创新设计高考数学江苏专用理科一轮复习习题：第九章 平面解析几何 第2讲 含答案
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (2)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。
苏教版2019年高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时训练(含答案)
第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率一、 填空题1. 已知过点P(－2，m)和Q(m ，4)的直线的斜率不存在，则m 的值为________． 答案：－2解析：由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2.2. 若直线过(－23，9)，(63，－15)两点，则直线的倾斜角为__________． 答案：120°解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝－15－963＋23＝－3，∵ 0°≤α＜180°，∴ α＝120°. 3. 如果图中的三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3从小到大的排列顺序为__________．答案：k 3<k 1<k 2解析：由图知，k 1<0，k 2>0，k 3<0.另外，tan α1＝k 1<0，α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α3＝k 3<0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，而α3<α1，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以 k 3<k 1.综上，k 3<k 1<k 2. 4. 直线l ：xtan π5＋y ＋1＝0的倾斜角α＝________．答案：4π5解析：∵ α∈[0，π)，k ＝tan α＝－tan π5＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π5＝tan 4π5，∴ α＝4π5. 5. 已知某直线l 的倾斜角α＝45°，且P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3，1)是此直线上的三点，则x 2＋y 1＝________．答案：7解析：由α＝45°，得直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1.又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ，即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0，∴ x 2＋y 1＝7.6. 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π 时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上，k ∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.7. 若直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为____________．答案：y ＝－34(x －1)解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1，0)即可求得直线方程为y ＝－34(x －1)．8. 若点A(3，－4)，B(5，－3)，C(4－m ，m ＋2)能构成三角形，则实数m 应满足条件________．答案：m≠－113解析：假设点A ，B ，C 不能构成三角形，则点A ，B ，C 共线．若m ＝1，则点A ，B ，C 不共线；若m≠1，则k AB ＝k AC .因为k AB ＝12，k AC ＝6＋m 1－m ，所以12＝6＋m 1－m ，解得m ＝－113.所以若点A ，B ，C 能构成三角形，则m≠－113.9. 直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.10. 若实数x ，y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，则yx的最小值为__________．答案：－1解析：设k ＝y x ，则yx表示线段AB ：3x －2y －5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵ A(1，－1)，B(3，2)，作图易知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝k OA ＝－1.二、 解答题11. 已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P ，使直线PA 的倾斜角为60°. 解：① 当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)．∵ A(1，2)，∴ 直线PA 的斜率k ＝0－2a －1＝－2a －1.∵ 直线PA 的倾斜角为60°，∴ tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233.∴ 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0.② 当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)，同理可得b ＝2－3，∴ 点P 的坐标为(0，2－3)．12. 已知经过A(m ，2)，B(－m ，2m －1)的直线的倾斜角为α，且45°＜α＜135°，求实数m 的取值范围．解：∵ 45°＜α＜135°，∴ k ＞1或k ＜－1或k 不存在， ∴ 2m －3－2m ＞1或2m －3－2m＜－1或m ＝0，解得0＜m ＜34或m ＜0或m ＝0，∴ m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34. 13. 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．解：由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y)的直线的斜率k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB .由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴ 43≤k ≤8， 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.第2课时 直线的方程一、 填空题1. 斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4，3)的直线的点斜式方程是________．答案： y －3＝32(x ＋4)解析：∵ 直线y ＝32x 的斜率为32，∴ 过点(－4，3)且斜率为32的直线方程为y －3＝32(x ＋4)．2. 经过两点(3，9)，(－1，1)的直线在x 轴上的截距为________．答案：－32解析：由两点式，得所求直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32.3. 已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________________． 答案：y ＝3x ＋5 解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.4. 如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 答案：三解析：由题意知A·B·C≠0.直线方程变为y ＝－A B x －CB，∵ A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴ A ·B ＞0，∴ 其斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距b ＝－CB＞0，∴ 直线过第一、二、四象限．5. 斜率为16的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为______________．答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知得|－6b·b|＝6，∴ b ＝±1.∴ 直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.6. 已知经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则该直线的方程为________．答案：2x ＋y －6＝0解析：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．∵ 点P 在此直线上，∴ 1a ＋4b＝1.∵ a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时等号成立，∴ a ＋b 取得最小值9时，a ＝3，b ＝6，此时直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.7. 已知方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )的直线l 在两坐标轴上的截距相等，则a ＝__________． 答案：0或2解析：令x ＝0，得y ＝a －2，令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a≠－1)．∵ 截距相等，∴ a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0.8. 已知3a ＋2b ＝5，则直线ax ＋by －10＝0必过定点__________________． 答案：(6，4)解析：由3a ＋2b ＝5得到b ＝5－3a 2，代入直线ax ＋by －10＝0得到ax ＋5－3a 2y －10＝0，即a ⎝⎛⎭⎪⎫x －3y 2＋52y －10＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －32y ＝0，52y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，所以直线经过定点(6，4)． 9. 已知直线l 过点P(2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．答案：2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0解析：当截距不等于零时，设l 的方程x a ＋y2a＝1.∵ 点P 在l 上，∴ 2a －12a ＝1，则a ＝32，∴ l 的方程为2x ＋y －3＝0；当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ，又点P 在l 上，∴ k ＝－12，∴ x＋2y ＝0.综上，所求直线l 的方程为2x ＋y －3＝0或x ＋2y ＝0.10. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析：①正确，如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错误，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点；⑤正确，如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．二、 解答题11. 若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0. (1) 求参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x 轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4m m 2－m ，因为直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4mm 2－m＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.12. 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值； (2) 若a ＞－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解： (1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N(0，2＋a)．又a ＞－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥12×(2（a ＋1）×1a ＋1＋2)＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 13. 已知直线l 过点P(0，1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B(如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵ 点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a ，8－2a)． 由P(0，1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a ，2a －6)．又点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A(－a ，2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴ 点B 的坐标是(4，0)．因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.第3课时 直线与直线的位置关系一、 填空题1. 过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是____________． 答案：x －2y －1＝0解析：与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1，0)代入x －2y ＋c ＝0，解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.2. 已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0.若l 1⊥l 2，则a ＝________． 答案：1解析：若l 1⊥l 2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1.3. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案：[0，10]解析：若由题意知，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a∈[0，10]．4. 已知点A(1，－2)，B(m ，2)．若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________． 答案：3解析：∵ 点A(1，－2)和B(m ，2)的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，∴ 1＋m 2－2＝0，∴ m ＝3.5. 一束光线从点A(－2，3)射入，经x 轴上点P 反射后，通过点B(5，7)，则点P 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0 解析：(解法1)由光的反射原理，知k AP ＝－k BP .设P(x ，0)，则0－3x －（－2）＝－0－7x －5，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. (解法2)设p(x ，0)，由题意，知x 轴是镜面，入射点A(－2，3)关于x 轴的对称点为A 1(－2，－3)，则点A 1应在反射光线所在的直线上，即A 1，P ，B 三点共线，即kA 1P ＝k PB ，0＋3x ＋2＝75－x ，解得x ＝110，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，0. 6. 已知定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 解析：因为定点A(1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，直线AB 的方程为y ＋x －1＝0，与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 7. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点________． 答案：(0，2)解析：由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2恒过定点(0，2)．8. 若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．答案：3 2解析：依题意知，AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，解得m ＝－6，所以直线l 的方程为x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.9. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)．若∠C 的平分线所在直线的方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．答案：12x －31y －31＝0解析：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113.∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1）3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.10. 直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点的坐标是__________．答案：(5，6)解析：易知A(4，－1)，B(3，4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0，1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大．