(浙江版)2018年高考数学复习：专题2.6 指数与指数函数(测)

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2018届高三数学文一轮复习课件：2-6 指数与指数函数精品

微知识❷ 有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：a n ＝
n am
(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)；
1
1
②负分数指数幂：a－
m n
＝
m
an
＝
n am
(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)。
③0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂无意义。
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)；
A．{x|x＜－2 或 x＞4}
B．{x|x＜0 或 x＞4}
C．{x|x＜0 或 x＞6}
D．{x|x＜－2 或 x＞2}
解析：f(x)为偶函数，当 x＜0 时， f(x)＝f(－x)＝2－x－4。
2x－4，x≥0，所以 f(x)＝2－x－4，x＜0，当 f(x－2)＞0 时，
x－2≥0，
x－2＜0，
③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)。
微知识❸ 指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域值域
性质
R
(0，＋∞)
(1)过定点 (0,1)
(2)当 x＞0 时， y＞1 ；x (2)当 x＞0 时，0＜y＜1 ；
＜0 时， 0＜y＜1
x＜0 时， y＞1
(3)在 R 上是增函数 (3)在 R 上是减函数
(3)∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3， ∴0＜23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x＜8， ∴函数 y＝8－23－x 的值域为[0,8)。
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(浙江专用)备战高考数学考点一遍过考点06 指数与指数函数(含解析)-人教版高三全册数学试题

