2018-2019学年人教B版必修一单调性与最大(小)值课时作业
2019-2020学年新人教A版必修一 3.2.1 单调性与最大(小)值 课时作业
2019-2020学年新人教A 版必修一 3.2.1 单调性与最大（小）值 课时作业1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.对于A ，当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；对于B ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；对于C ，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 对于D ，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析：选 A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．3．已知函数f (x )＝x 3＋x －a (a >0)的最小值为8，则实数a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B.由x －a ≥0，得x ≥a ，故函数的定义域为[a ，＋∞)．因为函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝a 3＝8，解得a ＝2.故选B.4．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：26．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)7．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a－2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.8．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D.由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D.2．(应用型)已知函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lgx )>g (1)，则x 的取值范围是( )A ．(0，10)B ．(10，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫110，10D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)解析：选C.因为g (lg x )>g (1)，g (x )＝－f (|x |)， 所以－f (|lg x |)>－f (1)，所以f (|lg x |)<f (1)．又因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以|lg x |<1，所以－1<lg x <1， 所以110<x <10.3．已知函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是________．解析：函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0，所以－1≤m ＜2.答案：[－1，2)4．(创新型)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案：15．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，所以g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，所以g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.所以g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <11a，a ≥1，所以g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a ＝1a＝1，所以当a ＝1时，g (a )取最大值1. 6．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0， 所以b ＝a ＋1，所以f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. 因为对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，（a －1）2≤0.所以a ＝1，从而b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. 因为g (x )在[－2，2]上是单调函数， 所以k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) .。
2019_2020学年高中数学第一章1.3.1单调性与最大(小)值第二课时函数的最大(小)值课时作业新人教A版必修1
第二课时函数的最大(小)值选题明细表基础巩固1.函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为( C )(A)f(2),f(-2)(B)f(),f(-1)(C)f(),f(-)(D)f(),f(0)解析:根据函数最值定义,结合函数图象可知,当x=-时,有最小值f(-);当x=时,有最大值f().2.若函数y=f(x)的定义域是R,且对任意x∈R,f(x)≤2恒成立,则f(x)的最大值是( D )(A)2 (B)1.999(C)1 (D)无法确定解析:f(x)≤2对x∈R恒成立,只说明函数f(x)的最大值小于或等于2,但函数的最大值无法确定.故选D.3.设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:易知f(x)==2+,所以f(x)在区间[3,4]上单调递减,所以M=f(3)=2+=6,m=f(4)=2+=4,所以==.4.函数f(x)=|x-3|的最值情况为( C )(A)最小值为3,最大值为+∞(B)最小值为0,最大值为+∞(C)最小值为0,无最大值(D)最大值为0,无最小值解析:因为f(x)=所以函数f(x)在(-∞,3]上是减函数,在[3,+∞)上是增函数,故x=3时函数取最小值0,无最大值.5.已知函数f(x)=x2-2x在区间[-1,t]上的最大值为3,则实数t的取值范围是( D )(A)(1,3] (B)[1,3](C)[-1,3] (D)(-1,3]解析:因为f(x)=(x-1)2-1,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(-1)=3,又f(x)=x2-2x在[-1,t]上的最大值为3,故f(t)≤3.结合f(3)=3知-1<t≤3.选D.6.(2019·河南省南阳市高一上期中)已知f(x)=-,则( C )(A)f(x)max=,f(x)无最小值(B)f(x)min=1,f(x)无最大值(C)f(x)max=1,f(x)min=-1(D)f(x)max=1,f(x)min=0解析:由得f(x)定义域为[0,1],显然f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1.7.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为.解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},函数自变量x的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3.答案:38.(2018·江苏苏州高一期末)已知二次函数f(x)=x2+ax+2(a>0)在区间[0,2]上的最大值为8,则函数y=f(x)在[-2,1]上的值域为.解析:因为f(x)=x2+ax+2=(x+)2+2-,所以函数f(x)的对称轴方程为x=-<0,又x∈[0,2]时,函数为增函数,故f(2)=6+2a=8,则a=1,从而f(x)=x2+x+2=(x+)2+,结合-∈[-2,1]知函数有最小值,最大值为f(-2)=f(1)=4.答案:[,4]能力提升9.(2019·山东烟台高一上期中)设函数f(x)=mx+1,若f(x)>m-1对任意m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围是( B )(A)(-2,+∞) (B)(0,+∞)(C)[0,+∞) (D)(-1,+∞)解析:由题意,知f(x)=mx+1>m-1,即(x-1)m+2>0对任意m∈[1,2]恒成立,设g(m)=(x-1)m+2,m∈[1,2],则解得所以x>0,故实数x的取值范围为(0,+∞).故选B.10.设x≥0,y≥0且x+2y=1,则2x+3y2的最小值为.解析:由x≥0,y≥0,x+2y=1知0≤y≤,令Z=2x+3y2=2-4y+3y2=3(y-)2+,由函数解析式可知函数y∈(-∞,)时递减,所以当y=时,Z=2x+3y2有最小值.