二次函数的综合应用01.docx
第六篇 二次函数综合应用
∵直线 交 轴于A点，交 轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的关系式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该 抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则 ，又 .
当x＞ 时，y随x的增大而增大．
＜0
⑴开口向下，并且向下无限伸展；
⑵当x＝ 时，函数有最大值 ；
当x＜ 时，y随x的增大而增大；
当x＞ 时，y随x的增大而减小．
3.二次函数图象的平移规律
抛物线 可由抛物线 平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式 来讨论．简单地说：“左正右负 上正下负”
因为当x=47时，利润y有最大值，而超过47时，利润y反而减少。
要想卖的越多赚的越多，即 随 的增大而增大，
由二次函数性质可知，x≤47，
所以当x=47时，最低售价应定为60－0.1（47－10）=56.3元．
题型四、面积和周长问题最值
例题1、已知二次函数y＝mx2－5mx＋1（m为常数，图像的对称轴对称．
c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
c＝0，抛物线经过原点；
c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：
①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二次函数的综合运用
二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。
本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。
一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。
为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。
1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。
对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。
而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。
2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。
对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。
令 y' = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。
同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。
二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。
下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。
1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。
对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。
二次函数综合运用(1)
页眉内容二 次 函 数 综 合 运 用第1课时【课前导读——知识要点】二次函数2ax y =（a ≠0）的性质 【课前自主练】1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式是 .2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设长方形的长为x 米，生物园的面积记y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为 . 3．已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，则m 的值为____________．4．已知二次函数2ax y =，当x =3时，y =-5，当x =-5时，y 的值为_____________． 5．当k 为 时，函数1)1(2+-=+kk x k y 为二次函数.6．（1）抛物线212y x =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，除顶点外抛物线上其它的点都在x 轴的 方；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线212y x =-的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，除顶点外抛物线上其它的点都在x 轴的 方；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最 值是 . 【新知讲授】例一、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数.（1）求满足条件的m 的值；（2）当m 为何值时，此函数的图象有最低点？并求出这个最低点的坐标，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当m 为何值时，此函数值有最大值？最大值是多少？此时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？例二、如图，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD中，AB ∥CD ，AB=20，CD=30，∠ADC=45°．对于抛物线部分，其顶点为CD 的中点O ，且过A 、B 两点，开口终端的连线MN 平行且等于CD ．（1）如图，在以点O 为原点，直线OC 为x 轴的坐标系内，试求抛物线的函数解析式；（2）求此标志的高度（即MN 与CD 所在直线间的距离）.例三、已知A 、B 为直线23y x b =+上的两点，它们的横坐标分别是3，-1，顶点在原点的抛物线经过A 、B 两点.(1)请求出直线与抛物线的解析式；(2)P 为y 轴负半轴上一点，且△PAB 的内心恰好 在y 轴上，求P 点的坐标.例四、如图，直线3y =交抛物线2y ax =于A 、B 两点，交y 根据下列条件，分别请求a 的值（或取值范围）. （1）∠AOB=90°（△OAB 为等腰直角三角形）； （2）∠AOB=60°（△OAB 为等边三角形）； （3）与直线2y x =-没有公共点.例五、如图，二次函数2y ax =（0a ＞）的图象与直线3y =交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，以AB 为直径作⊙M 交抛物线于另两点C 、D ，是否存在这样的实数a ，使得MC ⊥MD ？若存在，请求实数a 的值.例六、如图，抛物线的顶点为原点，直线142y x =+分别与该抛物线交于点A (8，8)，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ．（1）求这个二次函数的解析式及B 点坐标；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于D 点，E 为垂足．设线段PD 的长为h ，点P 的横坐标为t ，求h 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t ，使得四边形OBPD 恰好是平行四边形？若存在请求t 的值；若不存在，请说明理由.例七、问题情境：如图，在x 轴上有两点(,0)A m ,(,0)B n （0n m >>）.分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线2y x =于点C 、点D .直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ,点E 、点F 的纵坐标分别记为.E y 、F y . 特例探究：填空（直接写出你的答案，不需要证明）：①当1m =,2n =时，.E y =____,F y =______； ②当3m =,5n =时，.E y =____,F y =______；归纳证明：对任意m ,n （0n m >>）,猜想E y 与F y 的大小关系，并证明你的猜想； 拓展应用：若将“抛物线2y x =”改为“抛物线2(0)y ax a =>”,其它条件不变，连接EF ，当11a m n=-时，请判断四边形ABEF 的形状，并给出你的理由．