湘教版九年级上册第二章第一节一元二次方程
湘教版九年级数学 2.1 一元二次方程(学习、上课课件)
感悟新知
2. 特殊形式：
知2－讲
特殊形式
二次项系数 一次项系数 常数项
ax2＋bx＝0(a≠0，b≠0)
a
b
0
ax2＋c＝0(a≠0，c≠0)
a
0
c
ax2＝0(a≠0)
a
0
0
感悟新知
知2－练
例2 [母题 教材 P28 习题 T1 ]把下列一元二次方程化成一般形 式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项 . (1) 3x－4=x2； (2)( 10－2x)(6－2x) =32； (3)(3x＋2) 2=3x(2x－5)． 解题秘方：紧扣一元二次方程一般形式的特征及 相关概念解答 .
感悟新知
知3－练
例4 [ 中考·哈尔滨 ] 为了改善居民生活环境，云宁小区对
一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多 6 米，
面积为 720 平方米，设矩形空地的长为 x 米，根据题
意，所列方程正确的是(
)
A． x( x－6)＝ 720 B． x(x＋6)＝ 720
C． x(x－6)＝ 360 D． x( x＋6)＝ 360
项分别为( D )
A． － 3x2， 1， 6 B． 3x2， 1， 6
C． 3， 1， 6
D． 3， － 1， － 6
感悟新知
知识点 3 建立一元二次方程的模型
知3－讲
1. 一元二次方程模型： 一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学
模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过 设未知数用一元二次方程来表达.
感悟新知
解题秘方：紧扣几何图形中揭示的等量关系建立 一元二次方程模型 .
第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
湘教版九上数学第二单元：列一元二次方程解百分率问题
3．【中考·玉林】某养殖场为了响应党中央的扶贫 政策，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同 时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断 提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千 克与3.6万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的 月增长率相同．
求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
解：设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x， 根据题意得2.5(1＋x)2＝3.6， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.
XJ版九年级上
第2章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用 第1课时 列一元二次方程解百分率问题
提示：点击 进入习题
1 10%.26 620元． 2 180元 3 20%.3个
答案显示
1．【中考·大连】某村202X年的人均收入为20 000元， 202X年的人均收入为24 200元． 求202X年到202X年该村人均收入的年平均增长率；
假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，
且 每 个 销 售 点 每 月 平 均 销 售 量 最 多 为 0.32 万 千
克，如果要完成六月份的鸡蛋销量任务，那么
该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少
再增加多少个销售点？
解：设再增加 y 个销售点，根据题意得 3.6＋
0.32y≥3.6×(1＋20%)，解得
解：设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则降 价后每天可售出[300＋5(200－x)]个， 依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000， 整理，得x2－360x＋32 400＝0，解得x1＝x2＝180， 180<200，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公 司每天可获利32 000元．
湘教版初中数学九年级上册2.1 一元二次方程2
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！2.1 一元二次方程第1课时 一元二次方程（1）学 习 目 标1、使学生了解一元二次方程的意义。
2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。
3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
学习重点 建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
学习难点在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
教 学 互 动 设 计设计意图 一、自主学习 感受新知【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？【分析】设宽为x 米，则列方程得：x (x +10)=900； 整理得 x 2+10x -900=0 ①【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x ，则列方程得：5(1+x )2=7.2；整理得 5 x 2+10x -2.2=0 ②【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其它 （x -1）队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：)1(21-x x ； 28)1(21=-x x 整理得 x 2-x -56=0 ③ 鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、自主交流 探究新知【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整式”“分式”“无理式”）；（2）方程整理后含有 一 个未知数；（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。
湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计
湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它不仅是一元二次方程知识体系的延续和拓展，也是对之前所学知识的综合运用。
本节课的内容主要包括一元二次方程的定义、解法、应用等方面。
通过本节课的学习，让学生掌握一元二次方程的基本知识，能够解决实际问题，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的运算、方程的知识，对解方程有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生在已有的知识体系上进行进一步的推理和理解。
同时，学生需要掌握一元二次方程的解法，以及如何将实际问题转化为数学问题，这都需要学生在学习过程中进行深入的思考和实践。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法。
2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义，以及一元二次方程的解法。
2.如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义和解法。
2.采用案例分析法，让学生通过实际问题，理解一元二次方程的应用。
3.采用小组合作法，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于引导学生将实际问题转化为数学问题。
2.准备一元二次方程的解法教程，用于让学生掌握一元二次方程的解法。
