(冀教版)四年级下册数学奥数讲义-第十一讲整除问题进阶
四年级奥数第十一讲——数字综合题选讲(教师用)
远辉教育奥数班第十一讲——数字综合题选讲主讲人：杨老师学生：四年级电话：62379828一、学习要点：数字指的是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个．数字问题不但有趣，而且还会使我们的思维活跃，思路开阔．在解答数字问题时，主要用到下面一些知识：① 偶数的性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数②自然数被9、11整除的特征：一个自然数若它的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个自然数必能被9整除．反之也成立．（更一般地，一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同．）一个自然数若它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个自然数必能被11整除．反之也成立．③自然数分类的思想：分类时注意不重不漏，即某个自然数必属于某一类而且只能属于一类．此外，还要用到加、减法中数位上的进位、借位，乘法中积的奇偶性与各个乘数的奇偶性的关系，…等等一些知识．二、典例剖析：例1 一个四位数，它的个位数字为2，如果将个位数字移作千位数字，原来的千位数字移作百位数字，原来的百位数字移作十位数字，原来的十位数字移作个位数字，那么所得的新数比原数少2889，原数是多少？式为：这时，此题转为一个数字迷的问题．突破口选在个位．个位上：c+9=12，可得出c=3．十位上：b+8+1=13，可得出b=4．百位上：a+8+1=14．可得出a=5．千位上：2+2+1=5．因此，所求的四位数为5432．例2 自然数列（A）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、…，把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，作成了新的数列（B）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2、…．①（A）数列中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第多少个数字？②（B）中的第100个数字，是（A）中的第几个数的哪一位上的数字？它是什么？③到（B）的第100个数字为止，数字3共有多少个？解：①把（A）中的1～100这100个自然数进行分类：一位数：1～9共9个数字．两位数：10～99共20×90=180（个）数字．三位数：100共3个数字．因此，（A）中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第9+180+3=192（个）数字．②（B）中的前100个数字，把所有一位数减去，还剩100-9=91（个）数字．由于每一个两位数可以隔成两个数字，所以由91÷2=45……1可知，（B）中的第100个数字，是（A）中的第46个两位数的十位数字．46+10-1=55，故（B）中的第100个数字为（A）中的55的十位数字，它是5．③由于55的十位数字不是3，所以可考虑1～54这54个自然数．个位为3的自然数有：3、13、23、33、43、53，个位上共有6个3．十位为3的自然数有：30～39，十位上共有10个3．因此，到（B）的第100个数字为止，数字3共出现了：6+10=16（个）．例3 从1、5、9、13、…、993中，任意找出199个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？解：在1、5、9、…、993中，共有249个自然数．由于奇数的个位数字只能为：1、3、5、7、9，因此把这些奇数分为两类：一类是个位数字为5的：5、25、…、985共50个自然数．另一类是个位数字不为5的：共有249-50=199（个）自然数．任意取出的这199个自然数分成两种情况进行考虑：①若这199个自然数中，含有个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位必为5．②若这199个自然数中，不含个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位数字为：1×9×3×7的个位数字为9，则综上所述，这199个数的乘积的个位数字为3或5．说明：对于比较复杂的情况，经常用分类的想法进行考虑，从而得到问题的完整答案．对于此题，同学们不妨思考一下：若从中取出198或200个数，结论又是怎样？例4 把1、2、3、4、5、6这六个数字分别填入右面的表格中，每格只填一个数字，使每一行右边的数字比左边的大，每一列下面的数字比上面的大，共有多少种不同的填法？分析为了叙述方便，我们先把这六个空格中所填的数字用字母a、b、c、d、e、f来表示．因为在这六个数字中，1最小，6最大，所以先考虑1和6这两个数字．1只能填在a处，因为1若填在其他五个格中，则从剩下的五个数字中找不出比1还小的数填在1的左边或上面．6只能填在f处（同理）．现在考虑5.5只能填在c处或e处．因为5若放在b处或d处，则从剩下的2、3、4中找不出比5大的数填在e处．①若c=5，则b、d、e三格只能填2、3和4这三个数字，因为e＞b，且e＞d，所以e=4，共有以下两种填法：b=2，d=3，e=4和b=3，d=2，e=4．②若e=5，则b、c、d三格只能填2、3和4，因为c＞b，所以c=3或4，共有以下三种填法：b=2，c=3，d=4；b=2，c=4，d=3和b=3，c=4，d=2．综上所述，共有5种不同的填法．解：共有5种不同的填法，它们是：说明：在考虑1和6以后，也可以接着考虑2，请同学们不妨试一试．