(广西课标版)2020版高考数学二轮复习题型练8大题专项6文

合集下载

(广西课标版)2020版高考数学二轮复习题型练2选择、填空综合练(二)文

题型练2 选择、填空综合练(二)一、能力突破训练1.设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.6B.5C.4D.32.(2019全国Ⅲ,文2)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()4.(2019全国Ⅲ,文5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在区间[0,2π]上的零点个数为()A.2B.3C.4D.55.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下列四个命题中真命题的个数是()①“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”③“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题④命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则p∨q为真命题A.0 B.1C.2D.37.已知实数x,y满足约束条件50,-0,0,则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π9.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆5 1=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.已知P是边长为2的正方形ABCD内的点,若△PAB,△PBC的面积均不大于1,则的取值范围是() A.(-1,2) B.(-1,1)C.0,1D.1,12.已知a>0,a≠1,函数f(x)=1+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.14.已知函数f(x)=x2-2ln x+a的最小值为2,则a= .15.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.16.已知直线y=mx与函数f(x)=-1,0,11,0的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.二、思维提升训练17.设集合A={x|x+2>0},B=-,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}18.定义域为R的四个函数y=x2+1,y=3x,y=|x+1|,y=2cos x中,偶函数的个数是()A.4B.3C.2D.119.(2019山东聊城一中检测,10)设x,y满足-0,1,若z=x+y的最大值为6,则的最小值为()A.4B.1C.3D.120.若实数x,y满足|x-1|-ln1=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()21.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)0, 的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=22.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()A.a=bB.a⊥bC.a=λb(λ>0)D.a∥b23.在△ABC中,AC=,BC=2,B= 0°,则BC边上的高等于()A.B.C.D. 924.(2019内蒙古一模,8)已知单位向量a,b的夹角为,若向量m=2a,n=4a-λb,且m⊥n,则|n|=()A.-2B.2C.4D.625.(2018全国Ⅱ,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C.5D.26.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥ ),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列27.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.B.C.D.28.设{a n}是集合{2s+2t|0≤s<t,且s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=1 ,…,将数列{a n}各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表:则a99等于()A.8 320B.16 512C.16 640D.8 848在复平面内所对应的点关于实轴对称的点为A,则A对应的复数为. 29.若z=130.能说明“若a>b,则11”为假命题的一组a,b的值依次为.31.(2019河南六市第一次联考,15)已知双曲线=1(b>a>0),焦距为2c,直线l经过点(a,0)和(0,b).若点(-a,0)到直线l的距离为c,则此双曲线的离心率为.32.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.题型练2选择、填空综合练(二)一、能力突破训练1.B由题意,A∩Z={1,2,3,4,5},故其中的元素个数为5,选B.2.D解析z=11- )1 ) 1- )=1+i.故选D.3.D解析如图,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.4.B解析由f(x)=2sin x-sin2x=2sin x-2sin x cos x=2sin x(1-cos x)=0,得sin x=0或cos x=1.∵x∈[0,2π],∴x=0或x=π或x=2π.故f(x)在区间[0,2π]上的零点个数是3.故选B.5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈1, ,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t∈1, 恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈1, 时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.D解析由x=1,得x2-3x+2=0,反之,若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,①是真命题;全称命题的否定是特称命题,②是真命题;原命题的逆命题为“若a<b,则am2<bm2”,当m=0时,结论不成立,③是假命题;命题p是真命题,命题q是假命题,④是真命题,故选D.7.B解析实数x,y满足约束条件50,-0,0,对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,所以选B.8.C解析△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以V O-ABC=11R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π.9.D解析因为a n=1-2n,S n=-11-)=-n2,=-n,所以数列的前11项和为11 -1-11)=-66.故选D.10.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.11.B解析以A为坐标原点,AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),C(2,2),设P(x,y),0<x<2,0<y<2,由△PAB,△PBC的面积均不大于1,得0<y<1,1<x<2.则=x(x-2)+y2=(x-1)2+y2-1,而d2=(x-1)2+y2表示平面区域0<y<1,1<x<2内的点P(x,y)与点(1,0)距离的平方,因为0<d<,所以的取值范围是(-1,1),故选B.12.B解析f(x)=1+x cos x=3+-11+x cos x,设g(x)=-11+x cos x,则g(-x)=-g(x),函数g(x)是奇函数,则g(x)的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x≤1时,设-m≤g(x)≤m(m>0),则3-m≤f(x)≤ +m, ∴函数f(x)的最大值M=3+m,最小值N=3-m,得M+N=6,故选B.13.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+ 00×6=4900≥ ×2900=240,当且仅当x=900,即x=30时等号成立.14.1解析由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x--1).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(1)=1+a=2.所以a=1.15.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤ 1,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a≤ 1,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a≤ 1,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a≤ 1,则a=8×2=16; 第四次循环,a=16,b=2,判断a≤ 1,则a=16×2=32; 第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤ 1,输出a=32.16.(,+∞)解析作出函数f(x)=-1,0,11,0的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-1(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx 与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=1x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=1x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>.故所求实数m的取值范围是(,+∞).二、思维提升训练17.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.18.C解析由函数奇偶性的定义,得y=x2+1与y=2cos x是偶函数,y=3x与y=|x+1|既不是奇函数也不是偶函数,故选C.19.D解析作出不等式组,1,-0所表示的平面区域如图所示.由,-0,解得A,,直线z=x+y经过点A时,目标函数z取得最大值6,可得+a=6,解得a=4,则的几何意义是可行域的点与(-4,0)连线的斜率,由可行域可知(-4,0)与点B连线的斜率最大,由 ,1,可得点B(-3,4),则的最大值为4,即的最小值为1.20.B解析已知等式可化为y=1-11-1,1,1--1),1,根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.21.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=.又图象过点(1,2),∴sin1=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.22.D解析因为a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cosθ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.23.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=3×.24.C解析∵单位向量a,b的夹角为,∴a·b=cos=-.∵向量m=2a,n=4a-λb,且m⊥n,∴m·n=2a·(4a-λb)=8a2-2λa·b=0,∴8-2λ×-=0,解得λ=-4.∴|n|=·=4.25.C解析取DD1的中点F,连接AC,EF,AF,则EF∥CD,故∠AEF为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2a,则易知AE==3a,AF=5a,EF=2a.∴cos∠AEF=))-5).∴sin∠AEF=5.∴tan∠AEF=5.26.D解析由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.因为S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥ ),所以S n+1-S n-2S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥ ),即(S n+1-S n)-2(S n-S n-1)=0(n∈N*,且n≥ ),所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥ ),故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.27.A解析∵SC是球O的直径,∴∠CAS=∠CBS=90°.∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS=.取AB的中点D,显然AB⊥CD,AB⊥SD,∴AB⊥平面SCD.在△CDS中,CD=,DS=11,SC=2,利用余弦定理可得cos∠CDS=-=-,故sin∠·CDS=,∴S△CDS=111,∴V=V B-CDS+V A-CDS=1×S△CDS×BD+1S△CDS×AD=1S△CDS×BA=1×1=.28.B解析用(s,t)表示2s+2t,则三角形数表可表示为第一行3(0,1)第二行5(0,2)6(1,2)第三行9(0,3)10(1,3)12(2,3)第四行17(0,4)18(1,4)20(2,4)24(3,4)第五行33(0,5)34(1,5)36(2,5)40(3,5)48(4,5)…因为99=(1+2+3+4+…+13)+8,所以a99=(7,14)=27+214=16512,故选B.29.1-i解析因为z=11- )1 ) 1- )=1+i,所以z在复平面内对应的点是(1,1).所以点A(1,-1).所以点A对应的复数是1-i.30.1,-1(答案不唯一)易知当a>0>b时,“若a>b,则11”为假命题,不妨取a=1,b=-1.31.解析由题意可知直线l的方程为=1,即为bx+ay-ab=0.又c2=a2+b2,点(-a,0)到直线l的距离为c,所以c,即有3ab=c2.所以9a2b2=2c4,即9a2c2-9a4-2c4=0,可化为2e4-9e2+9=0,解得e2=3或e2=.由于0<a<b,即a2<b2,即有c2>2a2,即有e2>2,则e=.32.解析由已知得a与b的夹角为 0°,不妨取a=(1,0),b=(1,).设e=(cosα,sinα),则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+sinα|≤|cosα|+|cosα|+|sinα|=2|cosα|+|sinα|,取等号时cosα与sinα同号.所以2|cosα|+|sinα|=|2cosα+sinα|=|sin(α+θ)|其中为锐角.显然|sin(α+θ)|≤.易知当α+θ=时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sinα,cosα同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.。

