2020届高考数学三轮小专题《2.8 指数函数与对数函数》典例导引+课后精练(无答案)

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2020版高考数学一轮复习课后限时集训8指数与指数函数理含解析北师大版2

课后限时集训(八)　指数与指数函数(建议用时：60分钟)A 组　基础达标一、选择题1．设a ＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )a 2a ·3a 2A ．a B ．a 12 56C ．aD ．a 7632C [＝＝Error!＝Error!＝a 2－＝a .故选C.]a 2a ·3a 2a 2a ·a 56 762．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图像可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b.综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )xa x|x | A B C DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝＝Error!当x ＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a ＜xa x|x |1，所以函数递减；当x ＜0时，函数图像与指数函数y ＝a x (x ＜0)的图像关于x 轴对称，函数递增，所以应选D.]4．若2x 2＋1≤x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )(14)A. B.[18，2)[18，2]C. D ．[2，＋∞)(－∞，18]B [因2x 2＋1≤x －2＝24－2x ，则x 2＋1≤4－2x ，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1，所以(14)18≤y ≤2.]5．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)D [不等式2x (x －a )＜1可变形为x －a ＜x.在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y (12)＝x 的图像．由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y ＝x (12)(12)图像的下方．由图可知，－a ＜1，所以a ＞－1.]二、填空题6．计算：－×0＋8×－Error!＝________.(32)13(－76)14 422　[原式＝Error!×1＋2×2－Error!＝2.](23)34 14 (23)7．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)．若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(－∞，4]　[令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间上递增，在区间上递[m 2，＋∞)(－∞，m 2]减．而y ＝2t 在R 上递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上递增，则有≤2，即m ≤4，m2所以m 的取值范围是(－∞，4]．]8．(2019·西安八校联考)设函数f (x )＝Error!则满足f (x )＋f (x －1)＞1的x 的取值范围是________．(0，＋∞)　[画出函数f (x )的大致图像如图，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上递增．又x ＞x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)＞1成立，则结合函数f (x )的图像知只需x －1＞－1，解得x ＞0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式x ＋x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．(1a )(1b )[解]　(1)因为f (x )的图像过A (1,6)，B (3,24)，所以Error!所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，x ＋x －m ≥0恒成立，即m ≤x ＋x 在(－∞，1](12)(13)(12)(13)上恒成立．又因为y ＝x 与y ＝x 均为减函数，所以y ＝x ＋x 也是减函数，(12)(13)(12)(13)所以当x ＝1时，y ＝x ＋x有最小值.所以m ≤.(12)(13)5656即m 的取值范围是.(－∞，56]10．已知函数f (x )＝－＋3(－1≤x ≤2)．14x λ2x －1(1)若λ＝，求函数f (x )的值域；32(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．[解]　(1)f (x )＝－＋314x λ2x －1＝2x －2λ·x ＋3(－1≤x ≤2)．(12)(12)设t ＝x ，(12)得g (t )＝t 2－2λt ＋3.(14≤t ≤2)当λ＝时，g (t )＝t 2－3t ＋332＝2＋.(t －32)34(14≤t ≤2)所以g (t )max ＝g ＝，(14)3716g (t )min ＝g ＝.(32)34所以f (x )max ＝，f (x )min ＝，371634故函数f (x )的值域为.[34，3716](2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2，(14≤t ≤2)①当λ≤时，g (t )min ＝g ＝－＋，14(14)λ24916令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去；λ2491633814②当＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，14令－λ2＋3＝1，得λ＝；2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)③当λ＞2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝＜2，不符合，舍去．32综上所述，实数λ的值为.2B 组　能力提升1．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( )A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数A [∵f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－[x (e －x ＋e x )]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．任取x 2＞x 1＞0，则e x 2－e x 1＞0，e x 2＋x 1＞1，e x 2＋e －x 2－(e x 1＋e －x 1)＝(e x 1－e x 1)＞0，(1－1e x 1＋x 2)f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A.]2．设函数f (x )＝Error!则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A. B ．[0,1][23，1]C. D ．[1，＋∞)[23，＋∞)C [令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .当t ＜1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，当t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )在(－∞，1)上递增，即g (t )＜g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，即当a ＜1时，3a －1≥1，解得≤a ＜1；或a ≥1时，2a ≥1，23解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是a ≥.]233．若32＋2x －3x 2＋x＞2＋2x －x 2＋x ，则x 的取值范围是________．(14)(14)(－1,2)　[∵32＋2x －3x 2＋x＞2＋2x －x 2＋x ，(14)(14)∴32＋2x －2＋2x ＞3x 2＋x －x 2＋x，(*)(14)(14)观察知，不等式两边结构相同，故构造函数F (t )＝3t －t ，则F (t )为R 上的增函数，而(*)(14)式可以写成，F (2＋2x )＞F (x 2＋x )，根据F (x )递增，得2＋2x ＞x 2＋x ，即x 2－x －2＜0，解得x ∈(－1,2)．]4．已知定义域为R 的函数f (x )＝是奇函数．－2x ＋b 2x ＋1＋a(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0.[解]　(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即＝0，解得b ＝1，－1＋b 2＋a所以f (x )＝.－2x ＋12x ＋1＋a又由f (1)＝－f (－1)知＝－，解得a ＝2.－2＋14＋a －12＋11＋a(2)由(1)知f (x )＝＝－＋.－2x ＋12x ＋1＋21212x ＋1由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．所以t 2－2t ＞－2t 2＋1，即3t 2－2t －1＞0.解得t ＞1或t ＜－，所以该不等式的解集为13.{tt ＞1或t ＜－13}。