例八、如图①，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第一象限上的一个点，连结OA，过点A作AB⊥OA，交y轴于点B，设点A的横坐标为n．探究：（1）当n=1时，点B的纵坐标是；（2）当n=2时，点B的纵坐标是；（3）点B的纵坐标是（用含n的代数式表示）．应用：如图②，将△OAB绕着斜边OB的中点顺时针旋转180°,得到△BCO．（1）求点C的坐标（用含n的代数式表示）；（2）当点A在抛物线上运动时，点C也随之运动．当1≤n≤5时，线段OC扫过的例九、如图①，在平面直角坐标系中，点P （0，m 2）（m ＞0）在y 轴正半轴上，过点P 作平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 1：214y x =于点A 、B ，交抛物线C 2：219y x =于点C 、D.原点O 关于直线AB 的对称点为点Q ，分别连接OA ，OB ，QC 和QD.猜想与证明、填表：由右表猜想：对任意m （m ＞0）均有ABCD= ； 请证明你的猜想. 探究与应用：（1）利用上面的结论，可得△AOB 与△CQD 面积比为 ；（2）当△AOB 与△CQD 中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD 与△AOB 面积之差； 联想与拓展：如图②，过点A 作y 轴的平行线交抛物线C 2于点E ，过点D 作y 轴的平行线交抛物线C 1于点F.在y 轴上任取一点M ，连接MA 、ME 、MD 和MF ，则△MAE 与△MDF 面积的比值为 .例十、孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF⊥x轴于点F ，测得OF=1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．例十一、（2013年武汉市）如图，点P 是直线l ：22--=x y 上的点，过点P 的另一条直线m交抛物线2x y =于A 、B 两点．（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A 、B 两点的坐标； （2）①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA=AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA=AB 成立．（3）设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC=∠OCP ，求点P 的坐标．。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用㈠一、典例精析考点一：二次函数与方程1.已知抛物线与x轴没有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．2.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点. （1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：（其中是原点）；（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ，c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．8如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．9．如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C ．（1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．10如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．11在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()40A -，，()04B -，，()20C ，三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB △的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点P Q B O ，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．12如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线y=x 2+bx+c 的图象过点E （﹣1，0），并与直线相交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标；（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
《二次函数的应用》.docx
《二次函数的应用》1、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为X轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划"米"八出的曲线是抛物线y=~x+4x（单位：米）的一部分，则水喷岀的最大高度是（）A. 4米B. 3米C. 2米D. 1米2、为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为100m,则池底的最大血积是（）A. 600m2 B・ 625m2 C・ 650m2 D・ 675m23、用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗八的透光而积最大，那么这个窗户的最大透光而积是（）64 2 4 °8 7 7A. — mB. — nVC. — IT TD. 4irT25 3 3 4、如图所示，在一个直角△MGV的内部作一个长方形ABCD,其屮A3和BC分别在两直角边上，设AB PM,长方形的面积为ynA要使长方形的面积最大，其边长兀应为（）24A.——mB. 6mC. 15m45、将一张边长为30cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为兀cm的小正方形，然后折壳成一个无盖的长方体.当x取下面哪个数值时，长方体的体积最大（）A. 7B. 6C. 5D. 46、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离兀（m）之间的函数] 2 5关系式是：y = -一+ 则该运动员此次掷铅球的成绩是（）12 3 3A. 6mB. 12mC. 8mD. 10m1 0\ \ A兀57、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线＞'=--X2+3.5的一部分，如图，若命屮篮圈屮心，则他与篮底的距离厶是（）A. 4.6m B. 4.5m C. 4m D・ 3.5m8、某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中-支高度为詐的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为护在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）B. y=-10 (x+- ) 2+4 2 1 9D. y=TO (X-— ) 2+4• 2 9、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图）,上求一点凡使矩形PNDM 有最大面积.10、小明的家门前有一块空地，空地外有一而长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸 爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花 和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花I 甫I 各放一个1米宽 的门（木质）.花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？