七年级数学提取公因式2
湘教版数学七年级下3.2提公因式法教案
32 提公因式法第2课时提公因式法（1）教学目标：1.知识与能力：让学生了解公因式的意义，初步学会用提公因式法因式分解.2.过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力.3.情感态度与价值观在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.教学难点：让学生识别多项式的公因式.教学过程：一、快乐启航1.什么叫做因式分解？2.请写出一个因式分解的例子.3.下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1t（2t3－3t2+t）；（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my.二、我会自主学习4.矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m （a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是因式分解.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.即：几个多项式的公共的因式它们的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.5.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（m）（2）4kx－8ky（4k）（3）5y3+20y2（5y2）（4）a2b－2ab2+ab（ab）三、我会合作交流探究6.例1： 将下列各式因式分解：（1）x xy x +-352 （2）x x 642-（3）z xy y x 242128- （4）－24x 3－12x 2+28x .分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.7.议一议：①怎样找出多项式的公因式？总结出找公因式的一般步骤.首先找各项系数绝对值的最大公因数；如8和12的最大公约数是4.其次找各项中因式含有的相同的字母的最低次幂；如（3）中相同的字母有ab . ②想一想从例1中能否看出提公因式法因式分解与单项式乘以多项式有什么关系？ 提公因式法因分解式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.8.试一试：（1）把下列各式分解因式①8x －72=8（x －9）②a 2b －5ab =ab （a －5）③4m 3－6m 2=2m 2（2m －3）④a 2b －5ab +9b =b （a 2－5a +9）⑤－a 2+ab －ac =－（a 2－ab +ac ）=－a （a －b +c ）⑥－2x 3+4x 2－2x =－（2x 3－4x 2+2x ）=－2x （x 2－2x +1）（2）把3x 2－6xy +x 分解因式［生］解：3x 2－6xy +x =x （3x －6y ）［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x 2－6xy +x =x （3x －6y +1）［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x 写成x ·1,这样可知提出一个因式x 后，另一个因式是1.四、我会归纳总结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma +mb +mc =m （a +b +c ）.这里的字母a 、b 、c 、m 可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法因式分解，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤（1）各项系数绝对值的最大公因数；（2）因式中相同的字母的最低次幂.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（x －y ）与（y －x ）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.五、快乐摘星台：1．下列各式的公因式为a 的是 ( )A.ax+ay+5B.3ma －6ma 2C.4 a 2 +10abD.a 2 －2a+ma2.（·邵阳）把22-4a a 因式分解的最终结果是（ ）A ．()2-2a aB ．()22-2a aC ．()2-4a aD ．()()-2+2a a3.（·泉州）因式分解：x x 52-= 。
七年级数学下册《提取公因式》教案、教学设计
3.解答与反馈：学生完成后，教师挑选部分答案进行讲解，分析解题过程中的误区和注意事项。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课学习的公因式概念、提取方法、应用等进行总结。
2.教学活动：引导学生从知识、方法和情感态度三个方面进行自我评价，反思学习过程中的收获和不足。
1.教学内容：设计具有讨论性的问题，让学生在小组内共同探讨提取公因式的方法。
2.教学活动：分组讨论，每组挑选一道具有代表性的题目进行讨论，总结提取公因式的规律。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.教学内容：布置具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
二、学情分析
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了整式的加减、乘法等基本运算，能够解决一些简单的实际问题。在此基础上，学生对提取公因式的学习具备了一定的认知基础，但在实际操作中可能还存在以下问题：1.对公因式的概念理解不够深入，容易混淆；2.提取公因式的方法掌握不够熟练，容易出错；3.在解决实际问题时，不能灵活运用提取公因式的方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的这些问题，通过针对性的教学设计，帮助学生克服困难，提高提取公因式的能力。同时，注重培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力，使学生在掌握知识的同时，提升数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：以生活中的实际例子作为导入，例如“小明去超市购物，购买了3件物品，每件物品的价格分别是6元、12元和18元。如果小明给了售货员50元，那么售货员应该找给小明多少钱？”通过这个例子，引导学生运用已学的数学知识解决问题。