例5任取一个四位数乘以9801，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C为多少？解：任一个四位数乘以9801的积，必然小于98010000，数字和最大不超过97999999的数字和，即A ≤9×7+7=70．在小于70的两位数中，数字和最大的为69，6+9=15，因此B≤15．在小于15的自然数中，数字和最大的为9，所以C≤9．因为9801能被9整除，所以四位数与9801的积也能被9整除，所以A、B、C均能被9整除，因此C=9．例6 用1～9这九个数字组成一个没有重复数字的九位数，且能被11整除，问这个九位数最大是多少？解法1：先把由1～9这九个数字组成的没有重复数字的最大九位数排出来为：987654321．因为（9+7+5+3+1）-（8+6+4+2）=5，所以987654321不能被11整除．适当调换偶数位与奇数位上的数字，使调换后奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数．因为在5个奇数，4个偶数之间进行加、减法运算（每个数只用一次）所得的结果必定为奇数，因此不能使奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差变为偶数，只能为奇数．因此，应使两者的差从5变为11．11-5=6，6÷2=3，所以把1与4对换，得987651324能被11整除．为使这个九位数为最大，再次进行调换，98765 1 3 2 4，即2与1对换，3与4对换．（这次调换只能是奇数位上的数字互换，偶数位上的数字互换，这样调换后的九位数仍能被11整除．）因此，得所求的九位数为987652413．设A=a1+a3+a5+a7+a9B=a2+a4+a6+a8k是0或自然数．由于A+B=45，所以A、B必然为一个奇数一个偶数，于是A-B为奇数，故取k=1a6+a8=17-（8+6）=3，3只能等于1和2这两个自然数的和，所以合要求的九位数为987652413．模拟测试1．一个四位数，划掉它的个位数字得第二个数；划掉它的个位、十位上的数字得第三个数．已知这三个数的和为4212，求这个四位数．2．已知数87888990…153154155是由自然数87到155依次排列而成的，从左至右第88位上的数字是几？3．把44444444写成多位数时，它的各个数位上的数字和为A，A的各个数位上的数字和为B，求B 的各个数位上的数字和．4．把1～9这九个数字填入下面的九个空格中，每个空格只填一个数字，每个数字只许用一次．问能否使每相邻三个格内数字之和均小于14？若能，给出一种具体的填法；若不能，请说明道理．5．1、7、13、19、…、1003中，任意找出135个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？6．用1～9这九个数字组成没有重复数字的九位数，且能被11整除，问这个九位数最小是几？答案：1．所求四位数为3796．2．从左至右的第88位上的数字为120的十位数字，是2．3．B的数码和为7．4．解：设填入九个格中的数字依次为a1、a2、…、a9．设a1+a2+a3≤13 a2+a3+a4≤13 …a6+a7+a8≤13 a7+a8+a9≤13把上面七个式子相加，便得到：a1+2a2+3（a3+a4+…+a7）+2a8+a9≤91即3（a1+a2+…+a9）-2（a1+a9）-（a2+a8）≤91由于a1+a2+…+a9=1+2+…+9=45所以2（a1+a9）+（a2+a8）≥44．（1）由于a2+a8≤8+9=17，因为a1、a9是整数，所以a1+a9≥14．显然：a1=6，a9=8，a2=7或9，a8=9或7；a1=8，a9=6，a2=7或9，a8=9或7为（1）的四组解．把这四组解统一地记为：（｛a1，a9｝，｛a2，a8｝）=（｛6，8｝，｛7，9｝）．容易知道，（1）的解只有下面的13种（每一种表示四组解）：（｛6，8｝，｛7，9｝），（｛6，9｝，｛7，8｝），（｛7，8｝，｛5，9｝），（｛7，8｝，｛6，9｝），（｛7，9｝，｛4，8｝），（｛7，9｝，｛5，8｝），（｛7，9｝，｛6，8｝），（｛8，9｝，｛3，7｝），（｛8，9｝，｛4，7｝），（｛8，9｝，｛5，7｝），（｛8，9｝，｛6，7｝），（｛8，9｝，｛4，6｝），（｛8，9｝，｛5，6｝）．显然，其中任意一都不能同时满足：a1+a2≤12，a8+a9≤12．因此，不能使每相邻三个格内的数字之和都小于14．5．积的个位数字为5或9．6．符合条件的九位数为：123475869．远辉教育附加：速算与巧算（1）9+99+999 （2）479+478+477+476+481+482（3）326+289+74-189 (4)354+(146-78)(5) 735-(335-287) (6)735-487+187(7)4×13×25 (8)56×125(9)(10)(11)(12)(13)99999+9999+999+99+9 (14)9+98+997+9996+99995(15)80+81+82+83+84+85 (16)998+999+1000+1001+1002。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
小学奥数全能解法及训练精讲-数的整除
各个数位上数 字的和能被3、 9整除。
精讲4
整除判断方法
能被11整除
奇数位上的数字和与偶 数位上的数字和的差能 被11整除。
能被7、11、 13整除
末三位上数字所组成的数 与末三位以前的数字所组 成的数之差能被7、11、 13整除。
典例精析
例1 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
思路分析：