考点06指数与指数函数1．了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算.2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用3．了解指数函数的变化特征.4．能将一些简单的实际问题转化为指数函数问题，并给予解决.一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质： ①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x的系数是1.2．指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象与性质指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b .①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的X围不确定，则需对a 进行讨论．求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一实数指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值：（1）)2934-⨯；（211113342a b a b -⎛⎫⎪⎝⎭【答案】（1）12；（2）ab. 【解析】（1）)92292334310343221255252----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．1．121121332a b a b ---⎛⎫⎪=___________________．考向二指数函数的图象及应用（1）变换作图指数函数y =a x (a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y =f (x )沿x 轴、y 轴的变换为“上加下减，左加右减”．（2）数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数函数图象数形结合求解.典例2 函数y =a x－a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0，所以y =a x－a 的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.2．函数()(01)x x f x a a x=<<的大致图象是A ．B ．C ．D ．考向三指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值X 围，并在必要时进行分类讨论．典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >.从而bc a <<.故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．设0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<典例4 设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值X 围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞【答案】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1()712a -<，即1()82a <，解得30a -<<；当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值X 围是(3,1)-，故选C ．【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当0a <及0a ≥时，a 的取值X 围，最后综合即可得出结果．4．若221m n>>，则 A ．11m n >B ．1122log log m n > C ．()ln 0m n ->D ．π1m n->考向四指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或X 围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值X围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5 函数()2e 1ex xf x +=的图象 A ．关于原点对称 B ．关于直线y =x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】D【解析】∵()2e 11e e e x x x x f x +==+，∴()11e e ()e ex xx xf x f x ---=+=+=，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．若函数()2(0x mf x a n a +=⨯->，且1)a ≠的图象恒过点()1,4-，则m n +=A ．3B ．1C ．1-D ．2-典例6 2221()2x x y -+=的值域是A ．1(,)2-∞ B ．(0,)+∞C ．1(0,]2D ．[4,)+∞【答案】C【解析】易知函数2221()2x x y -+=的定义域为R .令t =x 2－2x ＋2，则y =1()2t.又t =x 2－2x ＋2=(x －1)2＋1，x ∈R ，∴当x =1时，t min =1，无最大值． ∴t ≥1， ∴0＜y ≤(12)1，故所求函数的值域为1(0,]2．6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值X 围为 A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞1．计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x +2．若函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则函数()f x 的值域是A ．(),2-∞B ．[)0,+∞ C ．()(),00,2-∞D ．(],2-∞ 3．函数()2ex x f x -=的图象是A ．B ．C ．D ．4．已知实数a ，b 满足等式2017a ＝2018b，下列关系式不可能成立的是 A ．0＜a ＜b B ．a ＜b ＜0 C ．o ＜b ＜a D ．a ＝b5．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12B ．13 C ．14D ．236．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(-B ．)21,21(- C ．)2,2(-D ．)1,1(- 7．设函数()2af x x-=与()(1xg x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N <D ．M N >8．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值X 围是A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,79．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(-B ．)21,21(- C ．)2,2(-D ．)1,1(-10．已知14742a b c ===，则111a b c-+=__________． 11．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________．12．已知函数()x f x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．13．已知函数1()934x x f x m +=-⋅-.（1）若1m =，求方程()0f x =的根；（2）若对任意[]1,1x ∈-，()8f x ≥-恒成立，求m 的取值X 围.14．设函数()42,xa xf x a a +=--∈R ．（1）当2a =时，解不等式：()30f x >；（2）当()1,1x ∈-时，()f x 存在最小值2-，求a 的值．1．（2019年高考某某）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是2．（2019年高考全国Ⅰ卷文、理数）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）6．（2019年高考某某文数）已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（2016年高考某某卷文科）已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A ．若()f a b ≤，则a b ≤B ．若()2bf a ≤，则a b ≤ C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2bf a ≥，则a b ≥8．（2018年高考新课标I 卷文科）设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值X 围是A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-，D ．()0-∞，9．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =D ．A B =∅10．（2017年高考卷理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数11．(2016年高考新课标Ⅲ卷文、理科)已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <-f f a ，则a 的取值X 围是A ．)21,(-∞B ．),23()21,(+∞-∞C ．)23,21(D ．),23(+∞13．（2015年高考某某卷文科）若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值X 围为A ．( −∞,−1)B ．( −1，0)C ．(0,1)D ．(1,)+∞14．（2017年高考新课标Ⅲ卷文、理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值X围是.15．（2015年高考某某卷理科）已知函数()(01)xf x a b a a =+>≠,的定义域和值域都是]0,1[-，则b a +=.1．【答案】1a【解析】1211212133211111551151323322366221661515156666661a b a b a b a b a b a b a a a a b a b a b ---⎛⎫⨯---+-- ⎪⎝⎭---⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅======⋅⋅⋅. 故填1a. 【名师点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题. 2．