二、 解答题11. 已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：设直线l 1，l 2交点为P ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A ，B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A ，B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －252－2＝x －14－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 12. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1) 点P(4，5)关于l 的对称点；(2) 直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x′，y ′)．∵ k PP ′·k l ＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1 ①.又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴ 3×x′＋x 2－y′＋y 2＋3＝0 ②.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－4x ＋3y －95③，y ′＝3x ＋4y ＋35④.(1) 把x ＝4，y ＝5代入③④得x′＝－2，y ′＝7，∴ P(4，5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2) 用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.13. 已知三条直线l 1：ax －y ＋a ＝0，l 2：x ＋ay －a(a ＋1)＝0，l 3：(a ＋1)x －y ＋a ＋1＝0，a>0. (1) 求证：这三条直线共有三个不同的交点； (2) 求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．假设直线l 1与l 2交于点A ，直线l 1与l 3交于点B ，直线l 2与l 3交于点C.(1) 证明：(证法1)由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，x ＋ay －a （a ＋1）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a a 2＋1，y ＝a ()a 2＋a ＋1a 2＋1， 所以直线l 1与l 2相交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋1，a ()a 2＋a ＋1a 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －a （a ＋1）＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝a ＋1， 所以直线l 2与l 3相交于点C(0，a ＋1)．因为a ＞0，所以a a 2＋1≠－1，且aa 2＋1≠0，所以A ，B ，C 三点不同，即这三条直线共有三个不同的交点． (证法2)① 设三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝a ，k 2＝－1a，k 3＝a ＋1.由k 1·k 2＝－1得l 1⊥l 2，所以直线l 1与直线l 2相交． 由k 1≠k 3，得直线l 1与直线l 3相交．由a(a ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0知k 2≠k 3，所以直线l 2与直线l 3相交． 所以直线l 1，l 2，l 3任何两条均不平行．② 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＝0，（a ＋1）x －y ＋a ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 所以直线l 1与l 3相交于点B(－1，0)．又－1－a(a ＋1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34≠0， 所以直线l 2不过点(－1，0)，所以直线l 1，l 2，l 3不可能交于同一点． 综上，这三条直线共有三个不同的交点．(2) 解：(解法1)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 由两点间距离公式及(1)，得AB ＝a 2＋a ＋11＋a 2，AC ＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12AB ·AC ＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≤12＋12×21＝34， 当且仅当a ＝1时取等号．所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为34.(解法2)由k 1·k 2＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1得l 1⊥l 2，所以∠BAC＝90°. 点B 到直线l 2的距离d 1＝1＋a （a ＋1）1＋a 2，点C 到直线l 1的距离d 2＝11＋a2， 所以S △ABC ＝12d 1d 2＝a 2＋a ＋12（a 2＋1）， 以下同解法1.第4课时 圆 的 方 程一、 填空题1. 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则实数a 的值为________． 答案：1解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.2. 圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为________________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：由题意知圆心纵坐标y ＝－3，代入直线2x －y －7＝0得圆心C(2，－3)，r 2＝22＋12＝5，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.3. 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________．答案：x 2＋(y －1)2＝1解析：由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.4. 若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋12－4m ＞0，1＋（－1）2－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12.5. 若圆的方程为x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为__________． 答案：(0，2)解析：将圆的方程x 2＋y 2＋kx －4y ＋k 2＝0化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y －2)2＝4－3k 24.∵ r 2＝4－3k 24≤4，∴ k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，2)．6. 已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________． 答案：5＋ 5解析：令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b取得最值．由|2×2＋1－b|5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5.7. 已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝PQ2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.8. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．答案：10 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是10，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD ＝210－（12＋22）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC ＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积为12AC ×BD ＝12×210×25＝10 2.9. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，0)，B(1，0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．答案：2 2解析：设满足条件AC ＝2BC 的C 点坐标为(x ，y)，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y2＝8.其中y ≠0，从而S ＝12×2×|y|≤22，所以△ABC 的面积的最大值是2 2.10. 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．答案：6解析：根据题意，画出示意图，如图，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ，因为∠APB＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m.要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.二、 解答题11. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1) 求直线CD 的方程； (2) 求圆P 的方程．解：(1) 直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2) 设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0 ①. ∵ 直径CD ＝410，∴ PA ＝210，∴ (a ＋1)2＋b 2＝40 ②.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．∴ 圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为63m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1) 建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1) (解法1)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系． 则有E(－33，0)，F(33，0)，M(0，3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b)2＝r 2. ∵ F(33，0)，M(0，3)都在圆上， ∴ ⎩⎨⎧（33）2＋b 2＝r 2，02＋（3－b ）2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.∴圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(解法2)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G ，半径为r ，则点G 在y 轴上，在Rt △GOE 中，OE ＝33，GE ＝r ，OG ＝r －3.由勾股定理，得r 2＝(33)2＋(r －3)2，解得r ＝6， 则圆心G 的坐标为(0，－3)，故圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2) 设限高为h ，作CP⊥AD，交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得(11)2＋(y ＋3)2＝36，得y ＝2或y ＝－8(舍)． 所以h ＝CP －0.5＝(y ＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)． 答：车辆的限制高度为3.5 m.13. 已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)． (1) 求MQ 的最大值和最小值；(2) 若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1) 由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2.又QC ＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42， 所以MQ max ＝42＋22＝62， MQ min ＝42－22＝2 2.(2) 由题意可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率．设直线MQ 的方程为y －3＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k.由直线MQ 与圆C 有公共点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.第5课时 直线与圆的位置关系一、 填空题1. 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为______________． 答案：x ＋2y －5＝0解析：由点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上知，此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0.2. 圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为 ________． 答案：4 5解析：公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－（5）2＝4 5.3. (2017·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点．若MN≥23，则k 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：由圆的方程，得圆心(2，3)，半径r ＝2，∵ 圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k ＋3－3|k 2＋1，MN ≥23， ∴ 2r 2－d 2＝24－4k 2k 2＋1≥23， 变形得4－4k 2k 2＋1≥3，即4k 2＋4－4k 2≥3k 2＋3，解得－33≤k ≤33， 则k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 4. 过点P(2，4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为______________． 答案：x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k(x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵ 直线与圆相切，∴ 圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k|k 2＋（－1）2＝|3－k|k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴ 所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.5. (2017·扬州期中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为________．答案：27解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，所以圆心C(2，1)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线l ：4x －3y＋15＝0的距离d ＝|4×2－3×1＋15|42＋（－3）2＝4，所以AB ＝2r 2－d 2＝2×25－16＝6.因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为12×AB ×9＝27.6. (2017·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________．答案：－1解析：由题意，得C(1，2)，直线l ：m(x －2)＋y －1＝0恒过定点A(2，1)．当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，直线l⊥CA.因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m×(－1)＝－1，即m＝－1.7. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为____________．答案：2 解析：过点O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过点P 作圆O 的切线PA ，连结OA ，易知此时PA 的值最小．由点到直线的距离公式，得OP ＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又OA ＝1，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2. 8. 在直角坐标系xOy 中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足PA 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．答案：2解析：设P(x ，y)，由PA 2－PB 2＝4知[(x ＋1)2＋y 2]－[x 2＋(y －1)2]＝4，整理得x ＋y －2＝0.又圆心(0，0)到直线x ＋y －2＝0距离d ＝22＝2＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P 有2个．