X11、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图a 所示），拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均 为5m.（1） 将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图b 所示），求抛物线的解析式；（2） 求支柱EF 的长度；BA.尸丄兀2+4丿2 其中AF=2, BF 二L 试在12、如图所示，在生产中，为了节约原材料，加工零件时常用一些边角余料，△ABC为锐角三角形废料.其中BC=12cm, BC边上高AD=8cm,在AABC上截取矩形PQM N,与BC边重合，画出草图说明P, N两点落在什么位置上，才能使它的面积最大？最大面积是多少？并求111这时矩形的长和宽.附答案:1、A2、B3、C4、D5、D6、D7、B8、D9、解：设矩形PNDM的边DN = x,NP=y, 则矩形PNDM的血积S =厂(2 <x<4) 易知CN二4一x, EM=4~y.过点B作BH丄PN于点H,则有有△AFB S ABHPAF = BH gp2 = 4-xBF PH 1 y — 3・・・y = _丄兀+5• 2/. S = xy = -—x2+5A：(2<X<4)此二次函数的图彖开口向下，对称轴x = 5当x<5时，函数值y随％的增大而增大, 对于25兀54来说，当兀=4时,10、解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米则长为：32 — 4x + 2 = 34 — 4兀(米)则：S = x(34-4x)-4x2 + 34x仃1人，289 -4(^-—)-+ — 4 4////////////——/// / / / / / /_/ v0<34-4x<10 S最大=—*X42+5X4=1212<64••• S与兀的二次函数的顶点不在自变量兀范围内,而在•••当内，S随x的增大而减小6*口2时，答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大. S 最大=-4(6-#)2+晋=60(莎)最大1K解：(I)根据题目条件,A、B. C的坐标分别是(-100, 0), (10, 0), (0, 6).J 6 = c30 = 1006z + c解得0一J设抛物线的解析式为y =。
九年级秋季班-第8讲二次函数综合应用
二次函数综合应用内容分析二次函数的综合应用主要包括以下几个方面：（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等；（3）拟二次函数图像问题，包括拱桥问题，物体的运动轨迹问题等，可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题；（4）二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程和不等式等的代数综合；（5）二次函数与相似三角形、二次函数与动点、二次函数与圆等的几何综合．二次函数综合应用主要考察学生灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力，难点在于不同知识点的融会贯通，是最近中考压轴题主要的考察题型之一．知识结构模块一：利润问题知识精讲1、利润问题求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．例题解析【例1】进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A．y = 2a (x -1) B．y = 2a (1 -x) C．y =a (1 -x2 ) D．y =a (1 -x)2【例2】某化工材料经销公司购进一种化工原料7 吨，价格为每千克30 元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于每千克30 元．经市场调查发现：单价为70 元时，日均销售60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450 元．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围．（2）若商店期望日均获利不少于1800 元，则单价应定为多少？（3）在满足商店期望获利条件下，若要尽早销售完毕，则应如何定价？【例3】 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图，折线 ABD 、线段 CD 分别表示该产品每千克的生产成本 y 1 （单位：元）、销售价 y 2 （单位： 元）与产量 x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段 AB 所表示的 y 1 与 x 之间的函数解析式；（3）当该产品的产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【例4】 为了改善城市环境，某市规划在市中心修建一个市民休闲广场．设计如图所示， 中间为一个矩形，分别以矩形的四条边为直径向外作半圆，要求整个广场的外围周长为 628 米．准备在中间的矩形区域内种植花木和铺设鹅卵石等，平均每平方 米造价为 428 元；在四个半圆区域内种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为 400 元．（ π 取 3.14）（1）试写出矩形相邻两边长 x （米）、y （米）满足的函数关系式；（2）设该项工程总造价为 W 元，求 W 与矩形一边长 x （米）的函数关系式； （3）市政府预算投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由；（4）根据题意，显然中间的矩形区域面积越小，总造价越低．考虑到整体美观，要求矩形尽量接近黄金矩形（宽与长之比为 5 -1≈ 0.618 ）．结果通过企业2 募捐，又增加了部分资金，工程结束后核算，总造价为 1064.82 万元．问建成后矩形区域的长和宽各是多少？y 120 C60 A 42 BDO90 130 xQ150 100 O 50150250t( )【例5】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价 P （元/100 kg ）与上市时间 t （2 月 1 日开始的天数）有函数关系：⎧⎪300 - t (0 ≤ t ≤ 200) P = ⎨ ⎪⎩2t - 300200 < t ≤ 300 ，西红柿的种植成本 Q （元/100 kg ）与上市时间 t 也存在如图所示的二次函数关系式．设市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？【例6】 四川汶川大地震发生后，某工厂 A 车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求不超过 12 天完成．已知每顶帐篷的成本价为 800 元，该车间平时每天能生产车 间 20 顶．为了加快进度，车间组织工人加班，挖掘潜力，生产效率得到了提高．这 样，第一天生产了 22 顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多 2 顶．由于机器损 耗能原因，当每天生产的帐篷数达到 30 顶后，每增加一顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加 20 元．设第 x 天生产的帐篷为 y 顶． （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若这批帐篷的订购价格为没顶 1200 元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？【例7】某产品每件成本50 元，出售价70 元，2014 年销售量5 万件．为了进一步拓展销路，厂家投入一定资金做广告．2015 年和2016 年分别支出广告费用10 万元和20 万元，年销售量分别是做广告前的1.5 倍和1.8 倍．设做广告后年销售量与原销售量的比值y 是关于广告费x（万元）的二次函数．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）设年销售总额减去成本和广告费后所得的利润为S 万元，求S 与x 的函数关系式；（3）你认为厂家是否应该继续投入大量广告费，以求年利润随广告费投入的增加而无限增加？