答案:11.若用m i n{a,b,c}表示三个数中的最小值,则函数f(x)= min｛x,2-x,4-x｝的最大值是.解析:在同一直角坐标系下作出函数y=x,y=2-x,y=4-x的图象,如图,则实线部分即为f(x)的图象,易知图象最高点的纵坐标为函数f(x)的最大值,结合知y=.答案:12.若定义F(x)=且f(x)=2-x2,g(x)=x,求函数F(x) 的值域.解析:在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.则函数F(x)图象为实线部分,由可知或故函数的最大值是1,因此函值域为{y|y≤1}.13.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x∈[1,2],都有f(x)≤0,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+(5-a2),所以f(x)在(-∞,a]上单调递减,又a>1,所以f(x)在[1,a]上单调递减,所以所以所以a=2.(2)因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以(-∞,2]⊆(-∞,a],所以a≥2.因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以x∈[1,2]时,f(x)max=f(1),又因为对任意的x∈[1,2],都有f(x)≤0,所以f(1)≤0,即1-2a+5≤0,所以a≥3.综上可知,a的取值范围为[3,+∞).探究创新14.(2019·安徽省宿州市十三所重点中学高一上期中)如图,有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y.(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2)当AE为何值时,绿地面积y最大?解:(1)S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),所以y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.由得0<x≤2,所以y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2].(2)当<2,即2<a<6时,则x=时,y max=;当≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x在(0,2]上是增函数,则x=2时,y max=2a-4.综上所述,当2<a<6,AE=时,绿地面积取最大值; 当a≥6,AE=2时,绿地面积取最大值2a-4.。
2018-2019学年高中数学人教A版必修一练习：1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 Word版含解析
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号求函数的单调区间2,7函数单调性的判定、证明1,3,4,9,12函数单调性的应用5,6,8,10,11,131.(2018·伊春高一期中)在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1(B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.2.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.3.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.4.(2017·湖北省荆州中学高一质检)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( B )(A)增函数 (B)减函数(C)先增后减 (D)先减后增解析:因为y=ax在(0,+∞)上是减函数,所以a<0.因为y=-在(0,+∞)上是减函数,所以-b>0,b<0.则y=ax2+bx的对称轴x=-<0且抛物线开口向下,所以y=ax2+bx在(0,+∞)上是减函数.故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.7.(2018·郑州模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是 .解析: g(x)=即g(x)=作出函数g(x)的图象,如图所示.由图象可知,g(x)的单调递减区间为[0,1).答案:[0,1)8.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 .解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]9.(2018·江西省九江一中高一上期末)已知函数f(x)=x+.(1)用单调性的定义证明f(x)在[2,+∞)上是增函数;(2)解不等式f(x2-2x+4)≤f(7).(1)证明:设x1,x2是[2,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=,因为2≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-4>0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.(2)解:因为x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>2,所以由(1)知x2-2x+4≤7,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3.所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}.10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( D )(A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-1,0)∪(0,1](C)(0,1) (D)(0,1]解析:因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,所以对称轴x=a应满足a≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上是减函数,所以a>0,所以0<a≤1.故选D.11.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是 .解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.答案:[0,4]12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.因此f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,且f(|x|)<-2=f(9),所以|x|>9,解得x>9或x<-9.故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.13.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是 .解析:由<0对任意x1≠x2都成立,得f(x)是减函数,则得a≤0.答案:(-∞,0]。
2019高中数学1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性课时分层作业9 新人教A版必修1