3.准备教学PPT，用于展示一元二次方程的定义和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已知的方程知识，为新知识的学习做好铺垫。
然后，教师给出一个实际问题，让学生尝试解决，从而引出一元二次方程的概念。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的定义，让学生了解一元二次方程的基本形式。
接着，教师讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等，让学生掌握解一元二次方程的方法。
2020湘教版九年级数学上册 2.1 一元二次方程
x2 x
一元一次方程 一元二次方程
分式方程
2.下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2－6x＝0 (3)2x2 1 1 0
3x (5)x2＋2x－3＝1＋x2
(2)2x2－5xy＋6y＝0 y2
(4) 0 2
(6) 2 y2 1 3y
(7)x2 4 x 7 0
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当
a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一
元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法： 根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方 程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
（1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) 去括号， 得 3x - 3x2 + 10 = 2x + 4. 移项， 合并同类项， 得 - 3x2 + x + 6 = 0， 这是一元二次方程， 其中二次项系数是-3， 一次项系数是1， 常数项是6.
思考：可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又 是多少？常数项是多少呢？
一般形式： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数， a≠0)，其中ax2，bx，c分别称为二次 项、一次项和常数项，a,b分别称为 二次项系数和一次项系数．
的面积为 3x2 cm2.
150cm
根据题意有，200 150 3x2 200 150 3
4
整理，得 x2 2500 0 ①
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
湘教版数学九年级上册第二章《一元二次方程》复习教学设计
湘教版数学九年级上册第二章《一元二次方程》复习教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册第二章《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是初高中数学衔接的关键。
本章主要引导学生掌握一元二次方程的解法、应用以及方程的性质。
通过本章的学习，学生能理解和掌握一元二次方程的基本概念，熟练运用各种方法解一元二次方程，并能够解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的理解和应用还存在困难，尤其是在解方程的技巧和转化能力上。
因此，在复习教学中，需要针对学生的实际情况，引导学生梳理知识，提高解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的基本概念，能够熟练运用各种方法解一元二次方程，并能够解决实际问题。
2.过程与方法：通过复习教学，培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的基本概念，解一元二次方程的各种方法。
2.难点：一元二次方程的解法在实际问题中的应用，解题思路的转化。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解一元二次方程的实际意义，提高学生的学习兴趣。
2.案例教学法：分析典型题目，引导学生掌握解题方法，培养学生的解题能力。
3.小组合作学习：鼓励学生相互讨论、交流，提高学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学，提高学生的学习兴趣。
2.练习题：准备一定数量的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
3.教学视频：准备一些教学视频，让学生更直观地理解一元二次方程的解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾一元二次方程的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用课件，展示一元二次方程的解法，引导学生复习各种解法，如因式分解法、公式法、配方法等。
湘教版九年级数学上册第2章《一元二次方程》教案
湘教版九年级数学上册第2章《一元二次方程》教案2．1一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程模型．(难点)一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】判断一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________．(填入序号即可)①y24－y＝0；②2x2－x－3＝0；③1x2＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2；⑦x2＋3x－y3＝0；⑧x2－x＝2.解析：③⑧不是整式方程，⑤是一元三次方程，⑦含有两个未知数，由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看他是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax 2－x ＝2x 2； (2)(a －1)x |a |＋1＋2x －7＝0.解析：将方程转化为一般形式，得(a －2)x 2－x ＝0，所以当a －2≠0，即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程． 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．探究点二：一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；(2)x 23－x ＋12＝－x －12； (3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q －p (m ＋n ≠0)．解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝－3x －3.去括号、移项、合并同类项，得2x 2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m ＋n )x 2＋(m －n )x ＋p －q ＝0.二次项系数为m ＋n ，一次项系数为m －n ，常数项为p －q .方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负数，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项c ，则c ＝0.探究点三：列一元二次方程如图，现有一张长为19cm ，宽15cm 的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm 2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x )cm ，宽为(15－2x )cm.根据题意，得(19－2x )(15－2x )＝81.整理，得x 2－17x ＋51＝0.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．