y ACB O x知识精讲例题解析门门门1、 面积问题求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．【例8】 二次函数 y = 3x 2 的图像如图所示，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 、C 在二次函数的图像上，四边形 OBAC 为菱形，且∠OBA = 120︒ ，则菱形 OBAC 的面积为．【例9】 一边靠长为 15 米的围墙，其他三边用总长 40 米的篱笆围成一个矩形花圃，如何围法，可使花圃的面积最大？【例10】 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙壁（墙壁足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27 m ，则能建成的饲养室的面积最大为m 2．模块二：面积问题【例11】 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 80 米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设 BC 的长度是 x 米，矩形区域 ABCD 的面积为 y 平方米． （1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？【例12】 如图，某市在城建规划中，准备在市中心一块长方形空地 ABCD 上建一块长方形绿化区域．因为空地一角有一个文物保护设施，所以规划时不能超越线段 EF ，进入 AEF 内．已知长方形的长 AB = 200 米，宽 AD = 160 米，AE = 60 米， AF = 40 米．如何规划能使这个绿化区的面积最大？DFC岸 堤 A E BGHy DGCFP H AEB x【例13】 如图 1，为美化校园，某校计划在一块长为 60 米，宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 a 米．（1）用含 a 的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 38 ，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y 1 （元）、 y 2 （元）与修建面积 x （平方米）之间的函数关系如图 2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目， 并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米，那么当通道的宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？通道y62000 48000800 1200图 2x图 11、 拟二次函数图像问题拟二次函数函数图像问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关问题．主要包括拱桥问题、运行轨迹问题等．【例14】 一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度 h （m ）与足球被踢出后经过的时间 t （s ）之间具有函数关系： h = at 2 +19.6t ，已知足球被踢出后经过 4 s 落地，则足球距地面的最大高度是m ．【例15】 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度 AB = 20 米，顶点 M 距水面 6 米（即 MO = 6 米），小孔顶点 N 距水面 4.5 米（即 NC = 4.5 米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大 孔的水面宽度 EF ．yMEFNDAOB Cx模块三：拟二次函数图像问题知识精讲例题解析【例16】 学校的围墙上端由一排相同的凹拱形栅栏组成，如图所示，已知拱形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，每隔相同的间距 0.3 米用 1 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的解析式为 ； （2）一段这样的栅栏所需立柱的总长度（精确到 0.1 米）为．【例17】 某校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，若球出手时离地面 20米，9与篮圈中心的水平距离为 7 米．设篮球运行的路线为抛物线，当球出手后水平距 离为 4 米时到达最大高度 4 米，已知篮圈离地面 3 米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，试问此球能否准确投中？（2）若对方队员乙再甲前面 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否拦截成功？yBCAOxy4米3 米Ox4 米3 米y3O x10跳台支柱池边1【例18】跳水运动员在空中运动时，身体的重心所经过的路线是一条抛物线．在某项10 米跳台的一个规定动作中，正常情况下运动员在跳台边缘向上跃起，重心上升1 米到达最高点，这时跃出水平距离0.4 米，然后下落．在距离水面5 米处完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势．（1）建立如图所示的坐标系，求出抛物线解析式（图中数值的单位是米）（2）运动员入水时距池边多少米（精确到0.1 米）？（3）运动员在空中调整好入水姿势时，与水池边的水平距离是多少米（精确到0.1 米）？【例19】如图，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x（m），与桌面的高度为y（m），运行时间为t（1）当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y =a (x - 3)2 +k ．○1 用含a 的代数式表示k；○2 球网高度为0.14 m，球桌长（1.4 ⨯ 2 ）m．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a 的值．At / s 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x / m 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y / m 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …模块四：代数综合知识精讲1、代数综合二次函数与代数的综合涉及到二次函数与一次函数、反比例函数在同一直角坐标系中的图像性质问题、交点问题等．难点是函数思想与方程思想、不等式思想的相互转化和结合．例题解析【例20】一次函数y =ax+b与二次函数y =ax2 -bx在同一坐标系中的图像可能是（）y y y yx x x x A．B．C．D．【例21】利用函数图像，求解不等式x2 - 4x + 4 > 0 ．【例22】已知关于x 的方程mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 ．（1）当m 取何整数值时，关于x 的方程mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 的根都是整数？（2）若抛物线y =mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 向左平移一个单位后，过反比例函数y =k（k ≠ 0 ）上的一点（-1，3）．x○1 求抛物线y =mx2 - 3(m -1)x+ 2m - 3 的解析式；○2 利用函数图像求不等式kx-kx > 0 的解．【例23】已知一次函数y =x - 2 与二次函数y =x2 +kx +k ．（1）若两个函数图像交点的横坐标的平方和等于9，求二次函数解析式；（2）若二次函数图像与x 轴的两个交点位于一次函数图像与x 轴交点的两侧，求k 的取值范围；（3）k 能否取值，使得y 轴右侧抛物线总在直线的下方？若能够，求出k 的取值范围；若不能，试说明理由．0 0【例24】 已知抛物线 y = x 2 + px + q 上有一点 M （ x ， y ）位于 x 轴下方．（1）求证：此抛物线与 x 轴有两个交点；（2）设此抛物线与 x 轴交点为 A （ x 1 ，0），B （ x 2 ，0），且，求证：x 1 < x 0 < x 2 ； （3）当 M 的坐标为（1， -2 ）时，求整数 x 1 ， x 2 ．