江苏版高考数学一轮复习：专题2.8指数式与对数式讲解附答案.doc

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】专题2.8指数式与对数式【考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ指数函数的图象与性质√1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 计算213×4－23＝________．【解析】213×4－23＝213×(22)－23＝213－43＝2－1＝12.2．[教材改编] 给出下列函数：(1)y ＝5·3x ；(2)y ＝4x －1；(3)y ＝x 3；(4)y ＝2x＋1；(5)y＝42x，其中是指数函数的有________个．据指数函数的定义，只有满足形如y ＝a x (a >0，a ≠1)的函数才是指数函数．因为y ＝42x＝16x，所以y ＝42x是指数函数．3．[教材改编] 若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图像经过点(－1，3)，则f (2)＝________．4．[教材改编] 函数y ＝1－3x的定义域为 ________. 【解析】要使函数有意义，需1－3x≥0，得x ≤0. 5．[教材改编] 函数y ＝ax －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________．【解析】令x －1＝0，得x ＝1，又y ＝a 0＋2＝3，所以图像恒过定点(1，3)．题组二常错题6．当x∈[－2，2]时，a x<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．【解析】当x∈[－2，2]时，a x<2(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝a x是一个增函数，则有a2<2，可得－2<a<2，故有1<a<2；当0<a<1时，y＝a x是一个减函数，则有a－2<2，可得a>22或a<－22(舍)，故有22<a<1.综上可得，a∈⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．7．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则f(2x)与f(3x)的大小关系是____________．题组三常考题8．设a＝2－1，b＝⎝⎛⎭⎪⎫1223，c＝4－2，则a，b，c的大小关系为________________．【解析】a＝2－1，b＝2－23，c＝2－4，因为y＝2x是R上的增函数，所以b>a>c.9．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．【解析】当x<1时，e x－1≤2，即e x－1≤e ln 2，得x≤1＋ln 2，所以x<1；当x≥1时，x12≤2＝412，得x≤4，所以1≤x≤4.综上x≤4.10．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．【解析】由题意存在正数x使得a>x－12x成立，即a>⎝⎛⎭⎪⎫x－12x min.由于y＝x－12x是(0，＋∞)上的增函数，故x－12x>0－120＝－1，所以a>－1.【知识清单】1 根式与指数幂的运算1．()(*)((0)((0)n n n n a a n N a n a a a a n a a ⎧=∈⎪⎧⎨⎪=≥⎧⎨⎪=⎨⎪⎪-<⎩⎩⎩为奇数）为偶数）2. 有理数指数幂的运算性质: ①r s r sa a a+=(0,,)a r s Q >∈;②()r srsa a =(0,,)a r s Q >∈; ③()rr rab a b =(0,0,)a b r Q >>∈. 2对数式与对数式的运算1.①log a 1＝0；②log a a ＝1；③log a NaN =；④log N a a N =.2. ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a M N＝log a M －log a N ， ③log a M n＝n log a M (n ∈R )【考点深度剖析】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．【重点难点突破】考点1 根式与指数幂的运算【1-1】给出下列命题:① nn a 与()n n a 都等于a (n ∈N *);②222a b ab ⋅=；③函数32x y =⋅与12x y +=都不是指数函数；④若m na a <（01a a >≠且），则m n <．其中正确的是 . 【答案】③【1-2】化简：160.25034216(23)4()28( 2.015)49-⋅--⋅--【答案】98 【解析】原式＝1111663233244723422123721984⨯⨯⨯⋅-⨯-⋅-=⋅---=．【1-3】331122221122m m m m4.m m----+=-，求【答案】15．【思想方法】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点2 对数式与对数式的运算【2-1】若4log 3x =，则2(22)xx --= . 【答案】43. 【解析】由4log 3x =，得43x=，即23x=32x -=所以2(22)x x --=2234)3=．【2-2】设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝10【解析】由题意a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，代入1a ＋1b＝2得log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，所以m ＝10.