推荐2019高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数3-4-2
4.2换底公式
课时过关·能力提升1g2716log34的值为()
A.2
B.2
C.1
D.3
解析:原式=g3342log34=23log34log34=23,故选D.
答案:D
2log1419+1log1513=()
A.lg 3
B.-lg 3
C.lg3
D.-lg3
解析:原式=lo1914+lo1315=log94+log35=log32+log35=log310=lg3,故选C.
答案:C
3若log53·log36·log6x=2,则x=()
A.9
B.9
C.25
D.25
解析:∵由换底公式,得13lg5·lg6lg3·lgxlg6=2,
∴-xlg5=2.
∴lg x=-2lg 5=lg 25.
∴x=25.故选D.
答案:D
4如果lg 2=m,lg 3=n,那么lg15等于()
A.m+n1+m+n
B.+2n1+m+n
C.m+n1-m+n
D.+2n1-m+n
解析:∵lg 2=m,lg 3=n,
∴lg15=2lg2+lg3lg3+lg5=2m+nn+(lg10-lg2)
=m+nn+1-m,故选C.
答案:C
5已知f(3x)=2x log23,则f(21 008)的值等于.
解析:设3x=t,
则x=log3t,
∴f(t)=2log3t·log23=2log2t.
∴f(21 008)=2log221 008=2 016.
答案:2 016
6设log89=a,log35=b,则lg 2=.
解析:由log89=a得log23=2a,所以lg2=32a.
又因为log35=lg3=b,所以lg2×lg5lg3=32ab.
所以-lg2lg2=32ab,所以lg 2=2+3ab.
答案:2+3ab
7已知2m=5n=10,则m+1n=.
答案:1
8分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.
(1)根据上述材料,列出声压级y与声压P的函数关系式;
(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环境是否优良?
解(1)由已知得y=20lg P0(其中P0=2×10-5帕).
(2)当P=0.002帕时,y=20lg .0022×10-5=20lg 102=40(dB).
由已知条件知40 dB小于60 dB,所以此地为无害区,声音环境优良.
9若lg 2=a,lg 3=b.
(1)用a,b表示lg2与log245;
(2)求102a-b的值.
解(1)lg2=lg 3-lg 2=b-a,
log245=lg24=1-lg2lg3+lg8=1-ab+3lg2=1-ab+3a.
(2)102a-b=102lg 2-lg 3=10lg 4-lg 3=1lg43=43.
★10设a>0,a≠1,x,y满足log a x+3log x a-log x y=3,用log a x表示log a y,并求当x取何值时,log a y取得最小值.
解由换底公式,得log a x+logax-logaylogax=3,
整理,得(log a x)2+3-log a y=3log a x,
∴log a y=(log a x)2-3log a x+3=gax-322+34.
∴当log a x=2,即x=32时,log a y取得最小值4.
★11甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+c log x2=0,甲写错了常数b,得到两实数解分别为4,18;乙写错了常数c,得到两实数解分别为2,64.求这个方程的真正实数解.
解原方程可化为log2x+b+c log2x=0,
即(log2x)2+b log2x+c=0.
因为甲写错了常数b,得两实数解分别为4,18,
所以c=log24·log28=6.
因为乙写错了常数c得两实数解分别为2,64,
所以b=-g212+log264=-5.
故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,
解得log2x=2或log2x=3,
所以原方程的真正实数解为x=4或x=8.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数 3.4.1 对数及其运算素材1 北师大版必修1
3.4.1 对数及其运算
学情分析
对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四单元第一节，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。
常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。
因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。
经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。
北师大版必修1数学教学练习课件第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及其运算性质
第三章 指数函数和对数函数
〔跟踪练习 4〕 (1)设|x|<3，化简 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9； (2)如果 m<－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋ m2＋10m＋25； (3)已知 y＝ 3x－2＋ 2－3x＋ 26，求实数 x 及 y 的值．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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A．－1
B．14
C．12 [解析]
因为 f(－2)＝2－2＝14，
D．32
数 学 必
所以 f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝1－12＝12，故答案选 C．
修
①
北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
3．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝_5_－__3m_n___.
[解析] 若 bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则 b＝amn ，所以由 b－3n＝5m 知 b
数 学
3x－2≥0 2－3x≥0
，解得xx≥≤2323
.
必
修 ① 北
∴x＝23，从而 y＝ 26.