【例25】 已知关于 x 的一元二次方程(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 （m 为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y = (m -1) x 2 + (m - 2) x -1总过 x 轴上的一个固定点；（3）若 m 是整数，且关于 x 的一元二次方程(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 有两个不相等的整数根，把抛物线(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式．yA DB OCx1、 几何综合二次函数与几何的综合，主要是将几何图形与二次函数的图像相结合，求解面积问题、角相等问题、相似问题等．难点是数形结合的思想，这也是中考要求的重点和难点．【例26】 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y = x 2 - 2x + 2 上运动，过点 A 作AC ⊥ x 轴于点 C ，以 AC 为对角线作矩形 ABCD ，连接 BD ，则对角线 BD 长的最小值为．【例27】 如图所示，抛物线 y = - 1x 2 + bx + 2 交x 轴于 A 、B 两点（点 B 在点 A 的左侧）， 2交 y 轴于点 C ，其对称轴为 x = 3，O 为坐标原点．2 （1）求 A 、B 、C 三点的坐标； （2）求证： ∠ACB 是直角．模块五：几何综合知识精讲例题解析yCB OA xyBP MAN OxyCl OA BxMQP【例28】 如图，一条直线过点（0，4），且与抛物线 y = 1x 2 交于A 、B 两点，其中点 A 4 的横坐标是-2 ．（1）求这条直线的函数解析式及点 B 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 C ，使得∆ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段 AB 上一点 P ，作 PM // x 轴，交抛物线于点 M ，点 M 在第一象限， 点 N 的坐标为（0，1），当点 M 的横坐标为何值时，MN + 3MP 的长度最大？最大值是多少？【例29】 已知抛物线 y = x 2 - 2mx + m 2 + m - 1（m 是常数）的顶点为 P ，直线 l ：y = x -1 ．（1）求证：点 P 在直线 l 上；（2）当m = -3 时，抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，与直线 l 的另一个交点为 Q ，M 是 x 轴下方抛物线上的一点， ∠ACM = ∠PAQ （如图），求 点 M 的坐标；（3）若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 m 的值．【例30】如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x2 的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B 两点，Q 是抛物线上一点．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若点Q 在直线AB 的下方，求点Q 到直线AB 的距离的最大值；（3）如图2，若点Q 在y 轴左侧，且点T（0，t）（t < 2）是射线PO 上一点，当以P、B、Q 为顶点的三角形与∆PAT 相似时，求所有满足条件的t 的值．yBPA QO xyQBPATO xADBCyOxADBy y y yx x x x【习题1】 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数解析式为，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米是，这时水面的宽度 AB 为 （ ） 米A ． -20B ．10C ．20D ． -10【习题2】函数 y = ax 2 + a 与 y = a（a ≠ 0 ）在同一坐标系中的图像可能是（ ）xA ．B ．C ．D ．【习题3】如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为 16 米，则所围成的矩形 ABCD 的最大面积为（）平方米A ．60B ．63C ．64D ．66【习题4】利用函数图像，解不等式 x 2 + x - 3 ≤ 0 ．随堂检测【习题5】某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克．（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多为多少？（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000 元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？【习题6】如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5 m 的A 处正对球门踢出（点A 在y 轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间满足函数关系式：y =at2 + 5t +c ，已知足球飞行0.8 s 时，离地面的高度为3.5 m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度为多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系式x = 10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，那么他能否将球直接射入球门？yAO x【习题7】 如图所示是二次函数 y = (x + m )2+ k 的图像，其顶点坐标为 M （1，-4 ）．（1）求出图像与 x 轴的交点 A 、B 的坐标； （2）在二次函数的图像上是否存在点 P ，使 S的坐标，若不存在，请说明理由．∆PAB= 5 S 4∆MAB，若存在，求出点 P【习题8】 如图， 一小球从斜坡点 O 处抛出， 球的抛出路线可以用二次函数y = -x 2 + 4x 的图像来刻画，斜坡可以用一次函数 y = 1 x 的图像来刻画． 2（1）请用配方法求二次函数图像的最高点 P 的坐标； （2）小球的落点是 A ，求点 A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点 P 与点 O 、A 得∆POA ，求∆POA 的面积； （4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M （点 M 与点 P 不重合）， ∆MOA 的面积等于∆POA 的面积，请直接写出点 M 的坐标．yPAOxy O BAxMyCDPO BA x【习题9】 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）的顶点坐标为 Q （2， -1 ），且与 y轴交于点 C （0，3），与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（P 与 A 不重合），过点 P 作 PD // y 轴，交 AC 于点 D ．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）当∆ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标，若不存在，请说明理由．【习题10】如图（a），抛物线y =a (x + 6)2 - 3 与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，点D 为抛物线的顶点，直线DE ⊥x 轴，垂足为E，AE2 = 3DE ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P 为直线DE 上的一点，且∆PAC 是以PC 为斜边的直角三角形，见图（b），求tan ∠PCA 的值；（3）如图（c）所示，M 为抛物线上的一动点，过点M 作直线MN ⊥DM ，交直线DE 于点N，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN 的情况？若存在，请求出符合条件的所有的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．