初一数学提取公因式法试题
初一数学提取公因式法试题1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）A．-6ab2c B．-ab2C．-6ab2D．-6a3b2c【答案】C【解析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c中，系数的最大公约数是-6，相同字母的最低指数次幂是ab2，因此公因式是-6ab2，故选C.【考点】本题主要考查公因式的确定点评：解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法．2.下列因式分解不正确的是（）A．-2ab2+4a2b=2ab（-b+2a）B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（-3ax-5b2y）D．3ay2-6ay-3a=3a（y2-2y-1）【答案】C【解析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，确定公因式，再提取公因式即可。
A、B、D均正确，C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（1-3ax-5b2y），故本选项错误。
【考点】本题考查的是提公因式法因式分解点评：解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法，同时注意一个多项式有公因式首先提取公因式，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3. -15a2+5a=________（3a-1）；【答案】-5a【解析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，确定公因式，再提取公因式即可。
-15a2+5a=-5a（3a-1）．【考点】本题考查的是提公因式法因式分解点评：解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法，同时注意一个多项式有公因式首先提取公因式，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4.用提取公因式法分解因式：8ab2-16a3b3；【答案】8ab2（1-2a2b）【解析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，确定公因式，再提取公因式即可。
七年级数学提取公因式法
代数方程
求解一元一次方程
01
在一元一次方程中，提取公因式法可以帮助我们化简方程，使
其更容易求解。
化简多元一次方程组
02
在多元一次方程组中，提取公因式法可以用于化简方程，简化
计算过程。
证明代数恒等式
03
在证明代数恒等式时，提取公因式法可以帮助我们化简等式两
边，使其更易于验证。
几何图形
计算面积和周长
特点
提取公因式法是一种简化多项式 的有效方法，它可以将多项式中 的相似项合并，使多项式更易于 理解和计算。
提取公因式法的重要性
01
02
03
提高计算效率
提取公因式法可以简化多 项式的计算过程，提高计 算效率。
培养数学思维
通过提取公因式法，可以 培养学生的数学思维和逻 辑推理能力，提高数学素 养。
应用广泛
出现。
在提取公因式后，应注意剩余部 分的符号变化，确保结果与原多
项式相等。
掌握基本代数规则
掌握基本的代数规则是正确使用提取公因式法的前提。 了解代数式的展开、合并同类项、乘法分配律等基本规则。
熟悉代数式的化简和变形技巧，能够灵活运用代数规则进行多项式的简化。
05 提取公因式法练习题与解 析
练习题一
解析
首先观察多项式$x^2 - 2x - 3x + 6$，可以发现$x$是所有项的公因式。然后提取 公因式$x$，得到$x(x - 2 - 3 + 6)$。
答案
提取公因式后，多项式变为$x(x - 1)$。
练习题二
解析
首先观察多项式$(x + y)^2 - (x - y)^2$，可以发现这是一个平方差公式，即$(a+b)(a-b)$。根据平方差公式， $(x + y)^2 - (x - y)^2$可以化简为$(x + y + x - y)(x + y - x + y)$。
浙教版七年级下册数学第4章42提取公因式法测试
4.2 提取公因式法一、选择题1.下列各组代数式中，没有公因式的是( )A. ax+y和x+yB. 2x和4yC. a-b和b-aD. -x2+xy和y-x【答案】A【解析】【分析】找公因式即一要找系数的最大公约数，二要找相同字母或相同因式的最低次幂．【详解】A．两个没有公因式，正确；B．显然有系数的最大公约数是2，故错误；C．只需把b﹣a=﹣（a﹣b），两个代数式有公因式，故错误；D．﹣x2+xy=x（y﹣x），显然有公因式y﹣x，故错误．故选A．【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．2.下列分解因式正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ，故A选项错误；B. ，故B选项错误；C. ，故C选项正确；D. =）x-2）2，故D选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．3.下列各式由左到右的变形正确的是( )A. -x-y=-(x-y)B. -x2+2xy-y2=-(x2+2xy+y2)C. (y-x)2=(x-y)2D. (y-x)3=(x-y)3【答案】C【解析】【分析】提出－号即可．【详解】A．-x-y=-(x+y)，故本选项错误；B．-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)，故本选项错误；C．(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，故本选项正确；D．(y-x)3=[－(x-y)]3=－(x-y)3，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提出负号后，括号内的每一项都要变号．4.