【答案】A【解析】当x ＞0时，y ＝a x ，因为01a <<，所以函数y ＝a x单调递减，当x ＜0时，y ＝﹣a x，因为01a <<，所以函数y ＝﹣a x单调递增，故选：A ．【名师点睛】本题考查了函数图象和识别，关键掌握函数的单调性，属于基础题. 3．【答案】B【解析】由0.6xy =的单调性可知： 1.50.600.60.60.61<<= 又0.601.5 1.51>=，c a b ∴>>，故选B.【名师点睛】本题考查与指数函数有关的大小比较问题，关键是利用指数函数单调性来确定所求数字的大致X 围，从而可判断出结果. 4．【答案】D【解析】因为221m n>>，所以由指数函数的单调性可得m n >，因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断π1m n ->正确，故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 5．【答案】C【解析】由题意，函数()2(0x mf x an a +=⨯->，且1)a ≠的图象恒过点()1,4-，所以10m -=，且124m a n -⋅-=，解得1m =，2n =-，1m n ∴+=-，故选：C ．【名师点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．【答案】B【解析】由题得1222x x a <⋅-在（0,1）上恒成立，设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=，故选B ．1．【答案】D【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.2．【答案】A【解析】因为1x <时，22x <；1x ≥时，2log 0x -≤，所以函数()f x 的值域是(),2-∞. 故选A ． 3．【答案】A【解析】由()2ex x f x -=，可得()01f =，排除选项C,D ；由指数函数图象的性质可得()0f x >恒成立，排除选项B ，故选A.【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．【答案】A【解析】分别画出2017xy =，2018xy =，实数a ，b 满足等式20172018a b =，可得：0a b >>，0a b <<，0a b ==，而0a b <<不成立，故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．【答案】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，），则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--＝故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<；又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2xf x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<，所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<，故选D ．7．【答案】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >，所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >，故选D ．8．【答案】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=．结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222a b +=；二是根据图象判断出c 的取值X 围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的X 围． 9．【答案】D【解析】由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<；又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2xf x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<，所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<. 故选D ． 10．【答案】3【解析】由题设可得111214,27,24abc===，则1121472a b -=÷=，即111113222422a b a b c --+=⇒=⨯=，即1113a b c-+=，故答案为3. 11．【答案】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即b a -=，∴0a b +=．在13ax b y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故答案为()1,3． 12．【答案】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1, −1)和点(0,0)，所以1010a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解；当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0, −1)，所以1001a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以4b a =．13．【答案】（1）3log 4x =；（2）4(,]3-∞.【解析】（1）1m =时，12()934(3)3340xx x x f x +=--=-⋅-=，可得(34)(31)0xx-+=，30x >，34x ∴=，解得3log 4x =.（2）令3x t =，[]1,1x ∈-，1[,3]3t ∴∈.由()8f x ≥-，可得2348t mt --≥-，43m t t ≤+对1[,3]3t ∈恒成立，44t t +≥=，当且仅当4t t=，即2t =时，4t t +取得最小值为4，34m ∴≤，故43m ≤，m ∴的取值X 围为4(,]3-∞.14．【答案】（1）{}|3x x >；（2）1.【解析】设2x=t （t ＞0），则22ay t t a =--，（1）当2a =时，2()304320f x y t t >⇔=-->，即4t <-或8t ， ∵t ＞0，∴2x ＞8，即x ＞3， ∴不等式的解集是：{x |x ＞3}．（2）当(1,1)x ∈-时，必有对称轴101222a t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，即0＜a ＜2，最小值为()24(2)24a a m ---==-，化简得2222a a -+=，由于关于a 的函数222a a -+单调递增，故最多有一个实根，而当1a =时2222a a -+=，所以a 的值为1．1．【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值X 围，认识函数的单调性. 2．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 3．【答案】A【解析】因为551log 2log 2a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5c <=<，即112c <<，所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 4．【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 5．【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 6．【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A.【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 7．【答案】B【解析】由已知可设2(0)()2(0)x x x f x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则2(0)()2(0)aa a f a a -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，因为()f x 为偶函数，所以只考虑0a ≥的情况即可．若()2bf a ≤，则22a b ≤，所以a b ≤．故选B ．【思路点睛】先由已知条件可得()f x 的解析式，再由()f x 的解析式判断()f x 的奇偶性，进而对选项逐个进行排除． 8．【答案】D【解析】将函数()f x 的图象画出来，观察图象可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值X 围是()0-∞，，故选D ．【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果. 9．【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}AB x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.10．【答案】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数. 11．【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决． 12．【答案】C【解析】由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<，故选C 【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 13．【答案】C【解析】由题意()()f x f x =--，即2121,22x x x x a a --++=---所以(1)(21)0,1xa a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得122,01,x x <<<<故选C.14．【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值X 围是1(,)4-+∞. 15．【答案】23-【解析】当01a <<时，函数()(01)xf x a b a a =+>≠,是减函数，在定义域]0,1[-上，值域为11,b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，所以1110b b a +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，则()13=2=22a b ++--；当1a >时，函数()(01)x f x a b a a =+>≠,是增函数，在定义域]0,1[-上，值域为11b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，所以1011b b a+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，此方程组无解.综上，得3=2a b +-.。

