第三次作业AR模型拟合

实验报告报告题目：ＡＲ模型拟合课程名称：应用时间序列分析专业：统计学年级：统计１２１学号：65学生姓名：陈江余指导教师：胡尧学院：理学院实验时间：2015年5月２６日学生实验室守则一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。

二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。

三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。

四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。

五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。

六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。

七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。

仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。

八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。

九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。

十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。

十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。

目录第一部分：实验（或算法）原理 (3)第二部分：实验步骤 (3)(p)模型的参数估计 (3)2. AR(p)模型参数的最小二乘估计 (4)3. AR(p)模型的定阶 (4)4.拟合模型的检验 (4)第三部分：算法实例与讲解 (5)讲解 (5)模型评价 (5)第四部分：优点与限制 (5)第五部分：参考文献 (6)第一部分：实验（或算法）原理自回归模型（英语：Autoregressive model ，简称AR 模型），是统计上一种处理时间序列的方法，用同一变量例如x 的之前各期，亦即x_{1}至x_{t-1}来预测本期x_{t}的表现，并假设它们为一线性关系。

因为这是从回归分析中的线性回归发展而来，只是不用x 预测y ，而是用x 预测x （自己）；所以叫做自回归。

其中：是常数项；被假设为平均数等于0，标准差等于的随机误差值；被假设为对于任何的都不变。

文字叙述为：的当期值等于一个或数个落后期的线性组合，加常数项，加随机误差。

第二部分：实验步骤如果时间序列 }{t X 是平稳AR 序列，根据此序列的一段有限样本值 n x x x ,,,21 对}{t X 的模型进行统计，称为自回归模型拟合自回归模型拟合主要包括： (1) 判断自回归模型AR 的阶数； (2) 估计模型的参数； (3) 对拟合模型进行检验。

(p)模型的参数估计目的：为观测数据建立AR(p)模型t p t p t t t X X X X εααα++++=--- 2211假定自回归阶数p 已知，考虑回归系数Tp ),,(1αα =α和零均值白噪声}{t ε的方差2σ的估计。

数据n x x x ,,,21 的预处理：如果样本均值不为零，需将它们中心化，即将它们都同时减去其样本均值∑==nt t n x n x 1/1，再对序列按式的拟合方法进行拟合。

对于AR(p)模型，自回归系数α由AR(p)序列的自协方差函数 p r r r ,,,10 通过Yule-Walker 方程⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----p p p p p p a a a r r r r r r r r r r r r 2102120111021 唯一决定，白噪声方差 2σ 由j pjj r r ∑=-=102ασ决定。

实际应用中，对于较大的p,为了加快计算速度可采用如下的Levison递推方法⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤-=--=-===-++++==--++++-∑∑p k k j a a a aa r r a r r a r a r k j k k k k j k j k j k j k j j k j j k k k k k k k k ,1ˆˆˆˆ)ˆˆˆ)(ˆˆˆ(ˆ)ˆ1(ˆˆˆ/ˆˆˆˆ,11,1,1,111,0,111,12,21220111020ασσσσ 递推最后得到矩估计22,2,1,1ˆˆ,)ˆ,,ˆ,ˆ()ˆ,,ˆ(pT p p p p T p a a a σσαα== 上式是由求偏相关函数的公式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----kk k k k k k k k a a a2121211121111ρρρρρρρρρ 导出。

2. AR(p)模型参数的最小二乘估计如果 p αααˆ,ˆ,ˆ21 是自回归系数 p ααα,,,21 的估计，白噪声j ε 的估计计定义为n j p x x x x p j p j j j j ≤≤++++-=---1),ˆˆˆ(ˆ2211αααε通常n j p j ≤≤+1,ˆε为残差。

我们把能使∑+=-------=npj p t p t t t x x x x s 122211}{)(ααα α达到极小值的 αˆ称为α的最小二乘估计。

相应地，白噪声方差 2σ 的最小二乘估计∑+=-------=--=-=npt p t p t t T T T T x x x pn p n s p n 121112)ˆˆ(1))((1)ˆ(1ˆαασ y x x x x y y y α式中p αααˆ,ˆ,ˆ21 为αˆ的p 个分量。

