运筹学期末考试题型。

运筹学一、填空题（1分 * 10题）运筹学建模一般步骤：1. 提出问题, 明确目标2. 构建模型3. 求解与检验4. 结果分析与实施确定型模型和概率模型包含哪些内容：确定型模型主要包括: 线性规划、整数规划、目标规划、非线性规划、动态规则、图与网络;概率型模型主要包括: 决策论、对策论、排队论、存储论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等二、选择题（2分 * 5题）1.整数规划的常见解法：分枝定界法、割平面法（求解0-1规划的常用算法：完全枚举法、隐枚举法）（求解指派问题的常用算法：匈牙利法）2.目标规划的基本概念：①决策变量和偏差变量：决策变量又称控制变量, 用 xi 表示. 在目标规划中,引进正、负偏差变量,分别用di+和 di-表示.di+为正偏差变量, 它表示实际决策值超过第 i个目标值的数量; di-为负偏差变量, 它表示实际决策值低于第 i个目标值的数量。

②资源约束和目标约束：资源约束是指必须严格满足的等式或不等式约束, 又称为硬约束. 目标约束是目标规划特有的, 它把要预定的目标值作为右端的常数项,在达到目标值时允许发生正或负的偏差量,因此,目标约束是软约束,具有一定的弹性.目标约束不会不满足, 但可能偏差过大.③优先因子与权系数：目标规划中,当决策者要求实现多个目标时,为使多个目标统一在单一目标中,且按主次或轻重缓急依次实现,故引进优先因子.凡要求第一位达到的目标赋予优先因子P1,次位的目标赋予优先因子 P2,…,P k+ 1,并规定 P k m P k+ 1,( k= 1,2,…,K)表示P k比 P k+ 1有更大的优先权,不同的优先因子代表不同的优先等级.④目标规划的目标函数：目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变量和相应的优先因子组成的. 因决策者的愿望是尽可能缩小偏离目标值, 故目标函数总是极小化.对于目标约束 fi(X) + di- - di+ = bi, 相应目标函数的基本形式有如下三种:(1)若要求恰好达到预定目标值,则目标函数为min(di+ + di-) ;(2)若要求不超过预定目标值,则目标函数为min(di+);(3) 若要求超过预定目标值, 则目标函数为min (di-).3.动态规划的基本概念：三、简答题（10分 * 2题）线性规划模型一般型、标准型、矩阵形式、线性规划模糊解的基本概念：动态规划方程、最优化原理：最优化原理即，“作为整个过程的最优策略具有这样的性质,即无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略.”四、建立运筹学模型（10分 * 1题）只需要建模就好，不求解。

刘满凤教材《运筹学教程》 2.4节（即对一些线性规划问题的实际应用案例建模，来解释线性规划问题建模的基本思路、方法和技巧）五、计算题（10分 * 5题）对偶理论：相关定理：对称性定理对偶问题的对偶是原问题.弱对偶性定理若X( 0) 是原问题的可行解, Y( 0) 是对偶问题的可行解, 则有CX( 0 ) ≤ Y( 0) b最优性定理若X( 0 ) 是原问题的可行解, Y( 0 ) 是对偶问题的可行解,且有CX( 0) = Y( 0) b , 则X( 0 ) , Y( 0) 分别是原问题和对偶问题的最优解.对偶定理若两个互为对偶问题之一有最优解, 则另一个必有最优解, 且目标函数值相等互补松弛性定理若X* , Y* 分别是原问题和对偶问题的可行解, 则X* , Y* 为最优解的充分必要条件是Y* X L = 0 和Y s X* = 0对偶单纯形方法：下列线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-++-=0901*******..1355max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x Z 、、解：先将该线性规划化引入松弛变量x 4，x 5，得：⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++-++-=0x 901041220x 3..1355max 5432153214321321x x x x x x x x x x x t s x x x Z 、、、、（1）求出该问题的最优解和最优值：故，得其最优解为(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5)T = (0, 20, 0, 0, 10)T ，最优值为maxZ = 100.（2）目标函数中x 3系数变为8，最优解是否改变？若改变，请求出。

由（1）得知，x 3为非基变量，故其检验数为：σ3 ’ = (c3+Δc3)-C B B -1P 3’= []0 -715-82-305-8＜==⎥⎦⎤⎢⎣⎡故，原最优方案不变。

（3）第二个约束变为10x1+5x2+10x3≤100，最优解是否改变？若改变，请求出。

x 1系数列由⎥⎦⎤⎢⎣⎡121-变成⎥⎦⎤⎢⎣⎡101-：B -1P 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1411011401,σ3’ = C 1 - C B B -1P 1 = -5 - []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14105 = 0≤0；x 2系数列由⎥⎦⎤⎢⎣⎡41变成⎥⎦⎤⎢⎣⎡51：B -1P 2 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11511401，σ2’ = C 2 - C B B -1P 2 = 5 - []⎥⎦⎤⎢⎣⎡1105 = 0≤0；第二个约束的右端由90变为100：B -1b = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-20201002001401，其中各分量均大于0。