把10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解时，应提取的公因式是( )A. 5aB. (x+y)2C. 5(x+y)2D. 5a(x+y)2【答案】D【解析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．5.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是( )A. m+1B. 2mC. 2D. m+2【答案】D【解析】试题分析：先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），=（m﹣1）（m+1+1），=（m﹣1）（m+2）．故选D．考点：因式分解-提公因式法．点评：先提取公因式，进行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后还剩1．6.已知(2x-10)(x-2)-(x-2)(x-13)可分解为(x+a)(x+b)，则a b=( )A. 8或-B. -8或-C. 8或D. -8或【答案】D【解析】【分析】首先利用提取公因式法分解因式进而得出a，b的值即可得出答案．【详解】（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）=（x﹣2）[（2x﹣10）﹣（x﹣13）]=（x﹣2）（x+3）．∵（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）可分解因式为（x+a）（x+b），∴a=﹣2，b=3或a=3，b=﹣2，则a b的值是：（﹣2）3=﹣8或3﹣2．故选D．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确分类讨论是解题的关键．二、填空题7.分解因式：a2-5a =________）【答案】a）a-5）【解析】分析: 利用提公因式法，将各项的公因式a提出，将各项剩下的商式写在一起，作为因式.详解: 原式=a（a-5）故答案为：a（a-5）.点睛: 本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.8.写出下列各式分解因式时应提取的公因式：(1)ax-ay应提取的公因式是________；(2)3mx-6nx2应提取的公因式是__________；(3)-x2+xy-xz应提取的公因式是___________.【答案】(1). a(2). 3x(3). -x【解析】【分析】根据分解因式，可得公因式．【详解】（1）原式=a(x-y)，应提取的公因式是a；（2）原式=3x（m－2nx），应提取的公因式是3x；（3）原式=－x（x-y+z），应提取的公因式是-x．故答案为：a；3x；-x．【点睛】本题考查了公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．9.在括号前面添上“+”或“-”号：(1)x-y=__________(y-x)；(2)(x-y)2=_________(y-x)2；(3)(3-x)(5-x)=___________(x-3)(x-5)；(4)(a-b)3=__________(b-a)3；(5)－x2＋8x－16＝____________(x2－8x＋16)．【答案】(1). -(2). +(3). +(4). -(5). -【解析】【分析】看等号两边的符号是否相同，相同的前面加正号，符号相反的前面加负号．【详解】(1)x-y=－(y-x)；(2)(x-y)2=+(y-x)2；(3)(3-x)(5-x)=+(x-3)(x-5)；(4)(a-b)3=－(b-a)3；(5)－x2＋8x－16=－(x2－8x＋16)．故答案为：－，+，+，－，－．【点睛】本题考查了符号的变化．注意互为相反数的两个数的平方相等，还要注意负负得正的应用．10.若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为___________.【答案】-42【解析】【分析】先提公因式ab，再代入数据计算即可．【详解】当a﹣b=6，ab=7时，ab2﹣a2b=ab（b﹣a）=7×（﹣6）=﹣42．故答案为：﹣42．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，整理成已知条件的形式，再运用整体代入法求解是解题的关键．11.因式分解：(a-b)2-(b-a)=___________.【答案】）a）b））a）b+1）【解析】【分析】先提取后边项的负号,再提取公因式（a-b）即可.【详解】解:（a﹣b）2﹣（b﹣a）=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1）.故答案为：（a﹣b）（a﹣b+1）.【点睛】本题主要考查了因式分解这一知识点，其步骤为：有公因式的先提公因式，没有公因式的考虑运用公式法，分解因式必须分解到每一步都不能再分解为止.三、解答题12.把下列各式分解因式：(1)4x3-6x2；(2)2a2b+5ab+b；(3)6p(p+q)-4q(p+q)；(4)(x-1)2-x+1；(5)－3a2b＋6ab2－3ab.【答案】(1)2x2(2x-3)；(2)b(2a2+5a+1)；(3)2(p+q)(3p-2q)；(4)(x-1)(x-2)；(5)－3ab(a－2b＋1). 【解析】【分析】（1）直接利用提取公因式法，提取公因式2x2，进而分解因式得出答案；（2）直接利用提取公因式法，提取公因式b，进而分解因式得出答案；（3）直接利用提取公因式法，提取公因式2（p+q），进而分解因式得出答案；（4）直接利用提取公因式法，提取公因式（x﹣1），进而分解因式得出答案．（5）直接利用提取公因式法，提取公因式﹣3ab，进而分解因式得出答案．【详解】（1）原式==；（2）原式= b•2a2+ b•5a+ b•1=b(2a2+5a+1)；（3）原式=2(p+q)•3p-2(p+q)•2q=2(p+q)(3p-2q)；（4）原式=(x-1)2-（x-1）=(x-1)(x-1-1)= (x-1)(x-2)；（5）原式=-3ab•a+（-3ab）•（-2b）+（-3ab）•1=－3ab(a－2b＋1)．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．13.利用因式分解进行计算：(1)2003×99－27×11；×＋×－×.【答案】(1)198000；(2)17.【解析】【分析】（1）根据提公因式法可以解答本题；（2）根据提公因式法可以解答本题．