9. (2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PBPA 的最大值是________．答案：2解析：(解法1)设点P(x ，y)，则x 2＋y 2＝2，所以PB 2PA 2＝（x －1）2＋（y ＋1）2x 2＋（y ＋2）2＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4 ＝－2x ＋2y ＋44y ＋6＝－x ＋y ＋22y ＋3.令λ＝－x ＋y ＋22y ＋3，所以x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0，由题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，解得0＜λ≤4，所以PBPA 的最大值为2. (解法2)当AP 不与圆相切时，设AP 与圆的另一个交点为D ，由条件AB 与圆C 相切，则∠ABP＝∠ADB ， 所以△ABP∽△ADB，所以PB PA ＝BD BA ＝BD 2≤2，所以PBPA 的最大值为2.10. (2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP＝300，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0 解析：过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR≥∠OQP＝30°；反过来，如果∠OQR≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP＝30°.若圆O 上存在点P ，使得∠OQP＝30°，则∠OQR≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ＞2时不成立，所以OQ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM≤3.因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2，所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2≤9，解得－65≤a≤0.二、 解答题11. 已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1) 若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2) 过圆心C 作CD⊥AB，垂足为D ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a|a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝2，解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12. (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．解：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2) 假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为2－2＜（2－0）2＋（0－1）2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.13. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝4. (1) 若直线l 过点A(4，－1)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆C 1和圆C 2都相交，且l 被两圆截得的弦长相等？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)－1， 即kx －y －4k －1＝0，由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1, 化简得24k 2＋7k ＝0，所以k ＝0或k ＝－724.故直线l 的方程为 y ＝－1或y ＝－724(x －4)－1，即y ＝－1或7x ＋24y －4＝0.(2) 假设存在，设点P(a ，b)，l 的方程为y －b ＝k(x －a)，即kx －y ＋b －ak ＝0.因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的圆心到直线l 的距离也相等， 即|－3k ＋b －ak|1＋k 2＝|4k －4＋b －ak|1＋k2， 整理得(14a －7)k 2－(8a ＋14b －32)k ＋8b －16＝0. 因为k 的个数有无数多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧14a －7＝0，8a ＋14b －32＝0，8b －16＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.第6课时 椭 圆(1)一、 填空题1. 经过点(0，4)且焦距为10的椭圆的标准方程为____________________．答案：x 241＋y216＝1解析：因为焦距为10，所以2c ＝10，c ＝5.因为4＜5，所以b ＝4，且焦点在x 轴上，a 2＝b 2＋c 2＝16＋25＝41，故椭圆的标准方程为x 241＋y216＝1.2. 已知椭圆方程为x 2k －3＋y25－k＝1，则k 的取值范围是______________．答案：(3，4)∪(4，5)解析：由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －3>0，5－k ＞0，k －3≠5－k ，∴ k ∈(3，4)∪(4，5)．3. 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．答案：6解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4. 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB ＝3，则椭圆C 的方程为________________．答案：x 24＋y23＝1解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长AB ＝3知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.5. 若椭圆C ：x 29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1＝4，则∠F 1PF 2＝________．答案：2π3解析：由题意得a ＝3，c ＝7，则PF 2＝2.在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－（27）22×4×2＝－12.∵ ∠F 2PF 1∈(0，π)，∴ ∠F 1PF 2＝2π3.6. (2017·淮阴高级中学模考)已知过椭圆x 225＋y216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是________．答案：18解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知FQ ＝PF 2，OP ＝OQ ，所以△PQF 的周长为PF ＋FQ ＋PQ ＝PF ＋PF 2＋2PO ＝2a ＋2PO ＝10＋2PO ，易知2PO 的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值，最小值是18.7. 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为________．答案：263解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x ，y)，则 MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y)＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.8. (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．答案：5－12解析：由题意得，A(a ，0)，B 1(0，－b)，B 2(0，b)，F(c ，0)，所以B 2F →＝(c ，－b)，AB 1→＝(－a ，－b)．因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F →·AB 1→＝0，即b 2＝ac ， 所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0.又椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以e ＝5－12. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C两点，且∠BFC＝90°，则椭圆的离心率是____________．答案：63解析：由题意得，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，因为FB⊥FC，FB →·FC →＝0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2，因此c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝0，3c 2＝2a 2，解得e ＝63.10. 如图，A ，B 是椭圆的两个顶点，点C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝ 2.若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．答案：x 24＋y22＝1解析：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则A(a ，0)，B(0，b)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，F(a 2－b 2，0)．依题意得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b a a 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求椭圆的方程是x 24＋y 22＝1.二、 解答题11. 分别求下列椭圆的标准方程．(1) 经过点P(－23，0)，Q(0，2)两点；(2) 长轴长是短轴长的3倍，且经过M(3，2)；(3) 与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点，且过点(3，－2)．解：(1) 由题意，P ，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上，所以a ＝23，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 212＋y24＝1.(2) 当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，32a 2＋22b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5，所以椭圆的标准方程为x 245＋y25＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，又点M(3，2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ，22a 2＋32b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859，椭圆的标准方程为x 2859＋y285＝1.综上，椭圆的标准方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y285＝1.(3) 由椭圆4x 2＋9y 2＝36得c ＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5＋b 2，32a2＋（－2）2b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10，所以椭圆的标准方程为x 215＋y210＝1.12. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，求椭圆C 的离心率．解： 右准线l ：x ＝a 2c ，d 2＝a 2c －c ＝b2c，在Rt △BOF 中，由面积法得d 1＝bca，若d 2＝6d 1，则b 2c ＝6×bca ，整理得6a 2－ab －6b 2＝0，两边同除以a 2，得6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋b a －6＝0，解得b a ＝63或－62(舍)，∴ e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝33.13. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解：(1) 若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有OA ＝OF 2，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2) 由题意知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)．由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y22＝1.第7课时 椭 圆(2)一、 填空题1. 已知椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距为2，则m 的值为________．答案：5或3解析：当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，∴ c ＝m －4，∴ m －4＝1，∴ m ＝5；当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴ c ＝4－m ，∴ 4－m ＝1，∴ m ＝3.2. 已知以椭圆两焦点F 1，F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________．答案：22解析：由题意得b ＝c ，∴ a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴ e ＝c a ＝22.3. 已知椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为______________．答案：x 28＋y24＝1解析：由2c ＝4，a 2c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝8，b 2＝4，则该椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.4. 中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是____________．答案：x 281＋y272＝1解析：依题意知2a ＝18，∴ a ＝9，∴ 2c ＝13×2a ，c ＝3，∴ b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴ 椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.5. 已知椭圆x 24＋y22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点．若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P有________个．答案：6解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．6. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上．若P 到两焦点的距离之比为2∶1，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 解析：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ， 根据椭圆定义可知3k ＝2a.又由椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥13.因为0＜e ＜1，所以13≤e ＜1.故椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1. 7. 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上一点．若|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为3c 2，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率为________．答案：33解析：∵ |PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴ |PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，∴ a 2＝3c 2，∴ e 2＝13，∴ e ＝33.8. 已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．答案：12解析：直线AB 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，则它们的交点的横坐标满足x c －xa＝2，而x ＝a 2c ，可得a 2－ac ＝2c 2，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.9. 已知椭圆x 24＋y2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是__________．答案： 3解析：由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，。
高考数学(江苏专用,理科)大一轮复习讲义课件：第9章 平面解析几何 9.8
它表示以原点为中心，焦点在 x 轴上，实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线
x2－y32＝1 的右支.