2020高考理科数学二轮考前复习方略练习：专题八第1讲数学文化练典型习题提数学素养 Word版含解析

［练典型习题·提数学素养］一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝⎛⎭⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3；故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2；五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1，输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.若4>n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.若5>n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6.若6>n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.…由输出的S ∈(1516，6364)，可得当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故输入的正整数n 的值为5.答案：515．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．答案：316．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2.答案：3π2。

(广西课标版)2020版高考数学二轮复习专题能力训练6 函数与方程及函数的应用文

专题能力训练6 函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.(2019北京海淀一模,2)若x 0是函数f (x )=log 2x-1x 的零点,则( ) A.-1<x 0<0 B.0<x 0<1 C.1<x 0<2D.2<x 0<42.函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+ln x ,x >0的零点个数为( )A.0B.1C.2D.33.(2019辽宁沈阳东北育才中学检测,10)已知函数f (x )=3x+x ,g (x )=log 3x+x ,h (x )=sin x+x 的零点依次为x 1,x 2,x 3,则下列结论正确的是( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 1<x 3<x 2 C.x 3<x 1<x 2 D.x 2<x 3<x 14.已知函数f (x )={xx +2,x ≤0,ln x ,x >0(k ∈R ).若函数y=|f (x )|+k 有三个零点,则实数k 的取值范围是( ) A.[2,+∞) B.(-1,0) C.[-2,1)D.(-∞,-2]5.已知e 是自然对数的底数,函数f (x )=e x+x-2的零点为a ,函数g (x )=ln x+x-2的零点为b ,则f (a ),f (1),f (b )的大小关系为 .6.已知函数f (x )={x 3,x ≤x ,x 2,x >x .若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,则a 的取值范围是 .7.一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要年.(填正整数)8.已知关于x 的方程x 3+ax+b=0,其中a ,b 均为实数.下列条件中,使得该方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号)①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.9.已知函数f (x )=2x,g (x )=12|x |+2.(1)求函数g (x )的值域;(2)求满足方程f (x )-g (x )=0的x 的值.10.如图,一个长方体形状的物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动,速度为v (v>0),雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R ).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为110;②其他面的淋雨量之和,其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时,(1)写出y 的解析式;(2)设0<v ≤10,0<c ≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v ,使总淋雨量y 最少.二、思维提升训练11.(2019陕西咸阳模拟,11)已知函数f(x)=e x+2(x<0)与g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.(-∞,1e) B.(-∞,e)C.(-1e ,e) D.(-e,1e)12.已知函数f(x)=ln x-(12)x-1+a有唯一的零点x0,且x0∈(2,3),则实数a的取值范围是.13.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.14.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2 000√x.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:吨)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?专题能力训练6函数与方程及函数的应用一、能力突破训练,即f(1)f(2)<0,所以函数f(x) 1.C解析因为f(x)的图象在区间(1,2)内连续,且f(1)=-1,f(2)=12在区间(1,2)内有零点,即1<x0<2.2.C解析当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以函数f(x)有2个零点.故选C.3.B解析在同一平面直角坐标系中画出y=3x,y=log3x,y=sin x与y=-x的图象,如图所示,可知x1<0,x2>0,x3=0,则x1<x3<x2.4.D解析由y=|f(x)|+k=0,得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,要使直线y=-k与函数y=|f(x)|的图象有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2.故选D.5.f(a)<f(1)<f(b)解析由题意,知f'(x)=e x+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是增函数.因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).+1>0,由题意,知g'(x)=1x则函数g(x)在区间(0,+∞)内是增函数.又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是增函数,所以f(a)<f(1)<f(b).6.(-∞,0)∪(1,+∞)解析要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,0)内单调递减,在区间[0,+∞)内单调递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图象与y=b有两个不同交点.图①图②当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,+∞)内单调递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.7.4解析设这种放射性物质最初的质量为1,经过x(x∈N)年后,剩留量是y,则y=(14)x.依题意,得(14)x≤1100,整理得22x≥100,解得x≥4.所以至少需要4年.8.①③④⑤解析方程仅有一个实根,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,满足题意,故①正确;当b=2时,f(-1)=4>0,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故②不正确;当b>2时,f(-1)=2+b>4,f(1)=-2+b>0,满足题意,故③正确;当a=0和a=1时,f'(x)=3x2+a≥0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,故④⑤也满足题意.9.解(1)g (x )=12|x |+2=(12)|x |+2.因为|x|≥0,所以0<(12)|x |≤1,即2<g (x )≤3,故g (x )的值域是(2,3]. (2)由f (x )-g (x )=0,得2x-12|x |-2=0.当x ≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x-12x -2=0,得(2x )2-2×2x -1=0,(2x -1)2=2,解得2x =1±√2.因为2x >0,所以2x=1+√2, 即x=log 2(1+√2).10.解(1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100x (320|x -x |+12)=5x (3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,当0<v ≤c 时,y=5x (3c-3v+10)=5(3x +10)x-15;当c<v ≤10时,y=5x (3v-3c+10)=5(10-3x )x+15.故y={5(3x +10)x-15,0<x ≤x ,5(10-3x )x+15,x <x ≤10.①当0<c ≤103时,y 是关于v 的减函数.故当v=10时,y min =20-3x 2.②当103<c ≤5时,在区间(0,c ]上,y 是关于v 的减函数;在区间(c ,5]上,y 是关于v 的增函数.故当v=c 时,y min =50x .二、思维提升训练11.B 解析由题意,得方程f (-x )-g (x )=0在区间(0,+∞)内有解,即e -x+2-ln(x+a )-2=0在区间(0,+∞)内有解,即函数y=e -x的图象与y=ln(x+a )的图象在区间(0,+∞)内有交点, 把点(0,1)代入y=ln(x+a ),得1=ln a ,解得a=e,故a<e . 12.(14-ln3,12-ln2) 解析令f (x )=0,得ln x=(12)x -1-a.在同一平面直角坐标系中分别作出y=ln x 与y=(12)x -1-a 的图象知,y=ln x 为增函数,而y=(12)x -1-a为减函数.要使两函数图象交点的横坐标落在区间(2,3)内,必须有{ln2<(12)2-1-x ,ln3>(12)3-1-x ,解得14-ln3<a<12-ln2.13.(1)解当a=3时,f (x )=13x 3-3x 2-3x-3,f'(x )=x 2-6x-3. 令f'(x )=0,解得x=3-2√3或x=3+2√3. 当x ∈(-∞,3-2√3)∪(3+2√3,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(3-2√3,3+2√3)时,f'(x )<0.故f (x )在区间(-∞,3-2√3),(3+2√3,+∞)内单调递增,在区间(3-2√3,3+2√3)内单调递减. (2)证明因为x 2+x+1>0,所以f (x )=0等价于x 3x 2+x +1-3a=0.设g (x )=x 3x 2+x +1-3a ,则g'(x )=x 2(x 2+2x +3)(x 2+x +1)≥0,仅当x=0时g'(x )=0,所以g (x )在区间(-∞,+∞)内单调递增,故g (x )至多有一个零点,从而f (x )至多有一个零点.又f (3a-1)=-6a 2+2a-13=-6(x -16)2−16<0,f (3a+1)=13>0,故f (x )有一个零点. 综上,f (x )只有一个零点.14.解(1)因为赔付价格为s 元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000√x -sq (q ≥0). 因为w=2000√x -sq=-s (√x -1000x)2+10002x,所以当q=(1000x)2时,w 取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=(1000x)2吨.(2)设甲方净收入为v 元, 则v=sq-0.002q 2, 将q=(1000x)2代入上式,得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式:v=10002x−2×10003x 4.又v'=-10002x 2+8×10003x 5=10002(8000-x 3)x 5,令v'=0得s=20. 当s<20时,v'>0; 当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v 取得最大值.因此当甲方向乙方要求赔付价格s 为20元/吨时,获得最大净收入.。