师
大A
版
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第三章 指数函数和对数函数
空间
典例 5 已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10，
∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得 x＝10.
数
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x x 的取值范围为 8≤x≤10.
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第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、 求值的条件．
高中数学第三章指数函数和对数函数3-2-2指数运算的性质问题导学案北师大版必修1
3.2.2 指数运算的性质问题导学一、利用指数的运算性质化简、求值 活动与探究1 计算或化简．(1)a 3b 2(2ab －1)3；(2)014130.753327(0.064)[(2)]16|0.01|8---⎛⎫--+-++- ⎪⎝⎭；÷3a －7·3a 13(a ＞0)．迁移与应用(1)已知m ＞0，则1233m m ⋅＝( )． A ．m B ．13m C ．1 D ．29m(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x ； (3)计算：41320.753440.0081(4)16---++-.在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算． (5)尽可能用幂形式表示． 二、条件求值问题 活动与探究2已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a －a －1；(3)33221122a a a a----.迁移与应用1．已知2x －2－x ＝2，则8x的值为__________． 2．已知a ＋a－1＝5，求a 2＋a －2，1122a a-+，1122a a--.对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，注意完全平方公式、平方差公式、立方差公式的应用．还要注意开方时的取值的符号问题．当堂检测1．下列运算结果中，正确的是( )．A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝－a 62．如果x ＞y ＞0，则x y y xy y xx 等于( )．A ．()yxx y - B ．()x yx y - C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x yy －x D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x y x －y3．计算144[(3)]-的结果是( )．A ．－3B ．3C ．－13D ．134．已知m ＋1m＝4，则m 2＋m －2等于__________．5．化简：861552()a b --⋅·5a 4÷5b 3(a ≠0，b ≠0)．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(1)a m ＋n (2)a mn (3)a n b n预习交流 提示：不一定．如111222[(4)(9)]=(4)(9)-⨯--⨯-是不成立的，这是因为1122[(4)(9)]=36-⨯-＝6，而12(4)-与12(9)-均无意义．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先算乘方，开方，再算乘除，最后进行加减运算，含有根式时，应先化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算．解：(1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1.(2)原式＝133[(0.4)]-－1＋(－2)－4＋2－3＋122[(0.1)]＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(3)原式＝191317113()()32322323[][]aaaa⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅＝937136666a-+-＝a 0＝1.迁移与应用 (1)A 解析：由于m ＞0，所以12123333=m m m +⋅＝m 1＝m .(2)解：原式＝112212332x x yy⨯＝2xy.(3)解：原式＝4133344()234224(0.3)(2)(2)2-⨯-⨯-++-＝0.3＋2－3＋2－2－2－3＝0.3＋0.25 ＝0.55.活动与探究2 思路分析：从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，应设法从整体上寻找求值代数式与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．解：(1)将1122=3a a -+两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)将a ＋a －1＝7两边平方，有a 2＋a －2＋2＝49.所以a 2＋a －2＝47.又因为(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝47－2＝45，所以a －a －1＝±45＝±3 5. (3)由于3311332222=()()a a a a ----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a a a aa a--------++⋅--＝a ＋a －1＋1＝8.迁移与应用 1.7＋52解析：由已知条件，可解得2x ＝2＋1，于是8x ＝(2x )3＝(2＋1)3＝7＋5 2.2．解：∵由a ＋a －1＝5，得(a ＋a －1)2＝25， ∴a 2＋a －2＝23.∵1122a a -+＞0，又21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝7，∴1122a a-+＝7.∵21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a ＋a －1－2＝3， ∴1122a a --＝± 3. 【当堂检测】 1．D 2.C3．B 解析：111444444[(3)]=(3)=3⨯-＝31＝3.。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4对数3.4.2换底公式课件北师大版必修1
【解析】 (1)lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q. (2)∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴1x＝log1336＝log13636＝log363，
log363
1y＝log1436＝log13636＝log364，
方法归纳,
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练 2 (1)已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________；(用 p，q 表示)
类型二 用已知对数表示其他对数 [例 2] 已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
【解析】 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a. 又 5＝18b， 所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 又因为 log2×1818＝log18118×2 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198
3.4.2 换底公式
