2011东城区高三一模数学试卷及答案理科
北京市东城区2011年高考一模数学试题及答案

2011 1 北京东 东城区高三 三一模数 数学(文)
●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
12.已 已知 ( , π ) , tan(
π 2
π 1 s 则 sin cos ) ,则 4 7
.
第2页
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2a x , x 1, 13.设 f ( x ) 且 f (2 2) 1 ,则 a 2 log a ( x 1), x 1,
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零 f ( x) 零点的为 (A) (0, ) (C) ( ,1) )
1 3
( (B) ( , ) ( (D) (1, 2)
1 1 3 2
1 2
8.空 空间点到平面 面的距离如下 下定义:过空 间一点作平面 面的垂线,该 该点和垂足之 之间的距离即 即为该点 到平面的距 距离.平面 , , 两 两两互相垂直 直,点 A ,点 A 到 , 的距离都 都是 3 , 点 P 是 上的动点,满 上 满足 P 到 的 的距离是到 P 到点 A 距离 离的 2 倍,则点 点 P 的轨迹上 上的点到
4 , c 2b cos A . 5
15 ,求 c 的值. 2
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16.已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形. PB PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC 平面 BDE .
2011年高考北京数学试题(理科)及参考答案详解

2011年高考数学——北京理科卷详解高考前,我们分别在1月底和4月底帮学生作过预测。
2011年高考与2010年相比:(1)新增知识点将增加出题量。
新增知识不会综合。
(2) 三角函数题变化不大,以函数为主。
(3)立体题考查基本图形中的变化,建系是工具 。
(4)概率大题 突出对数据的认识,图、表、直方图、茎叶图。
如果使用排列组合题目将简单。
(5)导数大题,眼下的题让人猜的透透的,将会有变化。
(6)解析大题,“解析几何首先是几何”“代数是手段”“解析几何的本质是把问题代数化。
(7)数列压轴。
沿用等差等比数列的研究方法研究新定义数列。
一.选择题1.已知集合2{|1}P x x =≤,{}M a =.若P M P = ,则a 的取值范围是( ) A .(,1]-∞- B .[1,)+∞ C .[1,1]- D .(,1][1,)-∞-+∞ 1、答案:C解:数轴法可知1a 1≤≤-2.复数212i i-=+ ( ) A .i B .i - C .4355i -- D . 4355i -+2、答案:A 。
解:i 41)2i 1)(2i (2i 12i z =+--=+-=3.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是 ( ) A .(1,)2πB .(1,)2π- C .(1,0)D .(1,)π 3、答案:B解:θρρsin 22-=,2y y x 22-=+,1)1y (x 22=++, 圆心)1,0(-。
改写为极坐标(1,2π-)4.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 ( ) A .3- B .12- C .13D .24、答案:D 。
解:0<4,i=1,31s =;…,,43<i=4,2s =11s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s输出开始结束第4题5.如图,AD ,AE ,BC 分别与圆O 切于点D ,E ,F ,延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论:①AD AE AB BC CA +=++; ②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ADG △△∽.其中正确结论的序号是 ( )A .①②B .②③C .①③D .①②③5、答案:A.解:综合运用切线长定理,圆幂定理。
2011年北京市高考理科数学试题及标准答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合2{|1}P x x =≤,{}M a =.若PM P =,则a 的取值范围是(A)(,1]-∞-(B)[1,)+∞(C )[1,1]-(D)(,1][1,)-∞-+∞ (2)复数212i i-=+ (A )i (B)i - (C)4355i -- (D)4355i -+ (3)在极坐标系中,圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是(A )(1,)2π (B )(1,)2π- (C )(1,0) (D)(1,)π(4)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为(A)3-(B)12- (C)13(D)2(5)如图,,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F ,延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论:① AD AE AB BC CA +=++;② AF AG AD AE ⋅=⋅;③ AFB ADG ∆∆其中,正确结论的序号是(A)① ② (B )② ③(C )① ③ (D )① ② ③(6)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为()x A f x x A <=≥(,A c 为常数)。
已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟, 那么c 和A 的值分别是(A )75,25 (B )75,16 (C )60,25 (D)60,16 (7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中 最大的是(A ) 8(B)(C) 10(D)(8)设(0,0)A ,(4,0)B ,(4,4)C t +,(,4)D t (t R ∈),记()N t 为平行四边形内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数()N t 的 值域为(A ){9,10,11} (B){9,10,12} (C){9,11,12} (D ){10,11,12}A G俯视图。
北京市东城区10-11下学期高三数学(理科)一模考试试卷

