数学-福建省莆田市第二十四中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)

福建省莆田市第二十四中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）注意事项：一、选择题（每小题仅有一个正确选项）1、集合P ＝{x|y ＝x 2}，Q ＝{y|y ＝x 2}，则下列关系中正确的是( ) A. PQ B. P ＝Q C. P Q D. PQ2、已知全集U=R ，集合A={x|x 2＞4}，B={x|≤0}，则（U A ）∩B 等于（ ） A. {x|-2≤x ＜1} B. {x|-3≤x ＜2} C. {x|-2≤x ＜2} D. {x|-3≤x≤2}3、已知，那么( )A. B. C. D.4、已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）A.-3B.-1C.1D.35、若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则C. 若，则D. 若，则6、已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7、设函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. ⊆31x x +-ðx x x f 4)2(2-=-=)(x f 482--x x 42--x x x x 82+42-x ()f x ()g x R ()()321f x g x x x -=++()()11f g +=,,a b c R ∈a b >a c b c ->-a b >11a b<a b >22a b >a b >22ac bc >2{|0},{}1x A x B x x a x -=<=<+1a =B A ⊆()()()()212log 0{ log 0x x f x x x >=-<()()2f a f a >-+a ()1,00,22⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C. D. 8、《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A.B. C. D. 9、为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，该某班学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）A. B. C. D.10、欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11、从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有( ) A ．210 B ．420 C ．630 D ．84012、已知函数f （x ）=x ﹣sinx ，若x 1、 且f （x 1）+f （x 2）＞0，则下列不等()1,02,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭()1,0,22⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭910121313141415x y 10y x y b x a ∧∧∧=+101011225,1600,4i i i i x y b ∧==∑=∑==24160163166170i e cos isin xx x =+i 2ie 2ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦式中正确的是（ ）A. x 1＞x 2B. x 1＜x 2C. x 1+x 2＞0D. x 1+x 2＜0 二、填空题（注释）13、命题“x ∈R ，x 2＋2ax ＋a≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________． 14、设是上的奇函数，且当时， ，则当时_________________15、二项式的展开式中的系数为，则___． 16、某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）， 科总体的标准差最小 三、解答题（注释）17、已知函数b ax axx f +-=34)(2，2)1(=f ，11='）（f .(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1，2)处的切线方程．18、（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。

（I ）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望．19、如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点. （Ⅰ）求证：平面；∃()f x R [)0,x ∈+∞()()31f x x x =+(),0x ∈-∞()f x =636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭5x 320ax dx =⎰P ABCD -ABCD ,,PB BC PD CD ⊥⊥2,PA =E PD PA ⊥ABCD（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦.20、户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 5 女性 10 合计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是． （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99．5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽．若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记表示抽到喜欢瑜伽的人数，求的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：0．150．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828（）E AC D --35ξξ2()P K k ≥k 22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++参考公式：其中21、函数.（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；（2）若对任意的，都有，求的取值.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目22、已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.（1）写出圆的直角坐标方程； （2）求的值.23、已知函数，. （1）当时，求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围.