【新教材】新人教A版 高中数学必修一 一元二次不等式及其解法 课件
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人教版高中数学必修第一册第二章2.3.6一元二次不等式及其解法【课件】
a>0的解集．
【解】
（备选例题）(1) 设关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为
{x|1<x<m},其中m>1,求m的值.
(2) 设关于x的不等式ax2-2x+1<0的解集为{x|m<x<n},其中m<n,
求3m+2n的最小值.
思路点拨 利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根及相应一
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
课时6
一元二次不等式及其解法
教学目标
1 . 通过日常生活中的实例,抽象出一元二次不等式的模型,提升数
学抽象素养 .
2 . 通过画二次函数图象、看二次函数图象、分析二次函数图象,探
究二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系,明
【问题10】通过列表写出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集．
【问题11】怎样求出一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)和ax2＋
bx＋c<0(a<0)的解集？
典例精析
【例1】[教材改编题](1) 求不等式x2－x－6>0的解集；(2) 求不等式
结论.
【变式训练2】设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
【解】
【例3】
1
1
x x
3
2
思路点拨
1
1
x x
3
2
【解】
【方法规律】
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2课时基本不等式的实际应用
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
反思感悟
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条
件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备
这些条件,则应进行适当的变形.
2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见
形式有 y=ax+ 型和y=ax(b-ax)型.
【变式训练 1】 (1)已知 x>3,求 y=x+
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)“x>0”是“x+ ≥2 成立”的充要条件.(
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
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一元二次不等式及其解法课件(1)-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
即解集为x x 1
1或x
1
a
解集为；
画
② 当x1 x2时，即 1 a 0 1 1
a
解集为
1
a
x
1
写
③ 当x1 x2时，即a 1
1
1
a
解集为x 1
x
1
a
综上所述：当a
0时，解集为x x
1或x
1
a
，当a
1时，解集为；
当1
a
0时，解集为
1
a
x
1,当a
1时，解集为x 1
x
1
a
二、按二次项系数的符号分类
y<0
知识讲解，难点突破
解一元二次不等式的步骤是：
化成标准形式 ax2+bx+c>0（≥0） 或 ax2+bx+c<0 （≤0）的前提下
（1）解方程，可用因式分解法或求法
（2）画对应二次函数简图，先确定开口方向，再确定根的大小 （3）根据图象写出解集
一、按方程的根分类
1.按根的大小分类，即 x1 x2, x1 x2, x1 x2
一元二次不等式及其解法
——解含有参数的一元二次不等式
练习：解一元二次不等式 x2 x 6 0
解方程 x2 x 6 0的两根为 x1 2, x2 3
解
画二次函数 y x2 x 6的图象
y
由图象写出：
画
不等式 x2 x 6 0的解集为
x 2 x 3
写
o -2
3
x
————————
例2.解关于x的不等式 2x2 ax 2 0(a R)
解
分析：不等式不能因式分解找方程的根，故找
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册
6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－
二次函数与一元二次方程-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
思考
(1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗？
x
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省 略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式 不等式. (2)不可以，若a=0，就不是二次不等式了.
问题：一元二次不等式的求解方法是 什么？
（12－x）ｍ．由题意，
得（12－x）x＞20， 其中x∈｛x｜0＜x＜12｝． 整理得
一元二次 不等式
x²－12x＋20＜0，
x∈｛x｜0＜x＜12｝． ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
“一元二次不等式”概念
一般地，我们把只含有 一个 未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 ax2＋bx＋c>0 或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均 为常数，a≠0.
3
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知， 原不等式的解集为{x2|x≠ } .
3
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
变式训练
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( ✕ ) (2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．( ✕ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( ✕ ) (4)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( ✔ )
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共28张PPT)
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
还可以利用作差法证明吗？ 证明:
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
21.0．已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad.若以其中两 个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并 写出推理过程．
解：答案不唯一． 命题一：若 ab>0，且ac>db，则 bc>ad. 证明：因为ac>db，且 ab>0， 所以ac·ab>db·ab，即 bc>ad. 命题二：若 ab>0，且 bc>ad，则ac>db. 证明：因为 ab>0，所以a1b>0，又 bc>ad， 所以 bc·a1b>ad·a1b，即ac>db.
反例：不一定，如3>1，－1>－10， 则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
不可以．两个不同向不等式的两 边不能分别相除，在需要商时，可利 用不等式性质转化为同向不等式相 乘．
练习
用不等号 “＞”或 “＜”填空：
（１）如果a＞b，c＜d，那么a－c
b－d；
d＝－2.
则
a c
＝－1，
b d
＝－1，排除选项
A B.