北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习(一)数 学(理科)本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.“x >2”是“x 2>4”的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件2.已知数列{a n }为等差数列,且a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于 (A )40 (B )42 (C )43 (D )45 3.已知函数f (x )对任意的x ∈R 有f (x )+f (―x )=0,且当x >0时,f (x )=ln(x +1),则函数f (x )的图象大致为4.已知平面上不重合的四点P ,A ,B ,C 满足PA PB PC ++=0,且AB AC m A P +=,那么实数m 的值为(A )2 (B )3(C )4(D )55.若右边的程序框图输出的S 是126,则条件①可为 (A )n ≤5 (B )n ≤6(C )n ≤7 (D )n ≤86.已知(,)2παπ∈,1tan()47πα+=,那么sin α+cos α的值为 (A )15-(B )75 (C )75-(D )347.已知函数131()()2xf x x =-,那么在下列区间中含有函数f (x )零点的是 (A )1(0,)3(B )11(,)32(C )12(,)23(D )2(,1)38.空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离。
已知平面α,β,γ两两互相垂直,点A ∈α,点A 到平面β,γ的距离都是3,点P 是α上的动点,且满足P 到β的距离是P 到点A 距离的2倍,则点P 到平面γ的距离的最大值是(A )3(B(C )3(D )6第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
北京市东城区高三一模(数学理)1

北京市东城区2008—2009学年度综合练习(一)高 三 数 学 (理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I 卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。
考试时间120分钟。
考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题 共40分)注意事项:1. 答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若将复数2i i +表示为(..a bi a b R i +∈是虚数单位)的形式,则ba的值为 A .-2 B .12- C .2 D .122.命题甲"sin sin "αβ>,命题乙""αβ>,那么甲是乙成立的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.设,A B 为x 轴上两点,点P 的横坐标为2,且||||PA PB =,若直线PA 的方程为10x y -+=,则直线PB 的方程为A .270x y +-=B .210x y --=C .240x y -+=D .50x y +-=4.若非零向量,a b 满足||||a b b +=,则下列不等关系一定成立的是 A .|2||2|a a b >+ B .|2||2|a a b <+C .|2||2|b a b >+D .|2||2|b a b <+5.已知函数2()f x x bx =的图像在点(1,(1))A f 处的切线与直线320x y -+=平行,数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则2009S 的值为 A .20072008B .20082009C .20092010D .201020116.数列{}n a 共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有 A .24个 B .60个 C .72个 D .120个7.已知命题:“若,//x y y z ⊥,则x z ⊥”成立,那么字母,,x y z 在空间所表示的几何图形不能A .都是直线B .都是平面C .,x y 只直线,z 是平面D ..x z 是平面,y 是直线8.函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式()()2f x f x x <-+的解集为A.012x x x ⎧⎫⎪⎪-<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭或2B .1122x x x ⎧⎫⎪⎪-≤<-<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C .1022x x x ⎧⎪-≤<-<<⎨⎪⎪⎩⎭D .,022x x x ⎧⎫⎪⎪-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
北京市东城区2011届高三一模数学(理)试题及答案

东城区2010-2011学年度综合练习(一)高三数学 (理科)学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)“2x >”是“24x >”的(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(2)已知数列{}n a 为等差数列,且12a =,2313a a +=,那么则456a a a ++等于(A )40 (B )42 (C )43 (D )45(3)已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=,且当0x >时,()ln(1)f x x =+,则函数()f x 的大致图像为(A )(B )(C ) (D )(4)已知平面上不重合的四点P ,A ,B ,C 满足0PA PB PC ++= ,且AB AC m AP +=,那么实数m 的值为(A )2 (B )3 (C )4 (D )5(5)若右边的程序框图输出的S 是126,则条件①可为A .5n ≤B .6n ≤C .7n ≤D .8n ≤(6)已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为(A )51-(B )57(C )57- (D )43(7)已知函数31)21()(x x f x-=,那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是(A ))31,0( (B ))21,31((C ))32,21( (D ))1,32((8)空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面α,β,γ两两互相垂直,点A ∈α,点A 到β,γ的距离都是3,点P 是α上的动点,满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍,则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是 (A ) 33- (B )323- (C )36-(D )340 50 60 70 80 90 体重(kg)频率A第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2011东城一模(理综)试题及答案