(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题2.4指数与指数函数(讲)(含解析)

第04讲指数与指数函数---讲1. 认识指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。

2．理解指数函数的看法，掌握指数函数的图象、性质及应用. 3. 认识指数函数的变化特色. 4. 高考展望：（ 1）指数幂的运算；（ 2）指数函数的图象和性质的应用；（ 3）与指数函数相关，观察视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等 5. 备考要点：（ 1）有理指数幂的运算；（ 2）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（ 3）图象过定点；（ 4）底数分类谈论问题. 知识点1．根式和分数指数幂 1. 根式n(1) 看法：式子a 叫做根式，此中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2) 性质：(n a )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝a ，a ≥0，－ a ，a <0.2. 分数指数幂mn a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是(1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是a ＝nm1 ∈N *，且a －＝ ( a>0，， >1)；0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数幂没有意义.nn a m mnn(2) 有理指数幂的运算性质：rs＝r＋s；(r )s＝rs；( )r ＝ rr ，此中a >0， >0，， ∈Q.aaaa a ab ab b r s【典例1】计算：．【答案】1.2【分析】分析：直接利用指数幂的运算法规求解即可,求解过程注意防备计算错误. 详解：．【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后序次．1123 3723【变式1】计算：＋84×42－＝________.×263【答案】21 312 12 33【分析】原式＝.3 ×1＋24×24－23知识点2．指数函数的图象和性质(1)看法：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，此中指数 x 是变量，函数的定义域是 R ，a 是底数.(2) 指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 R值域(0，＋∞)过定点(0，1)，即＝0时， y ＝1x性质当x >0时，y >1；当x <0时，y >1；当 x <0时，0<<1当 x >0时，0<y <1y在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【典例2】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（）．A．B．C．D．【答案】D 【分析】∵a 0 ，∴10，∴函数ya x需向下平移1个单位，但是（0,1）点，因此消除A，a a当a 1时，∴0 11，因此消除B，a当0 a 1时，∴ 1 1，因此消除C，应选D.a【要点总结】1.关于相关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象下手，经过平移、伸缩、对称变换而获取．特别地，当底数a与1的大小关系不确准时应注意分类谈论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先经过令x＝1获取底数的值再进行比较．3.函数图象的鉴别可从以下方面下手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右地址；从函数的值域，判断图象的上下地址．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋向；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特色点，消除不合要求的图象.【变式2】（2019·安徽高三高考模拟（文））函数的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】，可得f(0)=1,消除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数 f(x)>0恒成立，消除选项B ，应选：A【典例 3】(2019·天津河西区一模 )已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2 －a＜ cac2D ．1＜2＋2 ＜2【答案】D【分析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，以以下图，由于a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，因此必有a ＜0,0 ＜c ＜1，且|2 a －1|＞|2 c －1|，acacac因此1－2＞2－1，则2＋2＜2，且2＋2＞1，应选D.【变式3】（改编自2019·天津河西区一模）直线 y ＝2 a 与函数 y ＝| a x －1|( a＞0且≠1)的图象有两个公a共点，则a 的取值范围是什么？1【答案】(0,)【分析】＝|x－1|的图象是由y ＝ x 先向下平移 1个单位，再将x 轴下方的图象沿 x 轴翻折过来获取的．y a a当a ＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图 (1)；当0＜a ＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a ＜1，获取0＜a ＜1，如图(2)．2综上，a的取值范围是(0,1).2考点1 根式、指数幂的化简与求值3【典例4】化简[3( 5)2]4的结果为（）A．5 B．C．﹣ D ．﹣5【答案】B【分析】，应选B【易错提示】1.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，不然不可以用性质来运算．2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不可以同时含有根式和分数指数幂，也不可以既有分母又有负分数指数幂．2 2【变式4】计算：1.5－1×7 0＋8 0.25×42＋( 32×3) 6－ 3 3 6 3【答案】110【分析】原式＝考点2根式、指数幂的条件求值.【典例5】已知则的值为__________．【答案】【分析】题意，∴，∴，故答案为．【总结提高】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常有题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上掌握已知条件和所求代数式的形式和特色；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：常常经过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上观察整体思想，观察完整平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要擅长应用公式变形．【变式5】已知，求以下各式的值.（1）a1 a1；（2）a2 a2；（3）a2 a2a a1 1 1【答案】【分析】（1）将两边平方得，因此a1 a1 7.（2）将a1 a1 7两边平方得，因此.（3）由（1）（2）可得考点3 指数函数的图象及其应用【典例6】（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数（a 0且a1 ）的图象恒过定点(3,2)，则m n ______．【答案】7【分析】∵函数（a0 且a1 ）的图象恒过定点，令x m 0 ，可得x m，y n2，可得函数的图象经过定点m,n 2 .再依据函数的图象经过定点3,2 ，∴m 3，n 2 2，解得m 3 ，n 4，则m n7，故答案为：7．【总结提高】(1)画指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个要点点(0,1)，(1，a)，(1,1).特别注意，指数a函数的图象过定点（0，1）；(2)y＝a x与y(1)x的图象关于y轴对称；a(3)当a＞1时，指数函数的图象送上升趋向，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈降落趋向；简记：撇增捺减．【变式6】(2019·河北省衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是．【答案】[－1,1]【分析】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象以以下图，由图可知：假如|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．考点4指数函数的性质及其应用【典例7】【2016新课标全国III】已知，，，则A.B.C.D.【答案】A【分析】由于，，因此，应选A．【技巧点拨】1.比较幂值大小时，要注意区分底数同样还是指数同样．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注企图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数挨次变大)．当幂的底数不确准时，要注意谈论底数的不一样取值状况.3.依据指数函数图象判断底数大小的问题，可以经过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)yxxxx＝a，(2)y＝b，(3)y＝c，(4)y＝d的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．【变式7】（2019·安徽高三开学（文））若为自然对数底数，则有（）A．B．C．D．【答案】D【分析】令，则在R上单调递加，又，因此，解，因此，即.应选D【典例8】（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是A．B．C．D．【答案】B【分析】将化为，即，解得，因此，因此函数的值域是.应选 C.【总结提高】1.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必需时进行分类谈论．2.求解与指数函数相关的复合函数问题，第一要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．3. 相关指数方程、不等式问题的求解，常常是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式 8】(2019·辽宁抚顺模拟 )已知函数f (x )，若在其定义域内存在实数 x 满足f (－x )＝－f (x )，则称函数 f ( x )为“局部奇函数”．若函数f (x xx的取)＝4－·2－3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数mm值范围是( )A ．[－3，3)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2 2]D ．[－2 2，3]【答案】B 【分析】依据“局部奇函数”的定义可知，方程f (－x )＝－f (x )有解即可，即－x－x－3＝－(4 x x4 －m ·2－m ·2－3)有解．∴ 4－x ＋4x －m (2－x ＋2x )－6＝0有解，即(2－x ＋2x )2－m (2－x ＋2x )－8＝0有解即可．设t ＝2－x ＋2x ，则t ＝2－x ＋2x ≥2. ∴方程等价为 t 2－－8＝0在t ≥2时有解．mt设g (t )＝t 2－mt －8，∵函数g (t )的图象恒过定点(0，－8)， ∴要使函数g (t )在[2，＋∞)上有解，只需g (2)≤0，即m ≥－2.应选B.。

浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第2章第5讲指数与指数函数含解析

第5讲指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n＝1a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念；函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴a x2＋1≥a.故y＝a x2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)12－1＝8－1＝7.答案 B3.函数y＝a x－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )解析函数y ＝a x－1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D. 答案 D4.(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a 1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)6.(2017·金华模拟)设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案14 215考点一指数幂的运算【例1】化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是()(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]. 答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()(2)方程2x＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1 (2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a 0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0，所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)，故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c的大小关系是( ) A.c <a 1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a 1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.(2017·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a 25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于()A.1B.aC.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.(2017·温州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x >1，则f (f (2))＝________，不等式f (x －3)<f (2)的解集为________. 解析 f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴f (f (2))＝12，当x －3>1时，即x >4时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3－1<12，解得x >5，当x －3≤1时，即x ≤4时，x －3<12，解得x <72，综上所述不等式f (x －3)<f (2)的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5. 答案 12 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5 8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.答案 e三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ).∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1. 答案 D12.已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A.a <0，b <0，c <0B.a <0，b ≥0，c >0C.2－a <2cD.2a ＋2c <2解析作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a f (c )>f (b )，结合图象知a <0，0<c <1，∴0<2a <1，1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.答案 D13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案－2x (x <0)14.已知函数f (x )＝m ·6x －4x ，m ∈R .(1)当m ＝415时，求满足f (x ＋1)>f (x )的实数x 的范围； (2)若f (x )≤9x 对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的范围.解 (1)当m ＝415时，f (x ＋1)>f (x )，则415·6x ＋1－4x ＋1>415·6x －4x ，整理得43·6x >3·4x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得x >2，即实数x 的取值范围是(2，＋∞). (2)因为对任意的x ∈R ，f (x )≤9x 恒成立，则m ·6x －4x ≤9x ，整理得m ≤4x ＋9x 6x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x . 对任意的x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ≥2，则m ≤2，即实数x 的取值范围是(－∞，2]. 15.(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题2.6 指数与指数函数(测)

第06节指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017浙江绍兴一中模拟】函数()||1(01)x f x a a a >≠＋＝，的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意知()3214()1a f a f a >，－＝，＝，由()1t y a a >＝的单调性知32a a >，所以 ()()41f f >－．2.【2017陕西西安调研】若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]【答案】B3.【2017湖南邵阳二联】“1m >”是“函数在区间[)1,+∞无零点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数3在区间[)1,+∞无零点，则故选A.4. 【2017，则,,a b c 的大小关系为A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. c b a << 【答案】D5.【2017北京延庆一模】某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每月都比上月增长，那么个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的A. 倍以上，但不超过倍B. 倍以上，但不超过倍C. 倍以上，但不超过倍D. 倍以上，但不超过倍【答案】D【解析】设第一个月的点击量为1. 则4个月后点击量.该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍。

(浙江专版)高考数学一轮复习专题2.4指数与指数函数(测)