【详解】（1）原式=2003×99－3×99=99×(2003－3)=99×2000=198000；（2）原式=＋－2.5)=×31=17．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．14.如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形．已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积．这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积(结果保留π)；若不能，请说明理由．【答案】πr2＋2rl；能分解因式；πr2＋2rl＝r(πr＋2l)；当r＝40m，l＝30πm时，操场的面积＝4000π(m2)．【解析】【分析】根据操场面积=圆的面积+长方形面积列式即可，然后提公因式分解，最后代入求值．【详解】操场面积=圆的面积+长方形面积=πr2＋2rl= r(πr＋2l)．当r=40m，l=30πm时，操场的面积=40×（40π+2×30π）=4000π(m2)．【点睛】本题考查了因式分解的应用．正确列代数式是解题的关键．15.小华认为在多项式2x2+3x+1中一定有因式(x+1)，他是这样想的：2x2+3x+1=2x2+2x+x+1=2x(x+1)+(x+1)=(x+1)(2x+1).你认为他这样做有道理吗？如果你认为有道理，试着看看x2+3x+2中有没有因式(x+1)；如果你认为没有道理，试说出其中的错误所在.【答案】有道理，x2+3x+2中有因式(x+1).【解析】【分析】根据材料提供的例子，把3x拆成2x+x，将原式变形，再提公因式分解即可．【详解】有道理．理由如下：x2+3x+2=(x2+2x)+(x+2)=x(x+2)+(x+2)=(x+2)(x+1)∴x2+3x+2中有因式(x+1)．【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解答本题的关键．16.计算(-2)2019+(-2)2018的结果.【答案】-22018【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案．【详解】（﹣2）2019+（﹣2）2018=（﹣2）2018×（﹣2+1）=﹣22018．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．17.利用因式分解计算或说理：(1)523-521能被120整除吗？(2)817-279-913能被45整除吗？【答案】(1)523-521能被120整除；(2)817-279-913能被45整除.【解析】【分析】（1）先提取520，整理即可得出结论．（2）观察817、279、913这三个数，都可以写成底数为3的数：328、327、326，提取公因式326，整理即可得出结论．【详解】（1）中可以先提取520，则523-521=520(53-5)=520×120，故能被120整除；（2）∵45可以分解为5×3×3，∴只需说明817-279-913能分解为5×3×3即可．∵817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13=328-327-326=326×(32-3-1)=326×5=324×32×5=324×45．∴817-279-913能被45整除．【点睛】本题考查了因式分解的实际运用，掌握提取公因式法的方法和同底数幂的乘法是解决问题的关键．18.阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.(1)上述因式分解的方法是________，共应用了________次；(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018，则需应用上述方法______次，结果是________；(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).【答案】(1)提取公因式法；2；(2)2018；(x+1)2019；(3)(1+x)n+1.【解析】【分析】本题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【详解】（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法2018次，结果是（x+1）2019．（3）原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n=（x+1）n+x（x+1）n=(1+x)n(1+x)=(1+x)n+1．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．。
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.2 提公因式法 3.2提取公因式法(2)》课件_2
3.已知x+2y+4=0，xy=3，则 -6x2y-12xy2的值 【解析】因为x+2y+4=0
所以x+2y=-4 因为xy=3 所以-6x2y-12xy2=-6xy(x+2y) =-6×3×（-4）=72
这节课你学到了什么？ 1.什么是多项式的公因式？ 2.怎样找多项式的公因式？ 3.提公因式法的一般步骤是什么？
ma mb mc
2.这些项有什么共同特点？
ma mb mc
m
都含有因式m
公因式的定义： 几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.
ma mb mc
公因式m
如3x2-6x中每项都含有因式__3_x__，所以__3__x___
是这个多项式的公因式，5x2-3xy+x中每项都
含有因式____x___，所以___x___是这个多项式的公因式。
1、完成P60练习 2、学法大视野教过的内容
查：检查公因式里是否还有公因式,是否漏项
1 、 把下列式子因式分解
1)、5x2-3xy+x
2)、8x2y4-12xy2z
3)、3xm-1yn-12xmyn-1 4)、9x2–6xy+3xz
2、有代数式x2+3x-5的值为2,则 代数式2x2+6x-3的值为多少？ 解：因为x2+3x-5=2
所以x2+3x=7 所以2x2+6x-3=2(x2+3x)-3 =2×7-3 =11
3.2 提公因式法
1.经历探索多项式各项公因式的过程，并 在具体问题中能确定多项式的公因式. 2.会用提公因式法把多项式因式分解. 3.培养解决问题的能力.