北京市东城区2010—2011学年度第二学期高三综合练习(一)理科综合能力测试本试卷分选择题和非选择题两部分,共300分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
以下数据可供解题时参考:可能用到的相对原子质量:H l O 16 cr 52 Fe 56选择题选择题共20小题。
每小题6分,共120分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.细胞是生物体结构和功能的基本单位。
组成生物体的活细胞都具有()A.选择透过性膜 B.遗传物质C.细胞周期D.有氧呼吸酶2.下列各选项中,生物学实验目的、试剂及原理均符合的一项是3.图一1为果蝇体内某个细胞的示意图,下列相关叙述正确的是()A.图中的染色体l、2、5、7可组成一个染色体组B.在细胞分裂过程中等位基因D、d不一定发生分离C.图中7和8表示性染色体,其上的基因者B可以控制性别D.含有基因B、b的染色体片段发生交换属于染色体结构变异4.图一2表示一个池塘生态系统中各种生物之间的关系。
下列叙述不正确...的是()A.图中所有的生物构成了此池塘生态系统的生物群落高温 B .从外部引入消费者4可能会使生产者2的数量暂时增加C .流经该生态系统的总能量是图中所有生产者固定的能量之和D .组成消费者的各种元素返回无机环境都需经分解者的分解怍用5.将一株绿色植物置于密闭锥形瓶中,如图一3所示。
在连续60分钟监测的过程中,植物一段时间以固定的光照强度持续照光,其余时间则处于完全黑暗中,其他条件相同且适宜,测得瓶内CO 2浓度变化结果如图一4所示。
据此分析可知( )A .最初10 min 内,瓶内CO 2浓度逐渐下降,说明植物的光合作用逐渐增强B .第20—30 min 内,瓶内植物光合作用逐渐减弱,呼吸作用逐渐增强C .第40~60 min 内,瓶内植物的光合作用速率与呼吸作用速率大致相等D .瓶内植物在照光时段内实际的光合作用速率平均为90 ppmCO 2/min6.“化学——我们的生活,我们的未来”。
北京市东城区20112012学年度高三第一学期期末教学统一检测数学(理科).doc

北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学(理科)学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}0≥=x x A ,{}2,1,0=B ,则(A )B A ⊆ (B )A B ⊆ (C )B B A = (D )∅=B A (2)在复平面内,复数ii21--对应的点位于 (A )第一象限 (B ) 第二象限 (C ) 第三象限 (D ) 第四象限 (3)下列命题中正确的是(A )如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行 (B )过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直(C )如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面 (D )如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面(4)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中△ABC 是边长为2的正三角形,俯视图的边界为正六边形,那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 (A )21 (B )1 (C )23(D ) 2(5)在平面直角坐标系内,若曲线C :04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内,则实数a 的取值范围为 (A )()2,-∞- (B ) ()1,-∞- (C )()+∞,1 (D )()+∞,2(6)如图所示,点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点,M ,N 是该图象与x 轴的交点,若0=⋅PN PM ,则ω的值为(A )8π (B )4π (C )4(D )8(7)对于函数(lg 21f x x =-+),有如下三个命题:①)2(+x f 是偶函数;②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数,在区间()∞+,2上是增函数;③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数.其中正确命题的序号是(A )①② (B )①③ (C )②③ (D )①②③(8)已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[]b a ,)(b a <,值域为[]5,1,则在平面直角坐标系内,点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为(A )8 (B )6 (C )4 (D )2第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