第04节指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》第二套模拟】已知2.10.5a =， 0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】D【解析】因为幂函数 2.1y x= 在定义域内单调递增，所以01c a <<<，由指数函数的性质可得0.5022=1,b c a b =>∴<<，故选D.2.【2018年浙江省温州新力量联盟期中联考】已知，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即，从而求得，利用集合间的关系，确定出p,q 的关系.详解：由得，解得，因为是的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.3.【2018届福建省三明市5月联考】若，则的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先确定a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果.4．【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区二诊】函数的图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为．当时，由题意可得，故可排除B,D；又当时，由于，故，故排除C．选A．5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，的底数相同，故可用函数在R上为减函数，可得.用指数函数的性质可得，进而可得. 详解：因为函数在R上为减函数，且0.2<0.4所以因为.所以.故选A.6．若实数满足,则的大小关系是：A. B. C. D.【答案】D7．为了得到函数的图像，可以把函数的图像（）．A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】分析：函数化成：，利用函数的平移变换可得结果.详解：∵函数化成：，∴可以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故选．点睛：本题主要考查指数的运算以及函数的“平移变换“，属于中档题. 函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.8．已知函数()的图象如左下图所示，则函数的图象是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1，进而结合指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换法则，画出g（x）=a x+b的图象，可得答案．详解：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1，故g（x）=a x+b的图象如下图所示：，选A.点睛：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0＜a＜1，b＜-1，是解答的关键．9．已知函数满足：且．A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】由已知可设，则，因为为偶函数，所以只考虑的情况即可．若，则，所以．故选B．10.【2018届广东省模拟一】设函数()21,2{5,2x x f x x x -≤=-+>，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（）A. ()16,32B. ()18,34C. ()17,35D. ()6,7 【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221ab-=-，则222ab+=．结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．选B ．点睛：解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222ab+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围．二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【山东省烟台市2018年春季高考第一次模拟】化简：__________．【答案】【解析】分析：根据实数指数幂的运算，即可化简得到结果．详解：由实数指数幂的运算可得．12．【2018届湖南省益阳市4月调研】已知函数的图象关于点对称，则__________．【答案】1【解析】由已知，得，，整理得，所以当时，等式成立，即.13.函数（且）的图像必过定点，点的坐标为__________．【答案】.14.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.【答案】()20xx <－【解析】依题意，1(1)2f =，∴12a =， ∴1()()2xf x =，0x >.当0x <时，0x >－. ∴()()12.2xxg x f x -＝－－＝－()＝－15．【2017安徽江淮十校联考】已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e|x－2|}，则f (x )的最小值为________.【答案】e【解析】2,1(),1xx e x f x e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，当1x ≥时，()xf x e e ≥＝ (x ＝1时，取等号)，当1x <时，()||22x x f x e e e >－－＝＝，因此x ＝1时，()f x 有最小值()1f e ＝.16. 记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函，x ∈[]2,a -（0a ≥），其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是_____．【答案】317．【北京海淀清华附中实验班期中】已知函数，给出下列命题：①若，则； ②对于任意的，，，则必有；③若，则；④若对于任意的，，，则，其中所有正确命题的序号是_____．【答案】②④ 【解析】分析：，利用指数函数的性质判断即可.详解：，对于①，当时，，故①错误．对于②，在上单调递减，所以当时，即：，故②正确．对于③表示图像上的点与原点连线的斜率，由的图像可知，当时，，即：，故③错误．对于④，由得图像可知，，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（1）计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭（2）已知()11223a a a R -+=∈，求值：22111a a a a --++++. 【答案】（1）47930；（2）6. 【解析】（1）)213134114790.027256310.3496417330--⎛⎫--+-+=-+-+=⎪⎝⎭；（2）11122223,7,47,a aa a a a ---+=∴+=∴+=22114716171a a a a --+++∴==+++. 19.已知函数，为常数，且函数的图象过点.（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值.【答案】(1) a ＝1;(2) 满足条件的x 的值为－1. 【解析】试题分析：（1）由函数过点,代入表达式可得值；（2）由将两函数表代入,转化为关于的指数型复合方程.利用换元法,将指数型方程化为一元二次方程,解一元二次方程后再解指数方程,可得值.试题解析：（1）由已知得，解得．20.已知函数．（Ⅰ）若，求的值．（Ⅱ）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值．【答案】（1）；（2）实数的值为或.【解析】分析：（Ⅰ）由题可得，解得：或，分类讨论可求得值．（Ⅱ）分和，分别求出函数在上的最大值与最小值，根据题意可求实数的值.详解：（Ⅰ）∵，，∴，解得：或，当时，，，当时，，，故．（Ⅱ）当时，在上单调递增，∴，化简得，解得：（舍去）或．当时，在上单调递减，∴，化简得．解得：（舍去）或．综上，实数的值为或．21.设函数，且，若的图象过点．（1）求的值及的零点．（2）求不等式的解集．【答案】(1);.(2).【解析】分析：（1）直接把点代入函数解析式即可求出a的值；从而求得函数的准确解析式，令，即可求出零点.（2）关于不等式，可化为，由此求出不等式的解集.解析：（1）∵经过点，即，又∵，∴，∴时，解得，零点为．（2）∵即，∴，∴，∴，∴不等式解集为．22．已知函数(其中为常量且且）的图象经过点,.(1)试求的值；(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数(其中为常数且，）的图象经过点,，知，由此能求出；（2）设，则在上是减函数，故当时，，由此能求出实数的取值范围.试题解析：（1）由已知可得且且.（2）解：由（1）可得令，只需，易得在为单调减函数，.。

浙江高考数学一轮复习指数与指数函数课件

2-1 已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象可能是
(A)
解析由题图知0<a<1,又f(0)=a-b>1,所以-b<0,即b>0,由b>0排除B、D.又
由0<a<1,排除C,故选A.
2-2
已知实数a,b满足
1 2
>
1 2
a

>

b
2 2

由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以m的取值范围是(-∞,0].
规律总结 1.研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),

1,
1 a
.

2.与指数函数图象有关的问题,往往利用相应指数函数图象,通过平移、对称变换得到题中所给函数的图象. 3.与指数有关的不等式的求解,往往结合相应图象,利用数形结合求解. 4.指数大小比较,首先将底数化为正数,区分数值的正负,是否大于1(或1),再考虑指数函数的单调性.
3.指数函数的图象与性质
a>1 图象
0<a<1
定义域值域性质
R (0,+∞) 过定点(0,1) 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是单调增函数
当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上是单调减函数
知识拓展
指数函数的变化特征
在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a>1,b> 1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.