2020年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷(理科)

2020年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合N＝{x|x2﹣x﹣2≤1}，M＝{﹣2，0，1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．{﹣2，0，1}D．{0，1}2．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．B．2C．1+i D．1﹣i3．（5分）在数列{a n}中，a3＝5，a n+1﹣a n﹣2＝0（n∈N+），若S n＝25，则n＝（）A．3B．4C．5D．64．（5分）在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（0＜ξ＜2）＝（）A．0.4B．0.8C．0.6D．0.25．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（）A．1B．2C．3D．66．（5分）已知a，b∈R，则“”是“a＜b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若函数f（x）＝x2ln2x，则f（x）在点（）处的切线方程为（）A．y＝0B．2x﹣4y﹣1＝0C．2x+4y﹣1＝0D．2x﹣8y﹣1＝08．（5分）已知sin（）＝2cos（），则sin2θ＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递增．若实数m满足f（log3|m﹣1|）+f（﹣1）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣2，1）∪（1，4）B．（﹣2，1）C．（﹣2，4）D．（1，4）10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c cos B+b cos C＝，且b2+c2﹣a2＝bc，则＝（）A．B．C．2D．11．（5分）过双曲线x2﹣的右支上一点P分别向圆C1：（x+2）2+y2＝4和圆C2：（x ﹣2）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．5B．4C．3D．212．（5分）安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（）A．60B．150C．180D．240二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，5），＝（2，﹣1），＝（m，3），若⊥（），则m＝．14．（5分）若x，y满足，则的最大值为．15．（5分）以抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，则p等于．16．（5分）在大小为75°的二面角α﹣l﹣β内有一点M到两个半平面的距离分别为1和，则点M到棱l的距离等于．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1，（n∈N*）．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．18．某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，D 四座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：城市A B C D4S店个数x2365销量y（台数）24303733（1）根据统计的数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，D三座城市的10个4S店中选取3个做深入调查，求B城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．附：回归方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣19．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．20．椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，过点A（﹣a，0）和B（0，b）的直线与原点间的距离为．（1）求椭圆M的方程；（2）过点E（1，0）的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当＝3时，求直线l的方程．21．设函数f（x）＝e x﹣（a﹣1）x2﹣x．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）已知函数f（x）在（0，+∞）上有极值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点P（1，2）倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2x，其中a＞0．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．2020年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合N＝{x|x2﹣x﹣2≤1}，M＝{﹣2，0，1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．{﹣2，0，1}D．{0，1}【解答】解：集合N＝{x|x2﹣x﹣2≤1}＝{x|≤x≤}，M＝{﹣2，0，1}，∴M∩N＝{0，1}．故选：D．2．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．B．2C．1+i D．1﹣i【解答】解：根据题意，z＝＝＝（﹣10+10i）＝﹣1+i，则|Z|＝，故选：A．3．（5分）在数列{a n}中，a3＝5，a n+1﹣a n﹣2＝0（n∈N+），若S n＝25，则n＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：数列{a n}中，a3＝5，由于：a n+1﹣a n﹣2＝0（n∈N+），故：a n+1﹣a n＝2（常数），所以：数列{a n}为等差数列，故：a n＝5+2（n﹣3）＝2n﹣1，所以：，解得：n＝5．故选：C．4．（5分）在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（0＜ξ＜2）＝（）A．0.4B．0.8C．0.6D．0.2【解答】解：随机变量X服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，∴P（1≤ξ＜2）＝0.4，∴P（0＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜1）+P（1≤ξ＜2）＝0.4+0.4＝0.8，故选：B．5．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（）A．1B．2C．3D．6【解答】解：根据程序框图：a＝12，b＝18，由于：a≠b，所以：b＝b﹣a＝6，由于a＝12，b＝6，所以：a＝6，由于a＝b，所以输出a＝6．故选：D．6．（5分）已知a，b∈R，则“”是“a＜b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但＞不成立．当a＝1，b＝﹣1时，满足＞，但a＜b不成立．“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．（5分）若函数f（x）＝x2ln2x，则f（x）在点（）处的切线方程为（）A．y＝0B．2x﹣4y﹣1＝0C．2x+4y﹣1＝0D．2x﹣8y﹣1＝0【解答】解：函数f（x）＝x2ln2x的导数为f′（x）＝2xln2x+x2•＝2xln2x+x，可得f（x）在（）处的切线的斜率为k＝，可得切线方程为y＝（x﹣），即为2x﹣4y﹣1＝0．故选：B．8．（5分）已知sin（）＝2cos（），则sin2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：由sin（）＝2cos（），得tan（）＝2，即，∴，则tan．∴sin2θ＝．故选：C．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递增．若实数m满足f（log3|m﹣1|）+f（﹣1）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣2，1）∪（1，4）B．（﹣2，1）C．（﹣2，4）D．（1，4）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递增．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．∵f（log3|m﹣1|）+f（﹣1）＜0，∴f（log3|m﹣1|）＜﹣f（﹣1）＝f（1），∴log3|m﹣1|＜1，∴0＜|m﹣1|＜3，解可得﹣2＜m＜4且m≠1故选：A．10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c cos B+b cos C＝，且b2+c2﹣a2＝bc，则＝（）A．B．C．2D．【解答】解：根据题意，在△ABC中，c cos B+b cos C＝，则有c×+b×＝a＝，b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝，则sin A＝，则＝＝2；故选：C．11．