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东城区2010-2011学年度综合练习(一)高三数学 (理科)学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)“2x >”是“24x >”的(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(2)已知数列{}n a 为等差数列,且12a =,2313a a +=,那么则456a a a ++等于(A )40 (B )42 (C )43 (D )45(3)已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=,且当0x >时,()ln(1)f x x =+,则函数()f x 的大致图像为(A )(B )(C ) (D ) (4)已知平面上不重合的四点P ,A ,B ,C 满足0P A P BP C ++=,且AB AC mAP +=,那么实数m 的值为(A )2 (B )3 (C )4 (D )5(5)若右边的程序框图输出的S 是126,则条件①可为 A .5n ≤ B .6n ≤ C .7n ≤ D .8n ≤(6)已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 (A )51- (B )57(C )57-(D )43 (7)已知函数31)21()(x x f x-=,那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是(A ))31,0( (B ))21,31( (C ))32,21( (D ))1,32((8)空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面α,β,γ两两互相垂直,点A ∈α,点A 到β,γ的距离都是3,点P 是α上的动点,满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍,则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是(A ) 33- (B )323- (C )36- (D )340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)如果2(i)(1i)m m ++是实数,那么实数m = . (10)已知曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则曲线上C 的点到直线3440x y -+=的距离的最大值为 .(11)从某地高中男生中随机抽取100名同学,将他们的体重(单位:kg )数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知体重的平均值为 kg ;若要从体重在[ 60 , 70),[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,再从这12人选两人当正负队长,则这两人身高不在同一组内的概率为 .(12)如图,已知圆O 的半径为3,从圆O 外一点A 引切线线ABC ,圆心O 到AC 的距离为22,3AB =AD 的长为 .(13)过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60 的直线,与抛物线分别交于A ,B 两点(点A 在x 轴上方),AF BF= .(14)已知数列{}n a 满足:11a =,22a =,33a =,44a =,55a =,且当n ≥5时,1121n n a a a a +=- ,若数列{}n b 满足对任意*N n ∈,有221212n nn b a aaa a a =---- ,则b 5= ;当n ≥5时,=n b .三、解答题:本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足2cos cos c b Ba A-=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若a =ABC 面积的最大值.(16)(本小题共14分)已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形.60BCD ∠=,2AB PB PD ===,PC =,AC 与BD 交于O 点,E ,H 分别为PA ,OC 的中点.(Ⅰ)求证:EC ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:PH ⊥平面ABCD ;(Ⅲ)求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值.(17)(本小题共13分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为,乙、丙面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.(Ⅰ)求至少有1人面试合格的概率; (Ⅱ)求签约人数的分布列和数学期望.CAB(18)(本小题共13分)已知函数2()ln ,()xx f x x x g x e e==-. (Ⅰ)求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值;(Ⅱ)证明:对任意,(0,)m n ∈+∞,都有()()f m g n ≥成立.(19) (本小题共13分)已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求的取值范围;(Ⅲ)试用表示△MPQ 的面积,并求面积的最大值.(20) (本小题共14分)对于)2(≥∈n n *N ,定义一个如下数阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n nn a a a a a a a a a A 212222111211其中对任意的n i ≤≤1,n j ≤≤1,当i 能整除j 时,1=ij a ;当i 不能整除j 时,0=ij a .设nj j j ni ij a a a a j t +++==∑= 211)(.(Ⅰ)当6=n 时,试写出数阵66A 并计算∑=61)(j j t ;(Ⅱ)若][x 表示不超过x 的最大整数,求证:∑=n j j t 1)(∑==ni in1][; (Ⅲ)若∑==nj j t n n f 1)(1)(,dx x n g n ⎰=11)(,求证:()1()()1g n f n g n -<<+.东城区2010-2011学年度综合练习(一)高三数学参考答案 (理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)(1)B (2)B (3)A (4)C (5)C (6)B (7)B (8)C 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)(9) 1- (10)3 (11)5.6432(12)15 (13)3(14)65 n -70注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分. 三、解答题(本大题共6小题,共80分) (15)(共13分) 解:(Ⅰ)因为2cos cos c b Ba A-=, 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理,得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅. 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅. 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=. 