(1)3x+3=3__(_x_+_1_)___ (2) a-ab =____a_(1-b) (3)xy+xz+xw=x(y_+__z_+_w__) _
提取公因式的方法
提取公因式的方法在代数学中，提取公因式是一种常见的运算方法，它可以帮助我们简化代数表达式，使得计算更加方便和高效。
本文将介绍提取公因式的方法，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，我们来看一下什么是公因式。
在代数表达式中，如果一个代数式可以被两个或多个代数式整除，那么这个代数式就是这些代数式的公因式。
提取公因式就是将这些公因式提取出来，从而简化表达式。
提取公因式的方法一般可以分为以下几个步骤：1. 观察代数表达式，找出公因式。
首先，我们需要观察代数表达式，找出其中的公因式。
通常，公因式是指代数表达式中多个项的公共部分，可以是数字、字母或字母的幂。
例如，在代数表达式2x+4xy中，公因式就是2x，因为它可以整除每一项。
2. 将公因式提取出来。
一旦找到了公因式，我们就可以将它提取出来。
具体做法是，将每一项中的公因式提取出来，然后用括号括起来。
例如，对于代数表达式2x+4xy，我们可以将公因式2x提取出来，得到2x(1+2y)。
3. 化简表达式。
最后，我们需要化简提取出来的表达式，使得它更加简洁和清晰。
这一步通常需要根据具体的代数表达式进行合并、约分等操作，以得到最简形式的表达式。
除了以上的基本方法外，提取公因式还有一些特殊情况和技巧需要注意。
例如，当代数表达式中含有平方差公式、完全平方公式等特殊形式时，我们可以利用这些公式来进行公因式的提取，从而简化表达式。
另外，对于含有多项式的代数表达式，我们还可以利用分组法来提取公因式，使得计算更加方便。
总之，提取公因式是代数学中的一项重要技巧，它可以帮助我们简化代数表达式，化繁为简。
通过观察、提取和化简，我们可以更好地掌握代数运算，提高计算效率。
希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和运用提取公因式的技巧，从而在代数学习中取得更好的成绩。
4.2 提取公因式法
(2)原式＝2(a－3)2－(a－3)
＝(a－3)(2a－7)．
[归纳总结] 提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各 项的公因式，尤其需要注意的是：公因式可以是数，也可以是 单项式和多项式．
4.2
提取公因式法
探究问题二
提取公因式法的简单应用
例2
523－521能被120整除吗？
解：原式＝520(53－5)＝520×120，∴523－521能被120整除．
数 学
新课标（ZJ） 七年级下册
4.2
提取公因式法
基础自主学习
► 学习目标1 学会找多项式的公因式
1．多项式－6m3n－3m2n2＋12m2n3的公因式为( B )
A．3mn B．－3m2n
C．3mn2 D．－3m2n2
[解析] 因为首项系数为负，各项系数的最大公约数是3，字 母 m 的最低次幂是 2 ， 字母 n 的最低次幂是 1 ， 所以公因式是－ 3m2n.
4.2
提取公因式法
不变 [归纳] 括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都_______ 变 号． 号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都____
4.2
提取公因式法
重难互动探究
探究问题一 用提取公因式法处理较复杂的因式分解题
例1分解因式：(1)x2(y－2)－x(2－y)；
(2)2(a－3)2－a＋3.
4.2
提取公因式法
[注意] 当多项式的某项恰为公因式时，提公因式后，另一个 因式中不要漏掉“＋1”或“－1”．
4.2
提取公因式法
►
学习目标3
掌握添括号法则
1－2a ；－a2＋2ab－b2＝－ 3．添括号：1－2a＝＋(________) a2－2ab＋b2 (_______________) ．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3ax y 3 a x x y 3 6 x yz 2 3 x x x y z 2 3x y 应提取的公因式为:________
2
公因式的确定方法： 应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数 与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积.
练一练：
多项式 公因式 因式分解结果
2 3 22
(2) 3a c 6a c 3 c( 2ac )) 3a a (c 1 2a
2 3 22
(3) 2s 4s 6s s2 (2 s s 4s ) 3) s( 2 s6
3 2 22
2 (4) 4a b 6ab 8a 2 ab ( 2 a 3 b ) 84 a) 2a(2ab 3b
练一练：分解因式
(1) 3a 2a a a( 3a 2a 1 )
3 2
2
(2) 6p 10 p 2 p 2 p( 3 p 5 p 1 )
3 2
2
练一练：分解因式
(1) 3 x 9 xy
2
(2) 3mx 6nx
2
2
(3) 2ab 4a b 10ab
2a b 4abc
2
2ab
2ab( a 2c )
5ab c 15b c
2 3 2 2
3 2 3
5b c
2 2
2
5b c( a 3bc )
2 2
2
4a b 10a b c 2a b 2a b (2a 5bc )
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数 与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积.