三、板书设计一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0），其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项，一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数本课通过丰富的实例让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入地理解．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣．2.1 一元二次方程【教学目标】知识与技能：探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识过程与方法：在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 【教学重难点】重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用． 难点：根的作用的理解． 【教学过程】一、情境引入问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．问题1考虑从不同角度列方程，角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm ，则有方程(100－2x )(50－2x )＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm ，则有方程通过整理得到方程．问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛共28场，若设邀请x 个队参赛，每个队要与其他(x －1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．说明：由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型． 二、探索新知 观察下列得到的方程： （1）；（2）；（3）＝28． 学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？2753500x x −+=2560x x −−=1(1)2x x −结论：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ≠0）．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 思考：为什么规定a ≠0强调：一元二次方程定义中的三个条件：（1）是整式方程，（2）含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可说明：主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念． 三、新知应用例：将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 解：去括号得，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）． 说明：进一步巩固一元二次方程的基本概念．例 猜测方程的解是什么？学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x ＝1、2、3、4、5等，发现x ＝8时等号成立，于是x ＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的根）．四、反馈练习 课本P28补充习题：将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 五、课堂小结1.一元二次方程的概念.一元二次方程的定义要求的三个条件。
湘教版九年级数学上册第2章教学课件：2.1 一元二次方程(共21张PPT)
2.1 一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的概念；（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一
般形式；（重点） 3.能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．（难点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
u一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数
(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做 一元二次方程. u一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数
常数项
（1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) （2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
分析：根据一元二次方程的概念，以上的方程都需要 进行整理，使右边为0，再根据左边的式子进行判断.
（1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) 去括号， 得 3x - 3x2 + 10 = 2x + 4. 移项， 合并同类项， 得 - 3x2 + x + 6 = 0， 这是一元二次方程， 其中二次项系数是-3， 一次项系数是1， 常数项是6.
思考：可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又 是多少？常数项是多少呢？
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 去括号， 得 5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4. 移项， 合并同类项， 得 5x + 11 = 0， 这是一元一次方程， 不是一元二次方程.
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2.1一元二次方程导学案
【学习目标】
1.会根据实际问题建立一元二次方程的模型，形成对一元二次方程的感性认识；
2.理解一元二次方程的概念，并知道一元二次方程的一般形式；
3.会将一元二次方程化为一般形式并能写出二次项系数、一次项系数和常数项.
一、新知探究
1. 请阅读教材第26、27页的内容，回答下列问题：
（1）在教材中，“动脑筋”中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的
个数和最高次数各是多少？
（2）类比一元一次方程的定义，试着写出一元二次方程的定义,并写出两个一元
二次方程。
（3
数项.
（4一次项系数？
二、基础演练
1. 找出下列方程中是一元二次方程的是.（只填正确的序号） ①2751x x ++；②
2172x =；③264x x -=；④2253x y +=；⑤20x =； ⑥23(2)(2)x x x x +=+-；⑦20ax bx c ++=；
2. 将方程2(1)3(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次
项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数.
3. 若关于x 的方程2(3)10k x kx +-+=是一元一次方程，求k 的值？若该方程是一元二次方程，求k 的取值范围？
三、综合提升
4. 当m 为何值时，关于x 的方程：0527)124=+++-mx x
m m （是一元二次方程.
【当堂检测】
1. 下列关于,x y 的方程一定是一元二次方程的有 。
（1）22310x y +-=；（2）2130;1x x ++=+（3）226(1)x x x -=-（4）21x =. 2. 将方程x 2－3＝－3x 的a 、b 、c 的值分别为 。
3. 若关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=的常数项为0，求m 的值？
【学后反思】
本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？
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