【2-3】已知log 147＝a ，14b＝5，则log 3528等于________．(用a ，b 表示) 【答案】2aa b-+．【解析】因为14b＝5，所以b ＝log 145，所以a ＋b ＝log 147＋log 145＝log 1435，1－a ＝1－log 147＝log 142.由换底公式得，log 3528＝log 1428log 1435＝1＋log 142log 1435＝2－aa ＋b ．【思想方法】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化． 2．熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．【温馨提醒】要时刻谨记对数本身的式子有意义，否则容易导致多解．【易错试题常警惕】利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．如：若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()()14g x m x =-在[)0,+∞上是增函数，则a = ．【分析】函数()()14g x m x =-在[)0,+∞上是增函数，则140m ->，即14m <．当1a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，最小值为1m a =，最大值为24a =，解得2a =，12m =，与14m <矛盾；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，最小值为2a m =，最大值为14a-=，解得14a =，116m =．所以14a =．【易错点】本题容易忽视了对参数a 的讨论，以为1a >而致误．【练一练】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 【答案】(3，＋∞)。

2020年高考数学(理)高频考点函数与导数专题08 对数与对数函数(解析版)

函数与导数08 函数对数与对数函数一、具体目标：1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点. 二、知识概述：1.对数：如果(0,1)xa N a a =>≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log (01)a x N a a >≠＝且，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 对数的性质(01,N>0)a a >≠且：①a Na N =log ；②log N a a N =；③换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠；1log (0,1)log a b b b b a=>≠，推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=. 2.对数的运算法则：如果(01,N>0,M>0)a a >≠且，那么()log log M+log a a a MN N =；log log log aa a M M N N =-；log log n a a M n M =n ；log log m n a nM M m= 3.对数函数的概念、图象和性质:定义：形如log (01)a y x a a >≠＝且的函数叫对数函数.定义域(0,)+∞；值域R ；恒过点(1,0)；当1a >时是增函数；当01a <<是减函数.【考点讲解】4.温馨提醒： (1)复合函数的单调性，遵循“同增异减”；(2)注意遵循“定义域优先”的原则.1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题考查的是函数的奇偶性与对数的运算.由题意知()f x 是奇函数，且当0x >时，0x -<，()()e =ax f x f x --=--，所以()()e 0ax f x x -=>又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a -=，两【真题分析】边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得()22log 9log 2a +=，即92a +=，所以7a =-.故答案是7-. 【答案】7-3.【2018年高考江苏】函数()2log 1f x x =-的定义域为________．【解析】本题考点偶次根式下被开方数非负及对数函数的真数为正数，要使函数()x f 有意义，则⎩⎨⎧≥->01log 02x x ，解得⎩⎨⎧≥>20x x ，即函数()x f 的定义域为[)∞+，2. 【答案】[2，+∞）4．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数()()2ln 11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．【解析】由题意得()()()()()2222ln11ln11ln 122f x f x x x x x x x +-=+-+++++=+-+=，()()2f a f a ∴+-=,则()2f a -=-.故答案为−2.【答案】2-5.【2015高考四川】16log 01.0lg 2+＝_____________.【解析】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.2422log 10lg 16log 01.0lg 4222=+-=+=+-.【答案】2【变式】错误!未找到引用源。