3. AR(p)模型的定阶 偏相关函数的分析方法：一个平稳序列是AR(p)序列当且仅当它的偏相关函数是p 步截尾的。

如果}ˆ{,k k ap 步截尾：当 p k ˆ> 时， 0ˆ,≈k k a ； 而 0ˆˆ,ˆ≠p p a ，就以p ˆ作为p 的估计。

4.拟合模型的检验现有数据 n x x x ,,,21 ，欲判断它们是否符合以下模型 2,1,2211++=++++=---p p t X X X X t p t p t t t εααα 式中 }{t ε 被假定为独立序列,且∞<==422,,0t t t E E E εσεε t ε 与},{t s X s < 独立。

原假设 0H ：数据n x x x ,,,21 符合AR(p)。

故在 0H 成立时，下列序列n p t X X X X p t p t t t t ,,1,2211 +=----=---αααε为独立序列 }{t ε 的一段样本值序列。

步骤：1. 首先，根据公式2,1,0),(ˆ/)(ˆ)(ˆ2,1,0,1)(ˆ01===-=∑--=+++k r r k pn r k k kp n tkp t p t kεεερεεε计算出残差的样本自相关函数，2. 利用上一章关于独立序列的判别方法，判断 n p εε,,1 +是否为独立序列的样本值3. 根据判断结果，如果接受它们为独立序列的样本值，则接受原假设，即接受n x x x ,,,21 符合AR(p),否则，应当考虑采用新的模型拟合原始数据序列。

第三部分： 算法实例与讲解下表为某地历年税收数据（单位亿元）。

使用AR（p）预测税收收入，讲解因为税收具有一定的稳定性和增长性，且与前几年的税收具有一定的关联性，因此可以采用时间序列方法对税收的增长建立预测模型。

下面为使用MATLAB 建立模型并求解过程clc, cleara=[58 ];a=a'; a=a(:); a=a'; %把原始数据按照时间顺序展开成一个行向量Rt=tiedrank(a) %求原始时间序列的秩n=length(a); t=1:n;Qs=1-6/(n*(n^2-1))*sum((t-Rt).^2) %计算Qs的值t=Qs*sqrt(n-2)/sqrt(1-Qs^2) %计算T统计量的值t_0=tinv,n-2) %计算上alpha/2分位数e=[1:13];b=diff(a) %求原始时间序列的一阶差分% plot(e,b,'*');m=ar(b,2,'ls') %利用最小二乘法估计模型的参数bhat=predict(m,[b'; 0],1) %1步预测，样本数据必须为列向量,要预测1个值，b后要加1个任意数，1步预测数据使用到t-1步的数据ahat=[a(1),a+bhat{1}'] %求原始数据的预测值，并计算t=15的预测值delta=abs((ahat(1:end-1)-a)./a) %计算原始数据预测的相对误差plot(a,'b');hold onplot(ahat,'r');grid ontitle('历史数据-蓝色线；预测数据-红色线')模型评价由于本案例哄第t年税收的值与前若干年的值之间具有较高的相关性，所以采用了AR模型，在其他情况下，也可以采用MA模型或者ARMA模型等其他时间序列方法。

另外，还可以考虑投资、生产、分配结构、税收政策等诸多因素对于税收收入的影响，采用多元时间序列分析方法建模关系模型，从而改善税收预测模型，提高预测质量。

第四部分：优点与限制自回归方法的优点是所需资料不多，可用自身变量数列来进行预测。

但是这种方法受到一定的限制：1.必须具有自相关，自相关系数（）是关键。

如果自相关系数(R)小于，则不宜采用，否则预测结果极不准确。

2.自回归只能适用于预测与自身前期相关的经济现象，即受自身历史因素影响较大的经济现象，如矿的开采量，各种自然资源产量等；对于受社会因素影响较大的经济现象，不宜采用自回归，而应改采可纳入其他变量的向量自回归模型。

第五部分：参考文献１司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 国防工业出版社, 。

２《运筹学》教材编写组，运筹学（修订版），北京：清华大学出版社，1990。

３中国人民出版社王燕《应用时间序列分析》第三版。

学号：65日期：2015/5/29。