在△ABC 中,sin 0C ≠. 所以1cos 2A =,3A π∠=.(Ⅱ)由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==,a = 所以2220220b c bc bc +-=≥-所以20bc ≤,当且仅当b c =时取“=” .所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤.所以三角形面积的最大值为(16)(共14分)(Ⅰ)证明:因为E ,O 分别为PA ,AC 的中点, 所以EO ∥PC .又EO ⊂平面BDE ,PC ⊄平面所以PC ∥平面BDE . (Ⅱ)证明:连结OP , 因为PB PD =,所以OP BD ⊥.在菱形ABCD 中,BD AC ⊥, 又因为OP AC O = , 所以BD ⊥平面PAC . 又PH ⊂平面PAC , 所以BD ⊥PH .在直角三角形POB 中,1OB =,2PB =, 所以OP =又PC =,H 为OC 的中点, 所以PH OC ⊥. 又因为BD OC O = 所以PH ⊥平面ABCD .(Ⅲ)解:过点O 作OZ ∥PH ,所以OZ ⊥平面ABCD .如图,以O 为原点,OA ,OB ,OZ 所在直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系.可得,A ,(0,1,0)B ,(C ,3()22P -,3()44E . 所以(,0)AB = ,3()2AP = ,3)4CE = .设(,,)x y z =n 是平面PAB 的一个法向量,则00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即0302y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩, CB A令1x =,则(1=n . 设直线CE 与平面PAB 所成的角为θ,可得4sin cos,7n CE == θ〈〉. 所以直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值为47. (17)(共13分)解:(Ⅰ)用A ,B ,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ,B ,C 相互独立,且.至少有1人面试合格的概率是(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3.====∴的分布列是的期望(18)(共13分)(Ⅰ)解:由()ln f x x x =,可得()ln 1f x x '=+.当1(0,),()0,()x f x f x e'∈<单调递减, 当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增. 所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增, 又(1)0f =,所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1x e=时取得最小值, 又11()f ee =-, 可知1()f m e ≥-.由2()x x g x e e =-,可得1'()x xg x e-=.所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增, 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值,又1(1)g e=-, 可知1()g n e≤-, 所以对任意,(0,)m n ∈+∞,都有()()f m g n ≥成立.(19)(共13分)解:(Ⅰ)依题意可得,22=a c ,c b =,又222c b a +=,可得1,b a =. 所以椭圆方程为2212y x +=.(Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+, 由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210k x kx ++-=.设1122(,),(,)P x y Q x y , 则12222kx x k -+=+,12212x x k =-+. 可得121224()22y y k x x k +=++=+.设线段PQ 中点为N ,则点N 的坐标为222(,)22kk k -++,由题意有1-=⋅k k MN , 可得222212m k k k -+⋅=-+. 可得212m k =+,又0k ≠, 所以102m <<.(Ⅲ)设椭圆上焦点为F , 则1212MPQ S FM x x ∆=⋅⋅-.12x x -==由212m k =+,可得212k m +=.所以12x x -== 又1FM m =-,所以MPQ S ∆=所以△MPQ 的面积为3)1(2m m -(210<<m ).设3)1()(m m m f -=,则)41()1()('2m m m f --=.可知)(m f 在区间)41,0(单调递增,在区间)21,41(单调递减.所以,当41=m 时,)(m f 有最大值6427)41(=f . 所以,当41=m 时,△MPQ 的面积有最大值863.(20)(共14分)(Ⅰ)解:依题意可得,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000001000000100010010010101011111166A .14423221)(61=+++++=∑=j j t .(Ⅱ)解:由题意可知,)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和,因此∑=nj j t 1)(是数阵nn A 所有数的和.而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加.对任意的n i ≤≤1,不超过n 的倍数有i 1,i 2,…,i i n][.因此数阵nn A 的第i 行中有][i n个1,其余是0,即第i 行的和为][i n.所以∑=n j j t 1)(∑==ni i n1][.(Ⅲ)证明:由][x 的定义可知,i ni ni n≤<-][1,所以∑∑∑===≤<-n i ni ni ini n n i n 111][.所以∑∑==≤<-ni ni in f i 111)(11.考查定积分dx x n ⎰11,将区间],1[n 分成1-n 等分,则dx x n ⎰11的不足近似值为∑=n i i21,dx x n ⎰11的过剩近似值为∑-=111n i i.所以∑=n i i 21dx x n ⎰<11∑-=<111n i i .所以111-∑=ni i )(n g <∑=<ni i11.所以<-1)(n g ∑=<-n i n f i 1)(11<≤∑=ni i111)(+n g .所以()1()()1g n f n g n -<<+.。