课时分层作业(九) 函数的单调性(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )【导学号：37102131】A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2B [对于A ，y ＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝(2x －1)2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]2．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．先减后增B [由于函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上均为减函数，故a <0，b <0，故二次函数f (x )＝ax2＋bx 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝－b2a <0，故函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递减．]3．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( )【导学号：37102132】A ．(－∞，0]，(－∞，1]B ．(－∞，0]，(1，＋∞)C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)C [分别作出f (x )与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.] 4．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )C [因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.]5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (8(x －2))的解集是( )【导学号：37102133】A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫2，167D [由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －，xx －⇒2＜x ＜167，故选D.]二、填空题6．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2] [∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.]7．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________. 【导学号：37102134】a ≥－1 [函数f (x )＝1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.]8．已知f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ①y ＝a ＋f (x )(a 为常数)；②y ＝a －f (x )(a 为常数)；③y ＝1f x ；④y ＝[f (x )]2.②③ [f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0时，－f (x )，1f x均为递增函数，故选②③.]三、解答题9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间.【导学号：37102135】[解] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]，(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．10．证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．[证明] (1)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．[冲A 挑战练]1．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )【导学号：37102136】A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)A [对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋5，x ≤1，2ax，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]D [依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，a －＋5≥2a ，解得0<a ≤2.]3．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是________.【导学号：37102137】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 [函数f (x )＝2x 2－3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x ≥0，2x 2＋3x ，x <0，图象如图所示，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.]4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 [由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.]5．已知一次函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )(x ＋m )，且f (f (x ))＝16x ＋5. (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围.【导学号：37102138】[解] (1)由题意设f (x )＝ax ＋b (a >0)．从而f (f (x ))＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝16x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，ab ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－53(不合题意，舍去)．所以f (x )的解析式为f (x )＝4x ＋1.(2)g (x )＝f (x )(x ＋m )＝(4x ＋1)(x ＋m )＝4x 2＋(4m ＋1)x ＋m ，g (x )图象的对称轴为直线x ＝－4m ＋18. 若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，则－4m ＋18≤1，解得m ≥－94，所以实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－94，＋∞.。
2019-2019学年北师大版必修一 函数的单调性课时作业
课时跟踪检测（八） 函数的单调性层级一 学业水平达标1.如图是函数y ＝f (x )的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图像，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B.2．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0”的是( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x 解析：选C f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A 、B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1,2 D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析：选D 由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图像的对称轴为x ＝32且开口向上，所以该函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，32，故选D. 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0在R 上是( ) A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性解析：选B 画出该分段函数的图像，由图像可知，该函数在R 上是增函数．5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：选D 显然A 、B 在(0,2)上为减函数，排除；对C ，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合条件；对D ，函数在⎝⎛⎭⎫－43，＋∞上为增函数， 所以在(0,2)上也为增函数．故选D.6.函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：(－∞，1 和(1，＋∞)7．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是________．解析：由题意知m 4≤－2，解得m ≤－8. 答案：(－∞，－88．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －3)＜f (2－x )，则x 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的增函数，又∵f (x －3)＜f (2－x )，∴x －3＜2－x ，∴x ＜52， 即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，52. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，52 9．