y y yC C N CMPB E A O x B E A O x B E A O xD D D图（a）图（b）图（c）P 运动时间为 t ，则 S 与 t 的函数图像大致为（ ）y SSSSCB At tttNOPMx3【作业1】 如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O 、B ，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y = - 1400(x - 80)2 + 16 ，桥拱与桥墩AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC ⊥ x 轴，若 OA = 10 米，则高度 AC 为（）A ．169米 B ． 17 米 C ．167米 D ． 15米40 4404【作业2】如图，有一块边长为 6 cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）cm 2A ．B ． 332C ． 932D ．2732【作业3】 如图，已知 A 、B 是反比例函数（k > 0，x > 0）图像上的两点，BC // x 轴，交 y 轴与点 C ，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O →A →B →C 匀速运动，终点为 C ．过 P 作 PM ⊥ x 轴， PN ⊥ y 轴，垂足分别为 M 、N ．设矩形 OMPN 的面积为 S ，点A ．B ．C ．D ．课后作业y A CO BxDy DCB EOA x【作业4】 如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y = x + 1 相交于 A 、B 两点，且点A 在 x 轴上，点B 的横坐标为 2，连接 AM 、BM ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）判断∆ABM 的形状，并说明理由．【作业5】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 米，宽是 4米．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y = - 1 x 2 + bx + c 表示，且抛物 6线上的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 米，到地面 OA 的距离为17米．2（1）求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； （2）一辆货车载一长方体集装箱后高为 6 米，宽为 4 米，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线形拱璧需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8 米，那么两排灯的水平距离最小是多少？yBO AxM【作业6】某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时售价为每件20 元，并且每周涨价2 元，从第6 周开始，保持每件30 元的稳定价格销售，直到11 周结束，该童装不再销售．（1）请建立销售价格y（元）与周次x 之间的函数关系式；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x 之间的关系为z=-1(x-8)2 +12，1 ≤x ≤11 ，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周8售出后，每件获得的利润最大？最大利润为多少？【作业7】如图，正比例函数和反比例函数的图像都经过点A（3，3），把直线OA 向下平移后，与反比例函数的图像交于点B（6，m），与x 轴、y 轴分别交于C、D 两点．（1）求m 的值；（2）求过A、B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否另外存在点E，使四边形OECD 与四边形OACD 的面积相等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．yABOC xD【作业8】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =x2 +bx +c 与x 轴交于A、B 两点，C 为抛物线上一点，且直线AC 的解析式为y =mx + 2m （m ≠ 0 ），∠CAB = 45︒，tan ∠COB = 2 ．（1）求A、C 的坐标；（2）求直线AC 和抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD 为梯形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．yCA OB x【作业9】已知关于x 的二次函数y =x2 +(k 2 - 4)x + 2k - 2 的顶点在y 轴的正半轴上．（1）求此抛物线的解析式；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D，再过点D 作DC 垂直于x 轴于点C，可得到矩形ABCD（B、C 两点在x 轴上）．设矩形ABCD 的周长为l，点A 的横坐标为m，试求l 关于m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形，若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．yDC MPAOQB x【作业10】 如图，已知抛物线 y = a (x -1)2+ 3 3 （ a ≠ 0 ）经过点 A （ -2 ，0），抛物 线的顶点为 D ，过点 O 作射线 OM // A D ，过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ，B 在 x 轴正半轴上，连接 BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t （s ）．问当 t 为何值是，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OC = OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时， 另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为 k （s ），连接 PQ ，四边形 BCPQ 的面积为 S ，求 S 关于 k 的函数关系式，并写出定义域．。
二次函数及函数的综合运用.docx
课时19二次函数的应用【课前热身】1. 二次函数y = 2x 2—4x + 5的对称轴方程是心—；当x=_时，y 冇最小值是.2. 有一个抛物线形桥拱，其最人高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系屮（如右图），则此 抛物线的解析式为 ________________ .3. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增氏的百分数都是x,那么y 与x 的函数关系是（ ）A. y = x 2+aB. y=a （x —1） 2 C. y=a（1 —x ）2D. y=a （1 + x ） 24. 把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD,设宽为x,面积为y.则当y 最人时，x 所取的值是（ ）A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.6【考点链接】1. ______________________________________ 二次函数的解析式：（1）一般式： ； （2）顶点式： _____________________________________（3）交点式： ___________ .2. 顶点式的儿种特殊形式.3.二次函数y = tzx 2+bx + c 通过配方可得y = a （x + —）2 + 4aC ~1^，其抛物线关于直线兀=—对「 2a 4。
称，顶点坐标为（ _______ , ________ ）.（1） _________________________ 当。
