(贵阳专用)中考数学-教材同步复习第六章圆课时21圆及其相关性质权威预测
中考数学新突破复习第一部分教材同步复习第六章圆6.1圆及其相关性质课件
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3 cm， ∵OC＝5 cm, ∴MC＝5－3＝2 cm， 在Rt△AMC中， AC＝ AM2＋MC2＝ 42＋22＝2 5 cm. 所以AC的长为4 5 cm或2 5 cm.故选D． Nhomakorabea 谢谢观看！
三年中考 ·讲练
典 例 精 析 垂径定理 【例 1】 则OC＝( B ) A． 3 cm C． 5 cm 【思路点拨】 长即可． B． 4 cm D． 6 cm 本题考查了垂径定理、勾股定理．连接 (2015· 遂宁 ) 如图，在半径为 5
cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，
OA，先利用垂径定理得出 AC的长，再由勾股定理得出OC的
【错解分析】
本题在确定点 C 的位置时容易只考虑其
中一种情况而忽视另一种位置情况，从而出错 . 解题时应考 虑全面，作出正确的图形有助于解决问题．
【正解】 连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10 cm，
AB⊥CD，AB＝8 cm ， 1 1 ∴AM＝ AB＝ ×8＝4 cm, OD＝OC＝5 cm, 2 2 当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5 cm, AM＝4 cm, CD⊥AB， ∴OM＝ OA2－AM2＝ 52－42＝3 cm， ∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8 cm， ∴AC＝ AM2＋CM2＝ 42＋82＝4 5 cm；
位置 ，半径确定圆的 ________ 大小 ， 2 ．圆心确定圆的 ________ 圆心相同的圆叫做同心圆，半径相等的圆叫做等圆．
3．圆的有关概念：a.弦：连接圆上任意两点的线段；b.
半径 的2倍；c.弧：圆上 直径：经过圆心的弦，直径等于________ 任意两点间的部分； d.圆心角：顶点在圆心且两边都和圆相 交的角叫圆心角； e.圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交 的角叫圆周角． 4．圆的对称性 过圆心 的直线都是它 (1)轴对称性：圆是轴对称图形，________ 的对称轴． 圆心 (2) 中心对称性：圆是以 ________ 为中心的中心对称图 形．
中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第六章 圆 第21讲 圆的基础知识课件
【答案】 D
12/9/2021
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有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径( 半径)，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的，圆 的半径 r、弦的长度 l、圆心到弦的距离(弧心距)d 三者之间的 关系是(12l)2＋d2＝r2.
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2．圆的有关概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于
半圆的弧叫做___优_弧__(_yō_u，hú)小于半圆的弧叫做_劣__弧__(l_ièh. ú) (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_圆__心__(y_u的ánxīn)
弦叫做直径． (3)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
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2．垂径定理(选学内容)：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧． 3．圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果__圆__心_角__、_弧__、__弦____中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
每一条弧都叫做半圆．
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(4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中， ____能_够__(_né_n_gg_ò_u)的重合弧叫做等弧．
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． (6)圆周角：顶点在圆上，并且__两__边__(_liǎ_n_gb都iān与) 圆相交的角 叫做圆周角． 3．确定圆的条件：不__在_同__一__(t_ón_g_yī_)直__线_的上 三个点确定一个圆．
中考数学总复习第一部分教材考点全解第六章圆第21讲圆的基础知识
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巩固提升 2．(2017·毕节改编)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的
弦，∠ACD＝40°，则∠BAD为( B )
A．30°
C．60°
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B．50° D．70°
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类型
3 (lèixíng)
圆内接四边形的性质(xìngzhì) (2017·广东)如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝
【答案】 B
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利用圆周角定理及其推论解答具体问题时，找准同弧所 对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理及其推论进行求 角度的相关计算.与圆周角有关的常用辅助线有：①过圆上某 点作直径，连接过直径端点的弦；②弦垂直平分半径时可构 造直角三角形；③构造同弧所对的圆周角.