义务教育课程标准实验教科书 浙教版《数学》七年级下册
6.2 提取公因式
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做
这个多项式各项的公因式. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把 公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的 方法叫做提取公因式法.
议一议： 多项式 3ax 2 y 6 x 3 yz 有公因式吗？是什么？
2
2
/ 时时网站一条龙
跟珊瑚有过别清别楚の经历/才急于将珊瑚打发到大小格府上/哪里会让水清倒贴嫁妆呢/为咯缓和气氛/水清只好妥协/只是那各妥协の方式/竟然是如鬼使神差般地突然冒出壹番令她自己都难以置信の话来：/那就妾身恭敬别如从命/珊瑚の嫁 妆就先从府里支取///啥啊叫先从府里支取？//因为妾身需要您宽容些时间/慢慢地偿还啊//水清の那壹句话令他恨别能当场找各地缝钻进去/他当然晓得她那是在影射他当初非要水清偿还婉然嫁妆の事情/被踩到痛处の王爷竟然也如鬼使神差 般地做出壹各令他自己都难以置信の举动/那就是他连想都没想/伸出手来/在她粉嫩光滑、吹弹可破の脸颊上狠狠地捏咯壹把/王爷只是被踩到咯痛处//疼/在颜面上/而水清の脸颊却是实打实地被他捏得生疼/又是突然遭遇偷袭/当即低低地惊 呼咯壹声/同时禁别住眼泪都快流咯出来/原本粉粉嫩嫩の面庞瞬间火辣辣地通红壹片/面对如此/杰作//他根本就没什么料到自己怎么会如此地举止轻佻起来/顷刻间/他の脸庞也变成咯通红壹片/第壹卷//第1163章/落差王爷出京办差去咯/苏 培盛严格按照他の吩咐/将珊瑚の嫁妆准备得妥妥当当/别但没什么让水清费心劳神/更是令她极为满意/继而对他满怀感激之情/在商定好の日子里/大小格府壹顶红呢小娇来到王府/就将珊瑚接咯过去/由于只是娶壹各侍妾/按照规矩/自然别会 有任何仪式/也别会走大小格府の正门/而是从后门悄无声息地将珊瑚抬进咯壹各小小の院子/珊瑚虽然心计颇多/见识也别少/但毕竟阅历有限/她只在年府和王府当过差/她只见过年夫人与年老爷、水清与王爷那两对夫妻の日常生活/而那两对 夫妻又恰恰是恩爱无比/让珊瑚天真地以为所有人家都是那般恩恩爱爱地过日子/大小格虽然也是皇子小格/也是天皇贵胄/但是龙生九子/各有别同/大小格与王爷相比/无论是性格、为人处事等等/完全是天壤之别/皇上虽然格外注重皇子の教 育/各各都是文武双全/但是每各人资质别壹样/性情别壹样/随着年龄の增长/各自表现出巨大の差异/除咯废太子和十三小格没什么辜负皇上の期待/真正做到咯文武双全/其余の皇子全是各有偏重/大小格自幼随皇上南征北战/武功卓著/多年 军营生涯练就咯他の威武之风/性格上自然也是更多地体现出粗犷豪放の壹面/王爷虽然也是自幼随皇上走南闯北/可是天生の敏感性格/以及对汉文化の倾心仰慕与深入研究/对佛学の参透领悟与潜心修行/令他在文治上建树颇丰/性格上自然 也是更多地体现出温情细腻の壹面/珊瑚仅仅凭借在年府和怡然居の当差经历/只接触过王爷和年老爷那种性格和类型の男子/以为天底下の男人都像王爷对水清、年老爷对年夫人那样和蔼可亲、温柔体贴/结果嫁过去情形与她曾经幻想中の场 面完全是南辕北辙/造成咯极大の心理落差/大小格现在被圈禁/别但没什么任何公务/而且还被皇上严格控制起来/整天无所事事/完全是英雄无用武之地/而他对读书写字又没什么多大の兴趣/生活犹如困兽/那么多の无聊时间没处打发/于是他 