高考数学专题精讲 (3)

专题二三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质「考情研析」 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.核心知识回顾1.同角关系式与诱导公式(1)同角三角函数的基本关系：□01sin2α＋cos2α＝1，□02sinαcosα＝tanα.(2)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“□03奇变偶不变，符号看象限”．2．三种三角函数的性质3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤热点考向探究考向1 同角三角关系式、诱导公式例1 (1)(2019·临川第一中学等九校高三3月联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan(π＋α)＝( )A ．－1517B ．1517C ．－817D ．817答案 D解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan(π＋α)＝cos αtan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－1517，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－15172＝817.故选D. (2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22 D ．1答案 A解析 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，即α＝3π4，故tan α＝－1.(3)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )A.355 B ．377 C ．31010 D ．－353答案 C解析 由已知可得， －2tan α＋3sin β＋5＝0， ① tan α－6sin β－1＝0， ②①×2＋②得tan α＝3.∵α为锐角，∴sin α＝31010.故选C.(1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解．1．(2019·内江市高三第三次模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17C ．－7D ．－17答案 D解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35，∴tan α＝－43.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－43＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×1＝－17.故选D. 2．已知sin2α＝34，则tan α＋1tan α等于( ) A.83 B ．103 C ．113 D ．4答案 A解析 由sin2α＝2sin αcos α＝34，可得sin αcos α＝38，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝83.故选A.3．如果f (tan x )＝sin 2x －5sin x cos x ，那么f (2)＝________. 答案 －65解析 ∵f (tan x )＝sin 2x －5sin x cos x ＝sin 2x －5sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x －5tan xtan 2x ＋1，∴f (x )＝x 2－5x x 2＋1，则f (2)＝－65.考向2 三角函数的图象及应用例2 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)将函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，所得函数的一个对称中心可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0答案 A解析 f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将横坐标伸长到原来的2倍，所得函数为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，令x ＋π3＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π－π3(k ∈Z )，则对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，0，k ∈Z ，令k ＝0，则其中一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.故选A.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z解析 由函数的图象可得A ＝2，14T ＝7π12－π3＝14·2πω，解得ω＝2.再根据五点作图法可知2×π3＋φ＝π，φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )．1．解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法 (1)A ，B 由最值确定，即A ＝最大值－最小值2，B ＝最大值＋最小值2.(2)ω由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T2，对称轴与相邻对称中心之间的距离为T4.(3)φ由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定． 2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的正负和它的平移要求．(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.1．(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，把f (x )的图象向左平移π3个单位后，所得函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝0B ．x ＝π12 C ．x ＝π8 D ．x ＝π3答案 B解析 ∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π2ω＝π，∴ω＝1，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.若将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，求得x ＝k π2＋π12，令k ＝0，可得所得函数图象的一条对称轴为x ＝π12.故选B.2．(2019·丹东市高三总复习质量测试(一))设函数f (x )＝sin ωx (ω>0)，已知对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3内的任意x 1，总存在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3内的x 2，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则ω的( ) A ．最大值为3 B ．最小值为3 C ．最大值为94 D ．最小值为94 答案 D解析 因为要满足对任意的x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，总存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，对于f (x )＝sin ωx (ω>0)，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的函数值有正值，即f (x 1)可以有正值，要存在x 2使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则f (x 2)需要有负值．又f (x 1)可以取到最大值1，要存在f (x 2)，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则f (x 2)要可以取到最小值－1，说明f (x )在x >0上取得第一个最小值的点应在2π3的左侧或者恰好落在2π3处，所以34T ≤2π3，即34·2πω≤2π3，解得ω≥94.故选D.考向3 三角函数的性质例3 (1)(2019·天津九校高三联考)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )是减函数的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3答案 D解析 f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，因为图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于T 2＝π2，所以T ＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin2x .由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，所以y ＝g (x )是减函数的区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．分析选项只有D 符合．故选D.(2)若将函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3 答案 B解析 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，如果该函数的图象关于直线x ＝π4对称，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以m ＝－k π2＋π6(k ∈Z )，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6.