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考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo 三 diǎn)
圆的有关概念
圆的对称性 圆周角定理及推论(高频考点)
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考点(kǎo 一 diǎn)
圆的有关(yǒuguān)概念
1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形，也可以看成是平面内一个动点绕一个定点 旋转一周所形成的图形，这个定点叫做_圆__心__(_yu，ánx定īn) 长叫 做__半__径___.
(2017·哈尔滨)如图，⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点
P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B 的大小是( )
A．43° C．34°
B．35° D．44°
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人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理
第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。
中考数学一轮复习教学案第21课时圆的有关性质
当堂检测
1.有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP= ，则弦BC的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．3
4．如图，AB是⊙O的直径，P为AB上的一点，弦MN过点P,∠NPB=45°，
AP=2，BP=6，求MN的长；
12.如图，正方形ABCD的顶点A、D和正方形JKLM的顶点K、L在一个半径为5的⊙O上，点J、M在线段BC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长。
2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__，简称弧，大于__的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__，经过圆心的弦叫做__。
4．能够重合的两个圆叫做__，能够互相重合的两条弧叫做__。
5．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，
(1)点在圆外，即d___r；(2)点在圆上，即d____r；
考点3、圆心角、圆周角
【例3】1、下列说法：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等；③等弧所对的圆周角相等；④圆心角相等，所对的弦相等，其中正确的说法有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第2题图第3题图第4题图
(贵阳专用)中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第六章 圆 课时23 与圆有关的计算真题精练-人
第一部分 第六章 课时23命题点1 弧长的相关计算1．(2018·某某)如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E .设△OPE 的内心为M ，连接OM ，PM .(1)求∠OMP 的度数；(2)当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长． 解：(1)∵△OPE 的内心为M ，∴∠MOP ＝∠MOC ，∠MPO ＝∠MPE ， ∴∠PMO ＝180°－∠MPO －∠MOP ＝180°－12(∠EOP ＋∠OPE )．∵PE ⊥OC ，即∠PEO ＝90°，∴∠PMO ＝180°－12(∠EOP ＋∠OPE )＝180°－12(180°－90°)＝135°.(2)如答图，连接CM ，∵OP ＝OC ，OM ＝OM ，∠MOP ＝∠MOC ，∴△OPM ≌△OCM ， ∴∠CMO ＝∠PMO ＝135°，∴点M 在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上．当点M 在扇形BOC 内时，过C ，M ，O 三点作⊙O ′，连接O ′C ，O ′O ，在优弧CO 上取点D ，连接DO .∵∠CMO ＝135°，∴∠CDO ＝180°－135°＝45°， ∴∠CO ′O ＝90°， 而OA ＝2 ， ∴O ′O ＝22OC ＝22×2＝2，∴弧OMC 的长为90π×2180＝22π.同理，当点M 在扇形AOC 内时， 弧ONC 的长为22π， ∴内心M 所经过的路径长为2×22π＝2π. 命题点2 扇形面积的相关计算2．(2017·某某)如图，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F .(1)求∠AFE 的度数；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) 解：(1)如答图，连接OD ，OC ．∵C ，D 是半圆O 上的三等分点，∴AD ︵ ＝CD ︵ ＝BC ︵， ∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°，∴∠CAB ＝30°. ∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°， ∴∠AFE ＝90°－30°＝60°. (2)由(1)知∠AOD ＝60°. ∵OA ＝OD ，AB ＝4，∴△AOD 是等边三角形，OA ＝2. ∵DE ⊥AO ，∴DE ＝3，∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60π×22360－12×2×3＝23π－ 3.3．