【课标要求】 1.理解换底公式的证明过程，会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数，能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来，进行对数运 算．
|新知预习|
对数换底公式 logbN＝llooggaaNb (a，b>0，a，b≠1，N>0)， 特别 logba＝log1ab(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．
A．18
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4第2课时对数的运算性质及换底公式学案(含解析)北师大版必修1
第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。
新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 检测(1)
第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)=√2x-1的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使f(x)=√2x-1有意义,需2x-1≥0,故x∈[0,+∞).答案:B2若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图像必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:y=a x+b(a>1,b<-1)的图像如图.故选B.答案:B3设集合M={y |y =(12)x,x ∈[0,+∞)},N={y|y=log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1) 答案:C4下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=√1+x 2 B.y=x+1x C.y=2x +12xD.y=x+e x解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y=√1+x 2,y=2x +12x 为偶函数,y=x+1x 为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D. 答案:D5函数y=log 2(1-x )的图像是( )解析:∵1-x>0,∴x<1.这样可排除选项A,D .∵y=log 2(1-x )在定义域上是减函数, ∴B 选项正确. 答案:B6log 89log 23的值为( )A.23B.32C.2D.3解析:log 89log 23=lg9lg8·lg2lg3=2lg33lg2·lg2lg3=23. 答案:A7设函数f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.答案:C8已知函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 12)-f (x 22)等于( )A.2B.1C.12D.log a 2解析:f (x 12)-f (x 22)=log a x 12-log a x 22=2log a x 1-2log a x 2=2[f (x 1)-f (x 2)]=2. 答案:A9某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比前一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是()A.1.14aB.1.15aC.1.16aD.(1+1.15)a答案:B10给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y);f(x+y)=f(x)f(y);f(x+y)=f(x)+f(y).下列函数中其中不满足任何一个等式的是()A.f(x)=3xB.f(x)=log2xC.f(x)=xα(α≠1)D.f(x)=kx(k≠0)解析:利用指数函数和对数函数的运算性质可知,选项A满足第二个关系式;选项B满足第一个关系式;选项D满足第三个关系式.答案:C11函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为()A.14B.12C.2D.4解析:函数f(x)=a x+log a(x+1),令y1=a x,y2=log a(x+1),显然在[0,1]上,y1=a x与y2=log a(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+log a2+1+0=a,解得a=12.答案:B12设偶函数f (x )=log a |x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则f (b-2)与f (a+1)的大小关系为( )A.f (b-2)=f (a+1)B.f (b-2)>f (a+1)C.f (b-2)<f (a+1)D.不能确定 解析:∵函数f (x )是偶函数,∴b=0,此时f (x )=log a |x|.当a>1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是增加的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2);当0<a<1时,函数f (x )=log a |x|在(0,+∞)上是减少的,∴f (a+1)>f (2)=f (b-2). 综上可知,f (b-2)<f (a+1). 答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上) 13lg 52+2lg 2-(12)-1= .解析:根据对数的运算法则知,lg 52+2lg 2-(12)-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. 答案:-114若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1).又f (-1)=-ln(-1+√a +1)=ln√a+1+1a ,f (1)=ln(1+√a +1),因此ln(√a +1+1)-ln a=ln(√a +1+1), 于是ln a=0,∴a=1. 答案:115若a=log 43,则2a +2-a = .解析:由a=log 43,知2a +2-a=2log 43+2-log 43=2log 2√3+2log 2√33=√3+√33=4√33. 答案:4√3316设函数f (x )=log a x (a>0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 018)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0182)的值等于 . 答案:16三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10分)化简求值:(1)2(√23×√3)6+(√2√2)43-4(1649)-12−√24×80.25+(-2 016)0;(2)lg5·lg8 000+(lg2√3)2lg600-12lg0.36.解(1)原式=2(213×312)6+(212×214)43-4×74−214×234+1=2×22×33+2-7-2+1=210.(2)∵lg 5·lg 8 000+(lg 2√3)2=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2)=3, lg 600-12lg 0.36=(lg 6+2)-lg √36100=lg 6+2-lg 610=3,∴原式=33=1.18(12分)已知函数f (x )=14x -1-a.(1)求函数f (x )的定义域; (2)若f (x )为奇函数,求a 的值. 解(1)∵4x -1≠0,∴4x ≠1.∴x ≠0.∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ). ∴14-x -1-a=-14x -1+a. ∴2a=4x1-4x +14x -1=1-4x4x -1=-1. ∴a=-12.19(12分)(1)已知x+x -1=3(x>0),求x 32+x -32的值; (2)已知log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),求实数x 的值. 