(3)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为πC ．若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋2k π(k ∈Z )D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递减答案 D解析 因为f (x )＝|sin x |·cos x ，所以函数f (x )在区间[0,2π]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin2x ，0≤x ≤π，－12sin2x ，π<x ≤2π，且 f (x )是偶函数，画出f (x )的大致图象(图略)可知D 选项正确．故选D.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程． ②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1，|φ|<π)．若对任意x ∈R ，f (1)≤f (x )≤f (6)，则( )A ．f (1016)－f (1017)>0B ．f (1016)－f (1017)＝0C ．f (1016)＋f (1017)<0D ．f (1016)＋f (1017)＝0 答案 A解析 ∵0<ω<1，∴函数f (x )的最小正周期T >2π.∵对任意x ∈R ，f (1)≤f (x )≤f (6)，∴f (1)＝－1，f (6)＝1，函数f (x )在区间[1,6]上单调递增，∴T 2＝6－1＝5，即T ＝10.∴f (1016)＝f (6)，f (1017)＝f (7)．又∵函数f (x )的图象关于直线x ＝6对称，∴f (1017)＝f (7)＝f (5)．∵函数f (x )在区间[1,6]上单调递增，∴f (5)<f (6)，即f (1016)>f (1017)，∴f (1016)－f (1017)>0.故选A.2．(2019·宁夏银川高三下学期质检)将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向左平移π8个单位得到g (x )的图象，则g (x )在下列哪个区间上单调递减( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π16，9π16C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π答案 C解析 将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上，则2x∈[－π，0]，g (x )单调递增，故A 不满足条件；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π16，9π16上，则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8，g (x )不单调，故B 不满足条件；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，则2x ∈[0，π]，g (x )单调递减，故C 满足条件；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上，则2x ∈[π，2π]，g (x )单调递增，故D 不满足条件．故选C.3．(2019·新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos2x ＝m 在区间[0，π)上有两个根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,2)B ．[0,2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1) 答案 B解析 关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos2x ＝m 在区间[0，π)上有两个根x 1，x 2，方程即sin2x ＋cos2x ＝m －1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝m －12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝m －12在区间[0，π)上有两个根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.∵x ∈[0，π)，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，9π4∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，∴－22≤m －12≤22，求得0≤m ≤2.故选B.真题押题『真题模拟』1．(2019·新乡市二模)已知sin 2θ＋2cos θ＝－2，那么cos 2θ－2sin θ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2答案 A解析 因为sin 2θ＋2cos θ＋2＝0，所以cos 2θ－2cos θ－3＝0，解得cos θ＝－1或cos θ＝3(舍去)，所以sin θ＝0，所以cos 2θ－2sin θ＝1.故选A.2．(2019·天津高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．2 答案 C解析 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )的最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.故选C.3. (2019·汉中市高三教学质量第二次检测)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11π12＋2k π，π12＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋2k π，π12＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 答案 D解析 由图可知，图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0⇒T 4＝π3－π12⇒T ＝π，∵T ＝2π|ω|，ω>0，∴ω＝2；图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0，根据题中图象可得2×π3＋φ＝2m π＋π2(m ∈Z )，即φ＝2m π－π6.因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )时，函数单调递增，化简得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．故选D.4．(2019·温州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )答案 C解析 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除D.故选C.5．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④答案D解析 已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x ∈[0,2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5<6π，得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<πω10＋π5<49π100<π2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，所以③正确．故选D.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan α·tan 5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.『金版押题』7．若将函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x －32的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值是( )A.π12 B ．π4 C ．3π8 D ．5π12答案 D解析 ∵f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋3(1＋cos2x )2－32＝12sin2x＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，函数f (x )的图象向右平移φ个单位可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所得图象关于y 轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y 轴处取得函数的最值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝±1，解得－2φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，且φ>0，令k ＝－1，得φ的最小值为5π12.故选D. 8．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8.故选C.配套作业一、选择题1．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( ) A ．－35 B ．35 C ．－45 D ．45 答案 A解析 因为α为锐角，且sin α＝45，所以cos α＝35.所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35.2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π12(k ∈Z ) 答案 B解析 当k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 3．