2020届高考数学三轮小专题《2.1 函数及其表示方法》典例导引+课后精练(无答案)

第二章函数与基本初等函数§2.1 函数及其表示方法【典题导引】例1．（1）已知2(1)lg f x x+=，求()f x 的解析式；（2）()f x 为二次函数且()03f =，(2)()42f x f x x +-=+.试求出()f x 的解析式；（3）定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求函数()f x 的解析式．例2．如图1是定义在R 上的二次函数()f x 的部分图象，图2是函数()log ()a g x x b =+的部分图象．（1）分别求出函数()f x 和()g x 的解析式；（2）如果函数(())y g f x =在区间[1,)m 上是单调递减函数，求m 的取值范围．例3．设函数10()20xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x+->的x的取值范围是_________.例4．已知函数2()10x m xf xx x-+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m>．若函数()()1y f f x=-有3个不同的零点，则实数m的取值范围是．例5. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度()v km/h与时间()t h的函数图象如图所示，过线段OC上一点(),0T t作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为()t h内沙尘暴所经过的路程()s km．（1）当4t=时，求s的值；（2）求s与t的函数关系；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．（例5图）【课后巩固】1．已知{}1,2,3,4M =，设()f x ，()g x 都是从M 到M 的函数，其对应法则如下表：则((1))f g =________.2．已知函数122log ,0,(),0,x x f x x x -≥⎧⎪=⎨⎪<⎩则))4((f f = ．3．已知2211()f x x x x-=+，则(3)f =________.4．用长为30cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积2()S cm 表示为矩形一边长()x cm 的函数，则函数解析式为____________，其函数定义域为______________.5．设函数3,1,()2,1,x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩若5(())46f f =，则b = ________．6．若函数212log ,0,()log (),0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是________．7．设函数33,0,()2,0,x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩则函数()f x 的最大值为________．8．设函数31,1,()2,1,x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是_______．9．已知(log 3x f x =+．（1）求()f x ；（2）若1u v +=，证明：()()1f u f v +=；（3）求12100()()()101101101f f f +++L 的值．10．（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++.求函数()f x 的解析式；（2）已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式．11．已知函数2()f x x x =+．（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象关于点(2,3)-对称，求函数()g x 的解析式；（2）若函数()y f x =与()y h x =的图象关于直线2x =对称，求函数()h x 的解析式．12．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：2200x y mx n =++ (,m n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．。

2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第5讲指数与指数函数讲义理(含解析)

第5讲指数与指数函数[考纲解读］1。

理解有理指数幂的含义,掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．2。

理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)3。

通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．［考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.1．根式2．有理数指数幂（1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a错误!＝错误!（a>0，m,n∈N*且n〉1）．②正数的负分数指数幂：a－错误!＝错误!＝错误!（a〉0，m，n∈N＊且n〉1)．③0的正分数指数幂等于错误!0；0的负分数指数幂错误!没有意义．(2）有理数指数幂的性质①a r a s＝错误!a r＋s(a>0，r，s∈Q）；②（a r）s＝错误!a rs(a>0,r，s∈Q）；③（ab）r＝错误!a r b r（a〉0，b〉0，r∈Q）．3．指数函数的图象与性质y＝a x（a〉0且a≠1）a>10〈a〈1图象1．概念辨析(1）错误!与（错误!)n都等于a(n∈N＊)．（)(2）[（－2）6] 错误!＝（－2)6×错误!＝(－2）3＝－8.（)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( ）(4）若a m〈a n(a〉0，且a≠1),则m〈n.( ）答案(1）×（2）×(3）√（4）×2．小题热身(1）函数y＝a x－a(a〉0，且a≠1)的图象可能是( )答案C解析函数y＝a x－a的图象过点（1，0),排除A，B，D。