高考数学一轮复习(浙江版)专题2.4指数与指数函数(练)含解析

第二章函数第04节指数与指数函数A基础巩固训练：''—，“一]；,则n 一（）A. : -XXB.C. ―D.【答案】D【解析】分析：解一元二次不等式得到集合A,求指数函数的值d或得到集合B,然后再求交集.详解:由题意得卫={x|a3-x-2<0} = {x| -1 <x<2}f B = {yly = 2K) = {yly>0},AnB ={x|0 <x<2] =（0,2）.故选D.Jf Jf2. 【山东省青岛市2018年春季高考二模】已知方程•’的两个根为，小'（）A. B. C. ：i D.【答案】C【解析】分析：先由题得到韦达定理，再求':的值.详解：由题得厂‘一営；故答案为：C3. 【2017广西南宁金伦中学模拟】函数f x =ln 1-5的定义域是（）A. -::,0B. 0,1C. -::,1D. 0,::【答案】A【解析】由1 -5x 0得，x < 0 ,故函数 f x =ln 1-5x的定义域是」：，0，故选A4.若a =40.9,b=80.48,c =14.5丄，则（2)1. 【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区5月训练】已知集合| 一二Q 「m?A. c a bB. b a cC. a b cD. a c b【答案】D［解析】a = 4°9 =21.8,b=80.48 = 21.44,C =21.5所以 a ：>CAb. 5.【2018届浙江省杭州市第二中学仿真】已知 m ■■- ■-,则（）1bA. -- B. :C. I 十、宀n"D.【答案】D【解析】分析：根据指数函数的单调性，即当底数大于 1时单调递增，当底数大于零小于 1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案详解：因为 '1，所以 '-1，所以:-是减函数，b b>-又因为I ,所以，，1b所以'：..<；.|' < : I ⑴: I ⑴"，所以A,B 两项均错；又:::- 5，所以「： +「・「+/一1+；少，所以 c 错；对于 D, 二：• _ • T ：「［- ⑴，所以-宀「二 - :J ，故选 D.B 能力提升训练11.【2017北京】已知函数f （x ） =3x -（一）x ，贝y f （x ）3（A ）是奇函数，且在 R 上是增函数（B ）是偶函数，且在 R 上是增函数（C ）是奇函数，且在 R 上是减函数（D ）是偶函数，且在 R 上是减函数【答案】A2.【2018届新疆乌鲁木齐市三诊】设： I ,•，则是：的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 f -x *=「f X ，所以函数是奇函数，并且 3x 是增函数,1x是减函数，根据增函数 -减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.【解析】由题设知，-— I-" —〕因为'■: 1：-P ： ■ ■■ ■,所以满足，但•-，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知•■是•的充分不必要条件.故选A.3. 【2018届陕西省宝鸡市检测(三)】“酒驾猛于虎” •所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过’二假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量也会迅速上升到汀；乩，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时"的速度减少，则他至少要经过()小时后才可以驾驶机动车• A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B【解析】设个小时后才可以驾驶机动车根据题意可得方程： < 1' 「：门；匚一：二0用=-4 n = 2即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车故选【答案】A【解析】函数的定义域为『wm当 I 时，由题意可得’ ，故可排除B,D ;又当…时，由于，故故排除C. 选A .5..已知函数y 二f x 的定义域为｛x|x R 且x = 2｝，且y 二f x 2是偶函数，当x ：：： 2时, f (x )=2x —1，那么当x>2时，函数f (x )的递减区间是A.3,5 B . 3, ：： C . 2,4 1 D . 2,::4.【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区二诊】函数的图象的大致形状是B.D.【答案】C【解析】宙题先由^X<2时，门力=|2—1|得：滴区间为(TDf),増区间为；(0,2). 再运用*/仗+2)得：减区间为(F_2),増区间为;(-2,0).又是偶函数得：减区间为(Q2),增区间两；(2+»)・当x > 2 H J函数7 = /(兀)的11；咸区间是(2,4]-C思维拓展训练1. 【2017广西陆川中学模拟】已知定义在R上的函数f x i；= 2X，记a = f (log°.52.2 ),b = f (呃0.5 )c = f (0.5)，则a,b,c 的大小关系为( )A. a :: b :: cB. c :: a ::: bC. a ：： c ：：： bD. c ：：：b . a【答案】Dx【解析】由题意，得f(x)=2W={2‘x —u为偶函数，且在[0,十比)上单调递增，而2」,xc0a = f log°.52.2 二f log2 2.2，b 二f Iog20.5 二f -1 二f 1 , f 0.5，因为log22.2 1 0.5，所以a bc ；故选D.2. 【2018届天津市河西区三模】设•’ 是定义在•'上的偶函数，且当时，乞工v 1，若对任意的虫|净“ + L，不等式；「口E / '；■ +沁恒成立，贝V实数的取大值疋( )A. 1B.1 1 1 彳C. 于 D. *【答案】B【解析】分析: 先根据基本函数的单调性判定函数在上单调递减，再利用函数的奇偶性判定函数在I -心门上单调递增，将不等式恒成立问题转化为i •:恒成立，平方转化为次不等式恒成立问题.详解：易知函数；在I :'上单调递减，又函数；是定义在上的偶函数，所以函数；在"上单调递增，则由「+川:得】.-十…，即I Ai J > i --；：：；'：即' 1 1"■，：i- 「订在■■- - I '上恒成立,(班师)=(3 m - 1)(TW +!)<()则y：' ■- •,-1 < m <■——解得，1即的最大值为•3.已知命题•■：|工】|亡|丄+ :—；：」恒成立，命题• ：「一| p 「■为减函数，若■■且为真命题, 则实数的取值范围是( )［韵c||)(J1)［知A. 1B. :C.D. I【答案】C【解析】分析：利用'■- -I ' I-'- ' 的最小值不小于I化简命题•'，从而求出，利用指数函数的单调性化简命题：，解不等式组即可得结果•详解：当命题’为真命题时，'I'- -'I - :「：•'恒成立,•只须H - ■■ ■［的最小值不小于：即可，而有绝对值的几何意义得「，； k即I l _■ ■■ ■［的最小值为，3°荃_…应有•，解得，3a >得为真命题时，当命题：为真命题时，①:--「为减函数,…应有 r I ,解得，②3 r-<a<l综上①②得，实数、的取值范围是若且，为真命题，则实数的取值范围是，故选C.4.【2018届四川省2018届“联测促改”活动】已知x xf x = 9 -t 3 , 2x-12x 1，若存在实数a , b 同时满足g a g b =0和f a f b =0，则实数t 的取值范围是【答案】1, ■::•••函数g x 为奇函数, 又 g a g b =0 ,• a = -b .• f a f b = f a f -a =0有解, 即 9a _t 3a 9^ -t 3」=0有解,aa9 9 i — _a332m ；=m 在[2,血阳上单调递增,m• m ] ： ,: >i ：2 =1 .• t _1 .故实数t 的取值范围是1,七.5.【2017山东，理15】若函数e x f x （ e =2.71828川是自然对数的底数）在 f x 的定义域上单调递增，则称函数 fx 具有M 性质•下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ________ .xx32① fx=2 ② fx=3 ③ fx=x ④ fx=x 2【答案】①④【解析】①《(刃=/尸=|；|在R 上单调递増，故/(x) = 2-l ft 有M 性质,虹2』② 打(町“孑T 在R 上单调递减，故/(x)=3'r不具有皿性鬲令m =3a3」m _ 2，则m 2 -2 2m -m m【解析】 g -x =272」1 =1 _2x=1 2x2x _1 2x1--g x ,有解.③x ,令= x3f贝x 4-e1 -Sx1 =x3^( x+2) ?/.当xA—2 时」^(x)>0 ,当x-2时，£'(英)屹0,二凸丁(兀)=$,在(7.-2)上单调递减，在(-2,怦)上单调递増，故f(x) = x3不具有M性质,④e x f x = e x x2 2 ，令g x = e x x22，贝Ug0) = e x(x2 +2 )+e x 2x =e x[(x + 1 $ +I]A0 ,二e x f (x ) = e x(x2 +2 )在R 上单调递增，故f x =x22具有二1性质.。