解析答案
题型三 相关点法求轨迹方程 例4 设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两 点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点， 求△ABC的重心的轨迹方程.
思维升华
解析答案
跟踪训练3
设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且M→N＝2M→P，P→M⊥P→F，当 点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.
失误与防范
1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的. 检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形； 二是是否符合题目的实际意义. 2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨 迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
返回
练出高分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8.如图，P 是椭圆ax22＋by22＝1 上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O 为坐标原点，延长 PO 与椭圆交于点 M，且O→Q＝P→F1＋P→F2，则动点 Q 的 轨迹方程是________.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9.在△ABC 中，|B→C|＝4，△ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且|B→D|－|C→D| ＝2 2，求顶点 A 的轨迹方程.
(3)定义法： 其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义， 则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程. (4)代入法(相关点法)： 当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动时.如果相 关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相 关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就是把相关点所满足的 方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法 或代入法.
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第九章 平面
第2课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m ≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法(1)研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二 弦长及弦中点问题命题点1 弦长问题典例 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则AB 的最大值为________．答案4105解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，AB max ＝4105. 命题点2 弦中点问题典例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． 答案 x 218＋y 29＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得 (a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2，又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18. 命题点3 椭圆与向量等知识的综合典例 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1，又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.① ①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12) ＝144(k 2＋1)>0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， 即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 跟踪训练 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15， 解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，y 1＝－4，y 2＝49，∴所求弦长MN ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →， 又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2(x 0－2)，－4＝2y 0，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．典例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵AF ＋BF ＝4，∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32典例2 (16分)如图，设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1， 得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，[2分] 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，y 1＝1，y 2＝1－a 2k 21＋a 2k 2，因此AM ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2.[4分] (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2， 且k 1>0，k 2＞0，k 1≠k 2.[6分] 由(1)知AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.[10分] 由k 1≠k 2，k 1>0，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，[14分] 由e ＝c a＝a 2－1a 2＝ 1－1a 2，得0<e ≤22. 所以离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22.[16分]1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________． 答案 2解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·OF ·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.3．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程是________． 答案 x 225＋y 275＝1解析 c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y2a2＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，则C 的方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB ＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． 答案22解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bca，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 6．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．答案53解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴PF 2PF 1＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 1＝2a 3，PF 2＝4a3.根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53.7．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________． 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S＝12mn ＝1. 8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.答案 57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.9．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是______． 答案 [3,15]解析 圆心C (1,0)为椭圆的右焦点， P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →) ＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →) ＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1， 显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]， 所以P A →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．10.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 方法一 由题意知，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF ＝F A ，而F A ＝a 2c －c ，PF ≤a ＋c ，所以a 2c －c ≤a ＋c ，即a 2≤ac ＋2c 2.又e ＝ca ，所以2e 2＋e ≥1，所以2e 2＋e －1≥0， 即(2e －1)(e ＋1)≥0. 又0<e <1，所以12≤e <1.方法二 设点P (x ，y )．由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF ＝F A ， 由椭圆的第二定义，得PFa 2c －x ＝e ，所以PF ＝a 2c e －ex ＝a －ex ，而F A ＝a 2c －c ，所以a －ex ＝a 2c －c ，解得x ＝1e⎝⎛⎭⎫a ＋c －a 2c .由于－a ≤x ≤a ，所以－a ≤1e⎝⎛⎭⎫a ＋c －a 2c ≤a . 又e ＝c a，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0. 又0<e <1，所以12≤e <1. 11．(2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2). 因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.12．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明EA ＋EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为AD ＝AC ，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以EB ＝ED ，故EA ＋EB ＝EA ＋ED ＝AD .又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而AD ＝4，所以EA ＋EB ＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，AB ＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 点(1,0)在椭圆内部，故直线l 与椭圆必有两交点．则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以MN ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)， 点A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以PQ ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12MN ·PQ ＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，MN ＝3，PQ ＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线MF 2与椭圆C 的一个交点，且OA ＝OF 2＝2OM ，则椭圆C 的离心率为________． 答案 53解析 方法一 ∵OA ＝OF 2＝2OM ，∴M 在椭圆C 的短轴上，设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1，∵OA ＝OF 2，∴OA ＝12·F 1F 2， ∴AF 1⊥AF 2，从而△AF 1F 2∽△OMF 2，∴AF 1AF 2＝OM OF 2＝12， 又AF 21＋AF 22＝(2c )2， ∴AF 1＝255c ，AF 2＝455c ， 又∵AF 1＋AF 2＝2a ，∴655c ＝2a ，即c a ＝53.方法二 ∵OA ＝OF 2＝2OM ，∴M 在椭圆C 的短轴上，在Rt △MOF 2中，tan ∠MF 2O ＝OM OF 2＝12，设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1， ∵OA ＝OF 2，∴OA ＝12F 1F 2， ∴AF 1⊥AF 2，∴tan ∠AF 2F 1＝AF 1AF 2＝12， 设AF 1＝x (x >0)，则AF 2＝2x ，∴F 1F 2＝5x ，∴e ＝2c 2a ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＝5x x ＋2x ＝53.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的端点为P (0，b )，Q (0，－b )，长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A ，PB 的斜率之积等于－14，则点P 到直线QM 的距离为________．答案 455b 解析 设A (x 0，y 0)，则B 点坐标为(－x 0，－y 0)，则y 0－b x 0·－y 0－b －x 0＝－14，即y 20－b 2x 20＝－14， 由于x 20a 2＋y 20b 2＝1，则y 20－b 2x 20＝－b 2a2， 故－b 2a 2＝－14，则b a ＝12，不妨取M (a,0)，则直线QM 的方程为bx －ay －ab ＝0，则点P 到直线QM 的距离为d ＝|2ab |a 2＋b 2＝2·b1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝455b .15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1 解析 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题易知|x 0|<a ，因为存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角，所以PF 1→·PF 2→<0有解，即c 2>x 20＋y 20有解，即c 2>(x 20＋y 20)min ，又y 20＝b 2－b 2a 2x 20，b 2＋c 2＝a 2，x 20<a 2，故x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2x 20∈[b 2，a 2)，所以(x 20＋y 20)min ＝b 2，故c 2>b 2，所以e 2＝c 2a 2>12，又0<e <1，所以22<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 16．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是________．答案 b 34a解析 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝⎛⎭⎫b 22x 0，0和F ⎝⎛⎭⎫0，b 22y 0， 所以S △EOF ＝12·OE ·OF ＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”， 故△EOF 面积的最小值为b 34a.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何阶段回扣练 理-人教版高三全册数学试题