(2019·太原市高三模拟)已知tan α＝2，α∈(0，π)，则sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( ) A ．－255 B ．255 C ．－455 D ．455答案 A解析 sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin αcos α－sin α＝－2cos α，又tan α＝2＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝±55，又α∈(0，π)，tan α>0，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝55，所以sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－255.4．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 因为f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝12－12cos[2(ωx ＋φ)]，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω，由题图知T 2<1，且3T 4>1，即43<T <2，又ω为正整数，所以ω的值为2，故选B.5．函数f (x )＝x ＋cos xx 的图象为()答案 A解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除D ；因为f (－x )＝(－x )＋cos (－x )－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋cos x x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故排除B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋cos π2π2＝π2>0，故排除C ，故选A.6．(2019·毛坦厂中学高三校区联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，距离y 轴最近的最大值点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，3，若x 1，x 2∈(－a ，a )，且x 1≠x 2，恒有f (x 1)≠f (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.π3 B ．π6 C ．π9 D ．2π9答案 C解析 由题意，得A ＝3,3sin φ＝32，|φ|<π2，∴φ＝π6，由五点作图法知π9×ω＋π6＝π2，解得ω＝3，∴f (x )＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，令2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .解得2k π3－2π9≤x ≤2k π3＋π9，k ∈Z .∴(－a ，a )⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π9，π9，∴0<a ≤π9，实数a 的最大值为π9.故选C.7．如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6答案 B解析 由题意知，A ＝2，函数f (x )的图象过点(0，3)，所以f (0)＝2sin φ＝3，由|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故选B.8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度，故选B.9．(2019·南昌市外国语学校高三高考适应性测试)将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π4ω个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的图象关于直线x ＝ω对称且在区间(－ω，ω)内单调递增，则ω的值为( )A.π2 B ．3π2 C ．π4 D ．3π2答案 A解析 由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4ω＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为函数g (x )的图象关于直线x ＝ω对称且在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，－π2＋2m π≤－ω2＋π4，ω2＋π4≤π2＋2m π(m ∈Z )，因此k ≥0，k π≤π2－2m π，k π≤2m π，从而0≤π2－2m π，0≤2m π，即0≤m ≤14，所以m ＝0，k ＝0，ω＝π2，故选A.10．(2019·广元市高三第二次高考适应性统考)函数f (x )＝sin2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，给出如下四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝0；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④由y ＝2sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④答案 C解析 f (x )＝sin2x －3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故①正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝2sin0＝0，即函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，即对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝0成立，故②正确；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12，则2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，此时函数f (x )为增函数，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数，故③正确；由y ＝2sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，故④错误，故正确的是①②③，故选C.11．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6 B ．49π12 C ．35π6 D ．17π4答案 B解析 由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π12＋k π(k ∈Z )，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－2π＝49π12，故选B. 二、填空题12．(2019·南宁市高三模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.答案 25解析 由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2，从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.13．(2019·云南省高中毕业生统一检测)已知函数f (x )＝3sin x ＋cos x 在[－m ，m ]上是单调递增函数，则f (2m )的取值范围为________．答案 [1,2]解析 函数f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ⇒2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3上是单调递增函数，则[－m ，m ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤π3，－m ≥－2π3，⇒0＜m ≤π3，m ＞0f (2m )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋π6，而π6<2m ＋π6≤5π6，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋π6≤1，所以f (2m )∈[1,2]．14．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减小到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (π)＝________，函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的最大值为________．答案 0322解析 由题图可知函数y ＝f (x )的周期为4π，∴ω＝12.又∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2，∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.∴g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3－π6＝3cos x 2，g (π)＝0.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2，可得x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，则3cos x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.。