矩阵中的基础解系解法21页PPT
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
矩阵和行列式基础
Copyrigah11t
2a0102 4＝-2a01a1
Aspose －a a
Pty
Ltd.
a21 a22
11 22 21 12
求解二元一次方程组－－－ 用二阶行列式建立的克莱姆法则：
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12 Evaluation only. a11 b1
n 系C数o行py列rig式htD20≠040-，20则11方A程sp组ose(1P)t有y 唯Ltd一. 解。
n D=0,且Dj不全为零，则方程组（1）无解
n D=0且Dj＝0，则方程组（1)有无穷多组解
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆：
主对角线上元素的E乘va积lua-ti次on对o角nl线y.上元素的乘积。
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D ai1 Ai1 ai2EAvia2luation oaninlAy.in (i 1,2,, n)
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的转置行列式。Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
矩阵分析课件(1)f
A 第一组基下的坐标为 7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3 利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
向量
2 3 y1 1 y 2 3 y3 1 3 y4 1 3
R 则 为实数域 R 上的一个线性空间。
例 5 设V是由系数在实数域R上，次数为n的 n次多项式f(x)构成的集合，其加法运算与数乘运算 按通常规定，则V不是R上的线性空间。
7
二： 向量的线性相关性
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一 组实数k1，k2， , km， 向量
它的秩为 0. 注：线性无关向量组的最大无关组即其自身！
10
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
2
第一章
线性空间和线性变换
第一节 线性空间
实数域R 复数域C
一： 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且 这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
22
对角阵的基础解系
对角阵的基础解系对角阵是线性代数中的重要概念，它可以用来描述矩阵的性质和特点，对于诸多应用领域尤其重要。
在矩阵的理论与应用中，我们常常需要使用对角阵的基础解系，它可以帮助我们解决许多实际问题。
首先，什么是对角阵？对角阵也称为对角矩阵，指的是除了对角线以外的所有元素都为0的矩阵，记作D。
对于一个n阶方阵，如果它的所有非对角线元素都为0，则称该矩阵为对角矩阵，其对角线上的元素称为主对角线元素。
例如，3阶对角阵可以表示为：D = [d1,0,0; 0,d2,0; 0,0,d3]其中，d1、d2、d3是对角线上的元素。
对角阵的基础解系指的是满足Ax=λx的所有向量x，其中A是一个n阶对角阵，λ是x的标量倍数，称为特征值。
对于任意一个n阶对角阵D，它的基础解系就是由单位向量组成的集合{e1,e2,...,en}，其中ei表示第i个分量为1，其余分量全为0的列向量。
以上面的3阶对角阵为例，假设我们需要求解Ax=3x的解析式，即：[D-3I]x = 0[D-3I]表示将D矩阵中所有元素减去3后得到的矩阵，I表示n阶单位矩阵。
因此，[D-3I] = [d1-3,0,0; 0,d2-3,0; 0,0,d3-3]根据矩阵的行列式定义进行展开，可以得到：det[D-3I] = (d1-3)(d2-3)(d3-3)令det[D-3I]=0，可以求解得到三个特征值分别为3、d2-3和d3-3，特征值对应的特征向量可以通过将x带入Ax=λx式中求解得到。
因此，对于特征值为3的情况，有：[D-3I]x = [0,0,0]x即：(d1-3)x1 = 0，(d2-3)x2 = 0，(d3-3)x3 = 0因为d1、d2、d3都是非零的数，所以可以得知对于特征值为3的情况，其对应的特征向量x为：x = [1,0,0]T，[0,1,0]T，[0,0,1]T因为对角阵的所有特征向量都是线性无关的，因此{[1,0,0]T，[0,1,0]T，[0,0,1]T}就是该对角阵的基础解系。
结构力学第五版第十章矩阵位移法ppt课件
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
1 2 3
6 3 P3
3 (P3 01 4 2 ) /(8 N ) 3 0
六.非结点荷载
(1).等效结点荷载
PE
PPEE12
PE3
PE1
PE 2
PE 3
---结构等效结点荷载
“等效”是指等效结点荷载引起的结点 位移与非结点荷载引起的结点位移相同
(2).等效结点荷载的计算
1
4
6/ 1.5
8
1.5 1 1
3
2
2
EI1 6 EI 2 24
4m 4m 12m
1
2
1
2
EI1 6
8m
34
3
2
3
1
2
k 2
4
24 4
/12
4 1 2 8 2 3
34
12
k
3
3 1.5
1.5 1 3
3
2
4
3 1.5 0 0
k 1.5 11
4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
1 2
Fq
2
ql 2 /12 ql2 /12
系数矩阵的秩和基础解系的关系
系数矩阵的秩和基础解系的关系
系数矩阵的秩和基础解系的关系可以通过以下定理说明。
定理：设一个齐次线性方程组的系数矩阵为A，其秩为r，则原方程组的解空间的维数为n-r，其中n为未知数的个数。
根据这个定理，可以得到系数矩阵的秩和基础解系的关系：
1. 当秩r=n时，方程组的解空间的维数为n-r=0，即方程组只有零解，此时基础解系为空集。
2. 当秩r=n-1时，方程组的解空间的维数为n-r=1，即方程组有一个自由变量，此时基础解系中只包含一个解向量。
这个解向量可以视为解空间的一组基。
3. 当秩r<n-1时，方程组的解空间的维数为n-r>1，即方程组有多个自由变量，此时基础解系中包含多个解向量。
这些解向量线性无关，并且可以视为解空间的一组基。
综上所述，系数矩阵的秩决定了解空间的维数，同时也决定了基础解系中解向量的个数。
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法