【创新设计】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何阶段回扣练 理阶段回扣练(九)(建议用时：70分钟)1.(2016·某某调研)如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1－AB －C 是直二面角.求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ；(2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明 因为二面角A 1－AB －C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，所以AA 1⊥平面BAC .又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ，所以∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)， A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2).(1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC →＝(2，0，0)，设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0，1，0). 所以A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n .所以A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1→＝(0，2，2)，A 1C 1→＝(1，1，0)，A 1C →＝(2，0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1，1).所以AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB 1→⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ，所以AB 1∥平面A 1C 1C .2.(2016·某某质检)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点.(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明 设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，C (2a ，0，0)，B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)，E (a ，3a ，2a ).因为F 为CD 的中点，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0. (1)因为AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a ，0，－a )， 所以AF →＝12(BE →＋BC →)， 又AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0， CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a )，所以AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，所以AF →⊥CD →，AF →⊥ED →.因为CD ∩ED ＝D ，所以AF ⊥平面CDE .又AF ∥平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .3.(2015·某某期末)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，DA＝DC ＝2，DD ′＝1，A ′C ′与B ′D ′相交于点O ′，点P 在线段BD 上(点P 与点B 不重合).(1)若异面直线O ′P 与BC ′所成角的余弦值为5555，求DP 的长度； (2)若DP ＝322，求平面PA ′C ′与平面DC ′B 所成角的正弦值. 解 (1)以DA →，DC →，DD ′→为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，由题意，知D (0，0，0)，A ′(2，0，1)，B (2，2，0)，C ′(0，2，1)，O ′(1，1，1).设P (t ，t ，0)，所以O ′P →＝(t －1，t －1，－1)，BC ′→＝(－2，0，1).设异面直线O ′P 与BC ′所成角为θ，则cos θ＝|O ′P →·BC ′→||O ′P →|·|BC ′→|＝|－2（t －1）－1|2（t －1）2＋1·5＝5555， 化简得21t 2－20t ＋4＝0，解得t ＝23或t ＝27， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫27，27，0， 所以DP ＝232或DP ＝272. (2)因为DP ＝322，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， DC ′→＝(0，2，1)，DB →＝(2，2，0)，PA ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1，PC ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1， 设平面DC ′B 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DC ′→＝0，n 1·DB →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＋z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝－2y 1，x 1＝－y 1，取y 1＝－1，n 1＝(1，－1，2)， 设平面PA ′C ′的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PA ′→＝0，n 2·PC ′→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12x 2－32y 2＋z 2＝0，－32x 2＋12y 2＋z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 2＝y 2，x 2＝y 2，取y 2＝1，n 2＝(1，1，1)， 设平面PA ′C ′与平面DC ′B 所成角为φ，所以|cos φ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝26×3＝23， 所以sin φ＝73. 4.(2015·某某卷)如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.(1)证明 如图①，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB . 又F 是CD 的中点，所以DF ＝12CD . 图①由四边形ABCD 是矩形，得AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以GH ∥DF ，且GH ＝DF ，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF ∥DH .又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以GF ∥平面ADE .(2)解 如图②，在平面BEC 内，过点B 作BQ ∥EC .因为BE ⊥CE ，所以BQ ⊥BE .又因为AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .图②以B 为原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，2)，B (0，0，0)，E (2，0，0)，F (2，2，1).因为AB ⊥平面BEC ，所以BA →＝(0，0，2)为平面BEC 的法向量.设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量.又AE →＝(2，0，－2)，AF →＝(2，2，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0. 取z ＝2，得n ＝(2，－1，2).从而cos 〈n ，BA →〉＝n ·BA →|n |·|BA →|＝43×2＝23， 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23. 5.如图所示，正方形ABCD 所在平面与等腰三角形EAD 所在平面相交于AD ，AE ⊥平面CDE .(1)求证：AB ⊥平面ADE ；(2)在线段BE 上存在点M ，使得直线AM 与平面EAD 所成角的正弦值为63，试确定点M 的位置.(1)证明 ∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE ⊥CD .在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∵AD ∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面ADE .∵AB ∥CD ，∴AB ⊥平面ADE .(2)解 由(1)知平面EAD ⊥平面ABCD ，取AD 中点O ，连接EO ，∵EA＝ED ，∴EO ⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，E (0，0，1)，设M (x ，y ，z )，∴BM →＝(x －1，y －2，z )，BE →＝(－1，－2，1)，∵B ，M ，E 三点共线，∴BM →＝λBE →，∴M (1－λ，2－2λ，λ)，∴AM →＝(－λ，2－2λ，λ)，设AM 与平面AED 所成的角为θ，∵平面AED 的法向量n ＝(0，1，0)，∴sin θ＝|cos 〈AM →，n 〉|＝|2－2λ|6λ2－8λ＋4＝63，解得λ＝12. 故M 为BE 的中点.6.(2016·某某质检)如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点.在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE .求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.(1)证明 在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ，所以AB ∥FG .(2)解 因为PA ⊥底面ABCDE ，AB ，AC ⊂平面ABCDE ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AE .如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0).设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1).设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12. 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ，v ，w ).因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0＜λ＜1)，即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的法向量，所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，23.所以PH 2.=。
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析一、选择题1．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C．短轴长为14D．离心率为32答案D解析由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2 1 16＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，长轴2a＝1，焦距2c＝32，短轴2b＝12，离心率e＝ca＝32.故选D.2．双曲线x23－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±3x B．y＝±13xC．y＝±3x D．y＝±33x 答案C解析因为x23－y29＝1，所以a＝3，b＝3，渐近线方程为y＝±ba x，即为y＝±3x，故选C.3．已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与抛物线x2＝8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3x B．y＝±3xC．y＝±13x D．y＝±33x答案A解析∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C 的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案A解析直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34，又b 2＋c 2＝a 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A.5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是()A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案A 解析双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于()A.13B.23C.23D.223答案D解析＝k (x ＋2)，2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k 2－4，①x 1x 2＝4，②根据抛物线定义及|FA |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89，∵0<k <1，∴k ＝223.故选D.7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为()A ．2 B.2147C ．22D ．23答案C解析由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即ba＝7，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案A解析如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于()A ．2 B.3C ．23D ．3答案A解析由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为()A.2B.32C.3D ．2答案A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点()B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(－2,0)答案B解析根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0，所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于()A ．4B ．23C ．2D ．3答案A解析如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A.二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案22解析双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2.14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|PA |＝________.