如果a能被b整除,c是整数,那么a乘c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
精讲3
整 除 判 断 方法
2、5
末位上的数字 能被2、5整除
4、25
8、125
3、9
末两位的数字 所组成的数能 被4、25整除。
末三位的数字 所组成的数能 被8、125整除。
能被2、5整除,个 位数应为0,其他 数位上尽量取9。
答案揭秘：
□ 用7去除999 0, 方
框内应填6,所以, 最
大五位数是99960。
例2
1～200这200个自然数中,能
被6或8整除的数共有多少个？
思路 分析
先求出1～200中能 被6或8整除的数分 别有几个,再找出它 们的公倍数有几个。
例2
答案 揭秘
能被6整除： 200÷6=33… 2 能被8整除： 200÷8=25 最小公倍数：［6,8］=24 同时整除： 200÷24=8 … 8 共有个数
举一反三
已知一个五位数A691B能被55整 除,所有符合题意的五位数是_____。
规
五位数A691B能被55
律
整除,五位数既能被5
总
(冀教版)四年级下册数学奥数讲义-第十一讲整除问题进阶
四年级第十一讲整除问题进阶◆温故知新：1.对于每三位重复的多位数，在考虑7、11、13的整除性时，可根据三位截断法和差的整除性去掉其中形如abcabc的部分，新数对于7、11、13的整除性不变。
2.对于没有整除特性的数，可以通过列竖式的方式找到能被这个数整除的数。
◆例题展示例题1自然数6426，12589，34584，24479，124774这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些数能被11整除？练习1有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些能被11整除？例题2已知51位数55…5□99…9能被13整除，中间方格内的数字是多少？25个5 25个9练习2已知多位数11…1□33…3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？2010个1 2010个3例题3已知多位数81□258258…258能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？2010个258练习3已知多位数182182…182□189189…189能同时被7和13整除，那么方格内的数字是多少？2013个182 2014个189例题4一个多位数，它的各位数字之和为15，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？练习4（1）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？◆拓展提高拓展1用数字6、7、8各两个，可以组成能被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数。
强化1用数字2、3、4各两个，可以组成能被4、13、18整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数拓展2一个五位数，它的末三位为999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？强化2一个五位数，它的末三位为264，如果这个数能被37整除，那么这个五位数最小是多少？◆思维挑战挑战用两个0、两个1、两个2、两个3、两个4组成一个十位数，使它能同时被2、5、8、11整除，那么这样的十位数最大是多少？◆作业1.如果六位数1949□□能同时被3、5、7整除，那么这个六位数是多少？2.已知A是一个自然数，它由数字0和2组成，且能同时被3和5整除。
奥数专题：《整除》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如整除在购物找零中的应用。
-应用整除解决实际问题：通过实际例题，学会运用整除知识简化计算过程，如求解最大公因数、最小公倍数等。
举例：讲解质数2、3、5的倍数特征时，强调它们能整除的数的末尾数字规律；在解决购物问题时，运用整除性质快速计算出总价的几种支付方式。
2.教学难点
-理解整除的推广：学生往往难以理解整除概念在分数、小数中的推广，如分数的整数倍、循环小数的整除性质。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调整除的定义和整除性质这两个重点。对于难点部分，比如因数分解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整除相关的实际问题，如如何用整除性质快速找出一个数的因数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，演示整除的基本原理，如用纸牌游戏来模拟整除过程。
3.合作与交流：通过小组讨论、合作探究，培养学生有效沟通、协作的能力，学会在团队中发挥个人优势，共同解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解整除的定义：整除是数学中的基本概念，学生需要掌握能被一个整数整除的数的特征，即除数、被除数、商都是整数，且余数为零。
-掌握整除的性质：包括质数与合数的整除性质，如质数的倍数特征，合数的因数分解等。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
四年级奥数 整除
四年级奥数整除
思维聚焦
了解整除的特征，1能整除任何整数，0能整除任意非零整数。
能被3和9整除的数的特征，各个数字的和能被3或者9整除，能被5整除的数的特征：一个数的末尾是0或5.能被2整除的数的特征是数字末尾是0,2,4,6，8。
能被7整除的数的特征是去掉个位数字，再从剩下的数中减去个位数字的2倍，差是7的倍数。