综上所述，做该变化后原最优方案即最优解不变。

（4）x1系数列向量(-1, 12)T 变为(0, 5)T ，最优解是否改变？若改变，请求出。

x 1为基变量，有C ’-C ’B B -1P 1’ = -5 - []0-55005＜=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以原最优方案不变。

（5）增加一个约束条件2x1+3x2+5x3≤50，最优解是否改变？若改变，请求出。

将最优解(x1, x2, x3, x4, x5)T= (0, 20, 0, 0, 10)T代入得60 ≤50显然不满足，说明约束条件起作用。

在以上约束条件中加入松弛变量x6后得2x1 + 3x2 + 5x3 + x6 = 50。

列单纯形法解题，过程如下：上表中，由于x2，x5是基变量，必须为单位向量，因此将x2，x5化为单位向量得：虽然检验数行全部都是小于等于0的数了，但b 列出现-10，所以这张单纯形表已经不是最优表，用对偶单纯形法求解过程如下：此时，b 列数字均大于0，检验数行也都小于等于0，故，此时为最优表。

因此，最优解是(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6)T = (0, 25/2, 5/2, 0, 15, 0)T ，最优值maxZ = 95.（6）第一个约束条件的右端常数由20变为30，最优解是否改变？若改变，请求出。

B -1b = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-303090301401，其中有小于0的分量，故最优解改变。

也因为有小于0的分量，所以需要用对偶单纯形法来求解，其过程如下：此时，b 列数字均大于0，检验数行也都小于等于0，故，此时为最优表。

因此，最优解是(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5)T = (0, 0, 9, 3, 0)T ，最优值maxZ = 117.（7）第二个约束条件的右端常数由90变为70，最优解是否改变？若改变，请求出。

B -1b = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-102070201401，其中有小于0的分量，故最优解改变。

也因为有小于0的分量，所以需要用对偶单纯形法来求解，其过程如下：此时，b列数字均大于0，检验数行也都小于等于0，故，此时为最优表。

因此，最优解是(x1, x2, x3, x4, x5)T = (0, 5, 5, 0, 0)T，最优值maxZ = 90.求解方法：表上作业法：步骤一：确定初始调运方法（数格个数为m+n-1)1.最小元素法：按运价最小的优先调运原则确定初始方案。

2.伏格尔法：①分别计算表中隔行和割裂中最小运费和次小运费的差额，并填入表中的最右列和最下行；②从行和列的差额中选最大者，选择其所在的行或列中的最小元素，按类似于最小元素法优先供应。

划去相应的行或列；③对表中未划去的元素，重复①②，知道所有行和列划完。

步骤二：最有调运方案的判别（如何计算空格的检验数）1.闭回路法：以空格出发形成的闭回路，故此空格的检验数为：奇顶点运费之和—偶顶点运费之和对目标函数要求极小化的运输问题，当所有检验数≥0时，才为最优方案。

2.位势法：在运价表中增加v j行和u i列，任意取某个位任意为确定值，而后在确定其他行和列的v j、和u i值。

再用公式σij = c ij - ( u i + v j )算出检验数，当所有检验数≥0时，才为最优方案。

步骤三：用闭回路发调整方案（即出现σ＜0时）若有2及以上，选其中负数检验数最小的正检验数以及它对应的格为调入格，做它的闭回路，θ= min{闭回路中偶数拐点的运量}，而后在奇数拐点（+1）增加θ个单位，在偶数拐点（-1）减少θ个单位。

而后重新用位势法计算空格检验数。

重复以上操作，直到所有的空格的检验数均为≥0.几点说明：1.在最优方案中某空格检验数为0时，由线性规划的理论知，一定由多重最优解。

2.退化情况：表上作业法求解运输问题出现退化情况时, 须在相应格中填上一个 0, 以表示此格为数格。

有以下两种情况:①确定初始方案时,若出现同时划去一行和一列,则需在填写数格的行或列上, 再添一个“0”数格。

②闭回路调整时,若同时有r(r>1)个最小值格时,则需在要划去的这r个数格中改填(r-1)个“0”数格一、一般整数规划的解法：分枝定界法先不考虑原整数规划问题中的整数性约束，去解其相应的松弛问题。

订下界z=0，上界z=其松弛问题最优解。

在求解子问题时遵循：1.松弛问题无可行解，则不再分枝。

2.松弛问题的解满足整数性约束，则不再分枝。

如果目标函数数值大于目前的下界值，则修改下界值。

3.松弛问题的解的目标函数值不大于目前下界值，则不再分枝。

二、0-1整数规划的解法完全枚举法：隐枚举法：三、指派问题的解法：匈牙利法设有n个人去分派去作n项工作，要求每项工作需且仅需一个人去做。

每个人做且仅作一项工作，一直某人完成某工作的效率是Cij，问应该怎样指派，才能使总的工作效率最好。

步骤一：变化指派问题的系数矩阵，使在各行各列中都出现0元素。

若行（列）已经有0，则不用再剪；如没有，则：①从系数矩阵的每行元素中减去该行的最小元素。

②再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。

步骤二：进行试指派，寻求最优解①从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作◎。