（5分）过双曲线x2﹣的右支上一点P分别向圆C1：（x+2）2+y2＝4和圆C2：（x ﹣2）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：设P（x，y），由切线长定理可知|PM|2＝|PC1|2﹣|C1M|2＝（x+2）2+y2﹣4，|PN|2＝|PC2|2﹣|C2N|2＝（x﹣2）2+y2﹣1，∴|PM|2﹣|PN|2＝（x+2）2﹣（x﹣2）2﹣3＝8x﹣3．∵P在双曲线右支上，故x≥1，∴当x＝1时，|PM|2﹣|PN|2取得最小值5．故选：A．12．（5分）安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（）A．60B．150C．180D．240【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的分组方法；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，5），＝（2，﹣1），＝（m，3），若⊥（），则m＝3．【解答】解：∵＝（1，5），＝（2，﹣1），＝（m，3），∴＝（1+m，8），∵⊥（），∵2（1+m）﹣8＝0，∴m＝3，故答案为：3．14．（5分）若x，y满足，则的最大值为5．【解答】解：满足约束条件的可行域：如下图所示：又∵的表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x＝1，y＝5时，有最大值5．给答案为：5．15．（5分）以抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，则p等于．【解答】解：由对称性可知y A＝±，代入抛物线方程可得x A＝＝，设圆的半径为R，则R2＝+6，又R2＝10+，∴+6＝10+，解得p＝．故答案为：．16．（5分）在大小为75°的二面角α﹣l﹣β内有一点M到两个半平面的距离分别为1和，则点M到棱l的距离等于2．【解答】解：如图所示，经过点M，作ME⊥β，MF⊥α，垂足分别为E，F．则ME⊥l，MF⊥l．设平面MEF与棱l交于点O，则l⊥平面MEOF．∴l⊥MO．设OM＝x，∠EOM＝θ1，∠MOF＝θ2．则θ1+θ2＝，sinθ1＝，sinθ2＝．cosθ1＝，cosθ2＝．∴＝sin＝sin（θ1+θ2）＝×+×，解得x＝2．故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1，（n∈N*）．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）∵a n+1＝2a n+1，（n∈N*），∴a n+1+1＝2（a n+1），∴＝2，∴数列{a n+1}是以2为公比的等比数列，（2）由（1）知，数列{a n+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2，∴a n+1＝2•2n﹣1＝2n，∴a n＝2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和s n＝（2+22+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2．18．某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，D 四座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：城市A B C D4S店个数x2365销量y（台数）24303733（1）根据统计的数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，D三座城市的10个4S店中选取3个做深入调查，求B城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．附：回归方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣【解答】解：（1），，＝＝2.9，．∴回归直线方程为；（2）X的可能取值为：0，1，2，3．P（X＝0）＝；P（X＝1）＝；P（X＝2）＝；P（X＝3）＝．X的分布列为X0123P∴X的期望为E（X）＝0×．19．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵AC∩AS＝A，∴BD⊥平面SAC．∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．解：（2）设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴，以过O垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），S（﹣1，0，2），B（0，﹣，0），D（0，，0）．设E（x，0，z），则＝（x+1，0，z﹣2），＝（1﹣x，0，﹣z），设＝，∴，∴E（，0，），∴＝（，﹣，）．＝（0，，0），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），∵．解得＝（2，0，1﹣λ）为平面BDE的一个法向量．同理可得平面SAD的一个法向量为＝（），∵平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°，∴cos30°＝＝＝，解得λ＝1．∴E为SC的中点．20．椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，过点A（﹣a，0）和B（0，b）的直线与原点间的距离为．（1）求椭圆M的方程；（2）过点E（1，0）的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当＝3时，求直线l的方程．【解答】解（1）据题知，直线AB的方程为bx﹣ay+ab＝0．依题意得．解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆M的方程为+y2＝1．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），（x2＞0，y2＞0，），设直线l的方程为x＝my+1（m∈R）．代入椭圆方程整理得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0．△＝8m2+8＞0∴y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣．①由＝3，依题意可得：y1＝﹣3y2，②结合①②得，消去y2解得m＝1，m＝﹣1（不合题意）．所以直线l的方程为y＝x﹣1．21．设函数f（x）＝e x﹣（a﹣1）x2﹣x．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）已知函数f（x）在（0，+∞）上有极值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣2（a﹣1）x﹣1．当a＝1时f'（x）＝e x﹣1．由f'（x）≥0有e x﹣1≥0，解得x≥0；f'（x）≤0，∴x≤0．∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减．（2）设g（x）＝f'（x）＝e x﹣2（a﹣1）x﹣1，则g'（x）＝e x﹣2（a﹣1），∵函数f（x）在（0，+∞）上有极值点，∴函数g（x）在（0，+∞）上有零点．①当时，x＞0，∴e x＞1，∴g'（x）＝e x﹣2（a﹣1）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（0）＝0，∴当x＞0时g（x）＞g（0）＝0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上没有零点．②当时，2（a﹣1）＞1，ln2（a﹣1）＞0，g'（x）＝e x﹣2（a﹣1）＞0时，x＞ln2（a﹣1），g'（x）＝e x﹣2（a﹣1）＜0时，x＜ln2（a﹣1），∴g（x）在（0，ln2（a﹣1））上单调递减，在[ln2（a﹣1），+∞）上单调递增∵g（0）＝0，且g（x）在（0，ln2（a﹣1））上单调递减，∴g（ln2（a﹣1））＜0．对于a＞0，当x→+∞时，g（x）→+∞，∴存在x0∈[ln2（a﹣1），+∞）使g（x0）＞0．∴函数g（x）在（ln2（a﹣1），+∞）上有零点．∴函数f（x）在（0，+∞）上有极值点时，实数a的取值范围是（，+∞）．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点P（1，2）倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2的值．【解答】解（1）依题意，曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，故x2+y2＝4y，故ρ＝4sinθ，故所求极坐标方程为ρ＝4sinθ；（2）设直线l的参数方程为（t为参数），将此参数方程代入x2+y2﹣4y＝0中，化简可得t2﹣t﹣3＝0，显然△＞0．设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则．∴PM2+PN2＝t12+t22＝（t1+t2）2﹣2t1t2＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2x，其中a＞0．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝．当x≥1时，由f（x）≥2可得3x﹣1≥2，解得x≥1；当x＜1时，由f（x）≥2可得x+1≥2，解得x≥1；不成立；综上所述，当a＝1时，不等式f（x）≥2的解集为[1，+∞）．（2）记h（x）＝|f（2x+a）﹣2f（x）|＝2||x|﹣|x﹣a|+a|＝．∴|f（2x+a）﹣2f（x）|max＝4a．依题意得4a≤2，∴a≤．所以实数a的取值范围为（0，]．。