(2016·某某)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8.(1)利用尺规，作∠CAB 的平分线，交⊙O 于点D ；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接CD ，OD ，若AC ＝CD ，求∠B 的度数；(3)在(2)的条件下，OD 交BC 于点E ，求由线段ED ，BE ，BD ︵所围成区域的面积．(其中BD ︵表示劣弧，结果保留π和根号)解：(1)如答图1，AP 即为所求的∠CAB 的平分线．答图1(2)如答图，∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠ADC ． ∵∠ADC ＝∠B ，∴∠CAD ＝∠B ．∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ＝∠B ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠B ＝90°， ∴3∠B ＝90°，∴∠B ＝30°. (3)由(2)得，∠CAD ＝∠BAD ＝30°. ∵∠DOB ＝2∠DAB ，∴∠BOD ＝60°， ∴∠OEB ＝90°.如答图2 ，连接OD 交BC 于点E ，连接CD ．答图2在Rt △OEB 中，OB ＝12AB ＝4，∴OE ＝12OB ＝2，∴BE ＝OB 2－OE 2＝42－22＝23， ∴S △OEB ＝12OE ·BE ＝12×2×23＝23，S 扇形BOD ＝60π·42360＝8π3，∴线段ED ，BE ，BD ︵ 所围成区域的面积为8π3－2 3.4．(2015·某某)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO ⊥AB ，垂足为点O ，连接AF 并延长交⊙O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ，∠B ＝30°，FO ＝2 3.(1)求AC 的长度；(2)求图中阴影部分的面积．(计算结果保留根号)解：(1)∵OF ⊥AB ，∴∠BOF ＝90°.∵∠B ＝30°，FO ＝23， ∴OB ＝OFtan30°＝6，AB ＝2OB ＝12.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12AB ＝6.(2)由(1)可知AB ＝12，则AO ＝6，即AC ＝AO .在Rt △ACF 和Rt △AOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ，AC ＝AO ，∴Rt △ACF ≌Rt △AOF (HL)， ∴∠FAO ＝∠FAC ＝30°.∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ＝30°， ∴∠DOB ＝∠OAD ＋∠ADO ＝60°. 如答图，过点D 作DG ⊥AB 于点G .∵OD ＝6，∴DG ＝33，∴S △ACF ＋S △OFD ＝S △AOD ＝12×6×33＝93，即阴影部分的面积是9 3.5．(2014·某某)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝60°，连接AO ，BO .(1)AB ︵所对的圆心角∠AOB ＝__120°__； (2)求证：PA ＝PB ；(3)若OA ＝3，求阴影部分的面积． (1)解：120°.【解法提示】∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－60°＝120°. (2)证明：如答图，连接OP .在Rt △OAP 和Rt △OBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴Rt △OAP ≌Rt △OBP (HL)，∴PA ＝PB ． (3)解：∵Rt △OAP ≌Rt △OBP ， ∴∠OPA ＝∠OPB ＝12∠APB ＝30°.在Rt △OAP 中，∵OA ＝3，∴AP ＝33， ∴S △OPA ＝12×3×33＝932，∴S 阴影＝2×932－120π×32360＝93－3π.。
2024年中考数学一轮复习第21讲+圆的基本性质课件+
第六章 圆
第21讲 圆的基本性质
与圆有关的概念
一周
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转①______，
圆的形成性定
另一个端点 A 所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做
义
圆心
半径
②______，线段
OA 叫做③______
圆的描述性定
义
同心圆
等圆
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点
∵ = ，
∴ = = .
∵ ∠ = ∘ , ∠ = ∘ ,
∴ ∠ = ∘ .
∵ = ，
∴△ 为等边三角形， ∴ = = ，
∴ 轮胎的直径 = = × = .
1
A.
3
D )
B. 2 2
2 2
C.
3
D.
2
4
6.（2023洛阳伊川一模）如图，在半径为1的扇形 AOB 中， ∠AOB = 90∘ ，点 P 是
⌢
AB 上任意一点（不与点 A ， B 重合）， OC ⊥ AP ， OD ⊥ BP ，垂足分别为 C ， D ，
则 CD 的长为(
1
A.
2
B )
B.
2
10.数学文化 （2022三门峡二模）阅读材料，并完成相应任务.
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家
阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1， AB 和 BC 是
⌢
⊙ O 的两条弦（即折线 ABC 是圆的一条折弦）， BC > AB ，点 M 是 ABC 的中点，