解(1)∵(x 12+x -12)2=x+x -1+2=5,∴x 12+x -12=√5.∴x 32+x -32=(x 12+x -12)(x+x -1-1) =√5(3-1)=2√5.(2)∵log 4(3x-1)=log 4(x-1)+log 4(3+x ),∴log 4(3x-1)=log 4[(x-1)(3+x )]. ∴3x-1=(x-1)(3+x ),且x>1.∴x=2.20(12分)已知函数f (x )={(12)x -1,x >1,x 2,x ≤1.(1)画出函数f (x )的图像,并根据图像写出该函数的递减区间; (2)求不等式f (x )>14的解集. 解(1)作函数f (x )的图像如下,函数的递减区间为(-∞,0],[1,+∞). (2)令f (x )=14,解得x=±12或x=3, 结合图像可知,f (x )>14的解集为 {x |x <-12或12<x <3}.21(12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出这两种产品的收益与投资额的函数关系.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?其最大收益是多少万元?解(1)设投资债券等稳健型产品的收益f (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为f (x )=k 1x (k 1≠0,x ≥0),投资股票等风险型产品的收益g (x )(万元)与投资额x (万元)的函数关系为g (x )=k 2√x (k 2≠0,x ≥0),则f (1)=0.125=k 1,g (1)=0.5=k 2, 则k 1=0.125=18,k 2=0.5=12, 故f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12√x (x ≥0).(2)设投资债券类产品x 万元,则投资股票类产品(20-x )万元,依题意得,获得的总收益y=f (x )+g (20-x )=x8+12√20-x (0≤x ≤20).令t=√20-x (0≤t ≤2√5),则y=20-t 28+12t=-18(t-2)2+3,当t=2时,y max =3,故当x=16万元时,y max =3万元.所以投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,能使投资获得最大收益3万元.22(12分)已知函数f (x )=a x -1a x +1(a>1). (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明:f (x )是R 上的增函数. (1)解函数的定义域为R ,f (-x )+f (x )=a -x -1a -x +1+a x -1a x +1 =1-a x1+a x +a x -1a x +1=0,∴函数f (x )为奇函数. (2)解∵f (x )=a x -1a x +1=1-2a x +1(a>1),设t=a x,则t>0,y=1-2t+1的值域为(-1,1), ∴该函数的值域为(-1,1).(3)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a x1-1a x1+1−a x2-1a x2+1=2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1).∵a>1,x1,x2∈R,且x1<x2,∴a x1−a x2<0,a x1+1>0,a x2+1>0.∴2(a x1-a x2)(a x1+1)(a x2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).∴f(x)是R上的增函数.。
新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排
新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排必修1（36节）第一章集合（5）§1 集合的含义与表示 1 §2 集合的基本关系1§3 集合的基本运算 2 阅读材料康托与集合论小结与复习1第二章函数（9）§1 生活中的变量关系1 §2 对函数的进一步认识3§3 函数的单调性 1 §4 二次函数性质的再研究2§5 简单的幂函数 1 阅读材料函数概念的发展小结与复习1第三章指数函数和对数函数（14）§1 正整数指数函数 1 §2 指数概念的扩充3§3 指数函数 3 §4 对数 2§5 对数函数3§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1第四章函数应用7§1 函数与方程 2 §2 实际问题的函数建模4小结与复习1必修2（36）第一章立体几何初步（18节）§1 简单几何体 1 §2 直观图 1§3 三视图 3 §4 空间图形的基本关系与公理 2§5 平行关系 3 §6 垂直关系 4§7 简单几何体的面积和体积2第二章解析几何初步（18节）§1 直线与直线的方程8 §2 圆与圆的方程 5§3 空间直角坐标系3必修3全书目录第一章统计（16）§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法第二章算法初步（12）§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句第三章概率（8）§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用必修4第一章三角函数（16）§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章平面向量（12）§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形（8）§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用必修5第一章数列（12）§1数列1.1数列的概念 1.2数列的函数特性§2等差数列2.1等差数列 2.2等差数列的前ｎ项和§3等比数列3.1等比数列 3.2等比数列的前ｎ项和§4书雷在日常经济生活中的应用第二章解三角形（8）§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理 1.2余弦定理§2三角形中的几何计算§3解三角形的实际应用举例第三章不等式（16）§1不等关系——2 1.1不等关系 1.2比较大小§2一元二次不等式——52.1一元二次不等式的解法 2.2一元二次不等式的应用§3基本不等式——— 33.1基本不等式 3.2基本不等式与最大（小）值§4简单线性规划——54.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划 4.3简单线性规划的应用。
2016_2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.4.2换底公式高效测评
2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.2 换底公式高效测评 北师大版必修1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．1＋3a －a 2解析： ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.答案： A2.1log 1419＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3解析： 原式＝log 1914＋log 1315＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg 3.答案： C3．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( )A.12 B ．9C ．18D ．27解析： 由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝log 442＝2，∴lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9.