答案4解析由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，即x 2－y 24＝1(x >0)，故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点，且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA |－|PB |＝2a ＝2，|PA |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案1解析设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D为椭圆的短轴端点，动点P 满足|PA ||PB |＝2，△PAB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________．答案32解析依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|PA |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得－53a ＋y 2，r ＝4a3.所以△PAB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2，△PCD 的最小面积为12·2b b ·a 3＝23，解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－14＝32.三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程；(2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围．解(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r 恒成立，即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ，去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ，根据恒成立，可得b ＝1，所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ，即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109，解得2≤b ≤4，再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10，解得－6≤b ≤6，两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．(1)解由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0.所以Δ＝(t＋2)2＋8>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.所以k1·k2＝y1－1x1－1·y2－1x2－1＝y1－1y21－1·y2－1y22－1＝1(y1＋1)(y2＋1)＝1y1y2＋y1＋y2＋1＝1－t－3＋t＋1＝－12，所以k1·k2是定值．。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第九章 平面
第2课时 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题典例 (2017·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)求证：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )． (1)解 由题意可知OA ＝5，因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45， 由题意可知D (5,0)， 显然，直线CD 的斜率存在， 设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b ，将C ，D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x ＋7y －5＝0. (2)证明 设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m . 则AC ＝OA －OC ＝5－5m ， 所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以D 点坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 解得x ＝0，y ＝0(舍)或x ＝2，y ＝－1. △OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)． 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)求定点坐标：不妨设方程中所含参变量为λ，把方程写为形如f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式，然后解关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0，得到定点坐标．跟踪训练 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． (1)解 设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3. ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0， ∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )，得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1， 由题意mt <0， ∴mt ＝－1，满足②，∴直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．题型二 定值问题典例 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m －k 为定值．(1)解 因为e ＝32＝c a ，故c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，所以a ＝2b .再由a ＋b ＝3，得a ＝2，b ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则可设BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0且k ≠±12.① 将①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.又直线AD 的方程为y ＝12x ＋1，②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线可解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练 (2018届江阴中学质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离的最小值为2－1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝⎛⎭⎫－54，0，证明：MA →·MB →为定值．(1)解 将圆的方程化成标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1， 则圆心为(－1,0)，半径r ＝1，所以椭圆的半焦距c ＝1. 又椭圆上的点到点F 的距离的最小值为2－1， 所以a －c ＝2－1，即a ＝ 2. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝－1. 可求得A ⎝⎛⎭⎫－1，22，B ⎝⎛⎭⎫－1，－22. 此时，MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎫－1＋54，22·⎝⎛⎭⎫－1＋54，－22＝－716. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋54，y 1·⎝⎛⎭⎫x 2＋54，y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋54⎝⎛⎭⎫x 2＋54＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋54(x 1＋x 2)＋⎝⎛⎭⎫542＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516 ＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2＋⎝⎛⎭⎫k 2＋54⎝⎛⎭⎫－4k 21＋2k 2＋k 2＋2516＝－4k 2－21＋2k 2＋2516＝－2＋2516＝－716. 所以MA →·MB →为定值，且定值为－716.题型三 探索性问题典例 (2018届江苏徐州一中调研) 如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过左焦点F (－3，0)且斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：x ＋4ky ＝0交椭圆E 于C ，D 两点．(1)求椭圆E 的方程； (2)求证：点M 的直线l 上；(3)是否存在实数k ，使得△BDM 的面积是△ACM 面积的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．(1)解 由题意知e ＝c a ＝32，c ＝3，于是a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立直线AB 的方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋3)，x 24＋y 2＝1，即(4k 2＋1)x 2＋83k 2x ＋12k 2－4＝0， 显然方程有两个不等实根．所以x 1＋x 2＝－83k 24k 2＋1，x 0＝x 1＋x 22＝－43k 24k 2＋1，y 0＝k (x 0＋3)＝3k4k 2＋1， 于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43k24k 2＋1，3k 4k 2＋1.因为－43k 24k 2＋1＋4k ·3k 4k 2＋1＝0，所以点M 在直线l 上．(3)解 当k ＝±24时，满足条件．由(2)知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等． 若△BDM 的面积是△ACM 面积的3倍， 则DM ＝3CM ，因为OD ＝OC ，于是M 为OC 的中点． 设点C 的坐标为(x 3，y 3)，则y 0＝y 32，即y 3＝2y 0＝23k4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－4ky 3，x 234＋y 23＝1，解得y 3＝±14k 2＋1， 于是124k 2＋1＝3|k |4k 2＋1， ∴k 2＝18，即k ＝±24.思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 跟踪训练 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，∴a ＝2. 又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3， 又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件． 故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12.∵OP →2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2) ＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .设而不求，整体代换典例 (16分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值． 规范解答解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.[4分](2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.[6分]因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m2－32x 0， 所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.[8分](3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0).整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.[12分] 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[16分]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2和直线l ：x ＝a (其中r 和a 均为常数，且0＜r ＜a )，M 为l 上一动点，A 1，A 2为圆C 与x 轴的两个交点，直线MA 1，MA 2与圆C 的另一个交点分别为P ，Q .(1)若r ＝2，点M 的坐标为(4,2)，求直线PQ 的方程； (2)求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标． (1)解 当r ＝2，M (4,2)时，A 1(－2,0)，A 2(2,0)． 直线MA 1的方程为x －3y ＋2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －3y ＋2＝0，解得P ⎝⎛⎭⎫85，65. 直线MA 2的方程为x －y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －y －2＝0，解得Q (0，－2)．由两点式得直线PQ 的方程为2x －y －2＝0. (2)证明 方法一 由题设得A 1(－r ,0)，A 2(r ,0)． 设M (a ，t )，则直线MA 1的方程为y ＝t a ＋r (x ＋r )．直线MA 2的方程为y ＝ta －r (x －r )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta ＋r(x ＋r )， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫r (a ＋r )2－rt 2(a ＋r )2＋t 2，2tr (a ＋r )(a ＋r )2＋t 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝ta －r(x －r )， 解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫rt 2－r (a －r )2(a －r )2＋t 2，－2tr (a －r )(a －r )2＋t 2. 于是直线PQ 的斜率k PQ ＝2ata 2－t 2－r 2，直线PQ 的方程为y －2tr (a ＋r )(a ＋r )2＋t 2＝2at a 2－t 2－r 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －r (a ＋r )2－rt 2(a ＋r )2＋t 2.令y ＝0，得x ＝r 2a，是一个与t 无关的常数，故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0.方法二 由题设得A 1(－r,0)，A 2(r,0)．设M (a ，t )，则直线MA 1的方程为y ＝ta ＋r (x ＋r )，直线MA 2的方程为y ＝ta －r (x －r )，则直线MA 1与圆C 的交点为P (x 1，y 1)， 直线MA 2与圆C 的交点为Q (x 2，y 2)．则点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在曲线[(a ＋r )y －t (x ＋r )]·[(a －r )·y －t (x －r )]＝0上， 化简得(a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)＋t 2(x 2－r 2)＝0.① 又因为点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在圆C 上， 圆C ：x 2＋y 2－r 2＝0.②由①－t 2×②得(a 2－r 2)y 2－2ty (ax －r 2)＋t 2(x 2－r 2)－t 2(x 2＋y 2－r 2)＝0， 化简得(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)－t 2y ＝0.