甘肃省兰州市第一中学2018-2019高一下学期期中考试数学试卷(附答案解析)

兰州一中2018-2019-2学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．） 1．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为( )A ．4 3B ．－43C ．±4 3D ． 33．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( )A ．49B ．13C ．29D ．194．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．145．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x ＋3y －4＝06．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．右边图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是( )A ．13B ．13.5C ．14D ．14.5 7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则2log 1x y 的概率为 ( )A ．16B ．536C ．112D ．128．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是 ( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y ) C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 9．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝110．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为 ( ) A ．16B ．13C ．23D ．4511．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( ) A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.1512．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 13．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．14．已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．15．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数12,,...,N a a a ，输出A ，B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A －B=________．16．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________________．三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17．(本小题满分10分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析． ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．18．(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)19．(本小题满分12分)某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：[0，0.5)，4； [0.5，1)，8； [1，1.5)，15； [1.5，2)，22； [2，2.5)，25； [2.5，3)，14； [3，3.5)，6； [3.5，4)，4； [4，4.5)，2． (1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数； (3)当地政府制定了人均月用水量为3t 的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？20．(本小题满分12分) 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1) 求y －2x －1的最大值与最小值；(2) 求x －2y 的最大值与最小值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b ．(1)若a ，b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率； (2)若a ，b 都是从区间[0，4]上任取的一个数，求f (1)>0成立的概率．22．(本小题满分12分) 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12．(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．兰州一中2018-2019-2学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．） 1．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B2．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为( )A ．4 3B ．－43C ．±4 3D ． 3 答案 B3．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( )A ．49B ．13C ．29D ．19答案 D4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．14答案 B5．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 B6．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是( )A ．13B ．13.5C ．14D ．14.5 答案 A7．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则2log 1x y 的概率为 ( ) A ．16B ．536C ．112D ．12答案 C8．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是 ( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D9．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为 ( )A ．16B ．13C ．23D ．45答案 C 11．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15答案 B12． 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15 答案 C第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 13． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．答案 1514．已知右图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．答案 3315．如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数12,,...,N a a a ，输出A ，B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A －B=________．答案：3016．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________________．答案 (512，34]三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17．(本小题满分10分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析． ①列出所有可能的抽取结果；（在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6）②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解： (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1．故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1．……………..4分(2)①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．…………….8分②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15．…………….10分18．(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟(1)求线性回归方程y ^＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解 (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ^＝－20，所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而线性回归方程为y ^＝－20x ＋250．………………..6分 (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361．25．当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．………………..12分19．(本小题满分12分)某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：[0，0.5)，4； [0.5，1)，8； [1，1.5)，15； [1.5，2)，22； [2，2.5)，25； [2.5，3)，14； [3，3.5)，6； [3.5，4)，4； [4，4.5)，2． (1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数； (3)当地政府制定了人均月用水量为3t 的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？解 (1)频率分布表………………….4分(2)频率分布直方图如图：………………….7分众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02．………………….10分(3)人均月用水量在3t 以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t 以上，88%的居民月用水量在3t 以下，因此政府的解释是正确的．………………….12分20．(本小题满分12分) 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1) 求y －2x －1的最大值与最小值；(2) 求x －2y 的最大值与最小值．解： (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率．令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1，2)的圆C 的两条切线的斜率．对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34．故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34．………………….6分(2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－5．………………….12分21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b ．(1)若a ，b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a ，b 都是从区间[0，4]上任取的一个数，求f (1)>0成立的概率．解 (1)a ，b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数N ＝5×5＝25个，函数有零点时Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b ，包含(0，0)，(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(4，0)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，∴事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225．(2)a ，b 都是从区间[0，4]上任取的一个数，f (1)＝－1＋a －b >0，∴a －b >1，如图所示，∴事件“f (1)>0”的概率P ＝12×3×34×4＝932．22．(本小题满分12分) 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12． (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．方法一 (1)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝12， 消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．…………………6分(2)解 设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝2 11－4k ＋31＋k 2， 令t ＝4k ＋31＋k2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，11 当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ， 所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27．………………….12分 方法二 (1)证明 圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23，R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，所以R 2－d 2>0，即d <R ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)解 由平面几何知识，知|AB |＝2R 2－d 2＝2 8－4k ＋11k 21＋k 2，下同方法一． 方法三 (1)证明 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0，1)，而|PC |＝5<23＝R ，所以点P (0，1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P ．所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．………………….6分(2)解 由平面几何知识知过圆内定点P (0，1)的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0，1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27．………………….12分。