()()2xf x ax ea R =-∈()y f x =1x =y ()y f x =120x x ≤<()()()()221122ln222ln2f x x f x x +-<+-a C 2cos ρθ=l 13221122x t x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t A 2,24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭l C P Q C AP AQ ⋅()1f x x =+()2g x x a =+0a =()()f x g x ≥x ()()g x f x ≤a参考答案一、选择题1、【答案】D2、【答案】A3、【答案】D4、【答案】C5、【答案】A6、【答案】A7、【答案】C8、【答案】B9、【答案】C 10、【答案】B 11、【答案】B 12、【答案】C 二、填空题13、【答案】 14、【答案】x(1-) 15、【答案】16、【答案】甲 三、解答题17、【答案】(1)f′(x)＝2ax － a.由已知得解得∴f(x)＝x 2－2x ＋.(2)函数f(x)在(1，2)处的切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.18、【答案】：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，所以该同学被淘汰的概率为：01a <<3x 13．……………6分（Ⅱ）的可能值为1,2,3，，，．所以的分布列为：1 23 P数学期望为.…………12分19、【答案】(1)见解析,(2)二面角的大小为. 试题分析：（1）由题意及正方形的特点，利用BC ⊥AB ，BC ⊥PB 得到BC ⊥平面PAB ，进而得到BC ⊥PA ，在利用CD ⊥PA ，得到线面垂直；（2）由题意及图形，利用三垂线定理得到二面角的平面角，并在三角形中解出即可； （Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴.同理，∴平面．（Ⅱ）解：设为中点，连结，又为中点，可得，从而底面．过作的垂线，垂足为,连结．由三垂线定理有， ∴为二面角的平面角.在中，可求得 ∴．cosEMN=∴二面角的大小为． 20、【答案】（1）见解析；（2）有；（3）分布列见解析，期望为． 21、【答案】(1)(2) 试题分析：(1)求出，由求得，令求得的范围，可得函E AC D --33ABCD BC AB ⊥BC PB ⊥BC ⊥PAB BC PA ⊥CD PA ⊥BC CD C ⋂=PA ⊥ABCD M AD EM E PD //EM PA EM ⊥ABCD M AC MN N EN EN AC ⊥ENM ∠E AC D --Rt EMN ∆21,,2EM MN ==tan 2EM ENM MN ==33E AC D --331.2()max 0f x '=(],1-∞()'f x ()10f '=2ea =()'0f x >x数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，从而可得的最大值；（2）对任意的，都有等价于函数在上单调递减，即在上恒成立，分两种情况讨论，分别研究函数的单调性，求出最值利用不等式恒成立列不等式求解即可.试题解析：（1）由，得， 令，则，可知函数在上单调递增，在上单调递减， 所以.（2）由题意可知函数在上单调递减，从而在上恒成立，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，则，当时，，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，通过求函数的导数可知它在上单调递增，故， 综上，实数的取值范围是.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题.()f x ()'0f x <x ()f x ()y f x =120x x ≤<()()()()221122ln222ln2f x x f x x +-<+-()()()()222ln222ln2xh x f x x ax x e =+-=+--[)0,+∞()()222ln20x h x ax e =+--≤'[)0,+∞()2x f x ax e '=-()120,2ef e a =-=='()()2x g x f x ax e ==-'()2xg x a e ='-()g x (),1-∞()1,+∞()()max 10f x f ='='()()()()222ln222ln2xh x f x x ax x e =+-=+--[)0,+∞()()222ln20xh x ax e =+--≤'[)0,+∞()()222ln2xF x ax e =+--()2xF x a e ='-12a ≤()0F x '≤()F x [)0,+∞()()max 012ln20F x F ==-<12a >()20xF x a e -'==ln2x a =()F x [)0,ln2a ()ln2,a +∞()()max ln22ln222ln220F x F a a a a ==+--≤2ln222ln22a a a -≤-ln y x x x =-[)1,+∞112a <≤a (],1-∞应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点求参数即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.22、【答案】（1）；（2）. 试题分析：（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.（1）由，得，，即， 即圆的直角坐标方程为；（2）由点的极坐标得点直角坐标为， 将代入消去、，整理得， 设、为方程的两个根，则，所以. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理 23、【答案】(1)；(2). ()()00,A x f x k ()0k f x ='k ()1f x k '=()()11,M x f x ()()00,,A x f x ()()()10010f x f x k f x x x ='-=-()2211x y -+=122cos ρθ=ρ222x y ρ=+cos x ρθ=C l x y t AP AQ ⋅2cos ρθ=22cos ρρθ=222x y ρ=+cos x ρθ=222x y x ∴+=()2211x y -+=C ()2211x y -+=A 2,24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A 11,22⎛⎫⎪⎝⎭132211y 22x t t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()2211x y -+=x y 2311022t t ---=1t 2t 2311022t t ---=1212t t =-1212AP AQ t t ⋅==1| 1 3x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(],1-∞11 试题分析：（1）当时，由题意得，两边平方，即可求解不等式的解集；（2）由得，令，分类讨论取绝对值，得出分段函数，作出图象，即可求解函数的最大值，进而得到实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，两边平方整理得，解得 所以原不等式的解集为 （2）由得，令，则，作出函数的图像，得从而实数的取值范围为0a =12x x +≥()()g x f x ≤12a x x ≤+-()12h x x x =+-a 0a =()()f x g x ≥12x x +≥23210x x --≤113x -≤≤1| 1 3x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭()()g x f x ≤12a x x ≤+-()12h x x x =+-()()()11{31(10) 10x x h x x x x x -≤-=+-<<-+≥()()max 01h x h ==a (],1-∞。