＞0时，抛物线开口向 ,冇最 （填“高"或“低”）点，当x= _______ 时，y 有戢 ____ （"大”或“小”）值是 _________ ；（2） _________________________ 当GV0时，抛物线开口向 ,有最 （填“高”或“低”）点，当x= _______ 时，y 有最 ____ （“人”或“小”）值是 ________ .⑴ ____________【典例精析】例1用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm,窗户的透光而积为y nA y与x的两数图象如图2所示.（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光血积最大？⑵当窗户透光面积最人时，窗框的另一边长是多少?图2例2橘了洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池屮央垂肯安装一个柱了0P,柱了顶端P处装上喷头, 由p处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落卜-（如图所示）.若□知0P =3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子0P的距离为1米.（1）求这条抛物线的解析式:（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?【中考演练】1.（06浙江）二次函数y=分+0 — 5的最小值为_____________ .2.某飞机着陆生滑行的路程S米与时间t秒的关系式为：5 = 60r-1.5r2,试问飞机着陆后滑行米才能停止.3.矩形周长为16cm,它的一边长为xcm,面积为ycm ,则y与x之间函数关系为________ .1 °4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s = -^gt2（g是不为0的常数）则s与t5.（08恩施）将一张边长为30 cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x cm的小止方形，然后折叠成一个无盖的长方体•当x収下面哪个数值时，长方体的体积最大（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 46•下列甫数关系中，是二次函数的是（）A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x Z间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a Z间的关系D.圆心角为120。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用利用二次函数解决抛物线问题例1、如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案。
按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y =ax 2+bx (a ≠0)表示。
已知抛物线上B ,C 两点到地面的距离均为43m ,到墙边似的距离分别为21m ,23m . (1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?变式训练1、如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m ,宽是4m .按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y =−16x 2+bx +c 表示,且抛物线的点C 到墙面OB 的水平距离为3m 时,到地面OA 的距离为217m . (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米?利用二次函数解决销售利润问题例2、襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了一种新产品。
已知研发、生产这种产品的成本为30元/件,且年销售量y (万件)关于售价x (元/件)的函数解析式为：⎩⎨⎧≤≤+-≤+-=)7060(80)6040(1402x x x x y(1)若企业销售该产品获得的年利润为W (万元),请直接写出年利润W (万元)关于售价x (元/件)的函数解析式；(2)当该产品的售价x (元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少? (3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元,试确定该产品的售价x (元/件)的取值范围。
变式训练2、一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于(1)直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大?最大利润是多少?利用二次函数解决图形面积问题例3、有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大?这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时,透光面积最大值约为1.05m 2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：(1)若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积? (2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明。
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二次函数的综合应用一、与其他函数的综合应用设函数jy=£r?4-(2^ + l>x+ia 为实数).(1)写出其中的两个特殊函数，使它们用图象不全是抛物线，并在同直角坐标系中，用描点法画出这炳个特鬆函数的图象：(2)根据所as图象，猜想岀：对任意实数点，函数的图象都具有的特征■并给予证明$(3)对任意奂实数黒当x<w时Q随看；r的堆大而增大，试求出加的一个值.解：(I)女口两个函数为y = x + l,y = F+3兀+i,函数图形略；(2)不论/取何值，函数y二也2+(2£ + 1)兀+ 1的图象必过定点(0,1),(-2,-1),且与x轴至少有I个交点•证明如下：由y = kx~ + (2k +1)% +1,得R(兀$ + 2兀)+ (x — y +1) = 0当〒+2x = 0,且兀一y + l = 0,即兀= 0,y = l,或x = —2,y = —1时，上式对任意实数彳都成立，所以函数的图像必过定点(0,1),(-2,-1).又因为当R = 0吋，函数y =兀+ 1的图像与・・F轴有一个交点；当k工0 H寸，•・・△ = (2k + 1)2 -4£ = 4疋+1 > 0 ,所以函数图像与7轴有两个交点•所以函数y二尬2+(2£ + 1)兀+ 1的图象与兀轴至少有I个交点•O)只要写出必一1的数都可以.OL +] •・• £ v 0 ,・•・函数y二也2 +(2R + 1)兀+1的图像在对称轴直线X=--—- 2k 的左侧，y随x的增大而增大•根据题意，得加W-生乜，而当kvO时，一生乜=一1 一丄>一12k 2k 2k所以m < -1・已知抛物线y = x2-nvc-^- —与抛物线y二/ + ,处_亍在直角坐标系中的位置如图所示，英屮一•条与x轴交于A , B两点.(I)试判断哪条抛物线经过4, B两点，并说明理由;⑴若A, B两点到原点的距离AO,尬满足条件亦的这条抛物线的函数式.1 2—,求经过A, B两点解：（I ）抛物线不过原点,心，令f+分0, △严（一肋2_4X 分一莎V0,与x 轴无交点，.••抛物线y = x 2 经过A, B 两点. 所求函数式为y = x 2 +2兀一3・•\/? > 0 ；图像与 y 轴交点在x 轴下方,/• c< 0 . /• « > 0 , /? > 0 , c<0 .OC = °A。