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x 2＞x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1)＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2＞x 1≥2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞4，即x 1＋x 2－4＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．10．已知函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x ＞0，y ＞0，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且满足f (2)＝1.(1)求f (1)，f (4)的值；(2)求满足f (x )－f (x －3)＞1的x 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，而f (2)＝1.∴f (4)＝2×1＝2.(2)由f (x )－f (x －3)＞1，得f (x )＞f (x －3)＋1，而f (x －3)＋1＝f (x －3)＋f (2)＝f (2(x －3))，∴f (x )＞f (2(x －3))．∵函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，x －3＞0，x ＞2(x －3)，解得3＜x ＜6.∴x 的取值范围是(3,6)．层级二 应试能力达标 1．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定解析：选D 根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.2．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2－1)＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a )解析：选D ∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋1＞a .∴f (a 2＋1)＜f (a )．而A 、B 、C 中的大小关系均无法判断．故选D.3．函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，则y ＝f (x ＋5)的单调增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2,3)D ．(0,5)解析：选B ∵函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，∴y ＝f (x ＋5)的单调增区间满足－2＜x ＋5＜3，解得x ∈(－7，－2)，此即为函数y ＝f (x ＋5)的单调增区间，故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x在区间[1,2 上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1解析：选D 因为g (x )＝a x在区间[1,2 上是减函数，所以a ＞0.因为函数f (x )＝－x 2＋2ax 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝a ，且函数f (x )在区间[1,2 上为减函数，所以a ≤1.故满足题意的a 的取值范围是(0,1 ．5．已知y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则f⎝⎛⎭⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小关系为________________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34， ∴由函数的单调性知f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34.答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫346．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2b －1)x ＋b －1，x ＞0，－x 2＋(2－b )x ，x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________． 解析：要使此分段函数为R 上的增函数，必须使函数g (x )＝(2b －1)x ＋b －1在(0，＋∞)上是增函数；函数h (x )＝－x 2＋(2－b )x 在(－∞，0 上是增函数，且满足h (0)≤g (0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，－2－b 2×(－1)≥0，0≤b －1，解得1≤b ≤2.即实数b 的取值范围是[1,2 ．答案：[1,27．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．解：设－2＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)(x 2＋2)(x 1＋2)＝(x 2－x 1)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)，∵－2＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，故当a ＜12时，f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x )在(－2，＋∞)是减函数．当a ＞12时，f (x 2)－f (x 1)＞0，∴f (x )在(－2，＋∞)是增函数．综上得，a ＜12时，f (x )在(－2，＋∞)是减函数；a ＞12时，f (x )在(－2，＋∞)是增函数．8．已知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＞0，f (3)＝1.判断g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3上是增函数还是减函数，并加以证明．解：函数在(0,3 上是减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈(0,3 ，且x 1＜x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)＋1f (x 1)－⎣⎡⎦⎤f (x 2)＋1f (x 2)＝[f (x 1)－f (x 2) ⎣⎡⎦⎤1－1f (x 1)f (x 2). ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＜0. 又∵f (x )＞0，f (3)＝1，∴0＜f (x 1)＜f (x 2)≤f (3)＝1. ∴0＜f (x 1)f (x 2)＜1.∴1f (x 1)f (x 2)＞1,1－1f (x 1)f (x 2)＜0. ∴g (x 1)－g (x 2)＞0，于是函数g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3 上是减函数．。
高中数学新人教B版必修第一册 函数的单调性 函数的最大小值 作业 课件(26张)G
7．函数 f(x)＝x＋ 2x－1的最值情况是( A ) A．函数的最小值是12，无最大值 B．函数的最大值为12，无最小值 C．函数的最小值为12，最大值为 2 D．函数无最大值，也无最小值
解析：∵f(x)＝x＋ 2x－1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴ f(x)≥f(12)，即函数的最小值为 f(12)＝12，无最大值．
5．已知函数 f(x)在 R 上是增函数，若 a＋b>0，则下列结果中 正确的是( A )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)>f(－a)－f(－b) C．f(a)＋f(－a)>f(b)－f(－b) D．f(a)－f(－a)>f(b)＋f(－b)
解析：∵f(x)在 R 上为增函数，又 a＋b>0，∴a>－b，b>－a， ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
8．函数 f(x)在区间[－3，－1]上是增函数，且最小值为－2， 最大值为 1，那么|f(x)|在[－3，－1]上( C )
A．最小值为－2，最大值为 1 B．最小值为 0，最大值为 1 C．最小值为 0，最大值为 2 D．最小值为－2，最大值为 0
解析：可用排除法去掉 A，D，再利用绝对值的性质排除 B.
7－2 7.