又
a d
＝－
3 2
高中数学新人教A版必修一元二次不等式及其解法课件34张
{x|x<x1 或 x>x2}(即 “大于取两边”) {x|x1<x<x2}(即“小于 取中间”)
有两个相等 实根 x1=x2=- b
2a {x|x≠- b }
2a
没有实根 R
(2)一元二次不等式的解法
由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次 不等式的解集的步骤如下:
①通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正 且右边为0);
x3
解:(2)原不等式可化为
2 x x 3 >0,化简得 2x 1 >0,
x3
x3
即 2x 1 <0,所以(2x+1)(x+3)<0, x3
解得-3<x<- 1 . 2
所以原不等式的解集为{x|-3<x<- 1 }. 2
(3)不等式(x+1)(1-x)(x-2)＞0的解集为
(写成区间的形式).
(B){x|x≤-1或x≥4}
(C){x|-1＜x＜4}
(D){x|-1≤x≤4}
解析:因为x2-3x-4=(x+1)(x-4)＞0, 所以x＜-1或x＞4.故选A.
2.若不等式(x-a)(x-b)＜0的解集为{x|1＜x＜2},则a+b的值为A(
)
(A)3
(B)1
(C)-3 (D)-1
解析:因为不等式(x-a)(x-b)<0 的解集为{x|1<x<2},
解析:由
x 1＞0, x2 3x
4
0
⇒
1<x≤4.故选
D.
4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:
有两个相等 实根 x1=x2=- b
2a {x|x≠- b }
2a
没有实根 R
(2)一元二次不等式的解法
由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次 不等式的解集的步骤如下:
①通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正 且右边为0);
x3
解:(2)原不等式可化为
2 x x 3 >0,化简得 2x 1 >0,
x3
x3
即 2x 1 <0,所以(2x+1)(x+3)<0, x3
解得-3<x<- 1 . 2
所以原不等式的解集为{x|-3<x<- 1 }. 2
(3)不等式(x+1)(1-x)(x-2)＞0的解集为
(写成区间的形式).
(B){x|x≤-1或x≥4}
(C){x|-1＜x＜4}
(D){x|-1≤x≤4}
解析:因为x2-3x-4=(x+1)(x-4)＞0, 所以x＜-1或x＞4.故选A.
2.若不等式(x-a)(x-b)＜0的解集为{x|1＜x＜2},则a+b的值为A(
)
(A)3
(B)1
(C)-3 (D)-1
解析:因为不等式(x-a)(x-b)<0 的解集为{x|1<x<2},
解析:由
x 1＞0, x2 3x
4
0
⇒
1<x≤4.故选
D.
4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:
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“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图象
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
一元二次方程 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根 没有实 x1＝x2＝－2ba 数根
{_x_|x_<__x_1 _或__x_>_x_2_} _x_x_≠__－__2b_a__
R
一元二次方程
ax2＋bx＋c＜0 {_x_|x_1_＜__x_＜__x_2_}
∅
_∅_
(a＞0)的解集
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
常见的命题角度有： (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围； (2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围； (3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．
Thank you for watching !
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
考点一 一元二次不等式的解法
[题组练透]
1．已知函数f(x)＝
2x2＋1，x≤集
是________． 解析：当 x≤0 时，原不等式等价于 2x2＋1－x≤2，∴－12≤x ≤0；当 x>0 时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x>0．综上所述，
原不等式的解集为x|x≥－12．
答案：x|x≥－12
[谨记通法] 解一元二次不等式的4个步骤
考点三 一元二次不等式恒成立问题 [锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密 切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的 相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等 式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确 定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
判别式 Δ＝b2－4ac
二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图象
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
一元二次方程 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根 没有实 x1＝x2＝－2ba 数根
{_x_|x_<__x_1 _或__x_>_x_2_} _x_x_≠__－__2b_a__
R
一元二次方程
ax2＋bx＋c＜0 {_x_|x_1_＜__x_＜__x_2_}
∅
_∅_
(a＞0)的解集
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
常见的命题角度有： (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围； (2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围； (3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．
Thank you for watching !
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
考点一 一元二次不等式的解法
[题组练透]
1．已知函数f(x)＝
2x2＋1，x≤集
是________． 解析：当 x≤0 时，原不等式等价于 2x2＋1－x≤2，∴－12≤x ≤0；当 x>0 时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x>0．综上所述，
原不等式的解集为x|x≥－12．
答案：x|x≥－12
[谨记通法] 解一元二次不等式的4个步骤
考点三 一元二次不等式恒成立问题 [锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密 切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的 相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等 式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确 定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．