一、典型例题
判断789654能否被3或9整除
解答：
7+8+9+6+5+4=39
39能被3整除，不能被9整除，所以789654能被3整除，不能被9整除。
二、触类旁通
判断2689,12354能否被7整除
解答：
268-9×2=250
因为250不能被7整除，所以2689不能被7整除
1235-4×2=1227
122-7×2=108
因为108不能被7整除，所以12354不能被7整除。
三、熟能生巧
1、判断3022250能否被2整除
2、判断987654321能否被7整除
3、判断1020306能否被3整除
4、求一个能被5整除的最大五位数
5、判断3022250能否被5整除
6、判断123456789能否被9整除
7、已知一个自然数，它是45的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和3，这个自然数最小是多少？
8、已知一个自然数，它是36的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和6.这个自然数最小是多少？。
四年级奥数教程
小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算及巧算（一）第2讲速算及巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题及归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题及假设法第14讲盈亏问题及比较法（一）第15讲盈亏问题及比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算及巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算及巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同及同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析及解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数及80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数及80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
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四年级第十一讲整除问题进阶
◆温故知新：
1.对于每三位重复的多位数，在考虑7、11、13的整除性时，可根据三位截断法和差的整
除性去掉其中形如abcabc的部分，新数对于7、11、13的整除性不变。
2.对于没有整除特性的数，可以通过列竖式的方式找到能被这个数整除的数。
◆例题展示
例题1
自然数6426，12589，34584，24479，124774这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些数能被11整除？
练习1
有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些能被11整除？
例题2
已知51位数55…5□99…9能被13整除，中间方格内的数字是多少？
25个5 25个9
练习2
已知多位数11…1□33…3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？
2010个1 2010个3
例题3
已知多位数81□258258…258能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？
2010个258
练习3
已知多位数182182…182□189189…189能同时被7和13整除，那么方格内的数字是
多少？2013个182 2014个189
例题4
一个多位数，它的各位数字之和为15，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
练习4
（1）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
（2）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
◆拓展提高
拓展1
用数字6、7、8各两个，可以组成能被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数。
强化1
用数字2、3、4各两个，可以组成能被4、13、18整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数
拓展2
一个五位数，它的末三位为999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？
强化2
一个五位数，它的末三位为264，如果这个数能被37整除，那么这个五位数最小是多少？
◆思维挑战
挑战
用两个0、两个1、两个2、两个3、两个4组成一个十位数，使它能同时被2、5、8、11整除，那么这样的十位数最大是多少？
◆作业
1.如果六位数1949□□能同时被3、5、7整除，那么这个六位数是多少？
2.已知A是一个自然数，它由数字0和2组成，且能同时被3和5整除。
那么A最小是多少？
3.是否能在“□”中填入一个数字，使得27位数11…1□66…6能被13整除。
13个1 13个6
4.由数字1、2、3各两个组成的六位数中，有些能同时被7和8整除，请写出一个这样
的六位数。
5.一个多位数的末三位是888，并且能被19整除，那么这个多位数最小是多少？。