16．(10 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求 a 的取值范围； (3)若 x∈[t，t＋2]，试求 y＝f(x)的最小值．
解：(1)∵f(x)是二次函数，且 f(0)＝f(2)， ∴f(x)图像的对称轴是直线 x＝1. 又 f(x)的最小值为 1，则可设 f(x)＝k(x－1)2＋1. ∵f(0)＝3，∴k＝2. ∴f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
高中数学 课时作业16 1.3.1.4 单调性与最大(小)值(第4课时)新人教A版必修1
课时作业(十六) 1.3.1.4 单调性与最大（小）值（第4课时）1.设a ，b ∈R ，且a>0，函数f(x)＝x 2＋ax ＋2b ，g(x)＝ax ＋b ，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )A.4B.8C.10D.16 答案 B2.函数f(x)＝x 2－mx ＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是( )A.4B.－4C.与m 的取值有关D.不存在 答案 A3.已知二次函数f(x)＝m 2x 2＋2mx －3，则下列结论正确的是( )A.函数f(x)有最大值－4B.函数f(x)有最小值－4C.函数f(x)有最大值－3D.函数f(x)有最小值－3 答案 B4.已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A.－1B.0C.1D.2答案 C解析 f(x)＝－(x －2)2＋a ＋4，∴f(x)在[0，1]上单调递增.∴f(x)min ＝f(0)＝a ＝－2.∴f(x)max ＝f(1)＝－1＋4－2＝1.5.f(x)＝9－ax 2(a>0)在[0，3]上的最大值为________.答案 96.设0<x<1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________. 答案 4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）.当0<x<1时，x(1－x)＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4. 7.已知函数f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a 的取值范围是________.答案 (1，3]解析 f(x)是对称轴为x ＝3，开口向上的抛物线，所以f(x)在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，f(x)min ＝f(a)，所以f(x)在[1，a]上递减，故a≤3.综上，1<a ≤3.8.用长度为24米的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________米.答案 3解析 设隔墙长度为x m ，场地面积为S m 2，则S ＝x·24－4x 2＝12x －2x 2＝－2(x －3)2＋18. ∴当x ＝3时，S 有最大值18 m 2.9.(1)求函数y ＝ax ＋1(a≠0)在[0，2]上的最值.(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2.求a 的值.解析 (1)当a>0时，y ＝ax ＋1在[0，2]上单调递增，在x ＝0时取得最小值1，在x ＝2时取得最大值2a ＋1；当a<0时，y ＝ax ＋1在[0，2]上单调递减，在x ＝0时取得最大值1，在x ＝2时取得最小值2a ＋1.(2)∵|f(0)－f(2)|＝2，∴|1－(2a ＋1)|＝2，∴a ＝±1.10.已知f(x)＝12(x －1)2＋1的定义域与值域均为[1，b]，求b 的值. 解析 f(x)的对称轴是x ＝1，且f(x)是开口向上的抛物线，所以f(x)在[1，b]上递增.所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （b ）＝b.即12(b －1)2＋1＝b ， 解得b ＝1或b ＝3，∵b>1，∴b ＝3.11.已知A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距两城距离不得小于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.3.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月.(1)把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用最小？解析 (1)依题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧x≥10，100－x≥10，解得10≤x≤90， y ＝6x 2＋3(100－x)2，∴函数y ＝6x 2＋3(100－x)2＝9x 2－600x ＋30 000，其定义域为[10，90].(2)y ＝9x 2－600x ＋30 000＝9(x －1003)2＋20 000， ∴当x ＝1003时，y 取得最小值. 答：当核电站建在距A 城1003千米时，才能使供电费用最小. ►重点班·选做题12.函数y ＝x ＋2x －1( )A.有最小值12，无最大值 B.有最大值12，无最小值 C.有最小值12，最大值2 D.无最大值，也无最小值答案 A解析 ∵y＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f(12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.13.已知关于x 的方程x 2－2mx ＋4m 2－6＝0的两不等根为α，β，试求(α－1)2＋(β－1)2的最值.解析 由题可知α＋β＝2m ，αβ＝4m 2－6，∴(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝4m 2－2(4m 2－6)－2·2m＋2＝－4m 2－4m ＋14＝－4(m ＋12)2＋15. ∵Δ＝(－2m)2－4(4m 2－6)＝－12m 2＋24>0，∴当m ＝－12时满足Δ>0. ∴原式的最大值为15，无最小值.1.若函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________.答案 －2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y 在区间[a ，b]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去).－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去).2.已知函数f(x)＝x 2－2x －3，若x∈[t，t ＋2]时，求函数f(x)的最值. 解析 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t＋2，即t≤－1时，f(x)max ＝f(t)＝t 2－2t －3，f(x)min ＝f(t ＋2)＝t 2＋2t －3.(2)当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t≤0时，f(x)max ＝f(t)＝t 2－2t －3，f(x)min ＝f(1)＝－4.(3)当t≤1<t ＋t ＋22，即0<t≤1时，f(x)max ＝f(t ＋2)＝t 2＋2t －3，f(x)min ＝f(1)＝－4.(4)当1<t ，即t>1时，f(x)max ＝f(t ＋2)＝t 2＋2t －3，f(x)min ＝f(t)＝t 2－2t －3.设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)时，则有g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3（t≤0），t 2＋2t －3（t>0），φ(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3（t≤－1），－4（－1<t≤1），t 2－2t －3（t>1）.。
第2节 函数的单调性与最大(小)值