(2）化简错误!的结果是________．答案－错误!解析由题意得x〈0，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。

(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习第三部分教材知识重点再现回顾2函数与导数练习(含解析)

回顾2 函数与导数[必记知识]1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R .②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a ＜0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．[提醒] (1)解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.(2)解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．[提醒] 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.3．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．[提醒] 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.4．指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝a x(a＞0，且a≠1)恒过(0，1)点；y＝log a x(a＞0，且a≠1)恒过(1，0)点．(2)单调性：当a＞1时，y＝a x在R上单调递增；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，y＝a x在R上单调递减；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减．5．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．6．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)＜0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．[提醒] 已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b).7．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0两侧的符号变化：若左正右负，则x 0为极大值点；若左负右正，则x 0为极小值点；若不变号，则x 0不是极值点．(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤①求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的极值；②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[提醒] f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.[必会结论]1．函数周期性的常见结论(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )(a ≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |；若f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |.(2)若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0，f (x )≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |；若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0，f (x )≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |. (3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )的周期为|a －b |.(4)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 与x ＝b (a ≠b )对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.(5)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则函数f (x )的周期为2|a |.(6)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则函数f (x )的周期为4|a |.2．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称；(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．3．三次函数的相关结论给定三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，求导得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，则(1)当4(b 2－3ac )＞0时，f ′(x )＝0有两个实数解，即f (x )有两个极值点；当4(b 2－3ac )≤0时，f (x )无极值点．(2)若函数f (x )的图象存在水平切线，则f ′(x )＝0有实数解，从而4(b 2－3ac )≥0.(3)若函数f (x )在R 上单调递增，则a ＞0且4(b 2－3ac )≤0.[必练习题]1．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln （x －1）的定义域为( ) A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]解析：选D.要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln （x －1）的定义域为(1，2)∪(2，10]，故选D. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f （2x ），0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22的值是( ) A ．0B ．1C ．12D ．－12解析：选C.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f （2x ），0＜x ＜1，且0＜22＜1，2＞1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝f (2)＝log 22＝12，故选C. 3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2B ．154C ．174D ．a 2解析：选B.由题意知f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x ＋2，又f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2. ①又g (x )＋f (x )＝a x －a －x ＋2. ②①＋②得g (x )＝2，②－①得f (x )＝a x －a －x ，又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x ，所以f (2)＝4－14＝154，故选B. 4．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 解析：选B.由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确．因为y ＝log c x 是减函数，得log c a＜log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c lg b，因为0＜c ＜1，所以lg c ＜0.而a ＞b ＞0，所以lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，所以log a c 与log b c 的大小不能确定．5．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (π)＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D. 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ＞0时，f ′(x )＜f （x ）x，且f (－1)＝0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1，0) 解析：选B.设F (x )＝f （x ）x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数．F ′(x )＝1x2[xf ′(x )－f (x )]，x ＞0时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，F (1)＝F (－1)＝0，结合F (x )的图象得f (x )＞0的解为(－∞，－1)∪(0，1)．7．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)8．函数y ＝e x －x 在区间[－1，1]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝0，又f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1，f (0)＝e 0－0＝1，而e －1＞1e＋1＞1，所以函数f (x )＝e x －x 在区间[－1，1]上的最大值为e －1. 答案：e －19．设函数f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ，所以f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，所以所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝010．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个结论：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中正确结论的序号为________(写出所有正确结论的序号)．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0，0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③。

高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数

高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。

无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。

熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。

一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。

相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方,这里的n为正整数。

从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。

一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a b=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

a b=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。

当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。

指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nloga M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a logax；m logan=n logam4．负数和零没有对数；1的对数是零,即loga1=0；底的对数是1,即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：loga m N n=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。