2020年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)

2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，2，，则A. 1，B. 1，2，C. 0，1，D. 0，1，2，2.设复数z满足，则A. B. C. D.3.的展开式中含的系数为A. B. 80 C. 10 D.4.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日日共10天他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是A. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B. 前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D. 这10天学生在线学习人数在逐日增加5.已知各项不为0的等差数列的前n项和为，若，则A. 4B. 162C. 9D. 126.若函数，且的值域为，则函数的图象是A. B.C. D.7.椭圆C：的左、右焦点为，，过的直线l交C于A，B两点，且的周长为8，则a为A. B. 2 C. D. 48.某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a的值为A. 13B. 18C. 23D. 289.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法错误的是A. 平面B.C. 直线MN与平面ABCD所成角为D. 异面直线MN与所成角为10.已知双曲线E：的右焦点为F，以为原点为直径的圆与双曲线E 的两条渐近线分别交于点M，N异于点若，则双曲线E的离心率为A. 4B. 2C.D.11.已知函数的图象经过点，一条对称轴方程为则函数的周期可以是A. B. C. D.12.已知函数，则当时，函数的零点个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，向量，则与的夹角大小为______．14.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是______．15.已知数列中，，且对于任意正整数m，n都有，则数列的通项公式是______．16.如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为若四面体外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，的平分线与BC交于点E，且．求及AC；若，求四边形ABCD周长的最大值．18.红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数个和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．2564616842268870308表中；；；；根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；根据中所选择的模型，求出y关于x的回归方程系数精确到，并求温度为时，产卵数y的预报值．参考数据：，，，附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，，，，三角形SAB是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．求证：平面平面SEF；若，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．20.已知函数，其中e是自然对数的底数．若，证明：；若时，都有，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N．求四边形MPNQ面积的取值范围；记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线：为参数，曲线：为参数，且，点P为曲线与的公共点．求动点P的轨迹方程；在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，求动点P到直线l的距离的取值范围．23.已知a，b，c都为正实数，且证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由集合1，，所以1，．故选：A．求出集合A，由此能求出．本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：展开式的通项公式为，令，得展开式中的系数为．故选：A．根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中的系数．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4.答案：D解析：解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A 错误对于B：前5天的增长比例极差约为，后5天增长比例极差约为，故B错误；对于C：由折线图很明显，的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．根据图象逐一进行分析即可本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5.答案：C解析：解：由题．故选：C．利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：，若函数，且的值域为，，当时，数，为减函数，当时，数，为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A根据指数函数的图象和性质求出，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键．7.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．由椭圆的定义可得，，即可得出答案．【解答】解：椭圆C：，椭圆的焦点在x轴上，则由椭圆的定义可得，的周长，解得，故选B．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，得，不满足，，得，不满足，，得，不满足，，得，此时，满足，退出循环，输出a的值为23．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9.答案：D解析：【分析】连结BD，，可得，得到平面，判定A正确；证明平面，得，结合，得，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与所成角判断D错误．本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．【解答】解：如图，连结BD，，由M，N分别为AC，的中点，知，而平面，平面，平面，故A正确；在正方体中，平面，则，，，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于与平面ABCD所成角等于，故C正确；而为异面直线MN与所成角，应为，故D错误．故选：D．10.答案：D解析：解：因为OF为直径，点M在圆上，所以又，由圆的对称性，有，所以．由渐近线斜率，所以离心率为．故选：D．画出图形，结合圆的对称性，求出然后求解双曲线的离心率即可．本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11.答案：B解析：解：由，则，，当时，．故选：B．直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12.答案：B解析：解：在平面直角坐标系中作出函数的图象如图所示．令，得，则或．当时，显然存在2个零点，；当时，存在1个零点故函数的零点个数为3．故选：B．先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，13.答案：解析：解：，且，与的夹角为．故答案为：．根据向量的坐标即可得出，和的值，从而可得出，从而可得出夹角的大小．本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.答案：丁解析：解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件，所以被选派参加志愿者服务的是丁，故答案为：丁．逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可．本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15.答案：解析：解：数列中，，且对于任意正整数m，n都有，令，得，则是首项和公比均为2的等比数列，则．故答案为：．利用数列的递推关系式，通过，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．本小题主要考查数列以及前n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16.答案：2解析：解：依题意，折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，内切球半径为r，则，；记四面体内切球球心为O，如图2，则，即，即，所以；又，即，所以．故答案为：2．画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．17.答案：解：在中，由正弦定理得：．又，则，于是，所以，．所以．在中，根据余弦定理得，所以．令，，在中，根据余弦定理得，即有，即，所以，当且仅当时，“”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为．解析：在中，由正弦定理可求的值，又，可求，利用三角形的内角和定理可求的值，进而可求的值，可得，在中，根据余弦定理即可解得AC的值．令，，在中，根据余弦定理，基本不等式可求，即可求解四边形ABCD周长的最大值．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18.答案：解：应该选择模型．由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适．令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，，，则z关于x的线性回归方程为．于是有，产卵数y关于温度x的回归方程为．当时，个．在气温在时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．解析：由模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，由已知数据求得与的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取求得y值得结论．本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19.答案：证明：平面平面ABCD，平面平面，平面SAB，，平面ABCD．又平面ABCD，．连接BD，，F分别为AB，AD的中点，．，．又，，，得．又，．又，平面SEF．又平面SCD，平面平面SEF；解：过E作，则ES，EF，EN两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系．在中，求得，，．则0，，，，，．故，，．设平面SCD的法向量为，由，可取．则．故SF与平面SCD所成角的正弦值为．解析：由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面ABCD，进一步得到连接BD，得再证明，结合，得再由直线与平面垂直的判定可得平面进一步得到平面平面SEF；过E作，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题．20.答案：解：若，则，所以，当时，；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在时取得极小值，也是最小值．所以．令，则原问题转化为在上恒成立．由，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，当时，，所以在上单调递增，所以，即，满足题意．当时，因为在上单调递增，所以，所以存在，使得当时，，在上单调递减，此时，这与在上恒成立矛盾．综上所述，，故实数a的取值范围是．解析：若，则，所以，再利用导函数的正负性与函数的单调性之间的联系即可得的单调性，从而确定，而，进而得证；构造函数，则原问题转化为在上恒成立，然后求导，令，再求导，从而可确定在上单调递增，由于，于是分和两种情形，讨论函数的单调性，以便求证与0的关系．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于0．设：，，，则：．因为联立直线与抛物线的方程，有，其中，由韦达定理，有．由上可得，同理，则四边形MPNQ面积．令则．所以，当且仅当，即时，S取得最小值12，且当时，．故四边形MPNQ面积的范围是．由有，，所以PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为．于是，直线EF的斜率为，则直线EF的方程为：，所以直线EF恒过定点．解析：两直线，的斜率一定存在，且不等于设：，，，则：联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．由求出PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为求出直线EF的斜率，得到直线EF的方程，即可求解直线EF恒过的定点．本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．22.答案：解：设点P的坐标为．因为点P为曲线与的公共点，所以点P同时满足曲线与的方程．曲线消去参数可得，曲线消去参数可得．由，所以．所以点P的轨迹方程为．由已知，直线l的极坐标方程，根据，可化为直角坐标方程：．因为P的轨迹为圆去掉两点，圆心O到直线l的距离为，所以点P到直线l的距离的取值范围为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：当且仅当取“”．所以；由a，b，c都为正实数，且，可得当且仅当取“”．则．解析：由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；将代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。