第2节函数的单调性与最大(小)值考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.2.函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论与微点提醒]1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以.(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(老教材必修1P37例1改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 12 B.y ＝2－x C.y ＝log 12xD.y ＝1x解析 函数y ＝x 12在(0，+∞)上是增函数，函数y ＝2－x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，+∞)上均是减函数. 答案 A3.(新教材必修第一册P61例5改编)函数y ＝xx －1在区间[2，3]上的最大值是________.解析 函数y ＝x x －1＝1＋1x －1在[2，3]上递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2.答案 24.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞). 答案 D5.(2020·西安模拟)函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________.解析由条件知⎩⎨⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.答案 [－1，1)6.(2020·青岛二中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. 答案 2考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝ －x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，故选A.答案 A(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图像法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g (x )的递减区间是[0，1). 答案 [0，1)(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在x ∈[1，2]上的单调性.解 f (x )在[1，2]上单调递增，证明如下： 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，2<x 1＋x 2<4. 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增. 考点二 求函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)(2020·九江一中月考)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 解析 (1)f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数， 所以f (1)＋f (2)＝log a 2＋6， 则a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6， 即(a －2)(a ＋3)＝0，又a >0，所以a ＝2.(2)法一 在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图像，依题意，h (x )的图像如图所示的实线部分. 易知点A (2，1)为图像的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1. 答案 (1)C (2)1规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练2】 (1)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________.解析 (1)画出函数M ＝{2x ，2x －3，6－x }的图像(如图)，由图可知，函数M 在A (2，4)处取得最小值22＝6－2＝4， 故M 的最小值为4.(2)当x ≤1时，f (x )＝x 2的最小值为0，当x >1时，f (x )＝x ＋6x －6≥26－6(当且仅当x ＝6时，取“＝”). 由于26－6<0，所以f (x )min ＝26－6. 答案 (1)C (2)26－6 考点三 函数单调性的应用 多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】 已知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c解析 因为f (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减.又1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，即f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (e)，故b >a >c . 答案 D角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x的取值范围是( ) A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.答案 D角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.解析 (1)∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2规律方法 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图像的升降，再结合图像求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.【训练3】 (1)(角度2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x ，x ≤0，－x 2－2x ＋1，x >0，若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (2)(角度1)(2019·全国Ⅲ卷)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23)>f (2－32) C.f (2－32)>f (2－23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D.f (2－23)>f (2－32)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314(3)(角度3)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1)D.(0，1]解析 (1)作出函数f (x )的图像如图所示，知函数f (x )在R 上是减函数，由f (a －1)≥f (－a )，得a －1≤－a ， 解得a ≤12.(2)因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34).又因为log 34>1>2－23>2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)< f (2－23)<f (2－32).即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314<f (2－23)<f (2－32).(3)因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上为减函数，所以由其图像得a ≤1.g (x )＝a x ＋1，g ′(x )＝－a（x ＋1）2，要使g (x )在[1，2]上为减函数，需g ′(x )<0在[1，2]上恒成立，故有－a <0，因此a >0.综上可知0<a ≤1. 答案 (1)A (2)C (3)DA 级 基础巩固一、选择题1.(2019·唐山调研)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A.是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析 f (－x )＝(－x )(e －x ＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x － e －x )，当x >0时，e x －e －x >0，e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0.故f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 答案 A2.(2020·合肥模拟)已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A.f (a )>f (b )>f (c ) B.f (b )>f (c )>f (a ) C.f (c )>f (a )>f (b )D.f (c )>f (b )>f (a )解析 因为a ＝33.1>30＝1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝ln 13<ln 1＝0，所以c <b <a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )>f (b )>f (a ). 答案 D3.已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]解析 令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1). 答案 C4.函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2)解析 函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. ∴m 的取值范围是[－1，2). 答案 D5.(2020·福州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x <0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 解析 由分段函数f (x )在R 上单调递减，可得0<a <1，根据二次函数图像及性质，可得－4a －32≥0，解得a ≤34，又由3a ≥log a (0＋1)＋1得3a ≥1，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34.