x P x 0
令t 1 ；
While
r ( x t x nt , v t v nt )
t t
2
(1 t ) r ( x , v )
2
迭代：x x t x n t 当 Ax b 且 r ( y )
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