2020高考文科数学二轮提分广西等课标3卷专用题型练：8 大题专项6

-
1)��
-
��
(2)易知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=
��
.
1
设 h(x)=2ax2-(a-1)x-ln x,则原命题等价于函数 h(x)有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围.
1 ��2 - (�� - 1)�� - 1 = (�� + 1)(�� - 1)
3
3
∴m(x)在区间(0,��2)内单调递减,在区间(��2,+∞)内单调递增.
31
∴m(x)min=m(��2)=-2��3.
1
1
∴2a≤-2��3,即 a≤-e-3,
故实数 a 的取值范围是(-∞,-e-3].
1��2
2
-
(��
解得 a<-1,舍去.
2
③当 a≤0 时,x∈(0,1),g'(x)<0,即 g(x)单调递减;又 g(0)=3>0,因此要使函数 g(x)在区间(0,1)内有零点, 必有 g(1)<0,解得 a<-1 满足条件.
综上可得,a 的取值范围是(-∞,-1).
4.(1)解由已知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
因为 x=2 是 f(x)的极值点,所以 f'(2)=4-2+a=0,解得 a=-2.
11
2
(2)因为 g(x)=3x3-2(1+a)x2+ax+3,所以 g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).

适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学二轮总复习题型专项练3客观题8+4+4标准练C

题型专项练3 客观题8+4+4标准练(C)一、单项选择题1.复数z=的虚部为()A.-iB.iC.-D.2.已知集合M={x|lg(x-1)≤0},N={x||x|<2},则M∪N=()A.⌀B.(1,2)C.(-2,2]D.{-1,0,1,2}3.(2024·湖南岳阳二模)某学校为落实“双减”政策,在课后服务时间开设了“球类”“棋类”“书法”“绘画”“舞蹈”五项活动.若甲同学打算从这五项活动中随机选三项,则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为()A.0.9B.0.7C.0.6D.0.34.若向量a,b满意|a|=2,|b|=,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为()A. B. C. D.5.(2024·山东聊城一模)“绿色出行,低碳环保”已成为新的时尚.近几年国家相继出台了一系列的环保政策,在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间安排表,为新能源汽车行业的发绽开拓了广袤的前景.新能源汽车主要指电动力汽车,其能量来源于蓄电池.已知蓄电池的容量C(单位:A·h)、放电时间t(单位:h)、放电电流I(单位:A)三者之间满意关系C=·t.假设某款电动汽车的蓄电池容量为3 074 A·h,正常行驶时放电电流为15 A,那么该汽车能持续行驶的时间大约为(参考数据:6×1≈3 074)()A.60 hB.45 hC.30 hD.15 h6.(2024·新高考Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB的两倍,则m=()A. B. C.- D.-7.(2024·山东青岛一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x 与C的左、右两支分别交于A,B两点,若四边形AF1BF2为矩形,则C的离心率为()A. B.3C.+1D.+18.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,随意x1,x2∈[3,+∞)满意>0,则不等式f(3x-1)<4的解集为()A. B.∪(2,+∞)C.(2,3)D.二、多项选择题9.已知函数f(x)=cos,则()A.2π为f(x)的一个周期B.f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x)在区间内单调递减D.f(x+π)的一个零点为10.(2024·新高考Ⅱ,9)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则()A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为4πC.AC=2D.△PAC的面积为11.已知ln x>ln y>0,则下列结论正确的是()A. B.C.log y x>log x yD.x2+>812.如图,在数表中,第1行是从1起先的正奇数,从第2行起先每个数是它肩上两个数之和,则下列说法正确的是()1 3 5 7 9 11…4 8121620…12202836……A.第6行第1个数为192B.第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列C.第10行前10个数的和为95×29D.数表中第2 021行第2 021个数为6 061×22 020三、填空题13.(2024·新高考Ⅱ,13)已知随机变量X听从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .14.已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且四边形ABCD 为正方形,则|m-n|的值为.15.如图,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕点O转动,长杆MN通过点N处的铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内作往复移动时,带动点N绕点O转动,点M也随之运动.记点N的运动轨迹为C1,点M的运动轨迹为C2.若ON=DN =1,MN=3,过轨迹C2上的点P向轨迹C1作切线,则切线长的最大值为.16.阿基米德在他的著作《论球和圆柱》中,证明白数学史上闻名的圆柱容球定理:圆柱的内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.可证明该定理推广到圆锥容球也正确,即圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比,则该比值的最大值为.题型专项练3客观题8+4+4标准练(C)一、单项选择题1.C解析因为z=i,所以复数z的虚部为-2.C解析依据题意,由lg(x-1)≤0,得0<x-1≤1,即1<x≤2,则集合M={x|lg(x-1)≤0}={x|1<x≤2}.