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第06节指数与指数函数
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分
__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.【2017浙江绍兴一中模拟】函数()||1(01)x f x a a a >≠＋＝，的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A ．f(－4)>f (1)
B ．f(－4)＝f(1)
C ．f(－4)<f(1)
D ．不能确定
【答案】A
【解析】由题意知()3214()1a f a f a >，－＝，＝，由()1t y a a >＝的单调性知32a a >，所以
()()41f f >－．
2.【2017陕西西安调研】若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，且a ≠1)，满足f(1)＝19，则
f(x)的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)
D.(－∞，－2]
【答案】B
3.【2017湖南邵阳二联】“1m >”是“在区间[)1,+∞无零点”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件【答案】A
间[)1,+∞无零点，则
故选A.
4. 【2017，则,,a b c 的
大小关系为
A. b a c <<
B. c a b <<
C. b c a <<
D. c b a << 【答案】D
5.【2017北京延庆一模】某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每月都比上月增长，那么个月后，该网站
的点击量和原来相比，增长为原来的
A. 倍以上，但不超过倍
B. 倍以上，但不超过倍
C. 倍以上，但不超过倍
D. 倍以上，但不超过倍
【答案】D
【解析】设第一个月的点击量为1.
则4个月后点击量
.
该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍。

本题选择D 选项.
6.【2017
[]0,1,A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】若1a >，则在[]0,1单调递减，则，解得2a =，此
时，
7．【2017四川宜宾检测】已知函数f(x)＝x －4＋9
x ＋1
，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f(x)取得最小值b ，则函数g(x)＝a
|x ＋b|
的图象为(
)
【答案】A
【解析】∵)4(0x ∈，，∴11x >＋，∴(
)9
15511
f x x x ≥+＝＋＋－＝，当且仅当9
11
x x +＋=
，即 2x =时，取等号.∴21a b ＝，＝.因此()|1|2x g x ＋＝，该函数图象由||2x y ＝向左平移一
个单位得到，结合图象知A 正确.
8．【2017广东揭阳二模】函数()212x
f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的大致图象是。

(浙江版)2018年高考数学复习： 专题2.6 指数与指数函数(测)

2018届高三数学文一轮复习课件：2-6 指数与指数函数 精品

(浙江专用)备战高考数学 考点一遍过 考点06 指数与指数函数(含解析)-人教版高三全册数学试题