∴m ＝9.答案： B4．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12C ．4D ．14解析： 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5＝________．解析： ∵原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5 ＝1×[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.答案： 16.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________．解析： 原式＝lg （2×5）－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算下列各式的值：(1)log 2125·log 318·log 519；(2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．解析： (1)log 2125·log 318·log 519＝log 25－2·log 32－3·log 53－2＝－12log 25·log 32·log 53＝－12·lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝－12.(2)原式＝(log 23＋log 3232)(log 322＋log 2323＋log 32)＝53log 23·92log 32＝152·1log 32·log 32＝152. 8．已知ln a ＋ln b ＝2ln(a －2b )，求log 2a b的值．解析： 因为ln a ＋ln b ＝2ln(a －2b )，所以ab ＝(a －2b )2.即a 2－5ab ＋4b 2＝0，解得a ＝b 或a ＝4b ， 又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，a －2b >0，所以a >2b >0，故a ＝4b ，log 2a b ＝log 24＝2，即log 2a b 的值是2. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？ 解析： (1)由已知得y ＝20lg P P 0(其中P 0＝2×10－5)．(2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为声压无害区，环境优良．。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.
3．5．2．对数函数的图像与性质（1）[教学目标]1、知识与技能（1）由前面学习对数函数的图像与性质的基础上,进一步应用对数函数的图像和性质解答问题．（2）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质．（3）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系． 2、 过程与方法 （1）让学生掌握指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系,会利用它们的对称关系, 熟练地进行画图．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质． 3、情感．态度与价值观使学生通过学习对数函数,了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系．在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的方法研究问题．直观明了,增强学习对数函数的积极性和自信心．[教学重点]: 对数函数的图像和性质以及与指数函数图像与性质之间的关系． [教学难点]：对数函数图像与性质与指数函数的图像与性质之间的关系． [课时安排]: 2课时[学法指导]：学生思考、探究． [讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]复习:1．对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:（0，+∞）（0，+∞）y<0 :1．在同一直角坐标系中画出下列函数的图像211323(1)y log x;(2)y log x;(3)y log x;(4)y lo g x;(5)y lg x=====2．求下列函数的定义域:31(1)y log (2)y ln4x==-解:（10>,即x 2>,所以函数3y log ={x |x 2}>;（2）因为104x >-,即x 4<,所以函数1y ln4x=-的定义域为{x |x 4}< 3．比较下列各题中两个数的大小:(1)lg 0.3,lg 0.4; 0.50.5(2)log 3,log 0.23(3)log e,ln 3; a a (4)log 0.9,log 1.2(a 0,a 1)>≠解: （1）因为10>1,函数y lg x =是增函数,0．3<0．4,所以lg0.3lg0.4;> （2）因为0．5<1,函数0.5y log x =是减函数,3>0．2,所以0.50.5log 3log 0.2<; （3）因为函数3y log x =是增函数,e 3<,所以33log e log 31<=,同理1lne ln3=<,所以3log e ln 3;<（4）当a 1>时,函数a y log x =在(0,)+∞上是增函数,此时, a a log 0.9log 1.2<, 当0a 1<<时,函数a y log x =在(0,)+∞上是减函数,此时, a a log 0.9log 1.2> [互动过程2]观察在同一坐标系内函数2y log x =与函数xy 2=的图像，分析它们之间的关系． 解:从图上可以看出点P （a,b ）与点Q （b,a ）关于直线y=x 对称,函数2y log x =与函数xy 2=互为反函数,对应于函数2y log x =图像上任意一点P （a,b ）,P 关于直线y=x的对称点Q （b,a ）总在函数x y 2=的图像上,所以,函数2y log x =的图像与函数xy 2=的图像关于直线y=x 对称．[结论]:一般地,函数y f (x)=的图像和它的反函数的图像关于直线y=x 对称． [互动过程3]1．根据表中的数据（精确到0．01）,画出函数2y log x =,3y log x =5y log x =的图像,并观察图像,说明三个函数图像的相同与不同之处．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时,a 的变化对函数图像有何影响?3．仿照前面的方法,请你猜想,对数函数a y log x =当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 4．练习:1[实际应用]人们早就发现放射性物质的衰减现象,在考古工作中,常用14C 的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律:rt0C(t)C e-=,其中t 表示衰减的时间,0C 表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t 年后剩余的质量． 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C 的半衰期大约是5730年,由此可确定系数r,人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比的．1950年在巴比伦发现一根刻有Hammmurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其14C 分子的衰减速度为4．09个/（g ·min ）,而新砍伐烧成的木炭中14C 的衰减速度为6．68个/（g ·min ）,,请估算出Hammmurbi 王朝所在的年代．解:因为14C 的半衰期大约是5730年,所以建立方程5730r 1e 2-=,解得r 0.000121=,由此可知14C 的衰减规律服从指数型函数0.000121t0C(t)C e-=设发现Hammmurbi 王朝字样的木炭的时间（1950年）为0t 年,因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比的,所以00C(t ) 4.09C 6.68=,所以0.000121t4.09e 6.68-=,两边取自然对数,得00.000121t ln 4.09ln 6.68-=-,解得0t 4054≈（年）．即Hammmurbi 王朝所在的年代大约在公元前2100年．课堂小结:1．互为反函数的图像之间的关系．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时和当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 3．指数函数、对数函数在考古中的应用． 作业:习题3-5 B 组1,2,3,4。