所以直线PQ 的方程为(a 2－r 2)y －2t (ax －r 2)－t 2y ＝0. 令y ＝0，得x ＝r 2a，故直线PQ 过定点⎝⎛⎭⎫r 2a ，0.2．设点A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点⎝⎛⎭⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆的方程；(2)设P 为直线x ＝4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形． (1)解 由题意知2a ＝4，所以a ＝2，所求椭圆方程为x 24＋y 2b 2＝1.又点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，可得b 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知A (－2,0)，B (2,0)． 设P (4，t )(t ≠0)，M (x M ，y M )，则直线P A 的方程为y ＝t6(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 6(x ＋2)，x 2＋4y 2＝4，得(9＋t 2)x 2＋4t 2x ＋4t 2－36＝0. 因为直线P A 与椭圆相交于异于A 的点M ， 所以－2＋x M ＝－4t 29＋t 2，所以x M ＝－2t 2＋189＋t 2.由y M ＝t 6(x M ＋2)，得y M ＝6t9＋t 2.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 2＋189＋t2，6t 9＋t 2，从而BM →＝⎝⎛⎭⎫－4t 29＋t 2，6t 9＋t 2，BP →＝(2，t )，所以BM →·BP →＝－8t 29＋t 2＋6t 29＋t 2＝－2t 29＋t 2<0.又M ，B ，P 三点不共线，所以∠MBP 为钝角， 所以△MBP 为钝角三角形．3.如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F 1，F 2和短轴的一个端点A 构成等边三角形，点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆C 上，直线l 为椭圆C 的左准线．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上的动点，PQ ⊥l ，垂足为点Q ，是否存在点P ，使得△F 1PQ 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)已知△AF 1F 2为正三角形， 所以sin ∠AF 1O ＝OA AF 1＝b a ＝32，所以b 2a 2＝34.设b 2＝3λ，a 2＝4λ(λ>0)，椭圆方程为x 24＋y 23＝λ.由椭圆经过点⎝⎛⎭⎫3，32，解得λ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由PF 1PQ ＝e ＝12，得PF 1＝12PQ ，所以PF 1≠PQ .①若PF 1＝F 1Q ，则有PF 1＋F 1Q ＝PQ ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾， 所以PF 1不可能与F 1Q 相等．②若F 1Q ＝PQ ，设P (x ，y )(x ≠±2)，则Q (－4，y )． 由32＋y 2＝4＋x ，得9＋y 2＝16＋8x ＋x 2， 又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2.所以9＋3－34x 2＝16＋8x ＋x 2，即74x 2＋8x ＋4＝0,7x 2＋32x ＋16＝0， 得x ＝－47或x ＝－4.因为x ∈(－2,2)，所以x ＝－47，所以P ⎝⎛⎭⎫－47，±3157.综上，存在点P ⎝⎛⎭⎫－47，±3157，使得△F 1PQ 为等腰三角形．4．已知半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)组成的曲线称为“果圆”，其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x ，y 轴的交点．(1)若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； (2)若A 1A 2>B 1B 2，求ba的取值范围；(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k ，使得斜率为k 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点M 的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵F 0(c ，0)，F 1(0，－b 2－c 2)，F 2(0，b 2－c 2)， ∴F 0F 2＝(b 2－c 2)＋c 2＝b ＝1，F 1F 2＝2b 2－c 2＝1， ∴c 2＝34，a 2＝b 2＋c 2＝74，∴所求“果圆”的方程为⎩⎨⎧47x 2＋y 2＝1，x ≥0，y 2＋43x 2＝1，x <0.(2)由题意，得a ＋c >2b ， 即a 2－b 2>2b －a ， ∴a 2－b 2>(2b －a )2，得b a <45.又b 2>c 2＝a 2－b 2，∴b 2a 2>12.∴b a ∈⎝⎛⎭⎫22，45. (3)设“果圆”C 的方程为⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ≥0，y 2b 2＋x2c 2＝1，x <0，记平行弦的斜率为k ，当k ＝0时，直线y ＝t (－b ≤t ≤b )与半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的交点是P ⎝⎛⎭⎫a1－t 2b 2，t ，与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)的交点是Q ⎝⎛⎭⎫－c1－t 2b 2，t . ∴P ，Q 的中点M (x ，y )满足x ＝a －c 2·1－t 2b 2，y ＝t ，得x 2⎝⎛⎭⎫a －c 22＋y 2b 2＝1. ∵a 2＝b 2＋c 2<2b 2<4b 2，∴a <2b ， ∴⎝⎛⎭⎫a －c 22－b 2＝a －c －2b 2·a －c ＋2b 2<0.综上所述，当k ＝0时，“果圆”平行弦的中点M 的轨迹总是落在某个椭圆上． 当k >0时，过B 1的直线l 与半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫2ka 2b k 2a 2＋b 2，k 2a 2b －b 3k 2a 2＋b 2. 因此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ka 2bk 2a 2＋b 2，－b 3k 2a 2＋b 2，轨迹在直线y ＝－b 2ka2x 上，即不在某一椭圆上．当k <0时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上．5．(2017·苏州期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值． 解 (1)因为椭圆C 的离心率为c a ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 2＋4y 2＝4b 2， 又椭圆C 过点P (2，－1)，所以4＋4＝4b 2， 解得b 2＝2，a 2＝8，所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)由题意知，设直线P A 的方程为y ＋1＝k (x －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝8，y ＝k (x －2)－1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8(2k 2＋k )x ＋16k 2＋16k －4＝0， 所以2x 1＝16k 2＋16k －41＋4k 2，即x 1＝8k 2＋8k －21＋4k 2，因为直线PQ 平分∠APB ，即直线P A 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y ＋1＝－k (x －2)，同理求得x 2＝8k 2－8k －21＋4k 2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1＝k (x 1－2)，y 2＋1＝－k (x 2－2)，所以y 1－y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ， 即y 1－y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝k 16k 2－41＋4k 2－4k ＝－8k 1＋4k 2， x 1－x 2＝16k 1＋4k 2.所以直线AB 的斜率为k AB＝y 1－y 2x 1－x 2＝－8k1＋4k 216k 1＋4k 2＝－12.6.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD → ＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.。
2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第
第2课时 范围、最值问题题型一 范围问题例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，FM ＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围． 解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由FM ＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0， 因此m ＜0，于是m ＝－ 2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2016·扬州模拟)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，点M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．(1)若椭圆的方程为x 28＋y24＝1，且点P 的坐标为(2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围． 解 (1)因为椭圆的方程为x 28＋y 24＝1，所以点F 1的坐标为(－2,0)，点F 2的坐标为(2,0)， 所以k OP ＝22，2F M k ＝－2，1F M k ＝24， 所以直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)， 解得x ＝65， 所以点M 的横坐标为65.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，点M 的坐标为(x M ，y M )， 因为F 1M →＝2MP →，所以F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，所以点M 的坐标为(23x 0－13c ，23y 0)，F 2M →＝(23x 0－43c ，23y 0)．因为PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，所以(23x 0－43c )x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1， 消去y 0，得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a (a ＋c )c 或x 0＝a (a －c )c.因为－a <x 0<a ，所以x 0＝a (a －c )c ∈(0，a )，所以0<a 2－ac <ac ，解得e >12.又椭圆离心率e ∈(0,1)，故椭圆离心率e 的取值范围为(12，1)．题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 (2016·徐州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则AF ·BF 的最小值是_____. 答案 4解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得AF ＝21－cos θ，BF ＝21＋cos θ，则AF ·BF ＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为_____________． 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4 (2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B . ①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值；②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由①知直线P A 的方程为y ＝kx ＋m ，则 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0＋m .同理x 2＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0，y 2＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m .所以x 2－x 1＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0－2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0＝－32k 2(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， y 2－y 1＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m －2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0－m＝－8k (6k 2＋1)(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2017·扬州预测)已知圆(x －a )2＋(y ＋1－r )2＝r 2(r >0)过点F (0,1)，圆心M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线P A ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求AF ·BF 的最小值． 解 (1)依题意，由圆过定点F 可知轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义可知AF ＝y 1＋1，BF ＝y 2＋1， 所以AF ·BF ＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以AF ·BF ＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2， 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2(y 0＋12)2＋92， 所以当y 0＝－12时，AF ·BF 取得最小值，且最小值为92.1．(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A 在x 轴上方，则F A 的取值范围是__________．答案 (14，1＋22]解析 记点A 的横坐标是x 1，则有AF ＝x 1＋14＝(14＋AF ·cos θ)＋14＝12＋AF ·cos θ， AF (1－cos θ)＝12，AF ＝12(1－cos θ).由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<12(1－cos θ)≤12－2＝1＋22， 即AF 的取值范围是(14，1＋22]．2．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为________． 答案125解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求MP 的最小值可以转化为求OP 的最小值，当OP 取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P 都有PF 22＝8a ·PF 1(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是__________． 