江苏专用2020年高考数学一轮复习考点08指数与指数函数必刷题含解析

考点08 指数与指数函数1、不等式(13)x 2－8>3－2x的解集是________．【答案】{x |－2<x <4}【解析】原不等式为(13)x 2－8>(13)2x，∴x 2－8<2x ，解之得－2<x <4. 2、设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝(12)－1.5，则a 、b 、c 从大到小排列的顺序为________．【答案】a >c >b【解析】∵a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝(12)－1.5＝21.5，∴21.8>21.5>21.44，即a >c >b .3、已知f (x )＝2x＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．【答案】7【解析】由f (a )＝3得2a ＋2－a＝3， ∴(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f (2a )＝22a＋2－2a＝7.4、若a >1，b <0，且a b＋a －b＝22，则a b－a －b的值等于________．【答案】－2【解析】∵a >1，b <0， ∴0<a b <1，a －b>1. 又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b＋2＝8，∴a 2b ＋a－2b＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b－2＝4，∴a b－a －b＝－2.5、若f (x )＝a －x与g (x )＝a x －a(a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.【答案】2【解析】函数f (x )＝a －x上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有g (2－x 0)＝a 2－x 0－a ＝f (x 0)＝a －x 0，故a ＝2.6、若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．【答案】(22－2)x ＋1＋1【解析】函数f (x )＝ax ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1.7、给出下列结论： ①当a <0时，＝a 3；②na n＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y＝127，则x ＋y ＝7.其中正确结论的序号有________．【答案】②③ 【解析】∵a <0时，>0，a 3<0，∴①错；②显然正确；解⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥03x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确；∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．8、若曲线|y|＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为____．【答案】[－1，1]【解析】分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围. 曲线|y|＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：若|y|＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．9、若函数y ＝a 2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求实数a 的值．【答案】3或13.【解析】设t ＝a x，则y ＝f(t)＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.①当a>1时，t ∈[a －1，a]，所以y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)； ②当0<a<1时，t ∈[a ，a －1]，所以y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．故所求a 的值为3或13.10、函数f (x )＝2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x(a ∈R)的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．【答案】(－∞，23)【解析】由2－xx －1≥0，得1<x ≤2, 即A ＝{x |1<x ≤2}．∵y ＝2x是R 上的增函数， ∴由22ax<2a ＋x，得2ax <a ＋x ，∴(2a －1)x <a .(1)当2a －1>0，即a >12时，x <a2a －1.又A ⊆B ，∴a 2a －1>2，得12<a <23.(2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，满足A ∩B ＝A .(3)当2a －1<0，则a <12时，x >a2a －1.∵A ⊆B ， ∴a 2a －1≤1，得a <12或a ≥1，故a <12. 由(1)，(2)，(3)得a ∈(－∞，23)．11、已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．【答案】(1) log 32 (2) λ≤2 【解析】(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x－4x，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0 恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2. 12、已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3.(1) 求f(x)的定义域； (2) 证明：f(－x)＝f(x)； (3) 证明：f(x)>0.【答案】(1) (－∞，0)∪(0，＋∞) (2) 见解析 (3) 见解析【解析】(1) 由2x－1≠0得x≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3可化为f(x)＝2x＋12（2x－1）·x 3，则f(－x)＝2－x＋12（2－x －1）(－x)3＝2x＋12（2x－1）x 3＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)． (3) 当x>0时，2x>1，x 3>0，所以f(x)＝(12x －1＋12)x 3>0.因为f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0. 综上所述，f(x)>0.13、已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1) 作出函数的图象(简图)； (2) 由图象指出其单调区间；(3) 由图象指出当x 取什么值时函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|有最值，并求出最值．【答案】(1) 见图 (2) 单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞) (3) (－∞，－1]【解析】(1) 方法一：由函数解析式可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1，x≥－1，3x ＋1， x<－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x≥0)――→向左平移1个单位长度y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x<0)――→向左平移1个单位长度 y ＝3x ＋1(x<－1)．如图所示．方法二：①由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|的图象．②将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|的图象，如图所示．(2) 由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)． (3) 由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值． 14、已知函数f(x)＝a a 2－1(a x －a －x)(a>0且a≠1)．(1) 判断函数f(x)的奇偶性； (2) 讨论函数f(x)的单调性；(3) 若当x ∈[－1，1]时，f(x)≥b 恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】(1) 奇函数 (2) 单调递增 (3) (－∞，－1] 【解析】(1) 因为函数定义域为R ，关于原点对称，又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(2) 当a >1时，a 2－1>0，因为y ＝a x 为增函数，y ＝a －x为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数，所以函数f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，因为y ＝a x 为减函数，y ＝a －x为增函数，从而y ＝a x－a －x 为减函数，所以函数f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，函数f (x )在定义域内单调递增．(3) 由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1，1]上为增函数，所以f (－1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1，所以要使f (x )≥b 在[－1，1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．15、已知函数f (x )＝(13)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1) h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a3 a <13，3－a 213≤a ≤3，12－6a a >3.(2) 不存在【解析】(1)∵x ∈[－1,1]， ∴(13)x ∈[13，3]．设t ＝(13)x ，t ∈[13，3]，则φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ(13)＝289－2a3；当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a3 a <13，3－a 213≤a ≤3，12－6a a >3.(2)假设满足题意的m 、n 存在， ∵m >n >3，∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数．∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ②②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， ∵m >n >3，∴m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾， ∴满足题意的m 、n 不存在．。