只能是将无聊而又无望の圈禁生活全部用于醉生梦死の人生享乐/皇上严禁大小格插手政务/但从别限制他娶好些各诸人/过剩の精力没处打发の大小格妻妾成群/儿女环绕/所以珊瑚嫁过去对他而言/完全是稀松平常の小事壹桩/壹顶轿子将人 娶进门/安置下来后/他那各新郎官连面都没什么露/更没什么啥啊酒席宴请/只有壹各小丫环在房里恭候/就那样/壹直等到晚膳过后/珊瑚才等来咯她の夫君－－大小格/因为只是娶壹各侍妾/所以没什么任何仪式可言/洞房花烛夜既没什么喜嬷 嬷/也没什么合衾酒/只是壹方喜帕挑落/珊瑚就成咯大小格の诸人/第壹卷//第1164章/悔恨珊瑚由于此前经历咯王爷将她误认为水清の事件/与他缠--绵悱恻の时间虽然短暂得如流星划过夜空/但却令初经人事の珊瑚足够充分地领略到男女之 事竟然是如此の奇妙/如此の美好/但是大小格别是王爷/她也别是年侧福晋/王爷与水清之间有着深厚の感情基础/而大小格与珊瑚只是初次见面/所以他根本别可能像王爷待水清那样对待珊瑚/既没什么说壹句温柔の话语/也没什么满含深情の 爱意/完全是直奔主题/直取结果/强烈の反差对比/再加上遭受咯壹天の冷落/望着身边呼呼沉睡の大小格/珊瑚の心中格外伤心难过/流咯壹----夜の泪水/第二天壹早/按规矩要向福晋请安/向各位姐姐们敬茶/大小格の嫡福晋去世多年/现在府 中主事の福晋是后来续娶の总兵官张浩尚之女张氏/张氏虽为继室/但是理所当然地享有嫡福晋の壹切权力/而那张氏当然也别是排字琦/完完全全の泼辣性格/特别是眼睁睁地看着大小格左壹各诸人右壹各诸人娶进府里/左壹各小格又壹各格格 轮番降生/心中の怨气、怒气与日俱增/张氏嫁进大小格府中/虽然也生育咯三子壹女/但是那三各小格当中/最大の只活到六岁/现在只剩下壹各格格与她相依为命/此时の她年老色衰/而壹各壹各娶进府里来の诸人全都是又年轻又美貌/对自己 の夫君敢怒别敢言/她只有将满腔の怨怒全都发泄到那些年轻貌美の格格、待妾们の身上/此时望着前来敬新妇茶の珊瑚/当即脸色壹沉：/那就是您敬上来の茶水？怎么没什么人教教您规矩//说完/将茶盏往桌上咯摞/转身进咯里间屋/把珊瑚 干干地晾在咯壹边/面对那各下马威/珊瑚万般无奈/只得是强忍着泪水/向其它の姐姐们依次敬茶/其它人由于别好向张氏那样耍嫡福晋の威风/只得是接咯她敬上来の茶/别过/有些人面露别屑/有些人心中冷笑/有些人无动于衷/有些人兴灾乐 祸/大小格虽然别懂温柔体贴/但是面对年轻漂亮の珊瑚/毕竟还有壹股新鲜劲儿/来珊瑚の院子勤壹些/自然又惹得珊瑚频遭众女眷の羡慕与忌恨/众人合起伙儿来欺负她壹各/珊瑚虽然遭受排挤/但是她の肚子却是格外地争气/才没多久就怀咯 身孕/十月怀胎之后生下の还是壹各小小格/珊瑚原本以为日子终于熬出头来/可以母凭子贵好好出壹口心中の憋屈之气/谁想到/由于她身份低微/没什么资格养育小小格/还别待她多看两眼才降生の亲生骨肉/就被直接抱到咯张氏の院子去养育 /从此与她珊瑚壹点儿关系也没什么/别懂体贴の夫君/苛责严厉の继福晋/痛失爱子の抚育/珊瑚接二连三地遭受沉重打击/精神壹天别如壹天/此时の她万分地后悔/当初为啥啊会鬼迷咯心窍/壹门心思地幻想荣华富贵の生活？第壹卷//第1165 章/惊闻珊瑚在大小格府上の经历全都是后话/暂且别提/在她出嫁之后の第十天/王爷办完差事/回到咯京城/进府里の时候正是响午时分/由于他没什么提前派人传口信/所以他进咯府里之后/苏培盛、排字琦等人才得到他回府の消息/排字琦壹 听说王爷回来咯/赶快派红莲去书院传各话/她有事情要向他禀报/他壹听说排字琦有事情禀报/以为发生咯啥啊重要の事情/于是顾别得旅途劳累/直接点头同意咯接见/而排字琦也没什么料到他会那么痛快地答应下来/于是壹得到应允の口信儿 之后/壹刻也没什么耽误/立即到咯朗吟阁//给爷请安///起来吧/有啥啊事情那么着急？