答案 (1,3]解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得PF 2＝2a ＋PF 1，所以PF 22PF 1＝PF 1＋4a 2PF 1＋4a ＝8a ，所以PF 1＝2a ，PF 2＝4a ，在△PF 1F 2中，PF 1＋PF 2≥F 1F 2， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca ≤3.又e >1，所以1<e ≤3.4．(2016·宿迁质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为________． 答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝⎛⎭⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝⎛⎭⎫x ＋922≤22536， ∴6≤19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234≤12， 即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.5．(2017·郑州第一次质量预测)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 答案 (22，1) 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0，得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1，∴22<e 1<1. 6．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________． 答案 3解析 依题意不妨设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，OA →·OB →＝2⇒x 1x 2－x 1x 2＝2⇒x 1x 2＝2或x 1x 2＝－1(舍去)．当x 1＝x 2时，有x 1＝x 2＝2，则S △ABO ＋S △AFO ＝22＋28＝1728；当x 1≠x 2时，直线AB 的方程为y －x 1＝x 1＋x 2x 1－x 2(x －x 1)，则直线AB 与x 轴的交点坐标为(2,0)．于是S △ABO＋S △AFO ＝12×2×(x 1＋x 2)＋12×14x 1＝98x 1＋x 2≥298x 1x 2＝3(当且仅当98x 1＝x 2时取“＝”)，而1728>3，故填3.7．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于M ，N 两点．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为 y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0， 则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为1.8. (2016·苏北四市联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，左顶点为A (－4,0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y轴于点E .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD ＋AEOM 的最小值．解 (1)因为左顶点为A (－4,0)， 所以a ＝4，又e ＝12，所以c ＝2.又因为b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋y 212＝1，y ＝k (x ＋4)，得x 216＋[k (x ＋4)]212＝1， 化简，得(x ＋4)[(4k 2＋3)x ＋16k 2－12]＝0，所以x 1＝－4，x 2＝－16k 2＋124k 2＋3. 当x ＝－16k 2＋124k 2＋3时，y ＝k (－16k 2＋124k 2＋3＋4)＝24k 4k 2＋3， 所以点D 的坐标为(－16k 2＋124k 2＋3，24k 4k 2＋3)． 因为P 为AD 的中点，所以点P 的坐标为(－16k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3)， 则k OP ＝－34k(k ≠0)． 直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，令x ＝0，得点E 的坐标为(0,4k )．假设存在定点Q (m ，n )(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ，则k OP k EQ ＝－1，即－34k ·n －4k m＝－1，所以(4m ＋12)k －3n ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋12＝0，－3n ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝0， 因此定点Q 的坐标为(－3,0)．(3)因为OM ∥l ，所以OM 的方程可设为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋y 212＝1，y ＝kx ，得点M 的横坐标为x ＝±434k 2＋3. 由OM ∥l ，得AD ＋AE OM ＝|x D －x A |＋|x E －x A ||x M |＝x D －2x A |x M |＝－16k 2＋124k 2＋3＋8434k 2＋3＝13·4k 2＋94k 2＋3＝13(4k 2＋3＋64k 2＋3)≥22， 当且仅当4k 2＋3＝64k 2＋3，即k ＝±32时取等号．所以当k ＝±32时，AD ＋AE OM 取得最小值为2 2. 9．如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且F 2F 4＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝F 2F 4＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1. (2)因为AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，m m 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x ， 即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧ y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4， 所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而PQ ＝2x 2＋y 2＝2 m 2＋42－m 2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4. 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2， 所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12·PQ ·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1.(2016·苏北四市模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________.
解析 若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平
行，所以a ≠0；当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.
答案 －1或2
2.两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为________. 解析 把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离d ＝|1－（－6）|62＋2
2＝72010. 答案 710
20
3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为________.
解析
由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37， 则所求直线方程为：y ＝37－197
x ＝－319x ， 即3x ＋19y ＝0.
答案 3x ＋19y ＝0
4.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k ＝________.
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，
得x ＝k 2－362k ＋3，
由x ＝0，得k ＝±6.
答案 ±6
5.(2015·金华调研)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交
点在第________象限.
解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k
得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以k k －1<0，2k －1k －1
>0，故交点在第二象限. 答案 二
6.点(2，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________.
解析 设对称点为(x 0，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，
故所求对称点为(0，3). 答案 (0，3)
7.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.
∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，
即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.
答案 －9
8.(2016·南京师大附中调研)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________.
解析 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，
即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k
2， ∴k ＝2或k ＝－23.
∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.
答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0
二、解答题
9.已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：
(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合.
解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，
即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3.
故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交.
(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.
(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2.
(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，
即m ＝3时，l 1与l 2重合.
10.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.
解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，
∴l AC 为2x ＋y －11＝0，
联立l AC ，l CM 得⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，
∴C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，
∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，
∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2014·四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是________.
解析 易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直，
即△APB 为直角三角形，
∴P A ·PB ≤P A 2＋PB 22
＝AB 22＝102＝5. 答案 5
12.(2016·南京、盐城调研)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________.
解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，
所以4m ＋3n －10＝0.
欲求m 2＋n 2的最小值可先求
（m －0）2＋（n －0）2的最小值，而
（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图.当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.
答案 4
13.如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射
出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线
OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________.
解析 易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，
2)与A 2(－2，0)两点间的距离.
于是A 1A 2＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.
答案 210
14.(1)过点P (0，1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程.
(2)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解 (1)设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，
代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，
∴a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，
所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.
(2) 法一 由⎩
⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0， 得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.
∴反射点M 的坐标为(－1，2).
又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，
由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5
. 而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上， ∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0.得⎩⎪
⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213. 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.
法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x
＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02
，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，
3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0.
可得P 点的横、纵坐标分别为
x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813
， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.。