=爲,・・.B(—3,0), C(Jio ).设二次函数式为 y = 6z(x + 3)(x-V3), tan 60°・・・尸宀愿+疋(2)设 A (引0), B(x ，0), rJ X| , 吃 是方程 ％加 2 =0的两根若+兀2 = 一m ， 3 2 西兀21 12 OB = X 2. ••• ------------ =- OB OA3 点左边， B 在原点 右边，贝I 」AO = -%!,1 12 --- 1—=—x 2 x x 3 西+兀2二2 x^x 2 3 -m 3 2 ——m 4(J) A(0,-3), OA =3,ZABC = 45°, ZACB = 60°, OB 解：（I ）抛物线开口向上，d>o ；图像的对称轴在y 轴左侧，一£<0,又G>0,tan ZABCy = r （兀 + 3）（兀—V3 ） = — %2 + （5/3 _ l ）x _ 3 .2、已知抛物线y=x 2+2px+2p - 2的顶点为M,（1） 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；（2） 设抛物线与x 轴的交点分别为A, B,求实数p 的值使△ABM 面积达到最小. 解：(1) VA=4p 2 - 8p+8=4 (p - 1) 2+4>0,・••抛物线与x 轴必有两个不同交点.(2) 设 A (xi ，0), B (X2, 0),贝I J|AB|2=|X 2 - xi|2=[(X1+X2)2 - 4xiX2]2=[4p 2 - 8p+8]2=[4 (p - 1) 2+4]2所以|AB|=2又设顶点 M (a, b),由 y= (x - p) 2 - (p - 1) 2 - 1. 得 b= - (p - 1) 2 - 1.当p 二1时,|b|及|AB|均取最小，此时S —BM 二 |AB||b|取最小值1・三、二次函数与四边形的综合应用5 171、如图，抛物线y = --x 2+ —+ 1与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物戲交于另一点 4 4B,过点B 作BC 丄兀轴，垂足为点C （3, 0）.（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动,过点P 作PN 丄兀轴，交直线AB 于点M,交抛物线于点设点P 移动的时间为/秒，MN 的长度为$个单位，求s 与/的函数关系式，并写出Z 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O,点C 重合的情况）, 连接CM, BN,当『为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？ 问对于所求的/值，平行四边形BCMN 是否菱形？.请说明理由. 解：（1）易知A （0,l ）, B （3,2.5）,可得直线AB 的解析式为尸丄兀+ 1（2） s = = =— t +=— t （0 < ^ < 3）4 4 2 4 4（3） 若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC,此时，有一— t = -，解得心=1, 4 4 2乙=2所以当戶1或2时，四边形BCMN 为平行四边形.MO①当戶1 时，MP = — , NP = 4,故MN = NP — MP = — ,2 2又在RtAMPC屮，MC = VMP2 +PC2 = - , &攵MN=MC,此吋四边形BCMN为菱形29 5②当t=2时，MP = 2 , NP二一，故MN = NP-MP = -，又在RtA MPC中，2 2MC = ^MP2 + PC2 = V5 ,故MNHMC,此时四边形BCMN不是菱形。
四、韦达定理一元二次方程且厶中，设两个根为“I,则XI-K2;・1 人I、已知抛物线y-ajc +/?x + c与y轴交于C点，与x轴交于A（x f0）, B{x2,Q\x x <x2）两点，顶点M的纵坐标为一4,若西，七是方程2（加—1）兀+ "_7 = 0的两根，且彳+无；=10 .（1）求A , B两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C坐标；解：（I）由西+兀=2（加一1） , \x2 = m2 -7 ,彳=（X] +尢2）2 _2兀]兀2 = 4（加一1）2 -2（加2 — 7） = 10 ,得 /?? = 2 ,二旺=—1 ,兀2=3' 71（-1,0） , 5（3,0）.（2） v抛物线过A, B两点，其对称轴为x = l ,顶点纵坐标为-4,・••抛物线为y = ci （x-l）2 -4 .把兀=—1,）, = 0代入得d = l,・••抛物线函数式为y = /—2x — 3,其屮C（0,-3）.五、二次函数存在性问题1错误!未指定书签。
.如图，抛物线）=亦+。
s>o）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底4D在x轴上，其中A （-2,0）, B（一1, 一3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小吋，求此吋点M的坐标；(3) 在第(2)问的结论下，抛物线上的点P 使S △陀=4S3M 成立，求点P 的坐标•解：(1)、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程 (2)如图2,连接〃£>,交y 轴于点M,则点M 就是所求作的点故BD 的解析式为y 二兀一2；令兀=0,则y 二一2 ,故M(0,-2)(3) 、如图3,连接AM, BC 交y 轴于点N,由(2)知，OM=OA=OD=2, ZAMB = 90°易知 BN=MN=\,易求 AM = 2^2, BM =^2S 胁‘/ =丄 X 2A /2X >/2=2 :设 P(%9 x 2 - 4), 依题意有：|AZX|x 2-4| =4x2,即：|X 4C|X 2-4| = 4X 2 解之得：% = ±2^2 ,兀二0,故符合条件的P 点有三个：(2 V2,4), P 2 (-2>/2,4), P 3 (0, -4)2.在平面直角坐标系xO )；中，抛物线尸-巴二L/+切刑讪2_3〃2+24 4与x 轴的交点分别为原点O 和点A,点B(2, /?)在这条抛物线上。
(1) 求点3的坐标；4。
+ c = 0a + c =-3 解之得：故>,=^2-4为所求{2k + b — 0 k — 1 3' K-2(2)点P在线段Q4上，从0点出发向点运动，过P点作兀轴的垂线，与直线03交于点E。
延长PE到点De使得ED-PE。
以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求0P的长;解：(1) 丁拋物线尸一一H+切■兀+加2-3加+2经过原点，.•.加2-3加+2=0,解得加1=1,加2=2,4 4由题意知加工1,・S=2,二拋物线的解析式为y=-£/+舟x, 点陀，川)在抛物线y=———x _L»/?=4» .IB 点的坐标为(2, 4)o⑵ 设直线OB的解析式为y=k x x,求得直线OB的解析式为尸2x,・・・A点是拋物线与兀轴的一个交点，可求得4点的坐标为(10, 0),设P点的坐标为(G, 0),则E点的坐标为2°),根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。
可求得点C的坐标为(3a, 2a),由C点在拋物线上，得2°-——x(3«)2+ —x3«, 即一/ ---- 你军得— , <72=04 2 4 2 9(舍去)，・・・”亍3•如图，己知抛物线y = ar2 +bx + c(a H 0)的顶点坐标为Q(2,—l),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合), 过点P作PD// y轴，交AC于点D.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当AADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在兀轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.解:(1)・・•抛物线的顶点为Q (2, -1)・••设歹=心_2)2 -1将C (0, 3)代入上式，得3 = 6f(0—2尸—1Q = 1 歹=(兀一2)~ —1,即y =兀2—4兀+ 3(2)分两种情况:①当点Pi为直角顶点时，点Pi与点B重合(如图)令y =0? W x2 - 4% + 3 = 0 解之得兀]=1,勺=3•・•点A在点B的右边，・・・B(1,O), A(3,0) ・・・P](1,O)②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)V OA=OC, Z AOC= 90 °, Z OAD2= 4 5当ZD2AP2=90°时，ZOAP2=45°, AO 平分ZD2AP2XVP2D2^ y 轴，AP2D2丄AO, /.P2^ D?关于兀轴对称.设直线AC的函数关系式为y二kx + b将A(3,0), C(0,3)代入上式得y = -x +3V D2在y二一兀+ 3上，P2在y =兀？一4兀+ 3上,设。