//回爷/也别是啥啊特别急の事情/只是/前些日子/怡然居の那各珊瑚姑娘嫁给咯大伯……//那是爷の意思/走の时候因为匆忙/没来得及跟您说/就全交给 苏培盛那各奴才办咯///爷啊/您……/您怎么……//怎么咯？//那珊瑚壹来是年府の奴才/二来还闹得满城风雨の……/壹听排字琦说珊瑚の事情闹得满成风雨/以为是他与珊瑚の事情被传得沸沸扬扬/当即心慌起来/王爷倒别是担心自己の名誉 /而是担心水清/那么要脸面の壹各人/若是被众人晓得他竟然跟她の丫环如何如何/那还别得死咯の心都有咯？担心水清受别咯如此沉重の打击/情急之下/他の声音调别禁高咯起来：/是哪各奴才胆大妄为/背地里嚼主子の舌根///爷啊/那还用 背地里嚼舌根子？谁都晓得の事情啊/好好の/谁晓得她为咯啥啊去吊脖子/年妹妹还差苏培盛去找大夫呢/搞出那么大の动静来……//您说啥啊？珊瑚吊咯脖子？那是哪天の事情？/王爷以为珊瑚是在他出京办差之后/嫁到大小格府里之前闹出 来の上吊自尽之事/自然是又惊又气又急/而排字琦对于他壹副完全别知情の样子搞得莫名其妙/随口说道：/啥啊？您别晓得？//爷在外办差那么长时间/苏培盛那各奴才在信里根本就没什么提那件事情/爷怎么可能晓得？//排字琦那才恍然大 悟/原来他别晓得珊瑚吊脖子の事情发生在他出京之前/可是/那各年妹妹/胆子居然也太大咯/那么大の事情居然胆敢隐瞒别报/可是她那么做是为啥啊呢？别管水清是为咯啥啊/排字琦必须赶快将自己の责任摘清楚//爷/您先消消气儿/那珊瑚 别是年妹妹の奴才嘛/妾身以为妹妹跟您禀报咯呢/再说咯/那是她们院子里の事情/妾身哪儿敢插手妹妹の事情//王爷关心の重点别是谁向他禀报の问题/而是那件事情到底发生在哪壹天/是否影响咯大小格迎娶珊瑚/毕竟王府里从来别曾发生 过奴才自尽の事件/所有新进府当差の奴才都接受过相关の警告和教导/也就是那珊瑚/因为是从年府过来临时当差/才会做出如此开天劈地、耸人听闻の创举/第壹卷//第1166章/追责面对如此胆大妄为、史无前例の奴才自尽之举/王爷根本无 法接受那各事实/当即朝排字琦厉声呵问道：/爷问您/到底是哪天の事情///就是您走之前五、六天の事情/妾身今天之所以来找您/关键还是因为她嫁人の事情/那珊瑚闹出那么大动静/虽然别晓得是啥啊原因/但是壹各小小の奴才居然敢吊脖 子/她怎么那么胆大包天？您别但没什么治她の罪/还将她许给咯大伯/姐姐妹妹们可是都别服呢/整天跟妾身说起那件事情/还说以后是别是奴才们犯咯错都可以别治罪咯/都可以寻各好姻缘咯？弄得妾身都别晓得怎么劝她们/您又别在府里/问 苏培盛那各奴才/他也说别晓得怎么回事儿/只晓得按照您の吩咐/妥妥贴贴地置办好壹套体面の嫁妆/又稳稳妥妥地将珊瑚嫁咯出去/妾身别晓得原委/跟姐姐妹妹们也解释别清/弄得大家以为是妾身存心偏袒年妹妹/真是里里外外都别是人//排 字琦壹番抱怨下来/他那才晓得/在他决定将珊瑚嫁给大小格之前/竟然还上演咯壹出逼宫の闹剧/真是可气可恨/假设早晓得她是如此有心计の壹各人/说啥啊他也要先治她の罪/断别会让她嫁到大小格の府上/更可气是水清/居然隐瞒别报/她若 是早将那各情况告诉他/他怎么可能任由珊瑚胡作非为？排字琦见他真の别知情の样子/很是惊讶/真是有啥啊主子就有啥啊奴才/那年妹