由|x|<2,得-2<x<2,则N={x||x|<2}={x|-2<x<2}.故M∪N={x|-2<x≤2}=(-2,2].3.B解析随机试验从五项活动中随机选三项的样本空间共有个样本点,“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中分两种状况:①都没有被选中,有种状况;②两项活动只有一项被选中,有种状况,则所求概率为P==0.7.4.D解析由已知得(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=0,|a|=2,|b|=,则2cos<a,b>-1=0,故cos<a,b>=5.C解析由题意知C=t,当C=3074,I=15时,3074=1t,∴t=又6×13074,∴t==3×1=3×1=30.6.C解析如图所示,椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),设点F1,F2到直线y=x+m的距离分别为d1,d2,由点到直线的距离公式可知d1=,d2=由消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.∵y=x+m与椭圆C交于A,B两点,∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2<m<2.∵△F1AB的面积是△F2AB的两倍,∴有|AB|·d1=2|AB|·d2,即d1=2d2,=2,两边平方整理,得3m2+10m+6=0,解得m=-或m=-3又-2<m<2,∴m=-故选C.7.C解析明显直线y=x与F1F2交于原点O,由双曲线对称性知,若四边形AF1BF2是矩形,则|AB|=|F1F2|.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,而F1(-c,0),F2(c,0),由得(b2-3a2)x2=a2b2,解得x1=-,x2=,则|AB|=|x1-x2|=,则=2c,化简得b4-6a2b2-3a4=0,即()2-6-3=0,>0,解得=3+2,则e=+1.8.D解析因为f(x+3)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=3对称,所以f(5)=f(1)=4.因为随意x1,x2∈[3,+∞)满意>0,所以f(x)在区间[3,+∞)内单调递增,在区间(-∞,3)内单调递减,所以f(3x-1)<4等价于1<3x-1<5,解得<x<2.二、多项选择题9.AD解析函数f(x)=cos的最小正周期为2π,故A正确;由x+=kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,无论k取何值,x,故B错误;函数f(x)=cos在区间内单调递减,在区间内单调递增,故C错误;∵f(x+π)=cos,∴f=cos()=cos=0,故D正确.10.AC解析由题意,可得PO⊥平面AOC,∠APO=APB=60°,所以PO=PA cos∠APO=1,AO=PA sin∠APO=如图,取AC的中点D,连接PD,OD,则PD⊥AC,OD⊥AC,所以∠PDO即为二面角P-AC-O的平面角,所以∠PDO=45°.因为OD⊂平面AOC,PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO为等腰直角三角形,所以OD=PO=1,PD=对于A,圆锥的体积V=()2×1=π,故A正确;对于B,圆锥的侧面积S=π2=2,故B不正确;对于C,AC=2=2,故C正确;对于D,S△PAC=AC×PD=2=2,故D不正确.故选AC.11.ACD解析因为ln x>ln y>0,所以x>y>1,所以,所以A正确;因为x>y>1,所以,所以B错误;因为x>y>1,所以log y x>log y y=1,log x y<log x x=1,所以log y x>log x y,所以C正确;因为x>y>1,所以0<y(x-y),所以x2+x2+8,当且仅当x=2,y=1时,等号成立,又y>1,所以x2+>8,所以D正确.12.ABD解析数表中,每行是等差数列,且第1行的首项是1,公差为2,第2行的首项是4,公差为4,第3行的首项是12,公差为8……每行的第1个数满意a n=n×2n-1,每行的公差构成一个以2为首项,2为公比的等比数列,公差满意d n=2n.对于选项A,第6行第1个数为a6=6×26-1=192,故A正确;对于选项B,第10行的数从左到右构成公差为d10=210的等差数列,故B正确;对于选项C,第10行第1个数为a10=10×210-1=10×29,公差为210,所以前10个数的和为10×10×29+210=190×29,故C 错误;对于选项D,数表中第2024行第1个数为a2024=2024×22024-1=2024×22024,第2024行的公差为22024,故数表中第2024行第2024个数为2024×22024+(2024-1)×22024=6061×22024,故D正确.三、填空题13.0.14解析因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.14.2解析由题意知l1∥l2,若四边形ABCD为正方形,则正方形的边长等于直线l1,l2之间的距离d,d=,设圆C的半径为r,由正方形的性质知d=r=2,即=2,故|m-n|=215解析以滑槽AB所在直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.因为|ON|=1,所以点N的运动轨迹C1是以O为圆心,半径为1的圆,其方程为x2+y2=1.设点N的坐标为(cosθ,sinθ),由于|ON|=|DN|=1,易得D(2cosθ,0),由|MN|=3,得=3,设M(x,y),则(x-cosθ,y-sinθ)=3(cosθ,-sinθ),可得M(4cosθ,-2sinθ),所以点M的运动轨迹C2是椭圆,其方程为=1.设轨迹C2上的点P(4cosα,2sinα),则|OP|2=16cos2α+4sin2α=4+12cos2α≤16,故切线长为,即切线长的最大值为16解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥内切球的半径为R,作出圆锥的轴截面如图所示.设∠OBC=θ,∵tanθ=,∴r=∵OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠DBE+∠DOE=π,又∠AOD+∠DOE=π,∴∠AOD=∠DBE=2θ,∴AD=R tan2θ,∴l+r=AD+BD+r=AD+2r=R tan2θ+又圆锥表面积S1=πr(l+r),圆锥内切球的表面积S2=4πR2,故所求比值为=2tan2θ(1-tan2θ).令t=tan2θ>0,则=2t(1-t)=-2t2+2t,故当t=时,取得最大值。