答案 C 二、填空题6.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图像如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，127.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________. 解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数， ∴⎩⎨⎧2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎨⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1.答案 [1，＋∞)8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.(1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易得a ＝25. 10.已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围. 解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)f (x )在R 上单调递增.证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在R 上单调递增.(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1. ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)， 又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2. ∴x 的取值范围是(－∞，2).B 级 能力提升11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 答案 D12.(2020·皖东名校联盟联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋m ，x <e ，x －ln x ，x ≥e的值域是[e －1，＋∞)，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是________. 解析 当x ≥e 时，(x －ln x )′＝1－1x >0，此时函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递增，值域是[e －1，＋∞).当x <e 时，y ＝－12x ＋m 是减函数，其值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞⊆[e －1，＋∞).于是－e 2＋m ≥e －1，解得m ≥3e2－1，故实数m 的最小值是3e2－1.答案 3e 2－113.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎨⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，解得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为{x |－2<x <－2或2<x <2}. (2)∵函数f (x )在(0，3]上是增函数， ∴f (x )在(0，3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1，1]， ∴需满足⎩⎨⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎨⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).C 级 创新猜想14.(多填题)(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数).若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________. 解析 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 即e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立，所以a ＝－1.若函数f(x)＝e x＋a e－x是R上的增函数，则f′(x)＝e x－a e－x≥0恒成立，所以a≤e2x恒成立，则有a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].答案－1(－∞，0]。
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自我小测
1．函数f (x )＝2x ，x ∈[－1,2]上的单调性为( )．
A ．减函数
B ．增函数
C ．先减后增
D ．先增后减
2．若区间(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( )．
A ．f (x 1)＜f (x 2)
B ．f (x 1)＝f (x 2)
C ．f (x 1)＞f (x 2)
D ．以上都有可能
3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( )．
A ．[0，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．[1,2]
D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
4．下列函数为增函数的是( )．
A ．2()f x x
=
(x ＞0) B ．()f x =
C ．1()f x x x
=-+ D ．()1f x =+5．若函数3x y b =+在(0，＋∞)上为减函数，则实数b 的取值范围是________． 6．f (x )是R 上的增函数，若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )________f (－a )＋f (－b )(比较大小)．
7．求下列函数的值域：
(1)f (x )＝－4x ＋1(－1≤x ≤3)；
(2)f (x )＝2x 2－4x ＋1(2≤x ≤3)．
8．将进货单价为40元的商品按50元一个出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
9已知函数y ＝－x 2＋4x －2，x ∈[0,5]．
(1)写出函数的单调区间；
(2)若x ∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．
参考答案
1答案：B
解析：因为原函数为一次函数且斜率 ＝2＞0，故在R 上为增函数，所以在区间x ∈[－1,2]上为增函数，故选B.
2答案：A
解析：由函数的单调性的定义可知选A.
3答案：D
解析：由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为32
x =且开口向上，所以单调减区间为 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦，故选D. 4答案：D
5答案：b ＞0
解析：由于原函数的单调性与函数x y b
=
相同，所以当b ＞0时，原函数在区间(0，＋∞)上为增函数．
6答案：＞
解析：因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，或者b ＞－a .
又因为f (x )为增函数，所以有f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )．
所以两式相加得到f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )．
7解：因为给出的一次函数为单调递减函数，所以f (－1)＝－4×(－1)＋1＝5为最大值，f (3)＝－4×3＋1＝－12＋1＝－11为最小值，所以原函数的值域为[－11,5]．
(2)因为给出的函数为二次函数，且对称轴为x ＝1，所以原函数在区间[2,3]上为单调递增函数，所以原函数的值域为[1,7]．
8解：设售价为x 元，利润为y 元，则
y＝[500－(x－50)×10](x－40)
＝(1 000－10x)(x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000
＝－10(x－70)2＋9 000，所以售价为70元时，y max＝9 000(元)．
即为得到最大利润，售价应为70元，最大利润为9 000元．
9解：(1)y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，x∈[0,5]，所以此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]．
(2) 此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知：当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为2；又x＝3时，y＝1，x＝0时，y＝－2，所以函数的最小值为－2.。