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§2.8 指数函数与对数函数
【典题导引】
例1．已知函数()2log (1)a f x x x =-+ (0a >且1a ≠)．
（1）当a 变化时
，函数()y f x =的图象恒过定点，试求定点的坐标；（2）若1(2)2
f =，求a 的值；（3）若()f x 在区间[]0,2上的最大值为2，求a 的值．
例2．已知函数44()log (2+)log (2)f x x x =--，函数4()log (42)x g x =-．
（1）判断函数)(x f 的单调性，并证明你的结论；
（2）若不等式2(log (21))()g a f x +≤对2[,2)3
x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
例3．设a R ∈，函数21()log ()f x a x
=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的
取值范围；
（3）设0a >，若对任意1[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.
例4．已知函数2()log f x x =，2()2log (2),g x x a a R =+∈．
（1）求不等式21()()15f x f x ≤+-≤的解集；
（2）若19[,]44x ∀∈，(16)()f x g x ≥，求实数a 的取值范围；（3）设2a >-，求函数()()(),[1,2]h x g x f x x =-∈的最小值．
【课后巩固】
1．函数()3122log x f x x =-+的定义域为
．
2．设函数1()3()3x x f x =-，则满足12
(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是．
3．已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．
4．设0a >，且1a ≠，若102
x <≤时，不等式4log x a x <恒成立，则a 的取值范围是________．
5．如图，过原点O 的直线与函数2x y =的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数 4x y =的图象于点C .若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标为．
6．已知2()f x x =，1()()2
x g x m =-，若对1[1,3]x ∀∈－，2[0,2]x ∃∈，使12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是________．
7．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+－
在[1,1]-上的最大值是14，则a 的所有可能值的集合为________．
8．已知a ∈R ，函数2()|22|2x x f x a a -=+-+在区间[0,2]上的最大值是6，则实数a 的值为．
9．已知函数()42
x x n g x -=是奇函数，函数()()
4log 41x f x mx =++是偶函数．（1）求m n +的值；
（2）设()()12
h x f x x =+，若()()()4log 21g x h a >+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值集合．
10．已知函数log (()1)x a f x a =-()01a a >≠，．
（1）解关于x 的不等式：log 1()(1)x a a f >－；
（2）设11()A x y ,，22()B x y ,()12x x ≠是()f x 图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小
于0.
11．已知函数()33()x x f x λλ-=+⋅∈R ．
（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集；
（2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．
12. 已知函数13
1()log 1ax f x x -=-满足(2)1f -=，其中a 为实常数．（1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；
（2）若不等式1()()2
x f x t >+在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围．。