(广西课标版)2020版高考数学二轮复习专题能力训练2不等式、线性规划文

专题能力训练2 不等式、线性规划一、能力突破训练1.已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y32.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)>0的解集为()A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0,或x>4}D.{x|0<x<4}3.(2019重庆二诊,2)已知集合M={x|y=log2(-4x-x2)},N=,则M∩N=()A.(-4,-2]B.[-2,0)C.(-4,2]D.(-∞,-4)4.(2019山东济宁一模,3)若变量x,y满足则z=2x+y的最大值是()A.-B.1C.2D.5.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是()A.-∞ -∞B.-C.-∞ -∞D.-6.已知不等式组表示的平面区域的面积为2,则的最小值为()A. B. C.2 D.47.已知x,y满足约束条件-使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A.-3B.3C.-1D.18.(2019安徽皖南八校第三次联考,8)已知x,y满足约束条件--若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为()A.2B.3C.4D.59.(2019河北衡水第三次质检,14)若实数x,y满足约束条件--则z=ln y-ln x的最小值是.10.(2019全国Ⅱ,文13)若变量x,y满足约束条件---则z=3x-y的最大值是.11.当实数x,y满足---时 ≤ax+y≤ 恒成立,则实数a的取值范围是.12.设不等式组---表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.二、思维提升训练13.若平面区域----夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.14.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为()A.B.C.D.15.设x,y满足约束条件---若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为.16.若x,y满足x+ ≤y≤ x,则2y-x的最小值是.17.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.18.已知存在实数x,y满足约束条件----则R的最小值是.专题能力训练2不等式、线性规划一、能力突破训练1.D解析由a x<a y(0<a<1)知,x>y,则x3>y3,故选D.2.C解析∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,∴a>0.由f(2-x)>0,得a(x-2)2-4a>0,∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.3.A解析由题意,得M={x|-4x-x2>0}=(-4,0),N==(-∞,-2],则M∩N=(-4,-2].4. D解析作出可行域如图所示,z=2x+y可化为y=-2x+z.由图可知,当直线y=-2x+z与圆相切于点A时,直线在y轴上的截距最大,即z最大,此时=1,解得z=(负值舍去).5.A解析由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0.∵f(x)>0解集是(-1,3),-∴a<0,且解得a=-1或a=,--∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3.由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,解得x>或x<-,故选A.6.B解析画出不等式组表示的区域,由区域面积为2,可得m=0.而=1+表示可行域内任意一点与点(-1,-1)连线的斜率,所以的最小值为----.故的最小值是.7.D解析如图,作出可行域如图阴影部分所示,作直线l0:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l0向右上方平移后与直线x+y=5重合,即a=1.故选D.8.D解析画出x,y满足的可行域如图所示,z=3x+y变形为y=-3x+z,数形结合可得在点A处z取得最小值-5,在点B处取得最大值,由--得A(-2,1).代入x+y+a=0,得a=1.由-得(3,-4).当y=-3x+z过点B(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为z max=3×3+(-4)=5.9.-ln 3解析作出可行域如图所示,联立解得B(3,1).∵目标函数z=ln y-ln x=ln,的最小值为k OB=,∴z=ln y-ln x的最小值是-ln3.10.9解析画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.11.解析画出可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使 ≤z≤ 恒成立,则a>0,数形结合知,满足即可,解得 ≤a≤.故a的取值范围是 ≤a≤.12.1<a≤ 解析作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=a x的图象,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3, 而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,则a的取值范围是1<a≤ .二、思维提升训练13.B解析画出平面区域----如图阴影部分所示.∵两平行直线的斜率为1,∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直, ∴两平行线间的最短距离是AB的长度.由--得A(1,2).由---得B(2,1).∴|AB|=--,故选B.14.A解析原不等式可化为(a-1)x-+2ay≥ 两边同除以y,得(a-1)+2a≥ 令t=,则(a-1)t2-t+2a≥ 由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)·2a≤ 解得a≥,a min=,故选A. 15.2解析画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-x+,由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥ ,即ab≤ 当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.16.3解析由x,y满足x+ ≤y≤ x,得即作出不等式组对应的可行域,如图阴影部分所示.由得A(1,2).令z=2y-x,即y=x+z.平移直线y=x,当直线过点A(1,2)时,z最小,∴z min=2×2-1=3.17.4解析∵a,b∈R,且ab>0,∴=4ab+≥ 当且仅当即时取等号.18.2解析根据前三个约束条件-作出可行域如图中阴影部分所示.因为存在实数x,y--满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,所以当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

题型练8 大题专项(六)函数与导数综合问题1.已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.2.设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.3.(2019贵州遵义模拟,20)设函数f(x)=x3-x2+ax,a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;(2)已知函数g(x)=f(x)-ax2+,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=-2x ln x+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.5.(2019江西吉安一中等八校联考,21)已知函数f(x)=ax-a+1-.(1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.6.(2019北京,文20)已知函数f(x)=x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-a e x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)内单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增.③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln-.当x∈-∞, -时,f'(x)<0;当x∈-,∞时,f'(x)>0.故f(x)在区间-∞, -内单调递减,在区间-,∞内单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤ 时,f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln-时,f(x)取得最小值,最小值为f-=a2--.从而当且仅当a2--≥0,即a≥-2时f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2,1].2.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x.若a>1,则当x∈, 时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤ ,则当x∈(0,1)时,ax- ≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)e x.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2e x≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不符合题意.②当x1>x2,即0<a<1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,1) 1 ,,∞∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.③当x1<x2,即a>1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).3.解(1)因为f(x)=x3-x2+ax,a∈R,所以f'(x)=x2-x+a.因为x=2是f(x)的极值点,所以f'(2)=4-2+a=0,解得a=-2.(2)因为g(x)=x3-(1+a)x2+ax+,所以g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).①当a≥ 时,x∈(0,1),g'(x)>0恒成立,即g(x)单调递增.又g(0)=>0,因此函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.②当0<a<1时,x∈(0,a),g'(x)>0,即g(x)单调递增;x∈(a,1),g'(x)<0,即g(x)单调递减.又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,所以(1+a)+a+<0.解得a<-1,舍去.③当a≤0时,x∈(0,1),g'(x)<0,即g(x)单调递减;又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,解得a<-1满足条件.综上可得,a的取值范围是(-∞,-1).4.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-1-ln x-a),所以g'(x)=2-- ).当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令φ(x)=-2x ln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2x ln x,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x≥ ).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.再由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2x ln x>0.故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.5.解(1)∵f(x)=ax-a+1-,∴f'(x)=a--.∵函数f(x)为减函数,∴f'(x)≤0,即a≤-对x∈(0,+∞)恒成立.设m(x)=-,则m'(x)=-.∴m(x)在区间(0,)内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增.∴m(x)min=m()=-.∴a≤-,即a≤-e-3,故实数a的取值范围是(-∞,-e-3].(2)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=-- )-.设h(x)=ax2-(a-1)x-ln x,则原命题等价于函数h(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.可知h'(x)=ax-(a-1)-=-- )- ) - ),∴当a≥0时,函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,∴若函数h(x)有两个不同的零点,则必有h(1)=-a+1<0,即a>2.此时,在x∈(1,+∞)内,有h(2)=2a-2(a-1)-ln2=2-ln2>0;在x∈(0,1)内,∵h(x)=a(x2-2x)+x-ln x,∵-1<x2-2x<0,∴h(x)>-a+x-ln x,∴h(-)>-a+--ln(-)=->0,∴h(x)在区间(0,1),(1,+∞)内各有一个零点,故a>2符合题意;当a=-1时,可知函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当-1<a<0时,可知函数h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间 ,-内单调递增,在区间-,∞内单调递减,∴函数h(x)的极小值为h(1)=-a+1>0,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意;当a<-1时,可知函数h(x)在区间0,-内单调递减,在区间-, 内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,∴函数h(x)的极小值为h-(a-1)-ln-=1-+ln(-a)>0,∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(2,+∞).6.(1)解由f(x)=x3-x2+x得f'(x)=x2-2x+1.令f'(x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=.又f(0)=0,f,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-6 .(2)证明令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].由g(x)=x3-x2得g'(x)=x2-2x,令g'(x)=0得x=0或x=.g'(x),g(x)的情况如下:所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知,当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3; 当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.。