2019_2020学年高中数学第3章指数函数和对数函数4对数4.2换底公式学案北师大版必修1
4.2 换底公式换底公式阅读教材P 83～P86有关内容，完成下列问题．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝思考：换底公式的作用是什么？[提示] 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算．1.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32D ．92B [log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.]2．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 12a ＋1 [log 123＝log 33log 312＝12log 32＋1＝12a ＋1] 3．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 9 [因为log 34·log 48·log 8m ＝2，所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2，化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9.]4．log 29·log 34＝________. 4 [log 29·log 34＝2log 23·log 24log 23＝2log 24＝4log 22 ＝4.]【例1】 计算：log 1627log 8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．2．换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m＝m nlog a b .1．计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2·3lg 22lg 3＝54.【例2】1836[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a， 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9) ＝log 2×1818a＋b＝(a ＋b )·log 2×1818. 又因为log 2×1818＝1log 18＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a.法二：∵18b＝5， ∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b2－a. 法三：∵log 189＝a,18b＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log 142＝a ，试用a 表示log27.(2)若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245. [解] (1)法一：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a.所以1＋log 27＝1a.所以log 27＝1a－1.由对数换底公式， 得log 27＝log27log 22＝log 272.所以log27＝2log 27＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝－aa.法二：由对数换底公式，得log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a .所以2＝a (log 27＋2)， 即log27＝－aa.(2)因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b.[探究问题]1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .试写出y 关于x 的函数关系式．提示：依题意得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x，其中x ≥1，x ∈N .2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)提示：依题意得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x≤a ×12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ≤12⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．【例3】 某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x 年后的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)[思路探究] 先利用指数函数知识列出y 与x 的函数关系式，再利用对数求值． [解] (1)由题意y ＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x ∈N ＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x ＝1.2， ∴x ＝log 1.0121.2＝lg 1.2lg 1.012≈0.079 20.005 2≈16，故大约16年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤3．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)13 [由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝0.90，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t ，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg 12＝t2lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( )(2)log 52＝log－2log－5.( ) (3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b a B ．a bC ．a bD ．b aB [log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .]3．log 332·log 227＝________.15 [log 332·log 227＝lg 32lg 3·lg 27lg 2＝5lg 2lg 3·3lg 3lg 2＝15.]4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)[解] 设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ，则y 与x 的关系式为y ＝0.84x.依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log 0.840.5＝x ，由换底公式知x ＝ln 0.5ln 0.84，用科学计算器计算得x≈3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．。